OBJETIVO
Comprobar experimentalmente experimentalmente los periodos periodos en una barra metálica suspendida Determinar cómo cómo cambian cambian los periodos al cambiar la posición posición de de la barra
FUNDAMENTO TEÓRICO
Péndulo físico: Un péndulo físico es cualquier cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad, este posee un solo grado de libertad.
Cuerpo rígido: Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian.
Momento de inercia: Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido.
Movimiento oscilatorio: Es un movimiento periódico de vaivén con respecto a una posición central, llamada posición de equilibrio
Periodo: Es el tiempo que transcurre o tarda una oscilación completa
Fórmulas En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones
Donde Ti periodo experimental Ii : momento inercia para cada número de hueco IG : momento inercia con respecto al centro de gravedad M: masa !i: longitud del centro de gravedad de cada número de hueco b :longitud de la barra a :ancho de la barra
PROCEDIMIENTOS
Se ubicó el centro de masa de la barra, suspendiéndola en un dedo de un compañero, entonces el punto en el cual la barra se mantiene en equilibrio es el centro de gravedad
Se sujetó el soporte de madera con la mordazas simples
Se mide las dimensiones de la barra y su masa
Se suspende la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y se puso a oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio , y se anotó los periodos de cada ejemplo
CÁLCULOS Y RESULTADOS NUM ERO DE HUEC O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
NUMERO DE l(cm) OSCILACI ONES
PERIODO(T)
PERIODO2(T2)
l2
MOMENTO DE INERCIA(I)
51.75 46.8 41.75 36.7 31.7 26.6 21.6 16.5 11.7 6.7 0
1.648333333 1.611333333 1.586333333 1.574333333 1.565666667 1.6125 1.673333333 1.787 2.043833333 2.702333333 7.387333333
2.717002778 2.596395111 2.516453444 2.478525444 2.451312111 2.60015625 2.800044444 3.193369 4.177254694 7.302605444 54.57269378
0.26780625 0.219024 0.17430625 0.134689 0.100489 0.070756 0.046656 0.027225 0.013689 0.004489 0
0.656852045 0.567654069 0.49080898 0.424938975 0.363015353 0.323108366 0.282543809 0.246150186 0.22831999 0.228570279 0
10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 5
CUESTIONARIO
1. Llene la tabla 1 con las siguientes características. NUMERO DE L.CM HUECO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
57 57 57 57 57 57 57 57 57 57 57
L(i)
l(m)
t1
t2
t3
OSCILA_ CIONES
PERIODO (T)
5.25 10.2 15.25 20.3 25.3 30.4 35.4 40.5 45.3 50.3 57
0.5175 0.468 0.4175 0.367 0.317 0.266 0.216 0.165 0.117 0.067 0
16.66 16.2 15.78 15.55 31.98 32.13 33.57 35.82 40.35 54 38.28
16.27 16.37 15.8 15.88 30.14 32.24 33.42 35.74 41.12 53.93 40.29
16.52 15.77 16.01 15.8 31.82 32.38 33.41 35.66 41.16 54.21 32.24
10 10 10 10 20 20 20 20 20 20 5
1.64833333 1.61133333 1.58633333 1.57433333 1.56566667 1.6125 1.67333333 1.787 2.04383333 2.70233333 7.38733333
2. Enunciados a. Grafique T vs Ɩ
GRÁFICA T VS.
Ɩ
3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 5.25
10.2
15.25
20.3
25.3
30.4
35.4
40.5
45.3
50.3
b. A partir de la ecuación (13.1) con I1 dada por la ecuación (13.2), encuentre el valor de Ɩ para que el periodo es mínimo.
Donde T es mínimo si:
es mínimo
Y es mínimo cuando es igual a
√
Asumiendo que se tiene una barra homogénea, entonces el periodo mínimo es:
y
c. Compare el valor de Ɩ obtenido en b) con el que se obtiene de la gráfica en (a)
En el gráfico se observa que aproximadamente 0.278 m mientras que en el cálculo de la pregunta anterior nos dio como resultado 0.3248 m. Observándose así una desviación del 14,4%.
d. ¿Cuál es el periodo para esta distancia?
e. De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos.
GRÁFICA T VS.
Los
que
se
acercan
Ɩ considerablemente
3
1.64833333
2.5 2
s.
son y
1.67333333 s. que el
1.5
primer y séptimo periodo
1 0.5
respectivamente.
0 5.25 10.2 15.25 20.3 25.3 30.4 35.4 40.5 45.3 50.3
Gráfico 1
3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de I1 y llene la tabla 2.
