Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica
Informe de Laboratorio Nº 1 Pendulo físico y teorema de Steiner
Curso: Física Código del curso: MB 224. Sección: C Profesor: Jose Pachas Salhuana. Alumnos: Peralta Collazos Oscar Keny 20110258G. ……………. 20110027E. ……………
Alvis Menacho Tomas
Fecha de realización de la Experiencia: 13-9-11
Fecha de Presentación: 20-9-11
Ciclo 2011-II
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Índice
Prólogo ………………………………………………………………..Pág.3 Objetivos ……………………………………………………………..Pág.4 Materiales …………………………………………………………….Pág.5 Esquema del ensayo ……………………………………………….Pág.6 Fundamentación teórica ………………………………………Pág. 7-9 Cálculos y resultados (Tabla 1)…………………………………..Pág.9 Gráfica T vs L ……………………………………………………….Pág.10 …………………………………………………………….Pág.10 Gráfica Cálculos de la pregunta Nº2 de la guía ……………………….Pág.11 Tabla 2 , cálculos de las preguntas 3 y 4 de la guía …..Pág.12-13 Cálculos de las preguntas 5 y 6 de la guía …………………...Pág14 Cálculo de la longitud del péndulo simple equivalente ...….Pág.14
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Prólogo
En el presente informe de laboratorio se planteo medir experimentalmente los periodos de un péndulo físico (barra) respecto a varios ejes paralelos al eje que pasa por su centro de gravedad para de esa forma realizar una medición indirecta del momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de gravedad utilizando los periodos tomados en la experiencia al someter a la barra con un ángulo de oscilación pequeño; contrastando además estos cálculos obtenidos y compararlos con lo planteado en el teorema de steiner. Teniendo en cuenta lo ya mencionado se procedió con la experiencia la cual consistía en tomar el tiempo de un determinado número de oscilaciones de la barra respecto de un punto indicado tres veces para promediar dicho periodo; así también se midió la longitud (L) entre el punto desde el cual se hacía oscilar la barra hasta el centro de gravedad de la misma; esto para los cálculos que se mostraran posteriormente.
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Objetivos
1- Establecer una relación de similitud o las diferencias entre nuestro péndulo físico, a un péndulo simple.
2. Comprobar y comparar los datos obtenidos experimentalmente con los obtenidos al aplicar la teoría estudiada en clase.
3. Aprender a obtener, mediante derivadas, el valor de I (longitud al C.G.) para que el periodo sea mínimo.
4. Analizar los diferentes periodos de oscilación para una determinada distancia L del C.G.
5. Se aprenderá a aproximar la posición del C.G en una barra. 6 -Determinar experimentalmente los momentos de inercia de la barra respecto a su punto de giro, aplicando el Teorema de Steiner.
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MATERIALES:
Una barra metálica con agujeros circulares.
Un soporte de madera con cuchilla.
Dos mordazas simples.
Un cronómetro digital.
Una regla milimetrada.
Balanza.
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esquema del ensayo
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Fundamentación teórica
Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del suspensión. En la figura 1 se presenta esquemáticamente plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico.
punto de centro de punto de un sólido
Figura 1. Sólido plano empleado como péndulo físico. El punto de suspensión es O, su centro de masas es c.m., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento que se opone al aumento del ángulo.
