Informe de Pendulo s y b

PRACTICA # 9 PÉNDULO SIMPLE – 1

9.1 OBJETIVOS Objetivo general o Estuio el !ovi!iento ar!"nio si!$le. o Estuio el $%nulo si!$le. Objetivos es$ei&io o 'eter!inai"n e la aelerai"n e la gravea. o 'eter!inai"n e($eri!ental e la euai"n el $%nulo. 9.) *+,'A-E,TO TERICO 1. I,TR I,TRO' O'+C +CCI CI, , P%n P%nul ulo/ o/ is$ is$os ositi itivo vo &or! &or!a aoo $or $or un obje objeto to sus$ sus$en eni io o e un $unto &ijo 0 ue osila e un lao a otro bajo la in&luenia e la gravea. 2os  $%nulos se e!$lean e!$lean en varios !eanis!os/ !eanis!os/ o!o o!o $or eje!$lo algunos algunos relojes. En el $%nulo !3s senillo/ el lla!ao $%nulo si!$le/ $uee onsierarse ue toa la !asa el is$ositivo est3 onentraa en un $unto el objeto osilante/ 0 i4o $unto s"lo se !ueve en un $lano. El !ovi!iento el $%nulo e un reloj se a$ro(i!a bastante al e un $%nulo si!$le. El $%nulo es&%rio/ en a!bio/ no est3 li!itao a osilar en un 5nio $lano/ $or lo ue su !ovi!iento es !u4o !3s o!$lejo. El $rini$io el $%nulo &ue esubierto $or el &6sio 0 astr"no!o italiano 7alileo/ uien establei" ue el $erioo e la osilai"n e un $%nulo e una longitu aa  $uee onsierarse ine$eniente e su a!$litu/ es eir/ e la istania !3(i!a ue se aleja el $%nulo e la $osii"n e euilibrio. 8,o obstante/ uano la a!$litu es !u0 grane/ el $erioo el $%nulo s6 e$ene e ella. 7alileo ini" las $osibles a$liaiones e este &en"!eno/ lla!ao isoronis!o/ en la !eia el tie!$o. Sin e!bargo/ o!o el !ovi!iento el $%nulo e$ene e la gravea/ su $erioo var6a on la loali:ai"n geogr3&ia/ $uesto ue la gravea es !3s o !enos intensa seg5n la latitu 0 la altitu. Por eje!$lo/ el $erioo e un $%nulo ao ser3 !a0or en una !onta;a ue a nivel el !ar. Por eso/ un $%nulo $er!ite eter!inar on $reisi"n la aelerai"n loal e la gravea. ). P<,'+2O CO-PE,SA'O El $%nulo si!$le resulta aeuao o!o regulaor $ara !eir el tie!$o si se !antiene onstante la longitu e la varilla. Sin e!bargo/ se o!$rob" ue en invierno los relojes se aelantaban/ 0 en verano se atrasaban/ ebio a la ontrai"n o ilatai"n e la varilla !et3lia a ausa el &r6o 0 el alor. Esto llev" a introuir un $er&eiona!iento  $ara !antener una longitu uni&or!e 80/ $or onsiguiente/ un $erioo uni&or!e !eiante el uso e $%nulos o!$ensaos. 2os $rini$ales ti$os son el $%nulo e

!erurio 0 el $%nulo e $arrilla. El $%nulo e !erurio ontiene un ilinro e virio asi lleno e !erurio. Cuano el $%nulo se ilata 4aia abajo $or el alor/ este a!bio se ve o!$ensao $or la ilatai"n 4aia arriba el !erurio en el ilinro. El $%nulo e $arrilla est3 o!$uesto $or una serie e barras !et3lias vertiales/ $or lo general e aero aero 0 ob obre/ re/ on istint istintas as o!$o o!$osi siion iones es 0/ $or en ene/ e/ istint istintos os oe&i oe&iie iente ntess e ilatai"n t%r!ia. Si se ajustan las longitues relativas e estas barras/ los a!bios e te!$eratura no a&etan al $erioo el $%nulo. =. OTROS P<,'+2OS 'i&erentes ti$os e instru!entos ient6&ios e!$lean el  péndulo bifilar, el  péndulo de  Foucault  o   o el  péndulo de torsión. 2os $%nulos bi&ilares/ ue e!$lean os ueras o ables/ se 4an usao $ara registrar irregulariaes en la rotai"n e la Tierra o etetar  terre!otos. El $%nulo e *ouault se e!$lea $ara $oner e !ani&iesto la rotai"n e la Tierra. Se lla!a as6 en 4onor el &6sio &ran%s 2%on *ouault/ 0 est3 &or!ao $or una gran !asa sus$enia e un able !u0 largo> *ouault e!$le" una !asa e )? @g ataa a un able e  !. +na ve: i!$ulsao el $%nulo e &or!a ue osile en un 5nio  $lano/ la rotai"n e la Tierra 4ae ue el $lano e osilai"n gire lenta!ente on res$eto al suelo. El e&eto es !u0 $ronuniao en los $olos/ one el $%nulo gira una ve: aa ) 4oras. 2a veloia e rotai"n on res$eto al suelo el $lano e osilai"n el $%nulo is!inu0e a !eia ue baja la latitu> en el euaor/ el $lano e osilai"n no gira en absoluto. +n $%nulo e torsi"n est3 &or!ao $or una !asa olgaa e un able o una &ibra si!ilar/ $ero a i&erenia e un $%nulo nor!al su osilai"n onsiste en ue el $eso gire alternativa!ente en un sentio 0 en otro alreeor el eje ue $asa $or el entro el able/ torieno 0 estorieno %ste. Aunue no es un $%nulo en sentio estrito/  $uesto ue las osilaiones no se eben a la &uer:a e la gravea/ las &"r!ulas !ate!3tias ue esriben su !ovi!iento son si!ilares a las e un $%nulo si!$le 9.).1 P<,'+2O SI-P2E 8solui"n a$ro(i!aa El $%nulo onsiste e un objeto e !asa D! unio a una uera e longitu D2 ue osila en un $lano vertial. Con la &inalia e si!$li&iar el estuio/ onsierare!os al objeto o!o !asa $untual/ es eir la es&era e !asa D! $osee i!ensiones/ $ero si la !asa 0 la a!$litu e θ F

osilai"n 8

 es $eue;a. θ 

En un tie!$o Dt la uera &or!a un 3ngulo  on la vertial. 2as &uer:as ue at5an sobre la es&era sonG la tensi"n/ T/ T/ e la uera/ 0 el $eso/ !g .'eso!$onieno el vetor  !a/ en sus o!$o o!$onente nentess nor!al nor!al !a , 0 tangenial !a t irigia 4aia la ere4a/ es

