Péndulo físico Verónica Patiño Arancibia
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Turno: martes 12:45-14:15 Laboratorio de Física II – Universidad Mayor de San Simón
Resumen: Lo que se desea realizar es determinar la aceleración de la gravedad y el valor del radio de giro respecto del centro de masa. Se lo realizara utilizando el péndulo físico este consistirá en armar el equipo, tomando los datos del tiempo con 5 diferentes cronómetros y realizando una variación del brazo del torque es decir la distancia del centro de masa con respecto al eje rotación (b). Lo que se ha obtenido es el valor de la gravedad en Cochabamba y valor de b, aprendiéndose a analizar un péndulo físico como uno simple a partir de deducciones. Introducción: Un péndulo físico es cualquier péndulo real que usa un cuerpo de tamaño finito, si las oscilaciones son pequeñas (menores a 10 grados) el análisis de este es como el del péndulo simple. Cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por el centro de masa recibe el nombre de péndulo físico, en pocas palabras el péndulo físico es un sólido rígido provisto de un eje de rotación. En la Figura A se muestra un cuerpo de forma irregular, encontrándose este en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentran sobre la misma línea vertical. En la Figura B el cuerpo a partir de esa posición empezara a oscilar formando un péndulo físico donde: la distancia del centro de masa al eje de oscilación en b, además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje O, I es la resistencia al cambio de rotación este depende del eje de rotación.
o
o
b
b c
c
mg
Figura A
mg
Figura B
*Si se daría el caso en el cual el eje de oscilación O y el centro de masa C estarían en el mismo punto el cuerpo rígido no oscilaría, por que la distancia del centro de masa al eje de rotación (b) seria cero y el cuerpo estaría en equilibrio sin moverse. La fuerza restauradora del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de la fuerza gravitacional, que está dada por el torque:
Mgbsin Esta ecuación no cumple la condición del movimiento armónico simple, pero si se considera desplazamientos angulares pequeños es válida la aproximación sin θ ≈ θ, de manera que la ecuación será: Mgb Además el torque para un sólido está dado por
I
d Mgb 0 dt 2 I 2
Reemplazando se obtiene:
La forma de esta ecuación corresponde al caso del movimiento armónico simple, a partir de esta ecuación se expresa el periodo (T) de un péndulo físico como: P 2
I mgb
Aplicando el teorema de Steiner I = Icm + mb2 = mK2 + mb2, donde k es el radio de giro del péndulo físico respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa. La ecuación también se puede escribir como: k 2 b2 P 2 gb Esta ecuación también puede expresarse como: b 2 g bP 2 k 2 4 La grafica que se obtiene del periodo ( T)en funcion a la distancia del centro de masa al eje de rotacion (b) se muestra en la figura 1,esta no es lineal ni potencial ,puede observarse como los valores del periodovan decreciendo hasta un cierto punto para despues ir aumentando P s
b m Figura 1: P=P(b)
Método experimental: Materiales: -Cronómetro
-Soporte del equipo
- Péndulo físico (varilla #1)
Procedimiento experimental: 1.-Primeramente se requerirá nivelar el soporte con cuidado sobre el suelo evitando desniveles que ocasionen su inclinación. Ubicar el centro de masa del péndulo físico este está marcado con un cero. 2.-Colocar el pendulo fisico en el soporte del equipo fijandolo con el soporte graduable a 10 cm del centro de masa ,esta distancia sera la distancia del centro de masa al eje de rotacion (b),de forma que este la esfera este en la parte inferior.(ver figura 2). 3.-A partir del punto de equilibrio de la esfera desplazarla con ángulos de arco menores o iguales a 10 grados, soltándola produciendo oscilaciones. Registrar el periodo (T) de 10 oscilaciones con los 5 cronómetros. Sacar el promedio de estos 5 datos y anotarlos. 4.-Incrementar gradualmente la distancia b en pasos de 5 cm y determinar el periodo T en cada paso, para después al terminar se realicen los cálculos correspondientes. Se debe recalcar que este método experimental tiene ciertas desventajas en cuanto a las variaciones del ángulo de arco que se le dé a la esfera para que esta oscile ya que estas no son constantes y varía en cada toma de datos .Por lo tanto se recomienda tratar de desplazar a la esfera con un ángulos similares.