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Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es: τ = d × m
g
(1)
Donde d es la distancia entre c.m. y el punto de suspensión y m es la masa del cuerpo. El módulo de este momento puede escribirse como: τ =
- mgd senθ
(2)
El signo negativo indica que se trata de un momento recuperador, es decir, actuando en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse por medio de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación con la aceleración angular α del péndulo y su momento de inercia I respecto al punto de suspensión. En forma escalar la relación es: τ = I α
(3)
Teniendo en cuenta la ecuación (2), esto puede escribirse como:
I α + mgdsenθ = 0
(4)
La aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo. En el caso (frecuente) de oscilaciones de pequeña amplitud, en las que se verifica que senα ≈α, la ecuación (4) puede reescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple:
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La frecuencia angular de este M.A.S. es:
Y su periodo de oscilación vale:
Cálculos y resultados
1- Tabla 1
L (cm)
t1
t2
t3
Nº de oscilaciones
1
50.5
33.62
33.57
33.68
20
1.681
2
45.7
32.89
33
32.94
20
1.647
3
40.9
32.55
32.43
32.28
20
1.621
4
35.8
28.74
28.48
28.88
18
1.594
5
31.1
28.68
28.82
28.53
18
1.593
6
25.9
28.77
28.81
28.64
18
1.597
7
20.7
29.81
29.69
29.4
18
1.646
8
15.8
24.72
24.67
24.73
14
1.765
9
11.1
28.51
28.27
28.42
14
2.029
10
5.7
21.44
21.57
21.41
8
2.684
Nº de hueco
T(Promedio)
9
2-
a.
Gráfica T vs L
3
T = -5x10-8L5 + 8x10 -6L4 - 0.000L3 + 0.019L2 0.341L + 4.103
2.5 2
) T ( o d 1.5 o i r e P
Series1
1 0.5 0 0
10
20
30
40
50 L(cm)
b)
Gráfica L(t)
) m c 60 ( L
50 40 30 Series1 20 10 0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3 I
10
b. Cálculo de la longitud para el cual el periodo es mínimo a partir de las relaciones:
(II) en (I):
Si el periodo es mínimo:
Reemplazando: L=1,115m; b=0,038m
c.
d. Cuando
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e. Para deducir los puntos de oscilación con el mismo periodo trazamos una recta horizontal por cada punto experimental en la gráfica T vs I. Los puntos pedidos serán aquellos que se encuentren en la misma recta.
3- Tabla 2
Eje de Oscilación
(Periodo) 2 T
Momento de inercia I
I (cm )
1
50.5
2.826
0.661
0.437
2
45.7
2.713
0.575
0.331
3
40.9
2.628
0.498
0.248
4
35.8
2.541
0.422
0.178
5
31.1
2.538
0.366
0.134
6
25.9
2.547
0.306
0.093
7
20.7
2.709
0.259
0.067
8
15.8
3.115
0.228
0.052
9
11.1
4.117
0.212
0.045
10
5.7
7.204
0.19
0.036
Nº de hueco
2 2
2
42
Piden el grafico IL vs L , para ello hallaremos y tabularemos los respectivos valores de cada variables para llegar al grafico pedido.
Momento de inercia I
0.661
2
2
L (cm)
2550.25
0.575
2088.49
0.498
1672.81
0.422
1281.64
0.366
967.21
0.306
670.81
0.259
428.49
0.228
249.64
0.212
123.21
0.19
32.49
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Gráfica IL vs L2 0.7 L
I
IL = 1.873xL2+ 0.183 0.6 0.5 0.4 Series1 0.3
0.2 0.1 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3 L2
5- Ahora de la Ecuación de la grafica y por comparación con el teorema de steiner tenemos: Teorema de Steiner:
De la ecuación de la gráfica tenemos:
De la comparación tenemos: -
M=1.873 Kg
-
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6- Comparación entre el obtenido en el paso anterior y el que obtenemos mediante la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b ;
¿Qué error experimental se obtuvo? Y ¿Qué puede decir acerca de la masa? Calculando, se tiene de dato la masa de la barra (M=1.8648 Kg), su longitud (L=110.6 cm) y ancho (b= 3.8 cm)
Hallando el porcentaje de error experimental:
De la comparación entre las ecuaciones porcentaje de error entre las masas.
establecemos
el
7- Se pide Hallar la longitud del péndulo simple equivalente, para el cual se asigno trabajar con el agujero Nº3. Calculo; se sabe: Para un péndulo simple:
Para un péndulo físico:
Haciendo (1)= (2), se tiene:
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