1
2
PENDULO FISICO Y TEOREMA DE STEINER A) OBJETIVO: Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.
B) EQUIPO: -
Una barra metálica de longitud L con huecos (Ver figura 1.a) Un soporte de madera con cuchilla. Dos mordazas simples. Un cronometro digital. Una regla milimetrada.
C) FUNDAMENTO TEÓRICO: PÉNDULO FÍSICO
Figura 1.a
Un péndulo físico es un cuerpo rígido de masa m que puede oscilar alrededor de un eje que pasa por un punto O, distinto de su centro de masa (Ver figura 1.b). Cuando el cuerpo, cuyo momento de inercia respecto al eje de rotación es Io, se separa de su posición de equilibrio un ángulo θ y se suelta, un momento restaurador τ o asociado a la fuerza gravitacional mg , le producirá un movimiento oscilatorio cuya ecuación es: Τo = Io θ”
Con la aproximación de pequeñas oscilaciones senθ =θ , la ecuación dinámica rotacional anterior puede escribirse en la forma: 2
θ”+ ω θ= 0
Determinación del momento de inercia de un cuerpo usando un péndulo físico. Según el teorema de los ejes paralelo (teorema de Steiner), el momento de inercia respecto de su centro de masa, I cm, y el momento de inercia respecto de un nuevo eje paralelo al primero y separado de aquel por una distancia y, están relacionados por: 3
I(y) = Icm + M . y2
……..ec. 2
Donde M es la masa del cuerpo. Si ponemos al objeto a oscilar alrededor de un punto de suspensión O, su período será:
….ec.1 La posición del centro de masa del cuerpo puede determinarse con relativa facilidad. Si el objeto es plano, basta suspenderlo de dos puntos cualesquiera y marcar sobre el mismo las direcciones de las verticales que pasan por los puntos de suspensión. La intersección de dichas rectas determina el centro de masa. Esto significa que para un objeto plano el valor de y puede determinarse por medición directa. Si el objeto es simétrico, la simetría indica la ubicación del centro de masa.
D) PROCEDIMIENTO: 1. Sobre la mesa y apoyado sobre su base mayor, sujete el soporte de madera con las mordazas simples. 2. Ubique el centro de masa de la barra, suspendiendo esta horizontalmente en la cuchilla. El punto de apoyo de la barra en equilibrio horizontal será el centro de gravedad (CG) de la barra. (Ver figura 2.a) 3. Suspenda la barra verticalmente por cada uno de sus huecos en la cuchilla (Ver figura 2.b) y hágala oscilar separándola ligeramente de su posición de equilibrio (cuando mas 15º), tome nota del tiempo en que emplea en 10 oscilaciones y mida también la distancia l (distancia de CG a O). 4. Repetir esta operación dos veces más. 5. Mida las mediciones de la barra y su masa.
Figura 2.a
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E) CÁLCULO Y RESULTADOS: 1.-Llene la tabla 1 con las siguientes características. Solucion Tabla 1
Numero de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l (cm.)
t1 (s)
t2 (s)
t3 (s)
50,8 45,8 40,8 35,8 30,8 25,8 20,8 15,8 10,8 5,8
17,04 16,62 16,31 16,15 16,11 16,31 16,91 9,07 10,51 13,82
17,01 16,65 16,26 16,19 16,08 16,33 16,88 9,01 10,53 13,86
17,02 16,64 16,28 16,20 16,13 16,32 16,93 9,03 10,54 13,87
# de Periodo T oscilaciones (Promedio). 10 10 10 10 10 10 10 5 5 5
1,702 1,664 1,628 1,618 1,612 1,632 1,691 1,807 2,105 2,77
2. a) Grafique T vs. l ,( T en el eje vertical y l en el eje horizontal) X
Y
XY
X
XY
X
X
50,8 45,8 40,8 35,8 30,8 25,8 20,8 15,8 10,8 5,8
1,702 1,664 1,628 1,618 1,612 1,632 1,691 1,807 2,105 2,77
86,462 76,211 66,422 57,924 49,650 42,106 35,173 28,551 22,734 16,066
2580,64 2097,64 1664,64 1281,64 948,64 665,64 432,64 249,64 116,64 33,64
4392,2493 3490,473 2710,0339 2073,6935 1529,2077 1086,3245 731,59424 451,09948 245,5272 93,1828
131096,512 96071,912 67917,312 45882,712 29218,112 17173,512 8998,912 3944,312 1259,712 195,112
6659702,81 4400093,57 2771026,33 1642601,09 899917,85 443076,61 187177,37 62320,1296 13604,8896 1131,6496
283
18,23
481,2982
10071,4 16803,38556
Realizando un ajuste cuadrático
18,23
481,2982
= a(10) + b(283) + c(10071,4) = a(283) + b(10071,4) + c(401758,12)
16803,38556 = a(10071,4) + b(401758,12) + c(17080652,3)
a = 3.0211 b= - 0.0856 c = 0.0012
5
401758,12 17080652,3
Ecuación: 0.0012X 2 - 0.0856X + 3.0211