θ 

eir/ en irei"n e los valores e en la irei"n tangenial se obtieneG

∑ F  = −mgsen

θ 

T 

 reientes/ a$liano la seguna le0 e ,eHton

= mat   

89.1

α 

Con la aT  2 en la euai"n 89/1 one al&a es la aelerai"n angular 0 si!$li&iano la !asa. θ 

α 

g sen   2

 

89.) α  α 

Co!o la aelerai"n angular orenano se tieneG d )θ  dt )

+

 g   senθ   L

se esribeG

=

d )θ  dt )

esta e($resi"n en 89.) 0

=F  

89.= θ 

Para la osilai"n e $eue;a a!$litu/ $oe!os sustituir sen raianes/ luego 89/= se esribeG d )θ  dt )

+

 g 

θ 

 L

θ 

 $or

 e($resao en

=F  

8.9.

2a euaion e&erenial 89. orres$one al !ovi!iento ar!onio si!$le/ u0a soluion &ue estuiaa en la $ratia e resortes> entones el $erioo e osilaiones  $eue;as 8T e un $%nulo e longitu 2 esG T  = )π 

 L  g 

 

89.K

9.).) P<,'+2O SI-P2E 8soluion e(ata

2a anterior euai"n es solo a$ro(i!aa/ on la &inalia e obtener una e($resi"n )

e(ata/ onsierano la euai"n 89.=/ !ulti$liano $or d )θ 

angular. L ae!as onsierano )ω 

d ω 

= −)

dt 

dt )

=

d θ  dt 

= )ω 

ω 

 on

/ veloia

d ω  dt 

0 orenano.

 g  d θ   senθ   L dt 

ω 

Si!$li&iao 8t e integrano on los li!itesG variablesG d θ  #osθ  − #osθ F

) g 

=

 L

=F

θ 

on

= θ F

ω 

0

θ 

 $ara / se$arano

dt 

en la integrai"n se usan relaiones trigono!%trios/ en la anterior euai"n tene!osG T  = )

 L

d θ 

θ F

 g  ∫  F

 sen

)

θ F

)

− sen )

θ 

)

 

89.

Para evaluar la integral/ esarrolla!os el integral $or el teore!a el bino!io e integrano resultaG T  = )π 

 L   1 θ  9 θ  1 +  sen ) F   + sen C F  g    C ) AC )

+ ..............     

2a euai"n i&erenial 89/= $uee ta!bien resolverse $or otro !%too/ $ara ello se θ 

e!$lea el esarrollo en serie el sen .

  θ )   + .......... ≈ 1 −    senθ  = θ  −   =M   A   θ 

=

  89.1F -eiante 89.1F la solui"n e 89.= onue aG

T  = )π 

 L   θ F) 1 +    g    1A

  + ..............     

 

89.11

9.).= I,*2+E,CIA 'E2 RA'IO 'E 2A ES*ERA En la eui"n e la euai"n 89.= se su$one ue la es&era tiene una !asa $untual no  $osee i!ensiones/ sin e!bargo a !eia ue au!enta el raio e la es&era/ el $%nulo si!$le se a$ro(i!a al $%nulo &6sio 0 su !ovi!iento se esribe $or la !e3nia el s"lio r6gio/ la eui"n el $erioo e la osilai"n e es&era 8T onsierano el raio r e la es&era se esribeG

T  = )π 

 )r )    L ) + 1     K L    g 

 

89.1) θ F

9.). CA2C+2O 'E

 L r -NI-OS

En el e($eri!ento se e!$lea la euai"n 89.K/ en onseuenia se ebera esoger ierto 3ngulo e se$arai"n 0 veri&iar ue este 3ngulo junta!ente on el raio e la es&era no sean &atores ue invalien la euai"n 89.K. en este sentio. Entones el 3ngulo !3(i!o e se$arai"n 0 Dr 0a alulao en la guia se tieneG θ F

ε F

≤  )arcsen

r  ≤  L

K

 

89.1?

ε  g 

C

 

89.)1

Ae!3s la longitu !3(i!o e la uera 2 se alula !eianteG

 L

≤

C.r esfera ε  g 

 

89.))

9.).K ,+-ERO 'E OSCI2ACIO,ES

Con la &inalia e eter!inar la aelerai"n e la gravea a $artir e las !eiiones 2/ T !eiante la euai"n 89.1=/ resulta onveniente !eir el nu!ero e osilaiones. El nu!ero e osilaiones ue ebe reali:ar el $%nulo $ara ierto error $reestableio e la aelerai"n e la gravea esG et α  P )

n≥

T /ε T   N 

 

89.))

Este $roei!iento se lo reali:o en la $ratia e resortes. Para la eter!inai"n e error relativo el $erioo 0 on el error relativo e la gravea  $reestableio se lo alulo $or !eio eG ε T 

=

ε  g 

− ε  L )

  89.)= 9.). -E'ICIO, 'E 2A ACE2ERACI, 'E 2A 7RAVE'A' Para el alulo e la aelerai"n e la gravea se e!$lea la euai"n/ one en la esta euai"n se e!$lea el $erioo e las Dn osilaiones 0a alulaas en la anterior  euai"nG  g  = Cπ  ) n )

 L tn )

 

89.)

2uego !eiante $ro$agai"n e errores/ el error e la gravea se tieneG  E  g 

= Cπ  )n)

 L   E  L

 +) tn )    L

 E tn tn

     

8 9.)

9.). VA2I'ACI, 'E 2A EC+ACI, 'E2 P<,'+2O T  = )π 

2a euai"n el $erioo T  =

)π 

 g 

 L  g 

/ $uee esribirse o!oG

 L1 P )

 

89.)?

