TITULO: Péndulo Físico y teorema de Steiner OBJETIVO: Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.
EQUIPOS Y MATERIALES: *Barra metálica de longitud L con 21 huecos. *Soporte de madera con una cuchilla. *Dos mordazas simples *Un cronómetro digital *Una regla milimetrada *Un vernier
FUNDAMENTO TEÓRICO:
RECTA MINIMO CUADRADA
Sea: F (xi) =
α(xi) + β
- yi ) ; xi , yi (datos experimentales)
Si: Ei (error)= ( α(xi) + β
Sea también: = ∑ (sumatoria de todos los errores al cuadrado)
(Se le utiliza como un error global, ya que introduce a todos los datos obtenidos experimentalmente). Para hacer el mejor ajuste de la ecuación y tener un error global mínimo se utilizan las derivadas parciales respecto a cada uno de los coeficientes y se igualan a cero, llegando a un conjunto de ecuaciones. Se llegó al siguiente sistema de ecuaciones:
∑ β
+
∑ α
+
∑ α
n β
=
=
∑
∑
( )
( )
Luego se obtienen los parámetros ( α, β ) por el método de determinantes o regla de
cramer.
MOMENTOS PRINCIPALES DE INERCIA DE UN PARALELEPÍPEDO DE MASA M Y LADOS A, B, C.
Los tres momentos de inercia han de tener, por razones de simetría, una estructura análoga, y serian iguales solamente si las tres aristas fueran iguales, es decir, si se tratara de un cubo, o bien de un paralelepípedo de caras iguales. Utilizaremos el momento de inercia de una cara rectangular con respecto a un eje contenido en ella y aplicaremos a continuación el teorema de Steiner
El momento de inercia de la cara bc (oscurecida en la figura), es con respecto al eje de simetría contenido en ella que atraviesa el lado b por su punto medio. Es también , por lo cual, aplicando Steiner:
Por tanto, será:
Por analogía, es
Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x , exterior x+dx , y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
PENDULO FISICO
Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano Vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la figura se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico.
Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es: τ
= d × m.g
…1
Frecuencia para amplitudes de oscilación pequeñas La frecuencia angular del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación está dado por la expresión 1:
mgd
I
donde I es el momento de inercia de péndulo respecto del centro de rotación (punto de suspensión), m la masa del mismo, g la aceleración de la gravedad del lugar y d la distancia del centro de masa del péndulo al centro de rotación.
PROCEDIMIENTO: a) Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, se sujeta el soporte de madera con las mordazas simples. b) Localizamos el centro de masa de la barra, suspendiéndola horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio será el centro de gravedad de la barra. c) Suspendemos la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla y la hacemos oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (15º como máx.), tomando nota del tiempo que emplea en 10 oscilaciones para los 6 primeros agujeros y 3 oscilaciones para los 4 agujeros más cercanos al C.G. d) Repetimos la operación anterior 3 veces para disminuir el % de error. e) Medimos las dimensiones de la barra y hallamos su masa.
CALCULOS Y RESULTADOS: Tabla con los datos tomados en el laboratorio: L: distancia del punto de oscilación al centro de gravedad (c.g) # de hueco
L(cm)
T1(s)
T2(s)
T3(s)
#oscilaciones T(promedio)(s)
1 2
50,8 45,8
16,23 16,01
16,56 16,02
16,52 16,03
10 10
1,64 1,62
3 4
40,8 35,8
15,83 15,66
15,73 15,65
15,84 15,62
10 10
1,58 1,56
5
30,8
15,46
15,50
15,51
10
1,54
6 7 8
25,8 20,8 15,8
15,57 4,47 4,91
15,91 4,67 5,00
15,62 4,56 4,96
10 3 3
1,57 1,52 1,65
9 10
10,8
5,62
5,51
5,83
3
1,88
5,8
7,63
7,61
7,45
3
2,52
En los cuatro agujeros más cercanos al C.M solo hemos considerado 3 oscilaciones ya que las oscilaciones casi no son tan notables. Masa de la barra = 1.811 kg ……(real o teórica)
DIMENSIONES DE LA BARRA METALICA
A partir de la siguiente fórmula se calculará el momento de inercia(I) para cada posición de la barra (L):
Resultado de todos los momentos de inercia : # de hueco
L(cm)
T (s )
I(momento de 2 inercia)(kg.m )
