Materi 5 Turunan Parsial Definisi
Andaikan Bahwa f adalah suatu fungsi dua peubah x dan y. Jika y ditahan agar konstan, misalnya y = y0 , maka f(x, y 0) menjadi fungsi satu peubah x. Turunannya di x = x 0 disebut turunan parsial f terhadap x di (x 0 , y0) dan dinyatakan sebagai f x (x0 , y0). Jadi f x (x0 , y0) =
+∆ , − , lim ∆ ∆→0
Demikian pula, turunan parsial f terhadap y di (x 0 , y0) dinyatakan oleh f y(x0 , y0) dan dituliskan sebagai f y (x0 , y0) =
, + ∆ ∆− , lim ∆ ∆→0
Ketimbang menghitung f x(x0 , y0)dan f y (x0 , y0) secara langsung dari definisi di atas, secara khas kita mencari f x (x , y) dan f y (x , y) dengan menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian kita menyulihkan (mensubstitusikan) x = x 0 dan y = y0 Contoh 1 Carilah f x (1 , 2) dan f y (1 2) jika diketahui f(x y) = x 2y + 3y3 Penyelesaian Untuk mencari f x(x , y) kita angap y sebgai konstanta dan kita diferensialkan fungsi ini terhadap x didapat f x(x , y) = 2xy + 0 Jadi f x (1 , 2) = 2.1.2 = 4 Demikian pula f y (x , y) = x 2 + 9y2 Sehingga f y(1 , 2) = 1 2 + 9.2 2 = 1 + 36 = 37
Jika z = f(x , y), kita gunakan cara penulisan lain f x (x , y) =
, =
f x (x0 , y0) =
| ,
f y (x , y)=
, =
f y (x0 , y0) =
| ,
Lambang (baca: do) adalah lambang khas dalam matematika dan disebut tanda turunan parsial. Contoh 2 : Jika z =
−
, carilah
dan
Penyelesaian
− − − =
=
− − − =
−− ( −) − − + − − −− = = = =
− ( −) − + + + = = =
Tafsiran Geometrik dan Fisis
Pandang permukaan yang persamaannya z = f(x , y). Bidang y = y 0 memotong permukaan ini pada kurva bidang QPR (lihat gambar1)
Nilai dari f x (x0 , y0) adalah kemiringan garis singgung pada kurva ini di titik P (x 0 , y0 , z0) dimana z0 =f (x0 , y0) Serupa dengan itu, bidang x = x 0 memotong permukaan pada kurva bidang LPM (lihat gambar 2)
Nilai dari f y(x0 , y0) adalah kemiringan garis singgung pada lengkungan ini di titik P. Turunan parsial dapat juga ditafsirkan sebagai laju perubahan (sesaat). Andaikan bahwa dawai biola diikat di titik A dan B dan bergetar pada bidang XZ (lihat gambar 3)
Gambar di atas menunjukkan posisi dawai pada suatu waktu tertentu t. Jika z = f(x , t) menyatakan tinggi dawai di ititk P dengan absis x pada saat t, maka
/ adalah
/ adalah waktu laju perubahan ketinggian P sepanjang garis tegak yang ditunjukkan. Dengan perkataan lain, / adalah kecepatan vertikal dari P. kemiringan dawai di P dan
Contoh 3
Permukaan z = f(x , y) =
92
dan bidang y = 1 saling memotong dalam kurva
seperti pada gambar 1 di atas. Carilah persamaan parameter untuk garis singgung di titik
√ 2 , 1 , 2)
(
Penyelesaian Fungsi f x (x , y) = ½(9 – 2x2 – y2)-1/2 (-4x)
√ 2 , 1) = -√ 2
Dengan demikian f x(
Bilangan ini adalah kemiringan garis singgung untuk kurva tadi di titik (
√ 2 , 1 , 2), yaitu -√ 2/
1 adalah rasio kenaikan untuk menyusur sepanjang garis singgung tersebut. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1, 0 , -2) dan karenanya melalui ( X=
√ 2 + t ,
y = 1,
z=2-
√ 2 , 1 , 2)
√ 2 t
Menyediakan persamaan parameter yang disyaratkan.
