LABORATORIO DE PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER
“
”
CURSO:
FISICAII - MB224
INTEGRANTES: PUMARRUMI ESCOBAR ALEX
20124529H
RUIZ QUISPE FRANKIE
20122202A
SECCIÓN: C
“AÑO DEL DESARROLLO RURAL Y SEGURIDAD ALIMENTARIA”- ABRIL 2013
LABORATORIO DE PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER
UNI-FIM
OBJETIVOS
Comprobar y comparar los datos obtenidos experimentalmente con los obtenidos al aplicar la teoría estudiada en clase.
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de estos calcular los momentos de inercia.
Aprender a obtener, mediante derivadas, el valor de I (longitud al C.G.) para que el periodo sea mínimo.
Comparar los momentos de inercia experimentales y los momentos de inercia hallados teóricamente, con un previo análisis de las variables que determinan el ensayo.
Analizar el comportamiento del péndulo simple mediante variaciones de longitud entre su Centro de gravedad y su eje de giro.
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ÍNDICE
Fundamento teórico……………………………………………………………….4 – 5
Instrumentos de laboratorio ……………………………………………………….. ..6
Procedimiento experimental…………………………………………………………7
Cálculos y resultados …………………………………………………………..8 – 12
Conclusiones …………………………………………………………………………13
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FUNDAMENTO TEÓRICO PÉNDULO FÍSICO. Es llamado también real o compuesto .designado así a cualquier cuerpo rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje (pivote) perpendicular a un plano que contenga a su centro de masa. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en la que el centro de masa se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. Las oscilaciones son producidas como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo; aplicado en su centro de masa, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio .La figura de abajo muestra un cuerpo de forma irregular que puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto O. en la figura el cuerpo esta desplazado un ángulo θ. Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra, el peso mg causa una torca de restitución.
M e
MgLsen
Si es
el momento de inercia del péndulo
respecto al eje de suspensión ZZ′ y
llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo. MgLsen I 0
Que podemos escribir en la forma
MgL I 0
sen 0 …. (1)
Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que se encuentra para el péndulo simple. En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos considerar sen θ ≈ θ y la ecuación [1] adopta la forma
MgL I 0
0 …. (2)
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Que corresponde a un movimiento armónico simple. El periodo de las oscilaciones es
T 2
I 0 MgL
En el experimento, el cuerpo solido es una barra homogénea con huecos y los momentos de inercia de esta respecto a ejes perpendiculares a la barra que pasa por cada uno de los huecos se pueden determinar experimentalmente mediante la ecuación: T 2
I 0 MgL
Donde “L” es la longitud que separa el centro de gravedad del centro de giro “o”
Sin embargo no es posible calcular experimentalmente el momento de inercia de la barra alrededor de un eje que pase por el centro de gravedad; para ello usaremos un método indirecto El cual es conocido como el Teorema de Steiner que se expresa por la siguiente igualdad: I I G ML2 . Momento de inercia
Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación:
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INSTRUMENTOS DE LABORATORIO CRONÓMETRO
REGLA MILIMETRADA.
BARRA METÁLICA CON AGUJEROS
SOPORTE DE MADERA CON CUCHILLA.
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PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1.-Sujetar sobre la mesa el soporte con cuchilla, y sobre él, suspender la barra de la siguiente manera, con el fin de hallar el centro de gravedad de la barra.
2.-Suspender la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y procedemos a hacerla oscilar separando su posición de equilibrio no más de 15°.Tomamos apunte de los tiempos cada 20 oscilaciones y los tres últimos agujeros cercanos al C.G sólo 10 oscilaciones; tomamos nota también la distancia del C.G a cada agujero del que hacemos oscilar la barra.
Centro de giro
L Centro de gravedad
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CÁLCULOS Y RESULTADOS 1.- Llene la tabla 1 con las siguientes características.
# de hueco
l(cm)
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
# de Periodo T oscilaciones (promedio)
50.9
33.54
32.91
33.53
20
1.666
1 2
45.9
32.92
32.96
32.91
20
1.647
3
40.9
32.38
32.41
32.39
20
1.619
4
35.9
32.10
32.11
32.16
20
1.606
5
30.9
31.77
31.80
31.83
20
1.59
6
25.9
32.09
32.13
32.11
20
1.605
7
20.9
32.19
32.20
32.23
20
1.61
8
15.9
17.67
17.63
17.68
10
1.766
9
10.9
20.46
20.41
20.43
10
2.043
10
5.9
26.87
26.92
26.95
10
2.691
2.- Grafique T vs. L, (T en el eje vertical y L en el eje horizontal)
3
T vs L
2.5 2 1.5 y = -4E-08x5 + 7E-06x4 - 0.0005x3 + 0.0187x2 - 0.3484x + 4.1907 1 0.5 0 0
10
20
30
40
8
50
60
LABORATORIO DE PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER Calculando el momento de inercia de la barra según:
Donde: M = L = b =
1.8741 kg 1.102 m 0.037 m
Además de la expresión: Luego se calculara el L mín según:
√
Luego de derivar, igualando a cero, se despeja L mín, igualándolo a:
√ √ √ Remplazando:
L mín= 0.3183 m
Comparando con la gráfica: Lmín 2= 0.3484 m Con un error de:
8.63%
Haciendo un acercamiento podremos observar el periodo mínimo:
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Experimentalmente.