Para lineali:ar la euai"n $otenial a$lia!os logarit!os 8log.

TQ  A  B2Q

89.=F

Para valiar la euai"n 89.=F / en la $ratia se eben eter!inar e($eri!ental!ente A 0 B on los i&erentes valores e 2 on su res$etivo $erioo. 'one A E 0 BE  eben veri&iarse $or el test e i$"tesis on los valores te"rios. 9.= -ATERIA2ES o ilo ine(tensible o Crono!etro o Reglas o Es&era !et3lia o Balan:a o Vernier  9. PROCE'I-IE,TO 9..1 'ETER-I,ACI, 'E 2A A-P2IT+' -NI-A 'E OSCI2ACI, 1. El instrutor le asignara el error relativo e la gravea $ara la eter!inai"n e g. ). E!$leao la euai"n 89.1? eter!ine la a!$litu !3(i!a e osilai"n =. 'is$"ngase el $%nulo si!$le/ &ijano la longitu el 4ilo en KF !. . E!$leano un l3$i: ibuje en el tablero un triangulo ret3ngulo $ara re$resentar  el 3ngulo !3(i!o. 9..) 'ETER-I,ACI, 'E2 ,+-ERO 'E OSCI2ACIO,ES 1. ). =. . K.

-ia la longitu 2 el $%nulo K vees. Calule la longitu $ro!eio 82 0 su res$etivo esviai"n est3nar. Con la $robabilia el 9K alule el error relativo e 82. E!$leao la euai"n 89.)= eter!ine el error relativo el $erioo. -6ase el $erioo a$ro(i!ao/ $ara ello/ e la $osii"n e euilibrio se$are la es&era 4asta oiniir su entro e !asa on el $unto e !3(i!a a!$litu/ luego suelte la es&era 0 !eiante un rono!etro/ eter!ine el tie!$o e 1F osilaiones !eiante T  t n1F/ alule el $erioo a$ro(i!ao. . Con la e($resi"n 89.)) eter!ine el nu!ero e osilaiones/ e!$leano la  $robabilia el 9K/ ,K 0 e  F/) s. 9..= 'ETER-I,E 2A ACE2ERACI, 'E 2A 7RAVE'A' 1. 'e la $osii"n e euilibrio/ se$are la es&era 4asta su entro e !asa oinia on la !3(i!a a!$litu 0 suelte la es&era.

). Con a0ua e un rono!etro/ !6ase el tie!$o e las n osilaiones 8t n eter!inao en 9..) re$6tase este $roei!iento K vees. =. -6ase la !asa 0 el i3!etro e la es&era. 9.. VA2I'ACI, 'E 2A EC+ACI, 'E2 P<,'+2O 1. Consierano las n osilaiones 0 la a!$litu !3(i!a !6ase el tie!$o t n $ara 2  KF !. ). Re$ita el anterior $roei!iento $ara 2 a K/ F/ =K/ =F/ )K !. 9.K CN2C+2OS L 7RN*ICOS Tabla e atos  Determinación de la amplitud máxima y del numero de oscilaciones

Error relativo e la gravea 8asignaoG F.F1 2ongitu el 21  $%nulo 2 KF 8!

2) KF.1

A!$litu angular !3(i!aG K F

2= 9.9

2 9.?

2K 9.9

2 9.9?

'esviai"n est3nar 

t α  P )

Error relativo e 2

F.11

1.1

).Q1F =

.t1F 8segunos 1.1

T/ 1.1

n 1F

 Determinación de la aceleración de la graedad.

-asa el $%nuloG .K g .tn1 .)9

.t)n .)K

'i3!etro e la es&era 8!G ).)= .t=n .=K

.tn .?

.tKn .?

.tn .=1

Valiai"n e la euai"n el $%nulo 2 8! .tn 8s

KF .=1

K =.9=

F F.?

=K K.=

=F K).

)K ?.F9

9.K.1 'ETER-I,ACI, 'E 2A A-P2IT+' -NI-A L E2 ,+-ERO 'E OSCI2ACIO,ES

θ F

= )  arcsen

F.F1 K

2a a!$litu !3(i!a esG

ε T 

=

= K.1)F F.F1 − F.FF)BC )

Calulo el error relativo el $eriooG n≥

= =.A= Q1F− =

F.) Q ).BBA 1.C1 Q F.FF=A= Q K

= C?

Calulo el nu!ero e osilaiones G 9.K.) 'ETER-I,ACI, 'E 2A ACE2ERACI, 'E 2A 7RAVE'A' 1. 'eter!inai"n e los $ro!eio e 2/ tn/ 0 on los n alulaos on sus res$etivos errores. 2  89.9? .tn  8.=1 .n  ?

±

 F.1 !  8F.99?

±

±

 F.FF1 !

 F. seg

). 'eter!inai"n e la aelerai"n e la gravea  g  = Cπ  ) Q C?)

F.C99? )

AB.=1

= 1F.F=m P s )

=. 'eter!inai"n el error e la gravea  E  g 

= Cπ  ) Q C?)

F.C99?  F.FF1C

+  AB.=1)  F.C99?

) Q F.CA   AB.=1

 = F.1AKm P s )  

. Calulo el error relativo e la gravea 0 o!$ararlo on el asignao. ε  g 

=

F.1AK 1F.F=

= F.F1A

ε  g 

= F.F1

 error asignao 2os errores son asi iguales $ero la aelerai"n e la gravea es istinto al te"rio/ ebio a ue in&lu0o la !eia el tie!$o e osilai"n/ 0 e la longitu 2. K. Test e 4i$"tesis $ara la aelerai"n e la gravea $ara la $robabilia el 9K one gF 9.K !s)

R. En el test e 4i$"tesis la aelerai"n e la gravea es istinto al valor e($eri!ental/  $or lo ue se ae$ta la 4i$"tesis alternativa  1G gF

≠

 g ebio a errores siste!3tios.

