PENDULO FISICO

FACULTAD DE INGENIERIA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA (FIEE)

LABORATORIO DE FÍSICA

PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS: 







Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia. Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos momentos de inercia hallados teóricamente, con un previo análisis de las variables que determinan el ensayo. Analizar el comportamiento del péndulo simple mediante variaciones de longitud entre su C.G y su eje de giro. Relación entre un péndulo físico y un péndulo simple.

MATERIALES:    

Barra metálica con agujeros. Cronometro. Regla milimetrada. Soporte de madera con cuchilla.

PROCEDIMIENTO: 1. Sujetar sobre la mesa el soporte, y sobre él, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de la barra.

CENTRO DE GRAVEDAD

BARRA

SOPORTE

MESA


Página 1



2. Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos a hacerla oscilar separando su posición de equilibrio no más de 15°.tomamos nota los tiempos cada 20 oscilaciones y los tres últimos agujeros adyacentes al C.G sólo 10 oscilaciones; tomamos nota también la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra. Centro de giro Centro de giro

L L Centro de gravedad

Centro de gravedad

FUNDAMENTO TEORICO: PENDULO FISICO. El péndulo físico es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ ) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación. ′

′

Llamaremos a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y ) cuyo momento resultante con respecto al eje ZZ′ es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ ′, en el sentido negativo del mismo. (1) Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo: (2) Que podemos escribir en la forma


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(3) Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen θ ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma

(4) Que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es

(5)

Sin embargo no es posible calcular experimentalmente el momento de inercia de la barra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un método indirecto El cual es conocido como el TEOREMA DE STEINER que se expresa por la siguiente igualdad: I  I G  ML2 .


Página 3



DEMOSTRACION DEL TEOREMA DE STEINER:

Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas ( x ,y ).Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán ( x ', y’ )

Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:

Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:

La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. Por tanto:


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CARACTERÍSTICAS DEL OBJETO A ANALIZAR: La siguiente figura muestra la barra usada para el experimento:

Los cálculos y análisis que a continuación se harán, se basaran considerando a la barra con los agujeros que esta presenta, cuyo número es de 21. La barra es homogénea y tiene las siguientes dimensiones y medidas. C

A

B

Numero de agujeros: 21 A = 0.7cm B = 3.7cm C = 115cm M = 2300g R = 0.75cm Z = 5cm Volumen: V1=Volumen de la barra con agujeros: V  A. B.C  21 r 2 A 1

Reemplazando los datos: V1= (0.7)(3.7)(115)-21(3.14)(0.752)(0.7) V1=343.54cm3 DENSIDAD (  )  

M V 1



2300 gr 271 .886 cm

3

 8.459 gr

cm

3


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

M= Masa de la barra con agujeros m= Masa de un cilindro solido, cuyo volumen es igual al volumen de un agujero de la barra y cuya densidad es la misma que la de la barra. M+21m = Masa de una barra solida sin agujeros. Z= Distancia entre los centros de dos agujeros consecutivos.



L= Distancia entre el C.G de la barra y el eje de giro “O”.

 



CALCULO DEL MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia de la barra mostrada respecto al eje que pasa por “O” será( I 0 )

igual al Momento de inercia de la barra solida ( sin agujeros “ I 1 ” ) respecto al eje que pasa por “O” menos el Momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos (agujeros de la barra “ I 2 ” )respecto al eje que pasa por “O”. Entonces la ecuación será: I 0  I 1  I 2

…….. (I)

Hallando I 1 : Usando el momento de inercia de un paralelepípedo y el teorema de Steiner, tenemos: I 1 

M  21m 12

( B  C )  ( M  21m) L 2

2

2

………(II)

Donde “L” es igual a la distancia entre el centro de gravedad “C.G” y el eje de giro “o”

Ahora hallamos I 2 . Sea el siguiente grafico la representación de todos los cilindros sólidos, faltantes en la barra con huecos.

Centro de gravedad del conjunto de cilindros “C.G”

El cilindro “a” se encuentra de color rojo

para diferenciarlo por coincidir con el C.G


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Datos: m= Masa de cada cilindro m    vcilindro m  8.459  3.14 (0.75)  0.7  10 .45 g 2

R = Radio=0.75 Z = Distancia entre los centros de dos cilindros consecutivos. Z= 5cm El momento de inercia del conjunto de cilindros sólidos respecto al centro de gravedad del conjunto, será igual a la suma de los momentos de cada uno de los cilindros respecto del centro de gravedad del conjunto de cilindros. Las siguientes ecuaciones representan los momentos de inercia respecto del centro de gravedad “C.G” (utilizando momento de inercia de un cilindro y el teorema de Steiner).

I a 

m 2

r 2

I b  I a  m ( z ) 2

Se tendrán que duplicar, pues solo representan los cilindros sólidos ubicados al lado derecho del centro de gravedad y para tener en cuenta los del lado izquierdo (por ser simétrica la barra) solo tendremos que multiplicar por dos.