L (cm )
1
50,8
2,68
0,612
2580,64
2
45,8
2,62
0,539
2097,64
3
40,8
2,49
0,457
1664,64
4
35,8
2,43
0,391
1281,64
5
30,8
2,37
0,328
948,4
6
25,8
2,46
0,285
665,4
7
20,8
2,31
0,216
432,4
8
15,8
2,72
0,193
249,64
9
10,8
3,53
0,171
116,64
10
5,8
6,35
0,165
33,64
2
2
2
Gráfica de x vs y ) 2
m . g K ( ) a i c r e n i e d o t n e m o m ( I
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
0.05
0.1
0.15
0.2
LxL(metros cuadrados)(m2)
0.25
0.3
2
A continuación por el teorema de Steiner se cumple que: 2
I(L) = ML + I(G) ;
I(G) : Momento de inercia de la barra respecto a su C.G
Asumiendo: 2
I(L) = F(x) , L =X , M=α , I(G) = β = Constante Ahora podremos empezar a realizar un ajuste lineal con l os datos experimentales obtenidos: F(x) = αx + β
Por mínimos cuadrados se obtienen las siguientes ecuaciones: →
1.007068 α
+ 10 β
= 3.357
→
1.007068 β
+ 0.170796699 α = 0.463963052 2
De aquí : α = 1.8145 Kg ; β = 0.1529 Kg.m
………………….. (forma experimental)
Donde se obtiene: α = M = 1.8145 Kg
%error respecto a la masa :
= 0,19 %
β = I(G) = 0.1529 Kg.m ……………………..(forma experimental) 2
F(x) = 1.81x + 0.1529 25 ) 2
m . g K ( ) a i c r e n i e d o t n e m o m ( I -4
20 15 10 5 0 -2
0 -5
2
4
6
8
10
12
14
LxL(metros cuadrados)(m2)
Hallando el I(G) de la barra en forma teór ica:
Primero hallaremos el momento de inercia de toda l a barra asumiendo q no tenga agujeros : Por la demostración vista en el fundamento teórico: I(barra maciza) =
( ) ;
0
M =
(Vb) =
(0,000259) = 1,9533 Kg
a = 0.038 m , b = 1.1m I(barra maciza) =
( ) 2
I(barra maciza) = 0.162775 (0.001444 + 1.21) = 0.19719 Kgxm …….(1) Luego hallaremos los momentos de inercia de todos los agujeros (cilindros) con respecto al C.G.
Por la demostración vista en el fundamento teórico: Ii
=
2
Ic + (L.i) m …………….(teorema de steiner) , para: L = 0.05 m
Momento de inercia total de todos los agujeros(cilindros): 2 2∑ = 2[ (10)Ic + m∑ ]
Ic= Ic=
2
(r ) ;
pero: m =
(vc)=
2
2
(π.(0,007) .0,0062) = 0,007080
2
(0,007) = 0,0000001 Kgxm
2 2 2 2 2 ∑ = L . ∑ = (0.05) (10)(10+1)(20+1)/6 = 0,9625 m
Por lo tanto : 2∑ =2 [ (10).0,0000001 + 0,007080(0,9625) ] 2 2∑ = 0,0136314 Kgxm ……..(2)
Por último, restaremos el momento de inercia de los agujeros(cilindros) al momento de inercia de la barra maciza y obtendremos el momento de inercia de la barra. (1) - (2) 2
I(G) = 0,19719 - 0,0136314 =0,1835 Kgxm ……….(forma teórica)
%error respecto al I(G) :
= 16,6 %
COCLUSIONES Y ANALISIS DE LAS GRAFICAS:
De las 2 tablas descritas con anterioridad se deduce q para el agujero #7 hubo un periodo mínimo, esto se debe a lo pequeño que es el cociente
en dicho punto.
Con la gráfica ajustada también pudimos hallar un % de error con respecto a la masa. Se sabe que los pequeños % de error se deben a la resistencia del aire y a que no siempre oscila en un plano xy solamente, pero exitosamente solo fueron muy pequeños. El periodo de oscilación del péndulo físico para cada posición no depende nunca de su masa. En la gráfica #2 la pendiente de la recta representa el valor de la masa de la barra. En la gráfica #1 los valores experimentales asemejan una recta, demostrando que el experimento se realizó con mucha sutileza. Mientras más pequeños hubieran sido los agujeros de la barra se hubiera trabajado con mayor precisión en los cálculos, ya que habría mayor oposición al deslizamiento en el momento de la oscilación. Se trabajó con ángulos de oscilación pequeños, pues eso requiere la fórmula del péndulo físico.
BIBLIOGRAFIA:
-
FISICA II Serway
-
FISICA II TEORIA DE ALONSO FINN
-
FISICA PARA EL ESTUDIANTE DE CIENCIA E INGENIERIA Mc. Kelvig
-
R. A. SERWAY & J. W. JEWETT, "Física" (vol. 2), 3ª ed., Thomson Paraninfo
-
D. HALLIDAY, R. RESNICK & K. S. KRANE, "Física" (Vol. 2), 3ª ed., Cía. Ed. Continental.
-
P.A. TIPLER, "Física" Vol. II, 3ª ed., Ed. Reverté.
-
F. W. SEARS & M. W. ZEMANSKY, "Física Universitaria", 9ª ed., Addison Wesley. Una colección de problemas resueltos:
-
"Física General", Cuadernos Schaum, Ed. McGraw-Hill.
1. Física para estudiantes de ciencias e ingeniería, Halliday, Resnick y Krane, 4ta. Ed., Vol. II, Cía. Editorial Continental, S.A. México, (1985).