9.K.= VA2I'ACI, 'E 2A EC+ACI, 'E2 P<,'+2O 1. Con los $ares e atos el tie!$o t n  alular los $erioos $ara los i&erentes longitues/ 0 on los $ares e atos T 0 2 onvertirlos a TQ 0 2Q .n 1 ) =  K 

2 8! F.K F.K F.F F.=K F.=F F.)K

T 8 seg 1.F 1.== 1.) 1.1 1.F9 1.FF)

2Q F.=F1 F.= F.=9 F.K F.K)= F.F)

TQ F.1 F.1) F.1F= F.FF= F.F=? F.FFF?1=K

). 7ra&io T vs 2 en la esala !%tria L (m)

T (seg) 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25

Grafico T vs L

1.4 1.33 1.27 1.17 1.09 1.002

1.5 1

T (seg)

       T

P#$e%&' (T (seg))

0.5 0 0

0.2

0.4 L

7ra&io TQ vs 2Q

0. y = 1.9!" 0.4!!2

L*

T* +0.301 +0.347 +0.397 +0.45 +0.523 +0.02

0.147 0.124 0.103 0.0703 0.03!4 0. 000!135

Grafico T* vs L*

0.2 0.15 0.1

       *        T

T* L'%e (T*)

0.05 0 +0.!

+0.

+0.4

+0.2

L*

+0.05

0

y = 0.4!!4" , 0.293!

=. Calulo e la euai"n e($eri!ental el $%nuloG TQ  F.)9  F.9 2Q . Calulo el oe&iiente e orrelai"n. R  F.999 Si r se a$ro(i!a a la unia lo ue inia ue la euai"n e($eri!ental se aera a la euai"n e la reta. K. Test e 4i$"tesis e la euai"n el $%nulo $ara la $robabilia el 9K/ $ara A E 0 log

)π   g 

BE $ara los valores te"rios e A   0 B  F.K )  , 88AE  BE2i U Ti T i ) 1 ) =  K 

F.FFFFF)F1 F.FFFFFFFFF9 F.FFFF1) F.FFFFFFF F.FFFFFF F.FFFFF=)1 1. EK

∑

= S0(

1.AC E  − K C

T i

F.F)1 F.F1K F.F1F F.FF9 F.FF1K .1 E F.FKF11

=

F.1 F.1) F.1F= F.FF= F.F=? F.FFF?1=K F.?=K1

F.FF)F= F.FKCF11 −

= F.FF)F= SBE

1 A

F.C?=K1)

= F.F1AK

F.FKCF11)

= F.FF=F9

A Q F.FKCF11 − F.C?=K1)

SAE

= F.FF=A

t α  P )/ n − )

Pruebas e signi&iai"n $ara B E one

= tal

F.C9 − F.K F.F1AK

 ).

= F.AFA

t α  P )/ n − )

'eisi"n G Se o!$ara el valor e t al on el valor ritio  entonesG Se ae$ta la 4i$"tesis nula 0 onlui!os ue B e  B  F.K 0 la i&erenia observaa se ebe a errores aleatorios. Pruebas e signi&iai"n A E )π 

Calulo e A  ln

=

F.)9C − F.=F=

tal

F.FF=A

9.BBK

 F.=F=

= ).K

t α  P )/ n − )

'eisi"n G Se o!$ara el valor e t al on el valor ritio  entonesG Se ae$ta la 4i$"tesis nula 0 onlui!os ue A E  A 0 la i&erenia observaa se ebe a errores aleatorios. t α  P )/ n − )

. Intervalos e on&ian:a e A E 0 BE 0 AE 8F.)9

±

F.FF9

>

 ). BE 8F.9

±

 F.F

9.K. CA2C+2O 'E2 RA'IO -NI-O 'E 2A ES*ERA 1. E!$leano 89.)1 alule el raio !3(i!o e la es&era/ en esta euai"n onsiere 2  KFF !! 0 el error relativo e la gravea asignao. r  ≤ KFF

F.F1 C

≤ )Kmm

). Se 4allara el raio e la es&era entro el li!ite se;alaoW

R. El raio e la es&era se enuentra entro el li!ite $orue el raio e la es&era es 11.1K !! $or lo ue es !enor al estableio. 9. OBSERVACIO,ES En la $ratia se enontr" ue la a!$litu !3(i!a 0 la istania 2 es !u0 i!$ortante  $ara el estuio elo $%nulo si!$le $orue 0 ue estas variables eter!inan la valiai"n e la euai"n el $%nulo. 9. CO,C2+SI, Con las onsieraiones 0a e($liaas anterior!ente el $%nulo el laboratorio se o!$orto o!o un $%nulo si!$le/ a0uano al estuio el $%nulo si!$le. Pero en la eter!inai"n e la aelerai"n e la gravea no se $uo enontrar la gravea te"ria e la iua e 2a Pa:/ esto &ue ebio al !anejo el rono!etro 0 e las !eias e la istania 82/ ue in&lu0eron en la eter!inai"n e la g 2P. En la eter!inai"n e euai"n e($eri!ental el $%nulo on la a0ua e la $rueba e 4i$"tesis/ se enontr" ue los valores A E 0 BE se a$ro(i!an a los valores te"rio 0 la i&erenia e(istente es ebio a errores siste!3tios. 9.? C+ESTIO,ARIO 1. Para un $%nulo en osilai"n/ se;ale los $untos en los uales la veloia/ la aelerai"n 0 tensi"n en la uera alan:an valores !ininos.

R. 2a tensi"n/ la veloia 0 la aelerai"n alan:an su valor !3(i!o en la $arte in&erior e la tra0etoria e la es&era/ 0 alan:an su valor !6ni!o en la $arte su$erior se su tra0etoria ebio al $eso e la es&era. ). Con re&erenia a la $regunta 1 alule i4os valores. R. alulo el valor !3(i!o 0 !6ni!a e la tensi"nG T!a(  ! v)B2  !g T!in  !v)A2 U !g =. Para un $%nulo en osilai"n/ bosueje los gr3&ios ( vs t/ v vs t/ 0 a vst . Calule el $erioo e osilai"n e un $%nulo on 2  1/FF ! a nivel el !ar/ en 2a Pa: 0 en la 2una. R. En el nivel el !ar.

