TURUNAN PARSIAL •
Cari turunan parsial pertama fungsi
f ( x, y ) = x 2 − y 2
terhadap tiap peubah
bebasnya... ” Penyelesaian ”
Untuk mencari f x ( x, y ) kita anggap y sebagai konstanta dan kita mendeferensialkan fungsi ini terhadap x didapat f ( x, y ) = x 2 − y 2 1
f x ( x, y )
=
=
( x 1 2
=
1 2
2
−
2
y ) 2 ( 2 x) 1
2
2
2
2
−1
( x − y ) 2 ( 2 x ) −
( x − y )
1 2
(2 x)
1
= x ( x 2 − y 2 ) − 2
Untuk mencari f y ( x , y ) Kita anggap x sebagai konstanta kita mendefersialkan fungsi ini terhadap y didapat f ( x, y ) = x 2 − y 2 1 2
2
f y ( x, y ) = ( x − y ) 2 (−2 y ) =
1 2
=
1 2
1 2
2
2
2
−1
( x − y ) 2 ( −2 y )
( x − y )
−
1 2
( −2 y ) 1
= − y ( x 2 − y 2 ) − 2
•
Carilah turuna parsial pertama fungsi f ( x, y )
= 2 sin x cos y
yang diberikan
terhadap peubah bebaasnya ” Penyelesaian ”
Untuk mencari f x ( x, y ) kita anggap y sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap x didapat
∂ z ∂ x
∂
= 2 sin x
∂ x
cos y + 2
= 2 sin x . – sin y
∂ ∂ x
∂ ∂ x
y
sin x (cos y )
+ 2 cos x
∂ ∂ x
( x)
.cos y
= 2 cos x. cos y Jadi f x ( x, y ) = 2 cos x. cos y
Untuk mencari f y ( x , y ) kita anggap x sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap y didapat ∂ z ∂ y
∂
= 2 sin x
∂ y
cos y + 2
= 2 sin x . – sin y
∂ ∂ x
∂
sin x (cos y )
∂ y
y
+ 2 cos x
∂ ∂ x
( x )
.cos y
= - 2 sin x. sin y Jadi f y ( x , y ) = - 2 sin x. sin y
•
Jika f ( x, y )
=
2 x − y
,tentukan f x (3,−2) dan f x (3,−2)
xy
” Penyelesaian ” f ( x, y ) =
2 x − y
xy
Untuk mencari f x ( x, y ) kita anggap y sebagai konstanta dan kita dierensialkan ungsi ini terhadap x didapat f x (3, −2) =
= = = =
xy
∂ ∂ x
( 2 x − y ) −
∂ ∂ x
xy ( 2 x − y )
( xy ) 2
xy.(2) − ( y ).2 x − y ( xy ) 2
(3)( −2).2 − ( −2).( 2(3) − ( −2) 36 −12 +16
36 4 36
=
1 9
Untuk mencari f y ( x , y ) kita anggap sebagai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap y didapat xy
2) = f y (3,−
∂
y ∂
( 2 x − y ) −
∂
y ∂
xy ( 2 x − y )
( xy ) 2
xy.(−1) − ( x).2 x − y
=
( xy )
(3)( −2). −1 − (3).( 2(3) − ( −2)
=
36
= =
•
2
6 − 24 36 −18
=−
36
1 2
Perlihatkan bahwa fungsi f ( x, y )
= x
3
3 y − xy adalah fungsi harmonik
” Penyelesaian ”
∂ f ∂ x
= x
2
∂' f ∂ x
2
2
∂ f
∂ y
2
∂' f ∂ y
2
2
2
3
y − 1 y 3
= 6 xy
= x
3
= x
∂' ' f ∂ y
y − xy
= 3 x
∂' ' f ∂ x
3
y − xy 3
3
1 − x3 y 2
= −6 xy
2
2
Disebut harmonik jika
∂
f
∂ x
2
+
∂ f
y ∂
2
= 0,
Jadi fungsi diatas terbukti harmonik karena 6 xy − 6 xy
•
Jika f ( x, y, z )
= 3 x
2
y − xyz + y 2 z 2 .Carilah f x ( x, y , z ) dan f y (0,1, 2)
” Penyelesaian”
2 2 2 f ( x, y, z ) = 3 x y − xyz + y z
f x ( x, y , z ) = 6 xy − yz + 0
= 6 xy − yz
f ( x, y, z ) = 3 x 2 y − xyz + y 2 z 2 f y (0,1,2) = 6 xy − xz + 2 y 2 z
= 6(0).1 −0(2) + 2(1).2(2) =8
=0
