OBJETIVO TEMATICO: Estudiar el movimiento de oscilación de un sólido rígido haciendo uso de los conceptos de oscilador armónico centro de masa momento de inercia radio de giro tor!ue momento angular Teorema de "teiner# OBJETIVO E"$ECI%ICO: Estudiar el periodo de oscilación de un p&ndulo compuesto ' haciendo uso del teorema de "teiner determinar su radio de giro# %()*AME)TO TEO+ICO: $&ndulo ,ísico: (n p&ndulo ,ísico es un sólido rígido de ,orma ar-itraria !ue puede oscilar en un plano vertical alrededor de un e.e perpendicular a ese plano !ue contenga a su centro de masas# El punto de intersección del e.e con dicho plano es el punto de suspensión O# /a posición de e!uili-rio es a!uella en !ue el centro de masas se encuentra en la misma vertical ' por de-a.o del punto de suspensión# Cuerpo +ígido (n cuerpo rígido es a!uel cu'a ,orma no varía pese a ser sometido a la acción de ,uer0as e1ternas# Es decir un sistema de partículas cu'as posiciones relativas no cam-ian# El cuerpo rígido es un modelo ideal !ue se utili0a para reali0ar estudios de cinem2tica ' de mec2nica# En la pr2ctica todos los cuerpos se de,orman aun!ue sea de ,orma mínima al ser sometidos al e,ecto de una ,uer0a e1terna# /as m2!uinas ' las estructuras reales nunca pueden ser consideradas a-solutamente rígidas# CE)T+O *E 3+AVE*A* El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las ,uer0as !ue la gravedad e.erce so-re los di,erentes puntos materiales !ue constitu'en el cuerpo producen un momento resultante nulo# El centro de gravedad de un cuerpo no corresponde necesariamente a un punto material del cuerpo# Teorema de los e.es paralelos o teorema de "teiner en el momento de inercia# El momento de inercia de cual!uier o-.eto so-re un e.e a trav&s de su centro de masa es el momento de inercia mínimo so-re un e.e en esa dirección del espacio# El momento de inercia so-re un e.e paralelo a ese e.e !ue pasa por el centro de masa est2 dado por
El momento de inercia el torno a un e.e paralelo es la suma del momento de inercia del o-.eto so-re su centro de masa m2s el momento de inercia de todo el o-.eto 4tratado como una masa puntual en el centro de masa4 so-re ese e.e paralelo# Concepto de radio de giro en la rotación de una masa# "e de,ine el radio de giro como la distancia desde el e.e de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo !ue el momento de inercia respecto a dicho e.e se o-tenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro#
COM$O+TAMIE)TO *E/ $E)*(/O %I"ICO O $E)*(/O COM$(E"TO EC(ACIO) *E/ $E+IO*O: Cuando un p&ndulo se separa de la vertical un cierto peso Mg crea un momento recuperador con respecto al
2ngulo el punto de
mgd sin θ #
I
suspensión O# /a magnitud del tor!ue es
Es el momento de inercia alrededor del e.e O# Ecuacion para el periodo del pendulo ,isico:
PENDULO EQUIVALENTE: Es siempre posi-le encontrar un p&ndulo simple cu'o periodo sea igual al de un p&ndulo ,ísico o compuesto dado5 tal p&ndulo simple reci-e el nom-re de p&ndulo simple e!uivalente ' su longitud 6 reci-e el nom-re de longitud reducida del p&ndulo ,ísico#
DISTANCIA 0.506 0.456 0.406 0.356 0.307 0.256 0.207 0.157 0.107 0.58
MATE+IA/E": •
• • • •
(na -arra con agu.eros (n soporte de *os morda0as (n cronometro (na regla
+ECO$I/ACIO) *E 7 8(ECO " 9 ? @ < = > 9;
b ( m) ;< @< @;< < ;= ?< ?;= 9= 9;=
t 1 ( s )
= =? =;@ =?? =< =@> @;> @?@ ;= <@<
t 2 ( s )
=<9 =?; =99 =?@ =9 = @;; @?= ;= <;
PERIODO 1.5166 1.442 1.41266 1.448 1.444 1.778 1.36 1.4176 1.6922 2.111 t 3 ( s )
=> =?; =;@ =?< =9 =; @9 @? ;> <?@
met2lica de longitud / circulares# madera con cuchilla# simples# digital# milimetrada#
*ATO"#
7 de oscilacione s
T prom 99<< 9@@? 9@9?<< 9@@ 9@@@ 9@= 9< 9@9=< 9<>?? ?999
*IME)"IO)E" *E /A BA++A /O)3IT(*
( cm )
A)C8O
( cm )
A/T(+A A/T(+A
( cm )
*IAMET+O *E/ A3(JE+O
( cm ) 9;> 7 *E A3(JE+O"
>=
?9
9=<@
MA"A
A)A/I"I" +E"(/TA +E"(/TA*O": *O":
1.
9@>?
