Informe de Laboratorio Nº3
OBJETIVOS
•
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de ellos calcular los momentos de inercia.
•
•
Notar la relación de centro de inercia con periodo del péndulo físico.
Comprobar el teorema de Steiner.
Yance Aranda, Aranda, Israel 2
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INSTRUMENTOS Equipo:
•
Una barra metlica de lon!itud " con #uecos.
•
Un soporte de madera con cuc#illa.
•
Dos morda$as simples.
•
Un cronómetro di!ital.
•
Una re!la milimetrada.
Yance Aranda, Israel 3
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FUNDAMENTO TEÓRICO Se denomina péndulo físico a un cuerpo rí!ido capa$ de pi%otar en torno a un e&e #ori$ontal fi&o' como se ilustra en la fi!ura (.(. "a fi!ura (.(.) muestra la orientación de equilibrio del péndulo' con el centro de !ra%edad a una distancia %ertical b del e&e de rotación. En esta confi!uración' la componente del torque de la fuer$a en torno al e&e de rotación es i!ual a cero.
Sí el péndulo se despla$a de su posición de equilibrio' como lo ilustra la fi!ura ((.*' +aparece, un torque e&ercido por la fuer$a de !ra%edad en la dirección del e&e que pasa por punto de suspensión' que tiende a #acer !irar el péndulo en dirección contraria a su despla$amiento an!ular que y de ésta forma lle%ar al péndulo de nue%o a su posición de equilibrio -torque recuperador' posición que no lo!ra obtener debido a su inercia. "a ecuación de mo%imiento que describe ésta situación física es la si!uiente:
∑τ
/
= −mgbsenθ = I b α
Yance Aranda, Israel 4
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Donde 0 representa el momento de inercia del péndulo físico respecto a un e&e que pasa por el punto de suspensión 1' y b es la distancia que separa al centro de !ra%edad de dic#o punto de suspensión.
Esta ecuación la podemos expresar en forma de ecuación diferencial: d 2θ dt 2
+
mgb I b
senθ = /
Esta ecuación diferencial no es lineal' por lo que no corresponde a la ecuación diferencial de un oscilador armónico.
3s' sin embar!o' si #acemos la aproximación para peque4as oscilaciones' senθ ≈ θ ' la ecuación anterior se transforma en: d
2
2
dt
+
mgb I b
θ = /
5ue sí corresponde a la ecuación de un oscilador armónico con frecuencia an!ular:
Yance Aranda, Israel 5
Informe de Laboratorio Nº3 mgb
ω =
I b
6 con período' I b
T = 2π
mgb
Como el experimento se reali$a con una re!la de metal' b sería la lon!itud l que %iene a ser la distancia del centro de !ra%edad -C7 al e&e de !iro. Si aplicamos el 8eorema de Steiner -+teorema de e&es paralelos,: I l
=
I G
T = 2π
+
I G
2
Ml +
2
Ml
mgl
Yance Aranda, Israel 6
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CÁLCULOS Y RESULTADOS 1. Llene la tabla con las siguientes características
# de hueco 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l (cm)
t1 (s)
t2 (s)
t3(s)
# de Periodo osc. (prom.)
50.9
25.57
25.43
25.39
15
1.7
46.1
24.49
24.60
24.53
15
1.64
41.2
24.23
24.26
24.19
15
1.61
36.15
23.92
23.89
23.85
15
1.59
31.1
23.76
23.81
23.84
15
1.59
26.1
15.83
15.81
15.85
10
1.58
20.9
15.65
15.75
15.70
10
1.57
15.9
17.00
16.9
16.80
10
1.69
11
20.20
20.38
20.30
10
2.03
5.9
26.64
26.84
26.80
10
2.68
2. a) Grafique T vs l , T en la vertical y l en el eje horizontal.
Yance Aranda, Israel 7
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T vs l 3.000 2.500 2.000 1.500 1.000 0.500
-0.00
-0.!00
-0.200
0.000 0.000
0.200
0.!00
0.00
L"#$%&'(
b) A artir !e la ecuaci"n #1), con $ l !a!a or la ecuaci"n #2), encuentre el valor !e l !on!e el erio!o es %íni%o.
De la ecuación:
9-( 0l 07 ; 3l 2 9-2 -2 2 Siendo 07' 3' !' y -2 2 constantes el periodo solo depende de l ' entonces tenemos una función
88-l y para obtener el %alor de periodo mínimo deri%amos respecto a
l
e
i!ualamos a cero. De lo cual obtenemos: 2
l
8eniendo 07 /.(??@' 3 (.?@A
07>3
l
/.@(Bm
c) &o%are el valor !e l obteni!o en b) con el que obtiene !e la grafica en #a). Yance Aranda, Israel 8
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)proximando la !rfica obtenemos: 8 ((.@l 2 ?./F2l ; 2.B(A9-@ Deri%ando -@ para obtener el mínimo e i!ualando a cero' tenemos: 22.?Al G ?./F2 / 1bteniendo: l /.@2m
!) '&u(l es el erio!o ara esta !istancia
Hallaremos el periodo con l /.@2m con la ecuación -( 0l /.(??@ 3 /.(?