Fórmulas a usar:
LCM - l i =l i CM
Cálculo del momento de inercia
Donde IG es:
= 0.1982915 Kg.m 2
NUMERO DE HUECO
L.CM
t1
t2
t3
NUMERO DE OSCILACIONES
PERIODO(T)
T2
1
0.57
0.525 0.5175
16.66
16.27
16.52
10
1.648333333
2.717002778
0.26780625
0.656852045
2
0.57
0.102
0.468
16.2
16.37
15.77
10
1.611333333
2.596395111
0.219024
0.567654069
3
0.57
0.1525 0.4175
15.78
15.8
16.01
10
1.586333333
2.516453444
0.17430625
0.49080898
4
0.57
0.203
0.367
15.55
15.88
15.8
10
1.574333333
2.478525444
0.134689
0.424938975
5
0.57
0.253
0.317
31.98
30.14
31.82
20
1.565666667
2.451312111
0.100489
0.363015353
6
0.57
0.304
0.266
32.13
32.24
32.38
20
1.6125
2.60015625
0.070756
0.323108366
7
0.57
0.354
0.216
33.57
33.42
33.41
20
1.673333333
2.800044444
0.046656
0.282543809
8
0.57
0.405
0.165
35.82
35.74
35.66
20
1.787
3.193369
0.027225
0.246150186
9
0.57
0.453
0.117
40.35
41.12
41.16
20
2.043833333
4.177254694
0.013689
0.22831999
10
0.57
0.50.3
0.67
54
53.93
54.21
20
2.702333333
7.302605444
0.004489
0.228570279
11
0.57
0.57
0
38.28
40.29
32.24
5
7.387333333
54.57269378
0
0
l (i)
l i(CM)
2
l
MOMENTO DE INERCIA(I)
Tabla 1
4. Haga el gráfico I1 vs Ɩ2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.
Gráfico I1 vs. L2 y = 1.6516x + 0.2063 R² = 0.9979
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Gráfico 2 5. Del gráfico anterior, y por comparación con la ecuación (13.2), determine IG y M.
4. Haga el gráfico I1 vs Ɩ2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos.
Gráfico I1 vs. L2 y = 1.6516x + 0.2063 R² = 0.9979
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
Gráfico 2 5. Del gráfico anterior, y por comparación con la ecuación (13.2), determine IG y M.
De
0.17430625
0.046656
Se obtiene IG=0.20642316
M=1.63152967
6. Compare el valor de Ig obtenido en el paso 5 con el valor de la fórmula analítica para una barra de longitud L y ancho b. ¿Qué error experimental tuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?
LARGO (a)
ANCHO (b)
ALTO (c)
VOLUMEN HIPOTÉTICO
1.125
0.0375
0.006
0.000253125
VOLUMEN DE LA BARRA (Vr)
MASA TOTAL
DENSIDAD (ρ)
0.000231932
1.88
8105.841595
Fórmulas a usar:
Volumen de la barra, suponiendo que no tiene huecos V=a.b.c
Volumen de cada hueco
Volumen real de la barra
∑
Densidad de la barra
Masa de cada hueco
Momento de inercia de cada hueco
Momento de inercia de la barra
∑
# DE VOLUMEN DIAMETRO HUECO HIPOTETICO DE HUECO 1 0.0148 2 0.0147 3 0.0143 4 0.0146 5 0.0148 6 0.0146 7 0.0147 8 0.0149 9 0.0147 10 0.0146 11 0.00025313 0.0148 12 0.0146 13 0.0145 14 0.0144 15 0.0148 16 0.0147 17 0.0145 18 0.0148 19 0.0147 20 0.0145 21 0.0143 SUMA
VOLUMEN DE HUECO 0.0000010322 0.0000010183 0.0000009636 0.0000010045 0.0000010322 0.0000010045 0.0000010183 0.0000010462 0.0000010183 0.0000010045 0.0000010322 0.0000010045 0.0000009908 0.0000009772 0.0000010322 0.0000010183 0.0000009908 0.0000010322 0.0000010183 0.0000009908 0.0000009636 0.0000211935
DENSIDAD
MASA(HUECO)
l i(m)
I(HUECO)
8105.841595
0.008366863 0.00825418 0.007811084 0.00814226 0.008366863 0.00814226 0.00825418 0.008480311 0.00825418 0.00814226 0.008366863 0.00814226 0.008031104 0.007920712 0.008366863 0.00825418 0.008031104 0.008366863 0.00825418 0.008031104 0.007811084
0.5175 0.468 0.4175 0.367 0.317 0.266 0.216 0.165 0.117 0.067 0 0.067 0.117 0.165 0.216 0.266 0.317 0.367 0.4175 0.468 0.5175 SUMA
0.0022409274 0.0018080864 0.0013617205 0.0010968898 0.0008410068 0.0005763307 0.0003853300 0.0002311118 0.0001132144 0.0000367676 0.0000002291 0.0000367676 0.0001101488 0.0002158467 0.0003905935 0.0005842557 0.0008072487 0.0011271535 0.0014389780 0.0017592156 0.0020920568 0.0172538792
I(TOTAL BARRA)
I(BARRA)
0.198501563
0.1812476833
Tabla 2
Por definición el error para el momento de inercia se calculará se calculará de la siguiente manera:
A partir de la gráfica obtuvo que nuestro
se obtuvo el
y por comparación con la ecuación 14.2 se y a partir de la formula
, por lo cual el error obtenido será:
A partir de la gráfica y por comparación con la ecuación 14.2 se obtuvo que nuestra masa obtenida analíticamente M es igual a 1.63152967; sin embargo, la masa de la barra obtenida experimentalmente fue de M = 1.880 kg, dicha diferencia se da principalmente a que en el caso de la masa obtenida analíticamente se asumió como si la distancia calculada entre orificio y orificio fuese exacta, lo cual no es correcto y por ende allí la diferencia obtenida.