En la iua e 2a Pa:

En la 2una

T  ND! 

= )π 

T  Luna

= )π 

1

= ).FFA seg 

9/?1 1 1.A)

T  L" 

= )π 

1 9.BBK

= ).FF9 seg 

= C.9= seg 

K.. Calule el $erioo e osilai"n e 2  1.FF !/ si el 3ngulo !3(i!o e se$arai"n &uera  1?FF. T  =

Cπ  )

R.

 1 + 1 sen ) 9F   = =.F1 seg     9/BBK   )   1

. 'os es&eras A 0 B uelgan e los 4ilos e longitu 2 A  2 B e inian su !ovi!iento en las $osiiones ue !uestra la &igura si ! a  )! B on oble ue el e BW/ el tri$leW la !itaW.

θ  $

= )θ  #

. el $erioo A ser3 el

R. El $erioo e A ser3 la !ita ue el e B ebio a la al 3ngulo e se$arai"n

. 2as es&eras A 0 B e la $regunta K/ $oseen !asas iguales on Cu3l es la relai"n entre el $erioo e A 0 el e BW

T  $ T  #

)π 

= )π 

 1 + 1 sen) )θ       )    g    ) =  L #   1 θ    1 +  sen)   )    g    )

) L #

θ  $

= )θ  #

 0 2A  )2B

  1   )1 +  sen)θ      )   1 θ  1 +  sen) ) )

R. ?. El $erioo e un $%nulo si!$le e longitu 2 0 T/ si esta longitu se reue a la !ita  el nuevo $erioo T / se 4abr3 reuio ta!bien a la !itaW au!entara el obleW R. El nuevo $erioo se reuir3 a la !ita un laro eje!$lo se tiene uano en la  $ratia $ri!ero se trabaja on uano se observa ue a !eia ue se va reuieno la longitu 2 el $erioo va is!inu0eno. 9.9 BIB2IO7RA*IA *6sia B3sia U eitorial Santillana U $agina 1FF Enilo$eia Enarta

Pratias e &6sia 1 U Al&reo Nlvare:  $agina F9

PRACTICA # 1F PÉNDULO -.L/STI0O

1F.1 OBJETIVOS 7eneral Estuio el balane e energ6a 0 antia e !ovi!iento. A$liai"n e los $rini$ios e onservai"n. Es$ei&io 'eter!inai"n e la veloia e $ro0etiles 'eter!inai"n e la ineria rotaional el $%nulo.

1F.) *+,'A-E,TO TERICO El $%nulo bal6stio es un !%too l3sio $ar la eter!inai"n e la veloia e  $ro0etiles. Es ta!bien una buena e!ostrai"n e uno e los $rini$ios l3sios e la &6sia. +na es&era !et3lia es irigia 4aia el $%nulo/ el ual entones se eleva una ierta altura. -eiante la eter!inai"n e la altura ue 4aiene el $%nulo/ $oe!os alular la energ6a $otenial. Esta energ6a $otenial es igual a la energ6a in%tia ue  $osee el $%nulo en la $arte !as baja e su !ovi!ientos osilatorio/ justo es$u%s e la olisi"n e la on la es&era. 2a energ6a in%tia el $%nulo es$u%s e la olisi"n no $uee igualarse a la energ6a in%tia e la es&era antes e la olisi"n/ 0a ue la olisi"n es $er&eta!ente inel3stia/ en este ti$o e 4oues no se onserva la energ6a in%tia. Sin e!bargo la antia e !ovi!iento se onserva en ualuier ti$o e 4oues. Entones la antia e !ovi!iento e la es&era antes e la olisi"n ser3 igual al el $%nulo es$u%s e la olisi"n. 2uego onoieno la antia e !ovi!iento e la es&era 0 su !asa/ $or3 eter!inar su veloia iniial. E(isten os !%toos e alular la veloia e la es&era. El $ri!ero !%too a$ro(i!ao asu!e ue el $%nulo 0 la es&era se $ueen asi!ilar en un $%nulo si!$le/ es eir/ la !asa el $%nulo 0 e la es&era est3n loali:aos en un $unto/ este $unto seria el entro e !asa. Este !%too no onsierar6a la ineria rotaional el $%nulo. Sin e!bargo en !%too si!$le 0 &3il 0 o!$arao on el seguno !%too/ $ero no e(ato. El seguno !%too 8!%too e(ato usa la ineria rotaional el $%nulo en los 3lulos. 2as euaiones son algo o!$liaas 0 es neesario to!ar !as atos $ara enontrar el !o!ento e ineria el $%nulo/ $ero el resultao obtenio es !ejor. 1F.).1 -ETO'O APROI-A'O 2a energ6a $otenial el $%nulo en la $arte !as alta e su !ovi!iento osilatorio esG

∆ E  "  =  !g ∆&%!   

81F.1

'one - es la !asa el $%nulo !as la !asa ! e la es&era/ g la aelerai"n e la gravea 0 elta 4 es el a!bio e la $osii"n vertial/ ao ueG

∆ E  "  = !g'%!  (1 − #osθ )  

81F.)

'one R ! es la istania ese el $ivote 4asta el entro e !asa e el siste!a $%nulo es&era. Esta energ6a $otenial es igual a la energ6a ue $osee el $%nulo in!eiata!ente es$u%s e la olisi"n/ on las o$eraiones !ate!3tias 0a esritas en la gu6a se enuentra la veloia e la es&eraG 

=

 ! 

) g'%!  (1 − #osθ  )

m

 

81F.?

1F.).) -ETO'O EACTO 2a energ6a $otenial se obtiene e !anera i%ntia al !ostrarlo en la sei"n 1F.).1

∆ E  "  = !g'%!  (1 − #osθ ) Para evaluar la energ6a in%tia/ e!$leano la euai"n e la energ6a in%tia angular en lugar e la lineal/ 0 sustitu0eno en la euai"n el !o!ento angular 8antia e !ovi!iento angular.  E c

=

 L)"  ) ( 

 

81F.11 ω 

'one DI es el !o!ento e ineria e el siste!a $%nulo U es&era/ 0 es la veloia angular in!eiata!ente es$u%s e la olisi"n/ resolvieno la anterior euai"n se tieneG  L p

=

) (E c

 

81F.1)

Esta antia e !ovi!iento angular es igual a la antia e !ovi!iento angular e la es&era antes e la olisi"n/ !eia ese el $ivote el $%nulo.