( kg )
2.5 2 f(x)) 7.03x!2 f(x 7. 03x!2 " 4.28x # 2.05 1.5
PERIODO
1 0.5 0
0
0 .1
0.2
0.3
0 .4
0 .5
0.6
0.7
DISTANCIA
$%&'*+ , %-/ * &%/
SUA
x 0.506
1.5166
x 0.767399 6 0.657552
0.456
1.442
0.406
1.41266
0.356
1.448
0.573539 96 0.515488
0.307
1.444
0.443308
0.256
1.778
0.455168
0.207
1.36
0.28152
0.157
1.4176
0.107
1.6922
0.58
2.111
0.222563 2 0.181065 4 1.22438
x!2 0.25603 6 0.20793 6 0.16483 6 0.12673 6 0.09424 9 0.06553 6 0.04284 9 0.02464 9 0.01144 9 0.3364
3.338
15.6220 6
5.321984 16
1.33067 6
Σ y i = cn + b ( Σ x i ) + a ( ∑ x´i ) 2
2
3
Σ x ´i y i =c ( ∑ x i)+ b ( ∑ x i )+ a ( ∑ xi )
∑ x i y i= c ( ∑ x i ) + b ( ∑ x i ) + a ( ∑ x´i ) 2
2
R,%%*+
3
4
x!2 0.388304 198 0.299843 712 0.232857 224 0.183513 728 0.136095 556 0.116523 008 0.058274 64 0.034942 422 0.019373 998 0.710140 4 2.179868 886
x!3 0.129554 22 0.094818 82 0.066923 42 0.045118 02 0.028934 44 0.016777 22 0.008869 74 0.003869 89 0.001225 04 0.195112 0.591202 8
x!4 0.065554 43 0.043237 38 0.027170 91 0.016062 01 0.008882 87 0.004294 97 0.001836 04 0.000607 57 0.000131 08 0.11316 3164 96 0.280942 22
a 7.0281 =
c 2.055 =
A:+% %% '+*+ *'%+/
b
DISTANCIA
PERIODO!2
I
0.506
2.30007556
1.60214788
0.456
2.079364
1.30528499
0.406
1.99560828
1.11538678
0.356
2.096704
1.02756969
0.307
2.085136
0.88124553
0.256
3.161284
1.1141089
0.207
1.8496
0.52707489
0.157
2.00958976
0.4343414
0.107
2.86354084
0.42180461
0.058
4.456321
0.35581858
∂y =7.0281 ( 2 ) x − 4.2779 = 0 ∂x x =0.3043 =30.043 cm
2.
=>?&% I / D'/%&'%2
S%@+/
4.2779
=−
√
T =2 π
E+&/ P%% :%,,% ,% B>?&%
I MgD
&+% , ;'+ ,% f&'<
x
1.602147 0.256036 88 1.305284 0.207936 99 1.115386 0.164836 78 1.027569 0.126736 69 0.094249 0.881245 53 DISTANCIA!2 I 0.065536 1.114108 0.256036 1.602147889 04 .59297074 0.2079360.042 18 .3409528 89 0.1648360.024 16 .1419538 6 7 8 0.434341 0.126736 1.027569694 0.011449 0.421804 0.094249 0.88124553 61 39 55818 0.0655360.00313.6 14 14100.8 58 0 . 0 4 2 8 4 9 0 . 5 2 7 0 7 4 8 9 /% 0.99764 8.784783 0.024649 0.434341426 0.011449
0.42180461
0.003364
0.35581858
x x2 0.410207 54 0.065554433 0.271415 74 0.04323738 0.183855 9 0.027170907 0.130230 07 0.016062014 0.083056 51 0.008882874 0.073014 24 0.004294967 0.022584 63 0.001836037 0.010706 08 0.000607573 0.004829 24 0.00013108 0.001196 0.00001131649 97 6 1.191096 92 0.167788581
1.8 1.6
f(x)) 4.61x f(x 4 .61x # 0.42
1.4 1.2 1
OENTO DE INERCIA
0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
0 .0 5
0.1
0 .1 5
DISTANCIA!2
$%&'*+ , %-/
0.2
0 .2 5
0 .3
a=
a=
n ( ∑ x i y i )−( Σ x i)( ∑ y i ) n ( ∑ x i )−( Σ x i ) 2
(
2
)−( 0.99764 )( 8.78478326 ) 10 ( 0.167788581 )−0.99764
10 1.19109692
2
a 4.6102 =
b=
b=
Σ x i ) ( ∑ y i) −a ( Σ n 8.78478326 −( 4.6102 )( 0.99764 ) 10
b 0.4185 =
P+ ,+ ,% '/&&'< &+ , - / , ++ * '&'% *, &+ * %/% I 0.4185 =
C+%%*+ I CM * ,% B>?&% &+ , %,+ +@'*+ * ,% f<,% 2
I CM = M K
I CM =
1 12
2
2
M ( L + b )
L=109,8 cm
b =3,97 cm
M 1,7634 kg =
R,%%*+ ,+/ %,+/ +&/ / +@' 2
I CM =0,1774 kg.cm
E, + x'%, / +@+ /> + ,+ %+
%E! I CM =
0,1774 −0,4185 0,1774
" 100