Contoh 4 Volume suatu gas tertentu dikaitkan terhadap suhunya T dan tekanannya P menurut hukum gas PV = 10T, dengan V diukur dalam inchi kubik, P dalam pon per inci kuadrat, dan T dalam derajat celcius. Jika T diusahakan konstan 200, berapa laju perubahan sesaat tekanan terhadap volumenya pada V = 50? Penyelesaian PV = 10 T maka P = 10T / V
=
−10
untuk nilai T = 200 dan V = 50 diperoleh
−10 . 00 = 50
= -4/5
Turunan Parsial Tingkat Tinggi
Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama ini, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsi f :
=
Jadi :
f xx =
Dan
f xy =(f x)y =
Contoh 5
=
f yy =
=
f yx =(f y)x =
=
Carilah keempat turunan parsial kedua dari fungsi f(x , y) = 3x 4y5 – 2x2y3 Penyelesaian : f x (x , y ) = 12x 3y5 – 4xy3
dan
f y (x , y) = 15x 4y4 – 6x2y2
f xx (x , y) = 36x 2y5 – 4y3
dan
f yy (x , y) = 60x 4y3 – 12x2y
f xy (x , y) = 60x 3y4 – 12xy2
dan
f yx (x , y) = 60x 3y4 – 12xy2
Perhatikan bahwa dalam contoh di atas f xy = f yx, yang biasanya dijumpai pada kasus fungsi dua peubah dalam suatu matakuiah tingkat pertama. Turunan parsial tingkat tiga atau lebih tinggi didefiisikan dengan cara yang sama dan cara penulisannya pun serupa. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, turunan parsial ketiga f yang diperoleh dengan menurunkan f secara parsial, pertama kali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan oleh :
=
= f xyy
Peubah Lebih Dari Dua
Andaikan f suatu fungsi tiga peubah x, y, z. Turunan parsial f terhadap x di (x , y , z) dinyatakan oleh f x (x, y, z) atau
, ,
f x (x , y ,) =
dan didefinisikan oleh :
+ ∆ , ,− , , lim ∆ ∆→0
Jadi, f x (x , y , z) boleh diperoleh dengan memperlakukan y dan z sebagai konstanta dan menurunkan terhadap x Bagaimana merumuskan f y (x, y, z) dan f z (x , y , z) . lihat soal no 11 dan 12 Turunan parsial terhadap y dan z didefinisikan dengan cara yang serupa. Contoh 6 f(x , y , z) = xy + 2yz + 3zx . Carilah fx , fy dan fz. Kemudian hitunglah nilainya di titik (1, 2, -1) Jawab f x (x, y, z) = y + 3z ,
maka f x (1, 2, -1) = 2 + 3(-1) = 2 + (-3) = -1
f y (x , y, z) = x + 2z ,
maka f y (1 , 2 , -1) = 1 + 2(-1) = 1 + (-2) = -1
f z (x , y, z) = 2y + 3x , maka f z (1 , 2, -1) = 2(2) + 3(1) = 4 + 3 = 7
Latihan
1. Carilah turunan parsial pertama fungsi f(x ,y) = (x 2 – 3y)4 2. Carilah turunan parsial pertama fungsi f(x , y) = (4x – y2)3/2 Untuk soal no 3 dan 4 Diketahui f(x , y) =
−
3. Carilah f x (3 , -2) 4. Carilah f y (3 , -2) 5. Cari kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan permukaan 36z = 4x 2 + 9y2 dan dengan bidang x = 3 di titik (3, 2, 2) 6. Cari
kemiringan
garis
singgung
pada
kurva
perpotoingan
permukaan
9 9 36 dengan bidang y = 1 di titik (2 , 1, 3/2) Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh V = r h , denga r radius dan h 2z=
7.
2
tinggi. Jika h dipertahankan tetap di h = 10 inci, cari laju perubahan V terhadap r pada waktu r = 6 inci. 8. Menurut hukum gas ideal , tekanan, suhu dan volume gas dikaitkan oleh PV = kt, dengan k konstanta. Cari laju perubahan tekanan (pon per inci kuadrat) terhadap suhu pada waktu suhu 40 0C juka volume dipertahankan tetap pada 100 inci kubik Untuk soal no 9 dan 10 , Diketahui f(x , y, z) = 3x2y – xyz + y2z2 9. Carilah f y (0 , 1, 2) dan f yz(0 , 1, 2) 10. Carilah f x (1 , 0, 2) dan f xz (1, 0, 2) Turunan parsial f terhadap x di (x , y , z) dinyatakan oleh:
, , dan didefinisikan oleh : + ∆ , ,− , , f x (x , y ,) = lim ∆ ∆→0
f x (x, y, z) atau
Dengan cara seperti di atas lakukanlah untuk menjawab soal no 11 dan 12 11. Tentukan turunan parsial f terhadap y di titik (x , y, z) 12. Tentuka turunan parsial f terhadap z di titik (x, y, z)