= ω  '  Lb =  ( ω  = m'b)ϖ   Lb = m'b 

Con

 

81F.1

En la euai"n 81F.1 R  b es la istania ese el $%nulo 4asta la es&era.

Co!o 2 $ es igual a 2 b entones 0 es$ejano la veloiaG 

=

1

m'b

) (!g'%!  (1 − #osθ  )

 

81F.1K

Para eter!inar v es neesario evaluar DI 8!o!ento e ineria e el siste!a $%nulo U  es&era. Para eter!inar I/ e!$e:a!os on la euivalenia rotaional e la seguna le0 e ,eHton. τ 

= ( α  α 

τ  

'one es el !o!ento e la &uer:a 8-g o torue/ I es el !o!ento e ineria 0 es la aelerai"n angular. 2as &uer:as ue at5an en el entro e !asa el $%nulo es -g/ 0 las o!$onentes e la &uer:a/ $er$eniular al raio e giro esG θ 

*   -g sen El torue sobre el $%nulo esG  ( α  = −  '%!  !gsen θ 

 

81F.1

Para $eue;os 3ngulos α 

≅−

 !g'%! 

d )θ  dt )

+

≅ θ 

 on estas a$ro(i!aiones 0 resolvieno 81F.1 $araG

θ 

 ( 

α 

Con

 senθ 

=

d )θ  dt )

 0 orenaoG

 !g'%!   ( 

θ 

=F  

81F.1

Esta euai"n i&erenial angular/ es an3loga a la euai"n i&erenial $ara el !ovi!iento lineal ar!"nio si!$le/ si o!$ara!os estas os euaiones/ la lineal 0 angular/ $oe!os euir ue el $%nulo e(4ibe un !ovi!iento ar!"nio si!$le/ 0 ue el uarao e la &reuenia angular $ara este !ovi!iento esG

)

ω 

=

 !g'%!   ( 

ω 

Resolvieno $ara I 0 to!ao en uenta ue  (  =

=

)π 

T 

 se tieneG

 !g'%! T ) Cπ  )

 

81F.19

1F.= -ATERIA2ES L EX+IPOS o o o o

P%nulo bal6stio Es&eras !et3lias 0 $l3stias Reglas Balan:a

1F. PROCE'I-IE,TO 1F..1 'ETER-I,ACI, 'E2 -O-E,TO 'E I,ERCIA 1. -ia = vees la !asa e la es&era !et3lia. ). Pese = vees el $%nulo bal6stio 8on la es&era entro el $%nulo =. -ia la istania ese el $ivote 8$unto e sus$ensi"n e $%nulo 4asta el entro e !asa el $%nulo 8R C-. Para ello utili% el anto e una regla 0 onsiga euilibrar el $%nulo bal6stio/ inluia la es&era en su ree$t3ulo/ !arue el $unto 0 re$ita este $roei!iento = vees. . -ia la istania ese el $ivote 4asta el entro e la es$era 8R B. K. Instale el $%nulo bal6stio en su $ivote on la es&era !et3lia entro el $%nulo 0 !ia el tie!$o $ara K osilaiones 8tn utili% un 3ngulo e K F o!o 3ngulo !3(i!o e osilai"n/ re$ita este $roei!iento = vees. . Re$ita los $asos 1 a K on un es&era e $l3stio. 1F..) 'ETER-I,ACI, 'E 2A VE2OCI'A' I,ICIA2 'E2 PROLECTI2 -E'IA,TE CO,SI'ERACIO,ES CI,E-NTICAS 1. Instale el lan:aor e $ro0etiles en una !esa. ). 'is$are el $ro0etil 4aia el $iso en &or!a 4ori:ontal.

=. En el lugar one 4ae i!$ato en el $iso/ oloue un $a$el blano 0 $a$el arb"nio. . Realie K lan:a!ientos. K. -ia la altura K vees 0 el alane 4ori:ontal. 1F..= 'ETER-I,ACI, 'E 2A VE2OCI'A' I,ICIA2 'E2 PROLECTI2 -E'IA,TE E2 P<,'+2O BA2YSTICO 1. ). =. . K.

Instale el $%nulo bal6stio 0 el lan:aor e $ro0etiles. Veri&iue ue el iniaor el 3ngulo !arue ero. E&et5e K is$aros sobre el $%nulo bal6stio. Para aa lan:a!iento/ l%ase el 3ngulo !3(i!o ue alan:a el $%nulo. ,otaG en aa lan:a!iento/ utilie el !is!o grao e o!$resi"n el resorte el lan:aor e $ro0etiles/ ae!3s tiene ue ser si!ilar la o!$resi"n el resorte al utili:ar en el $unto 1F..=.

1F.K CN2C+2OS Tabla e atos Es&era !et3lia n 1 ) = -eia

R C- 8! )?. )?. )?.? )?.=

R b 8!   =F.1 =F.1 =F.) =F.1

.! 8g K.? K.? K.9 K.?=

- 8g =F9.) =F9.) =F9.1 =F9.1

.tK 8seg K.)? K.) K.K K.=

.! 8g 9.= 9.= 9. 9.

- 8g )K).9 )K=.F )K).9 )K).9=

.tK 8seg K.=) K.=1 K.) K.)9

Es&era $l3stia n R C- 8! R b 8!   1 )?. )9.?9 ) )?. )9.99 = )?. )9.?9 -eia )?.= )9.9) Con la es&era !et3lia n 1 ) = .( 8! 9?.= 9?.= 99. L 8! 1FK 1FK.1 1FK Con la es&era $l3stia n 1 .( 8! 1FF L 8! 1FK

) 1F1.K 1FK.1

= 1FF 1FK

 1FF 1FK

K 1FF.= 1FK

-eia 99. 1FK.F)

 1FK. 1FK

K 1F) 1FK

-eia 1F1. 1FK.F)

Tabla e 3ngulos !3(i!os e elevai"n Con la es&era !et3liaG n 1 ) = θ  = = =

 =

K =K.K

-eia =K.9

Con la es&era $l3stiaG n 1 θ  ?.K

 ?.K

K ?.