I c  I a  m ( 2 z ) 2 I d  I a  m (3 z ) 2 

I k  I a  m (10 z ) 2

Sea

 I

C .G

=momento de inercia del conjunto de cilindros respecto su centro de

gravedad. Entonces

 I

C .G

será la sumatoria de todos los momentos de inercia de todos los

cilindros respecto “C.G”:

 I C .G

 I a  2( I b  I c  I d    I k )

operando :

 I C .G  I C .G  I C .G

 I a  2(10 I a  m ( z )  m ( 2 z )    m (10 z ) )

 I C .G

 21

2

2

2

2

2

2

2

 21 I a  2 mz (1  2    10 )  21 I a  770mz

m 2

2

r 2  770mz 2


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Por lo tanto:



I C .G  21

m

r  770mz 2

2

2

Ahora mediante el teorema de Steiner hallamos el momento de inercia del conjunto de cilindros respecto de un centro de giro “o”( I 2 ) paralela al “C.G”. I 2  21

m 2

r  770mz  21mL 2

2

2

………….(III)

Reemplazando (II) y (III) en (I) tenemos: I 0  I 1  I 2

I 0 =

M  21m 12

( B  C )  ( M  21m) L -( 21 2

2

2

m 2

r  770mz  21mL ) 2

2

2

Por lo tanto I 0 representa el momento de inercia de la barra con agujeros respecto un eje que pasa por “O”.

1. Llene la tabla 1 con las siguientes características: TABLA N°1

Numero de huecos

Numero de Periodo T oscilaciones (promedio)

L(cm)

t1 (s)

t2 (s)

t3 (s)

51

33.28

33.52

33.53

20

1.67

2

46

33.02

32.72

32.89

20

1.64

3

41

30.5

31.45

32.14

20

1.58

4

36

31.85

31.31

31.73

20

1.58

5

31

31.67

31.29

30.09

20

1.56

6

26

31.9

30.38

31.84

20

1.57

7

21

33.12

32.99

33.08

20

1.65

8

16

17.42

17.50

17.36

10

1.74

9

11

19.9

19.76

19.53

10

1.97

10

6

25.87

26.18

25.81

10

2.59

1


Página 8



2. a) Grafique T vs. L, (T en el eje vertical y L en el eje horizontal).

PERIODO v.s LONGITUD 3 2.5 2

) T ( O D1.5 O I R E P

y = 10.985x2 - 7.6686x + 2.8218 R² = 0.8878

1

0.5 0 0

0.1

0.2

0.3 0.4 LONGITUD (L)

0.5

0.6

b) Encuentre el valor de L para que el período sea mínimo. CALCULO DEL PERIODO MINIMO A partir de la ecuación

Con

I 0 =

M  21m 12

T  2

I 0 MgL

( B  C )  ( M  21m) L -( 21 2

2

2

m 2

r 2  770mz 2  21mL2 )

Encontramos un valor “L” para el cual el periodo sea mínimo.

Reemplazando las ecuaciones tenemos: M  21m T  2

12

( B  C )  ( M  21m) L  (21 2

2

2

m 2

r  770 mz  21mL ) 2

2

2

MgL

Para que el periodo sea mínimo aplicamos el criterio de la primera derivada:


Página 9



Derivando: T   L

M  21m 2 m 2   2 2 2 2 2 (2( M  21m) L  42mL) MgL  Mg ( ( B  C )  ( M  21m) L  ( 21 r  770 mz  21mL )) 12 2   M  21m 12

Si T min imo 

( B  C )  ( M  21m) L  ( 21 2

2

2

m 2

r  770 mz  21mL ) ( MgL ) 2

2

2

3

T 0  L M  21m

Despejando “L” tenemos

L



12

( B

2



2

C )  (21

m

2

2

r



2

770mz )

….(β)

M

Analizando la anterior relación : “L” es igual a la raíz cuadrada de la relación entre el momento de inercia, del objeto en análisis respecto su centro de gravedad, y su masa. Reemplazando datos en (β):

2578093 .92

Lteorico 

2300

 33 .48 cm

Hallamos: “T” M  21m

En T  2

12

( B  C )  ( M  21m) L  (21 2

2

2

m 2

r  770 mz  21mL ) 2

2

2

MgL

Reemplazando datos:

T teorico  2 0.081  1.787s


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c) Compare el valor de L obtenido en b) con el que obtiene de la gráfica en (a). COMPARACION DE LOS VALORES TEORICO Y EXPERIMENTAL DE “L” PARA “T” MINIMO

Un acercamiento de la imagen nos permite visualizar de mejor manera el periodo mínimo.

Periodo mínimo experimental

d) Hallamos el periodo mínimo experimental mediante proporcionalidad. Por lo tanto: Experimentalmente. “T” mínimo =1.56s

“L”=31 cm

Teóricamente “T” mínimo = 1.787

“L”=33.48 cm

e) De su gráfico, ¿Puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo período? PUNTOS DE OSCILACION CON EL MISMO PERIODO: Con la grafica de T vs L, podemos aproximar usando Excel una parábola de ecuación

 

Luego igualamos esta expresión a un periodo T desconocido, al igualar las ecuaciones y aplicar el criterio del determinante igual a cero, para ecuaciones con soluciones iguales:

  ()()()      

Al resolver la ecuación, obtenemos el valor de De donde los puntos se encuentran en:


.