Grafico l vs. T
b) A partir de la ec. (1), con I l dada por la ec. (2), encuentre el valor de l donde el periodo es mínimo. Solución:
El periodo mínimo se da en el hueco 5 donde T= 1,612 (s) Entonces de la ec. (2) De datos se tiene:
Il = IG + Ml2
IG= 0.2068 , M=1.97 Kg, l = 0.308 m
Il = 0.2068 + (1.97) (0.358) 2
= 0,459 kg.m2
Entonces: Hallando el valor de l con Il dada por la ec. (2) En la ec. (1) T= 2π (Il / Mgl)1/2 . 2 2 2 2 l = 4π Il / T Mg = 4π (0.459) / (1.612) (1.97) (9.8) = 0.361 m
c) Compare el valor de l obtenido en (b) con el que se obtiene de la grafica en (a). De la ecuación: F(X) = 0.0012X 2 - 0.0856X + 3.0211 Derivando y hallando mínimos: F 1 = 0.0024X - 0.0856 = 0
6
X = 35.67 cm = 0.357 m Se puede apreciar que existe una diferencia de 0,004 m o sea 0,4 cm. Donde en (a) la distancia es menor que en (b)
d) ¿Cuál es el periodo para esta distancia? De:
T= 2π (Il / Mgl)1/2 = 2π [0.459 / (1.97) (9,8) (0.361)] 1/2 = 1,612 s
e) De su grafico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo periodo? Indíquelos. Para resolver esta pregunta nos basamos en la ecuación de la línea de tendencia de los puntos obtenidos en el experimento, siendo esta:
y = 0,001x 2 – 0,080x + 2,928
Donde “y” es el periodo T, asumiendo un periodo de 1,612 s 1,612 = 0.0012X 2 - 0.0856X + 3.0211 0 = 0.0012X 2 - 0.0856X + 1.4091 Aplicando: para una ec. ax2+bx+c =0 sus raíces son: -b ± (b2 – 4ac)1/2 2a Entonces x1 = 45.559 cm y x 2 = 25.774 cm
Por tanto para los puntos 45.559 y 25.774 su periodo será el mismo, o sea 1,612 (s)
3.
Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de I l y llene la Tabla 2 con las siguientes características.
Solución:
Utilizando para cada hueco la siguiente fórmula:
7
Il = T2Mg l / 4π2
Tabla 2 # de huecos
Eje de oscilación, l (cm)
(Periodo)2 T2(s2)
Momento de inercia Il g/cm2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
50,8 45,8 40,8 35,8 30,8 25,8 20,8 15,8 10,8 5,8
2,897
72037,04
2,769
62079,06
2,650
52934,89
2,618
45878,91
2,599
39179,04
2,663
33638,22
2,859
29115,45
3,265
25254,94
4,431
23426,15
7,673
21785,15
L
Y
XY
X
2580,64
7203703,65
185901658
6659702,81
2097,64
6207906,06
130219521
4400093,57
1664,64
5293488,56
88117527,9
2771026,33
1281,64
4587890,83
58800244,1
1642601,09
948,64
3917904,14
37166805,8
899917,85
665,64
3363822,17
22390945,9
443076,61
432,64
2911545,39
12596510
187177,37
249,64
2525494,38
6304644,17
62320,1296
116,64
2342615,27
2732426,45
13604,8896
33,64
2178514,96
732852,432
1131,6496
10071,4
40532885,41
544963135
17080652,3
Realizando un ajuste lineal:
40532885,41
= a(10) + b(10071,4)
544963135
= a(10071,4) + b(17080652,3 )
a = 2068139.93 b= 1971.08
Ecuación: 1971.08X + 2068139.93
8
(cm2)
2580,64 2097,64 1664,64 1281,64 948,64 665,64 432,64 249,64 116,64 33,64
4.-Haga el grafico I l vs. l2, y ajústelo cuando los puntos estén muy dispersos. X
2
Grafico Il vs. l2
5.-Del grafico anterior, y por comparación con la ecuación (2), determine I G y M. Solución:
Comparando al ecuación (2), I l = IG + Ml2, con la ecuación obtenida del grafico I l vs. l2 con el respectivo ajuste, Il = 1971.08 L2 + 2068139.93 se obtienen los valores de:
IG =2068139.93 g.cm 2 M =1971.08 g 6.-Compare el valor de I G obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud L y ancho b, I G =M (L2 + b2)/12. ¿Qué error experimental obtuvo? Y ¿Qué puede decir acerca de la masa? Solución:
Datos obtenidos experimentalmente:
M ex. = 1970g L =111cm B =3,75cm Remplazando en la formula analítica:
9
IG =M (L2 + b2)/12 IG = 2025006.094 g.cm 2 Halando el error experimental para el IG:
%E = (2068139.93 – 2025006.094) x 100 = 2.13 % aproximadamente. 2025006.094 El error obtenido fue debido a que la formula analítica no considerar los huecos que tenia la barra sino considera que esta fuese uniforme. En cuanto a la masa M el valor obtenido mediante la grafica es muy próximo al valor real medido experimentalmente. M =1970 g (experimental) M =1971.08 g (por ajuste) %E = 0,055 %
7) Halle la longitud del péndulo simple equivalente, para este cálculo solicite al profesor de aula que asigne el numero de hueco. Entonces de: l = 4π2 Il / T2Mg Para el hueco # 5 su “l” será: l = 4π2 (0.39) / (2,599) (1,97) (9,8) = 0,24 m