-eia ?.?

) ?.K

= ?.K

1F.K.1 'ETER-I,ACI, 'E2 -O-E,TO 'E I,ERCIA %on la esfera de metal 

1 . Calulo e los valores !eios e !/ -/ R C-/ R  b/ 0 tn on sus res$etivos erroes. R ! 8F.)?= R B 8F=F1

±

±

 F.FF1!

.!  8 F.FK?= - 8F.=F91 .tn 8K.=

±

 F.FF1!

±

±

 F.FFF1 @g

 F.FFF1@g

 F.=seg

). Calulo el $erioo e osilai"n el $%nulo balistio. T  K.=K  1.F) seg =. Calulo el error el $erioo. Et F.=K  F.F? seg . Calulo el !o!ento e ineriaG  (  =

F.=F91A Q 9.BBK Q F.)?B= Q1.FB)) Cπ  )

= F.F)K=

K. Calulo el error el !o!ento e ineriaG

 E  ( 

F.FFF1C F.FF1C ) Q F.F?A   = F.F)K=  + +    = F.FFC)  F.=F91A F.)?B= 1.FB)  

I  8F.F)K=

±

 F.FF)

%on la esfera plástica

1 . Calulo e los valores !eios e !/ -/ R C-/ R  b/ 0 tn on sus res$etivos errores. R ! 8F.)?= R B 8F)99)

±

.!  8 F.FF9 - 8F.)K)9= .tn 8K.)9

±

±

 F.FF1!

 F.FF1!

±

±

 F.FFF) @g  F.FFF1@g

 F.F?seg

). Calulo el $erioo e osilai"n el $%nulo bal6stia. T  K.)9K  1.F seg =. Calulo el error el $erioo. Et F.F?K  F.F1 seg . Calulo el !o!ento e ineriaG  (  =

F.)K)9= Q 9.BBK Q F.)?A= Q1.FA) Cπ  )

= F.F)F1

K. Calulo el error el !o!ento e ineriaG  E  ( 

F.FFF1C F.FF1C ) Q F.F1A   = F.F)F1  + +   = B.) E  − C 1.FA    F.)K)9= F.)?A=

I  8F.F)F1

±

 .)E

1F.K. ) 'ETER-I,ACI, 'E 2A VE2OCI'A' 'E2 PROLECTI2 -E'IA,TE CO,SI'ERACIO,ES CI,E-NTICAS %on la esfera metálica

. 'eter!inai"n el $ro!eio e D( 0 D0/ on sus res$etivos errores on la  $robabilia el 9K.   F.99 ! .(  8F.99

S(  .F.FFF1))

±

F.F1K !

.0  1.FKF) ! .0  81.FKF)

±

on t F.F)K  ).

S 0  F.FK  F.FFFK !

). Calulo e la veloia iniial.

F

=

9.BBK

F.99CA

) Q1.FKF)

= ).1CK1m P s

=. 'eter!inai"n el error e v F.

 F.F1KA + F.FFFKA  = F.F=C)1m P s    ) Q1.FKF)  F.99CA ) Q1.FKF)   9.BBK

F.99CA

EvF 

±

VF  8).1K1  F.F=)1 !s

%on la esfera plástica

. 'eter!inai"n el $ro!eio e D( 0 D0/ on sus res$etivos errores on la  $robabilia el 9K.   1.F1 ! .(  81.F1

S(  .F.F)F

±

.0  1.FKF) ! .0  81.FKF)

±

F.F)K ! S 0  F.FK  F.FFFK !

). Calulo e la veloia iniial.

on t F.F)K  ).

=

F

1.F1B

9.BBK ) Q1.FKF)

= ).19Cm P s

=. 'eter!inai"n el error e v F.

 F.F)KC + F.FFFKA  = F.FKKCm P s    ) Q1.FKF)   1.F1B ) Q 1.FKF)   9.BBK

1.F1B

EvF 

±

VF  8).19  F.FKK !s

1F.K.= 'ETER-I,ACI, 'E 2A VE2OCI'A' 'E2 PROLECTI2 -E'IA,TE E2 P<,'+2O BA2YSTICO. %on la esfera metálica

-ETO'O APROI-A'O 1. 'eter!inai"n el valor !eio 0 e su error el 3ngulo !3(i!o. θ 

 8=K.9

±

 F.)F

). Calulo e la veloia a$ro(i!aaG 

=

F.=F91A F.FAK?=

) Q 9.BBK Q F.)?B= Q 81 − #os =K.9

= C.?Km P s

=. 'eter!inai"n el error e la veloia a$ro(i!aa.  E 

 F.FFF1C F.FFF1C F.FF1C F.)B Q sen=K.9     = C.?K + + +  = ).FCm P s  F.=F91A F.FAK?= ) Q F.)?B= )81 − #os =K.9  

V 8/?K

±

 ).F !s

-ETO'O APROI-A'O 1. Calulo e la veloia e(ata. 

=

1 F.FAK?= Q F.=F1B

) Q F.F)K= Q F.=F91A Q 9.BBK Q F.)?B= Q 81 − #os =K.9

= C.K9m P s

). 'eter!inai"n el error e la veloiaG  E 

  F.FFF1C F.FFF1C F.FF1C F.FF1C F.FFC) F.)B Q sen=K.9     = C.K9 + + + + +  = ).B=m P s ) Q F . =F91A F . FAK?= ) Q F . )?B= F . =F1B F . F)K= ) Q 8 1 #os =K . 9  −    

v  8.K9

±

 ).= !s

=. Calulo e la i&erenia $orentual e la veloiaesG -%too a$ro(i!ao Tdifer  =

Tdifer  =

C.?K − ).1C C.?K C.K9 − ).1C C.K9

-%too e(ato Q1FF = KK.?BT

Q 1FF = K=.=BT

%on la esfera plastico

-ETO'O APROI-A'O 1. 'eter!inai"n el valor !eio 0 e su error el 3ngulo !3(i!o. θ 

 8?.?