Figura 2: armado del equipo
Como también si ocurre una gran diferencia entre los datos de periodo de los 5 cronómetros se los debe realizar de nuevo por que estos deben ser también similares deben estar al menos en el mismo rango, para así reducir incertidumbres en nuestro resultado final.
Resultados: (
) [ ]
Cálculos ver apéndice 2
(
)[
]
Cálculos ver apéndice 3
*fuente: tabla 2.2
*Gráfica 2.2:
(
)
Discusión: Los resultados que fueron obtenidos son satisfactorios sobre todo el de la gravedad porque comparando nuestro resultado con el valor obtenido en la anterior práctica (péndulo simple), es más próximo al valor estándar de la gravedad.
Esta pequeña diferencia reside en el hecho de que el valor de la gravedad en Bolivia no es el mismo que el estándar, porque Bolivia se encuentra sobre el nivel de mar y Cochabamba se encuentra a msnm por lo tanto la gravedad no es la misma que el valor estándar pero se encuentra en el mismo rango es decir estos dos valores son similares a excepción de los últimos dígitos. En cuanto al radio de giro con respecto al centro de masa se debe decir que este es aproximado porque su error porcentual es solo del 3,44% lo cual no es tan significativo, aunque para el cálculo de este valor se necesitó realizar trucos matemáticos porque el valor del parámetro A era negativo. Conclusión: Como producto final de la práctica se ha obtenido el valor de la gravedad en Cochabamba y el valor de Kcm (radio de giro con respecto al centro de masa) de la varilla #1.
Se aprendió a realizar el análisis de un péndulo físico como si fuese uno simple, a partir de deducciones, como también se linealizó exitosamente una gráfica no lineal utilizando un método que consistía en un cambio de variables. Estos conocimientos serán útiles para analizar solidos rígidos provistos de un eje de rotación (péndulo físico) para así determinar el valor de la gravedad. Referencias: -texto guía de física 102 Pg 37-40 -apuntes de clase. - Sears Zemansky. Física Universitaria.addison-Wesley.12ava.Pg 438-439 Apéndices: Apéndice 1 Los siguientes datos fueron tomados con 5 diferentes cronómetros como también la longitud de la varilla fue variando.
10cm
5cm
d=10 cm
̅
d=15 cm
̅
5cm …………………..
d=20 cm
̅
d=25cm
̅
d=30 cm
̅
d=35cm
̅
d=40 cm
̅
d=45 cm
̅
d=50 cm
̅
d=55 cm
̅
d=60 cm
̅
d=65 cm
̅
d=70 cm
̅
d=75 cm
̅
Para la construcción de la tabla del periodo (P) en función de la longitud de la cuerda (b) se utilizaron los promedios de los datos de los 5 cronómetros. Tabla 1.1: P=P (b) n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
[ ] 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75
[ ] 2,0652 1,8196 1,6692 1,6562 1,5718 1,5688 1,7188 1,7088 1,7178 1,7322 1,7428 1,8120 1,8372 1,8948
Gráfica 1.1: P en función de b: P=P (b)
La grafica no es lineal, ni tampoco potencial por lo tanto para linealizarla se requerirá un cambio de variables:
Y
B
X
A
Apéndice 2 Al aplicar el cambio de variable se obtiene la siguiente tabla: Dónde: ( )
(
)
(
[ 0,4265 0,4966 0,5572 0,6857 0,7412 0,8614 1,1817 1,3140 1,4754 1,6503 1,8224 2,1342 2,3627 2,6927
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
)
]
[ ] 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500 0,3025 0,3600 0,4225 0,4900 0,5625
A= -0,102113 B=0,246111
Gráfica 2.2:
r=0,9976670 ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(∑
)
∑
∑
√
√ ( (
) )
[ ] [ ]
Para determinar el valor del radio de giro con respecto al centro de masa: ⁄
(
)
Pero el valor de A que obtuvimos es negativo por lo que recurrimos a un truco matemático:
⁄
Entonces A ya no es negativo:
[ ] )
√(
|
⁄
(
|
)
|
|
⁄
|
|
(
) [ ]
Apéndice 3
[ √(
)
] |
|
| [
| |
)
|
|
[
] (
|
(
|
|
)[
]
]