Teóricamente
“T” mínimo =1.131
“T” mínimo = 1.082
“L”=31.83 cm
“L”=34.84 cm
3.- Con el valor de T conocido experimentales, encuentre el valor de I 1 y llene la tabla 2 con las siguientes características. # de hueco
eje de oscilación L(cm)
(Periodo)2 T2(s2)
Momento de inercia (gr.cm 2)
L2 (cm2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50.9 45.9 40.9 35.9 30.9 25.9 20.9 15.9 10.9 5.9
2.776 2.713 2.621 2.579 2.528 2.576 2.592 3.118 4.179 7.241
6754170.504 5847106.104 5033746.704 4314092.304 3688142.904 3155898.504 2717359.104 2372524.704 2121395.304 1963970.904
2590.81 2106.81 1672.81 1288.81 954.81 670.81 436.81 252.81 118.81 34.81
4.- Haga el gráfica I 1 vs. L2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.
I0 vs L2
0.8 0.7 0.6 ) 2
0.5
m . g 0.4 k ( 0 I 0.3
y = 1.8741x + 0.1899
0.2 0.1 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
L2 (m2)
10
0.25
0.3
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5.- Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación dada, determine I G y M. Y=1.8741L2 + 0.1899 IG = 0.1899 M = 1.8741 6.- Compare el valor de I G obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud L y ancho b, I G = 1/12 M (L2+b2). ¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?
Comparando: IG = 0.1899 (anterior) IG = 0.1898733483 Error: 0.014%
7.-Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor del aula que le asigne el número del hueco.
√ √
8. Demuestre en forma analítica las relaciones (14.1) y (14.2) a) Demostrando (14.1)
2
i
mg . i
Cuando el cuerpo se desplaza como se muestra en la gráfica, el peso mg causa un momento de torsión de restitución: M o (mg )( sen )
El signo negativo implica que el momento de torsión es horario si el desplazamiento es anti horario y viceversa. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, el movimiento no es un M.A.S porque el momento de torsión es proporcional a sen , no a ,
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pero si es pequeño podemos aproximar sen por en radianes, y el movimiento es aproximadamente M.A.S. Quedando: M o (mg )( ) Pero la ecuación de movimiento es:
M O i .
Remplazando: mg ( )
mg 0
… ecuación diferencial
mg . i
, Pero
2
2
i
mg . i
b) Demostrando (relación 14.2)
El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas. El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es:
El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es:
Para relacionar I O e I C hay que relacionar r i y R i . En la figura, tenemos que:
El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición centro de masa desde el centro de masa. Quedando:
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x C
del
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CONCLUSIONES
En este laboratorio comprobamos que las formulas dadas y que estas en la aplicación de los datos nos resultaron con cierto error, que fue pequeño y que esto se debió a varios factores no considerados como: el momento de inercia de los agujeros de la barra, a la medición de las longitud, el periodo contabilizado manualmente con el cronometro, el ángulo de oscilación, entre otros.
En el presente informe hizo el cálculo del momento inercia de la barra (resistencia de un cuerpo al giro), para poder hallarlo usamos la teoría del péndulo físico y fue de gran importancia pues ya no es necesario tener en cuenta la geometría exacta del objeto.
Las gráficas presentadas en el informe se obtiene de los datos y de algunos cálculos que se hicieron, estas graficas fueron muy importantes para llegar al resultado y gracias a estas se desarrolló de forma ordena los cálculos.
En los periodos de las oscilaciones de la barra, se pudo apreciar que para los siete primeros agujeros los periodos disminuían conforme avanzábamos; en cambio, para los otros tres agujeros los periodos aumentaban conforme avanzábamos.
RECOMENDACIONES
Se recomienda instalar bien el equipo antes de realizar la experimentación, si es posible consulte al profesor de práctica. Al momento de encontrar el centro de gravedad se debe realizar cuidadosamente y probar varias veces, y marcarlo para tenerlo presente.
Puesto que se tenía que utilizar ángulos de oscilaciones menores o iguales a 15 grados, en nuestro caso 15 grados aproximadamente, es recomendable utilizar un transportador para obtener resultados más precisos.
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BIBLIOGRAFÍA
Leyva. Física II
Sears Zemansky- Física Universitaria
Serway – Física para las ciencias y la ingeniería
Tipler- Física Universitaria
Manual de laboratorio de física
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