±

 F.FKKF

). Calulo e la veloia a$ro(i!aaG 

=

F.)K)9= F.FF9C

) Q 9.BBK Q F.)?A= Q 81 − #os ?.C?

= A.AKm P s

=. 'eter!inai"n el error e la veloia a$ro(i!aa.  E 

 F.FFF1C F.FFFC) F.FF1C F.FKK Q sen?.C?     = A.AK + + +  = ).B?m P s − F . )K)9= F . FF9C ) Q F . )?A= ) 8 1 #os ? . C?     

V 8.K

±

 ).? !s

-ETO'O APROI-A'O 1. Calulo e la veloia e(ata. 

=

1 F.FF9C Q F.)99)

) Q F.F)F1 Q F.)K)9= Q 9.BBK Q F.)?A= Q 81 − #os ?.C?

= A.)Bm P s

). 'eter!inai"n el error e la veloiaG  E 

  F.FFF1C F.FFFC) F.FF1C F.FF1C F.FFFB) F.FKK Q sen?.C?     = A.)B + + + + +  = ).?Bm P s ) Q F . )K)9= F . FF9C ) Q F . )?A= F . )99) F . F)F1 ) Q 8 1 #os ? . C?  −    

v  8.)

±

 ).? !s

=. Calulo e la i&erenia $orentual e la veloiaesG -%too a$ro(i!ao

-%too e(ato

Tdifer  =

Tdifer  =

A.AK − ).19 A.AK A.)B − ).19 A.)B

Q1FF = AB.FAT

Q 1FF = AK.FBT

1F. OBSERVACIO,ES En los 3lulos e&etuaos en la $ratia se eter!ina ue las veloiaes alulaas antes el 4oue son a$ro(i!aas en los !%toos el alulo $or el !%too el $%nulo  bal6stio. En la eter!inai"n e la veloia iniial $or onsieraiones ine!3tias se enuentra una gran i&erenia entre el alulao $or el $%nulo bal6stia/ esto es ebio a ue la o!$resi"n el resorte en el isi$aor no &ue el !is!o en a!bos !%toos. 1F. CO,C2+SIO,ES Para lograr enontrar la veloia iniial e las es&eras se lo reali:o on la a0ua el estuio e la antia el balane e energ6a 0 antia e !ovi!iento/ e auero a estas onsieraiones se logro enontrar la veloia iniial e la es&era. Para el alulo e la veloia iniial e la es&era $or el !%too e(ato se estuio el !o!ento e ineria el $%nulo bal6stia/ ue a0uo la eter!inai"n e la veloia iniial e la es&era. El $%nulo bal6stio o!o su no!bre lo inia es e!$leao en el a!$o $oliial $orue e auero estas onsieraiones se $uee eter!inar la veloia e $ro0etiles on lo ue a0uaa en las investigaiones $oliiales. 1F.? C+ESTIO,ARIO 1. Cual es la i&erenia entre &reuenia angular veloia angularW R. 2a &reuenia angular es el nu!ero e vueltas ue una $art6ula lo reali:a en un seguno. 2a veloia angular/ es el oiente el es$la:a!iento angular entre un tie!$o transurrio. ).Cu3les son las uniaes 0 i!ensiones e la antia e !ovi!iento angularW

R. 2a s uniaes e la antia e !ovi!iento angular es el siste!a internaionalG @gQ!)seg. =. 2uego el i!$ato e la es&era/ el $%nulo auiere una ierta antia e !ovi!iento angular/ Cu3les son las ireiones 0 sentio el vetor antia e !ovi!ientoW R. 2a irei"n el $%nulo es la el 3ngulo !3(i!o e elevai"n auiria $or la es&era/ 0 su irei"n es la !is!a ue la veloia en too el tra0eto. . Puee una $art6ula tener !a0or antia e !ovi!iento ue otra 0 sin e!bargo tener !enor energ6a in%tiaW. Justi&iue la res$uesta R. Esta e($resi"n !enionaa anterior!ente no $uee ourrir $orue en los asos la antia e !ovi!iento 0 la energ6a in%tia e$enen e la !asa 0 e la veloia. K. 2a antia e !ovi!iento lineal se onserva sie!$re 0 uano no at5en &uer:as e(ternas sobre el siste!a entones o!o justi&ia +' la a$liai"n e la euai"n 81F/ en este e($eri!ento. R. En la $ratia se usa la euai"n !enionaa $orue en el balane e energ6a e(iste una &uer:a e la gravea en one no se la $uee es$reiar. . El 4oue e la es&era ontra el $%nulo bal6stia es un 4oue $l3stio/ en este ti$o e 4oue no se onserva la energ6a in%tia/ trans&or!3nose $arte e ella en energ6a oliri&ia "!o $or6a !eir e($eri!ental!ente esta generai"n e alorW. R. Co!e en la $ratia e olisiones se !ie la istania es$u%s el 4oue 0 on estas istanias !eiante onsieraiones ine!3tias se alula las veloiaes antes 0 es$u%s el 4oue 0 on la siguiente euai"n se alula la energ6a $eriaG 1 )

m11)

=

1 )

 !* )

+ )  one D@ es la energ6a $eria.

. +na bala e )F g e !asa se !ueve on una veloia e )KF !s 0 se inrusta en un bloue e !aera e una !asa -  1.9? @g. Calule el 3ngulo !3(i!o ue esribe la uera on la vertial si 21 !. R. 'atos. -  1.9? @g. .!  F.F) @g

.v  )KF !s 21! Balane e antia e !ovi!iento G ! v  8!- V Balane e energ6aG Z 8-! V )  8!- g  'one V  F.F)Q)KF81.9?  F.F)  ).K !s Entones   )/K ) )Q 9.?1  F.=) !

α 

El 3ngulo !3(i!o esG

 aros

 1 − F.=)   = CB.1K      1  

1F.9 BIB2IO7RA*IA *6sia -e3nia  Euaro ua0ta U Pagina )?)9 Pratias e *6sia U Euaro ua0ta [ Al&reo Nlvare: U Pagina 1F=1F9 Enciclopedia Encarta.