Página 11



3. Con el valor de T conocido experimentales, encuentre el valor de I 1 y llene la tabla 2 con las siguientes características.

Numero de hueco 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º

Eje de oscilación l 51 46 41 36 31 26 21 16 11 6

2

(Periodo) 2 2 T (s )

Momento de inercia 2 (gr.cm )

l 2(cm )

2.7889 2.6896 2.4964 2.4964 2.4336 2.4649 2.7225 3.0276 3.8809 6.7081

8128951.1853 7070936.8830 5849644.3650 5136273.1010 4311638.3230 3662723.0850 3267522.7200 2768534.3230 2439813.6650 2300318.8490

2601 2116 1681 1296 961 676 441 256 121 36

2

4. Haga el grafico I 1 vs L2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.

I vs L² 9,000,000 8,000,000 A I C 7,000,000 R E 6,000,000 N I 5,000,000 O T 4,000,000 N E 3,000,000 M O2,000,000 M 1,000,000 0

y = 2261.39x +2190409.935

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

LONGITUD AL CUADRADO


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FÓRMULA DE MINIMOS CUADRADOS (I VS L2) n

Y

i

 a0 n  a1 x

i 1

F ( X )  a0  a1 x

n



n

Yi X i

i 1

n

 a0  X i  a1  X i 2

i 1

i 1

Reemplazando valores FUNCION RESULTANTE:

                  5. Del grafico anterior y por comparación con la ecuación anterior, determine

  y

.

Entonces:

()           ( ) 6. Compare el valor de

obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica

¿Qué error experimental  obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?  ( ) con b=3.7cm y L= 115cm, obtenemos un Para la barra, al aplicar la formula: valor de   para una barra de longitud L y ancho b:

Hallamos el error experimental mediante:

   

Operando:

   ( 

)*100% = 13.675%

Para el caso de la masa M, obtenemos el error experimental mediante:


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  ( 

)*100% = 1.678%

7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente: Para nuestro cálculo evaluaremos al hueco N°5:

√    Lo cual equivale a un péndulo simple de longitud 0.793m, con periodo teórico igual a 1.787s.

8. Demuestre en forma analítica las siguientes relaciones:

T  2

I 0 MgL (Teorema de Steiner)

Las demostraciones se encuentran en el fundamento teórico del presente trabajo. 9. Haga una lista de sus conclusiones y comentarios: COMENTARIOS: 











Al realizar la gráfica en el papel milimetrado y observar el comportamiento del período conforme varía la distancia al eje de giro, observamos que según la fórmula analítica para hallar el período de un cuerpo rígido, si la distancia al eje de giro tiende a cero (cerca al centro de masa), el período tiende a infinito, lo cual es cierto ya que el objeto no se movería al encontrarse en equilibrio, por ende nunca oscilará (periodo infinito). Los resultados presentados en este ensayo fueron elaborados con el mayor cuidado posible pues se intento reducir la mayor cantidad de variaciones en el laboratorio, como pueden ser : Tener distintos ángulos iníciales de oscilación, para evitar ello se uso un transportador, de modo que se puede tener un mayor control sobre los ángulos iníciales antes de iniciar la oscilación. en nuestra experiencia se trato de tener, para todas nuestras pruebas, un Angulo aproximado de 15°. Considerar a la barra tal y como se está usando en el laboratorio, en nuestro caso la barra contaba con 21 agujeros. Esto nos permitió tener valores teóricos muy cercanos a los experimentales. Existen ciertas variables que difícilmente se pueden controlar, como por ejemplo la fricción entre el eje de rotación y la barra, resistencia del aire, temperatura, malas mediciones, aparatos deficientes, etc. El error en el cálculo de la longitud es 0.5mm.


Página 14


  


El error en el cálculo de la masa es de 0.0005Kg El error en el cálculo del periodo es 0.005s. A pesar de todo, los errores que se cometieron fueron leves y los resultados fueron muy próximos a los idealizados.

CONCLUSIONES: 







Este ensayo nos muestra el comportamiento del péndulo físico cada vez que varia la distancia del C.G al eje de giro. Podemos ver según las graficas que mientras el centro de giro se acerque al C.G el periodo tiende a aumentar, sin embargo también mientras la distancia supera cierto periodo mínimo el periodo aumentara mientras también la longitud de c.g a eje de giro aumente. La facilidad de poder hallar momentos de inercia usando la teoría del péndulo físico es de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometría exacta del objeto. Un péndulo físico puede ser equivalente a un péndulo simple con una cierta longitud y un cierto periodo experimental. No se puede determinar el período en el centro de masa de un objeto, porque en él se produce el equilibrio, por lo mencionado anteriormente su período es indefinido (tiende al infinito).


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PENDULO FISICO

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