Por definición el error para el momento de inercia se calculará se calculará de la siguiente manera:
A partir de la gráfica obtuvo que nuestro
se obtuvo el
y por comparación con la ecuación 14.2 se y a partir de la formula
, por lo cual el error obtenido será:
A partir de la gráfica y por comparación con la ecuación 14.2 se obtuvo que nuestra masa obtenida analíticamente M es igual a 1.63152967; sin embargo, la masa de la barra obtenida experimentalmente fue de M = 1.880 kg, dicha diferencia se da principalmente a que en el caso de la masa obtenida analíticamente se asumió como si la distancia calculada entre orificio y orificio fuese exacta, lo cual no es correcto y por ende allí la diferencia obtenida.
7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente
Se asignó el hueco número 7 en el cual el periodo promedio es de 1.673333333333 segundos, entonces:
Si la fórmula para hallar la longitud deseada es de:
Entonces la longitud es de 0.69578 metros
8. Demostración del periodo en un péndulo simple
En la segunda ley de newton:
Y de esto se llega a la ecuación diferencial
Como
= por q se tiene valores menos de 15 grados
Entonces el periodo es
Demostración del teorema de Steiner:
Entonces
OBSERVACIONES
1. Según el diagrama
se observa que la masa obtenida es
1.63152967 kg; sin embargo, la masa obtenida experimentalmente fue de 1.880 kg.
2. Según el diagrama
se observa que el momento de inercia
obtenido es 0.20642316; sin embargo, el momento de inercia de la barra obtenida a través de la formula
fue de 0.1812476863.
3. En el experimento la guía de laboratorio sugiere que se debe realizar primero 10 oscilaciones y luego 20.
4. Se observa que aproximadamente a 0.278 m
tendremos el periodo
mínimo pero el cálculo de la ideal nos dio como resultado 0.3248 m. Observándose así una desviación del 14,4%.
CONCLUSIONES
1. Que la masa obtenida analíticamente, la masa teórica, sea menor que la real se da debido a que dicha masa se obtuvo asumiendo una distancia exacta a la dada entre el centro de gravedad y el centro de cada orificio.
2. La razón por la cual se obtuvo un margen de error considerable en cuanto a los momentos de inercias fue principalmente debido a que en el grafico
no se consideraron los orificios, en cambio en el
momento de inercia hallado a través de la formula y tal como los muestra el cuadro (Gráfico I1 vs. L2) si se tomó en cuenta las dimensiones y la masa de los orificios.
3. La guía sugiere porque en el momento en el cual empieza los huecos de la barra empiezan a subir, la resistencia del aire y la fricción del soporte empiezan a que baje drásticamente su energía, y así no cumpliéndose un péndulo físico.
4. Esta desviación porcentual se debe a que en el cálculo ideal se
consideró una barra homogénea de longitud
l
sin huecos, pero en
realidad se tiene una barra con cierta cantidad de huecos que alteran el resultado ideal.
RECOMENDACIONES
1. Para lograr obtener un error mínimo lo más recomendable es trabajar con un vernier o pie de rey con el fin de obtener mejores dimensiones de los orificios.
2. Lo más recomendable será realizar el método de mínimos cuadrados tomando en cuenta la dimensión y masa de cada orificio para asi obtener un menor margen de error.
3. Se podría lijar el soporte, con tal que no exista fricción en esta, además se tendría que realizar el experimento en condiciones donde el aire no haga bajar la energía del péndulo físico.