8) Demuestre en forma analítica las relaciones (1) y (2) -Para la relación (1): En un péndulo físico, el cuerpo esta desplazado un ángulo “ө” de la posición de equilibrio, la distancia de “O” (punto de apoyo) al centro de gravedad es l, siendo su masa M. Cuando el cuerpo se desplaza causa un momento de torsión que por teoría se sabe que es: г = + (mg) (lsen ө) Donde será negativo si el momento de torsión es horario y será positivo si es antihorario. Entonces como “ө” es pequeño podemos considerar: sen ө = ө Por lo que se considera un movimiento aproximadamente armónico simple. г = (mgl) (ө) La ecuación de movimiento es ∑г = Iα …..Por tanto. (mgl) = Iα = Id 2ө d t2
d 2ө = mgl ө d t2 I
Por tanto la frecuencia está dada por: w = (mgl /I)1/2, entonces el periodo es:
10
T = 2π (I/ mgl)1/2
-Para la relación (2): Se sabe q un cuerpo tiene un número ilimitado de puntos por el cual se podría tomar un eje y hacerlo girar entonces supongamos que tenemos un cuerpo en el eje xy donde su centro de masa esta en el punto “0” que tiene como eje de giro z: yi --------------------------------------mi yi-b a
P d
xi- a
b x
O
xi
El momento de inercia que pasa por el centro de masa (en el punto 0) es: Icm = ∑mi( xi2 + yi2) Entonces el momento de inercia alrededor del eje paralelo que pasa por P es: I p = ∑mi [(xi-a) 2 + (yi-b) 2] Desarrollando la ecuación, queda: I p = ∑mi( xi2 + yi2) – 2a∑mi xi – 2b∑mi yi
+
(a 2+ b) 2∑mi
Obs.: 2a∑mi xi y 2b∑mi yi se anulan porque son proporcionales a x cm y ycm que son cero porque se toman desde el origen.
Por tanto:
I p = ∑mi( xi2 + yi2) + (a 2+ b) 2∑mi = Icm + Md2
F) CONCLUSIONES:
En el experimento hallar el momento de inercia respecto de algún hueco resulta más fácil usando la ecu. (1) que la ecu.(2). A medida que nos aproximamos al hueco que se encuentra en el c entro de la barra el periodo no experimenta una línea recta de descenso o de ascenso sino una curva. El método para hallar el I G y mediante la grafica fue bueno ya que se obtuvo un error experimental muy pequeño.
11
Obtenemos un período mínimo cuando el eje de giro se encuentra entre el hueco 5 y 6, a partir de estas empieza a aumentar. Como el error es mínimo podemos concluir que el cálculo del momento de inercia y el periodo son casi exactas si se realiza un experimento técnicamente bien hecho.
G) OBSERVACIONES:
La amplitud de oscilación en el experimento disminuye con el paso del tiempo debido a que existe un a fuerza de fricción en contra del movimiento. Se puede decir que cuando medimos el momento de inercia de la barra con huecos esta se aproxima al valor del momento de inercia de la barra, por lo tanto se puede considerar nula el momento de inercia de los huecos. -Se observa que para los tres agujeros mas cercanos al centro de gravedad solo de ha considerado 10 oscilaciones en vez de veinte debido a que la amplitud cada vez tiende a cero. Durante la confección del grafico, ser precisos fue costoso por la poca precisión de la regla milimetrada, así como la dificultad del observador para centrar la posición Para el cálculo del periodo fue complicado lograr que el péndulo oscilara de forma unidimensional, la placa se movía en forma dispareja (no solo oscilaba de derecha a izquierda, sino que también de atrás hacia delante)
H) RECOMENDACIONES:
Al momento que oscila el péndulo se debe verificar plano vertical.
que la barra este en un
Se puede hacer uso de un nivel, para verificar que la línea que une el centro de gravedad con el punto de giro sea perpendicular, con la línea horizontal que contiene el punto de giro. Se debe tomar en cuenta que para que el movimiento MAS el ángulo se oscilación sea menor a 15 grados.
de la barra sea un
I) BIBLIOGRAFIA:
Alonso, M y Finn, E. Física vol.1. Mexico. Addison-Wesley Iberoamericana.1986.
Manual de laboratorio de física general,, facultad de ciencias, pag 67, 68,69,
Resnick-Halliday. Fisica Parte 1. Editorial Continental. Año 1974. 12
Sears Semandky, fisica universitaria, volumen I, edición XI, editorial Pearson, México 2004 pag 476-498.
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