4. Si se quiere obtener resultados que se aproximen más a los ideales, se recomienda trabajar con barras homogéneas con un solo pequeño agujero donde colocar el eje para que oscile.
BIBLIOGRAFÍA
Raymond A. Serway; John W. Jewett, Jr. Física para ciencias e ingeniería. Volumen 1. 7ª Ed. Mc Graw Hill Interamericana de México S.A. de C.V., México. 2008.
Francis W. Sears; Mark W. Zemansky; Hugh D. Young, Roger A. Freedman. Física Universitaria. Volumen 1. 12ª Ed. Pearson Educación de México S.A. de C.V., México. 2009.
ANEXOS
Comentarios Video 1: Vibrations and Waves, MIT, 2004
El video comienza con una presentación del profesor Walter Lewin, de cómo situaciones habituales son periódicas. En el minuto 1:45 el profesor hace un ejemplo de cómo su garganta hace una acción periódica al tomar agua. Y de esa manera el profesor contínua dando ejemplos del caso. Luego en el minuto 06:50 suelta un objeto en el agua logrando que este oscile y mostrando así el movimiento amortiguado. En el minuto 10:04, el profesor, habiendo ya explicado como se genera el sonido en nuestras cuerdas vocales por la vibración de estas, indica que la frecuencia audible del ser humano va de los 20 Hz a 20000 Hz. En el minuto 10:57 enciende una máquina que produce primero un sonido de frecuencia 1000Hz. Luego el sonido empieza a perturbar alrededor de los 4000Hz. A continuación el profesor menciona que ya no puede oír el sonido de 7000 Hz y a los 1500Hz el sonido se deja de escuchar el sonido. Cuando el profesor apaga el aparato a los 21000Hz, hay algunos alumnos que mantienen su posición de afirmar de que aún escuchan el sonido, lo que sucedió aquí es que el sonido de altas frecuencias anteriores creo una falsa percepción en los estudiantes que creyeron seguir escuchando un sonido. En el minuto 24:20, el profesor muestra una semejanza entre las proyecciones del movimiento armónico simple y el movimiento circular, lo que ayudaría al alumno a comprender el movimiento periódico que encierra el MAS. Más adelante, alrededor del minuto 29:00, el profesor realizará dos experimentos de péndulo simple con masas diferentes. Realiza el primero de masa m1 para obtener su periodo y mediante la formula
obtiene una
predicción de lo que será con la masa m 2; sin embargo, al realizar el segundo se observa un valor demasiado lejano al predicho. El profesor pregunta qué está mal y un alumno le responde que no se está considerando la masa del
resorte, lo que ayuda a la clase a corregir el error con la nueva fórmula
. Mostrándo así la activa participación de un alumno del MIT.
En el minuto 57:25, el profesor mostrará un video de 1999 donde el mismo realizó un experimento en cual permitió mostrar y despejar las dudas a sus alumnos acerca de que el movimiento de péndulo simple no depende de la masa. Comprueba una vez más, que la física funciona. En el minuto 01:16:40, realiza un experimento de péndulo físico para comparar lo predicho mediante cálculos teóricos con lo real. Mostrando así a los alumnos que la fórmula esta en lo cierto y que la física funciona. Se puede observar en este video que en universidades extranjeras como en el MIT, el profesor interactua amenamente con sus alumnos haciendolos pensar con criterio y participar en la clase. Así también el profesor realiza una demostración experimental a cada cosa que realiza lo que ayuda a aclarar muchas dudas que el alumno presenta.
Video 2: Péndulompg
Del video se observa que similar a la experiencia dada en el laboratorio se utiliza una barra de acero, con la diferencia que esta barra solo tiene un orificio y se detiene más rápido debido a un mayor amortiguamiento ante la presencia del potenciómetro; sin embargo, la principal observación y la principal herramienta que se utiliza durante el video es el uso de un sensor digital para el movimiento llevando asi a la obtención inmediata de la gráfica posición vs tiempo y por ende obtener datos en tiempo real no solo para un análisis de un péndulo físico, sino también para todo tipo de movimiento.
Video 3: Double Pendulum MIT
Se observa que el péndulo doble a diferencia del péndulo simple presenta un movimiento caótico. Esta conclusión fue sacada de la parte del video en que se observa como las luces ubicadas en los extremos de cada barra que conforma el péndulo doble se mueven arbitrariamente hasta que finalmente se detienen.
Video 4: Double Pendulum Chaos Light Writing (computer simulation)
En el video se trabajó con una simulación de computadora, en este caso se puede despreciar la resistencia del aire como también la fricción en la que hay con el tornillo en la cual se sostiene. En este tipo de experimento es sumamente difícil hallar su ecuación de movimiento.