8 (.A/@s
e) *e su gr(fico, 'ue!e !e!ucir !os untos !e oscilaci"n !el %is%o erio!o $n!íquelos.
8eniendo la !rafica simétrica respecto al e&e 6 -del periodo' tendrn el mismo periodo los que se encuentren a una distancia a la derec#a i!ual a una distancia a la i$quierda del centro de !ra%edad' pero también se puede obser%ar que en cada rama existe una conca%idad que produce un mínimo en el periodo lo que resulta dos %alores de l positi%os que tiene el mismo periodo. )nalíticamente para dos %alores de l positi%os tenemos que cumplen la si!uiente relación: l 1*l 2 07>3. Con los datos obtenidos tenemos que los periodos en los #uecos NI2 -8(.A2 y NIF -8(.AB son aproximadamente i!uales. ^
+. &on el valor !e T conoci!o eeri%ental%ente, encuentre, utilizan!o la relaci"n #1), el valor !e $l y llene la Tabla 2 con las siguientes características.
l 2
# de hueco 1 2 3 4 5
L^2
(cm^2)
T^2 (s^2)
(K.m^2)
2590.31
2.881
0.6830
2125.21
2.676
0.5746
1647.44
2.608
0.5004
1306.82
2.536
0.4269
967.20
2.518
0.3648
Yance Aranda, Israel 9
Informe de Laboratorio Nº3 6 7 8 9 10
681.21
2.504
0.3045
436.81
2.465
0.2400
252.81
2.856
0.2115
121.00
4.118
0.2110
34.81
7.161
0.1968
-. aga el grafico $l vs. l 2, y aj/stelo or el %0to!o !e %íni%os cua!ra!os cuan!o los untos obteni!os est0n %uy !isersos.
MOMENTO DE INERCIA Vs. LON)ITUD*2 0700
0600 0500
0400
0300
0200 0!00
0000 0000
0050
0!00
0!50
0200
0250
0300
L" #$%&'(*2
)proximando por mínimos cuadrados obtenemos: 0l (.?/2l 2 ; /.(?A 9-
. *el grafico anterior, y or co%araci"n !e la ecuaci"n #2), !eter%ine $G y .
De la ecuación - comparamos con la ecuación -2 y obtenemos 07 /.(?@ y 3 (.?@A
3. &o%are el valor !e $G obteni!o en el aso con el valor !e la for%a analítica ara una barra !e longitu! L y ancho b, $G 4 5#L26b2)712. '8u0 error eeri%ental obtuvo, y, 'qu0 ue!e !ecir acerca !e la %asa
8enemos 3 ('?/J!' " (.(/@m' b /./Fm' con lo cual resulta I G = 0.1883 1btu%imos experimentalmente el %alor de 07 /.(?A' entonces el error experimental es: Yance Aranda, Israel !0
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El error cometido experimentalmente no es tan si!nificante' en cuanto a la masa' también podemos calcular el error cometido:
Notamos que el error cometido en la masa es ms notorio y qui$ se deba a una mala medición de ella.
9. alle la longitu! !el 0n!ulo si%le equivalente, ara este c(lculo solicite al rofesor !el aula que le asigne el n/%ero !e hueco.
El nKmero de #ueco proporcionado por el profesor para el calculo del péndulo simple equi%alente es el NI. "a ecuación -A nos da dic#a lon!itud.
Calcularemos " teniendo como datos 0l /.@?' 3 (.?' l /.@( Con lo cual se obtiene el %alor de L5 = 0.624
:. *e%uestre en for%a analítica las relaciones #1) y #2)
"a demostración de la ecuación -( se presenta en el fundamento teórico. "a demostración de la ecuación -2 se demuestra con el teorema de Steiner' de los e&es paralelos' deducido por los resultados de las inte!rales cuando estas eran mo%idas a otros e&es respecto a su centro de masa.
Yance Aranda, Israel !!
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CONCLUSIONES
•
No se puede determinar el periodo en el centro de !ra%edad' porque en el se %a a producir el equilibrio mecnico.
Yance Aranda, Israel !2
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Se concluye que existe relación entre el periodo de oscilación y el 0l.
•
El periodo mínimo del experimento es 8 (.A/@s -experimental
•
Se pudo deducir #asta distancias al centro de !ra%edad con el mismo periodo que cumplían una relación.
•
Se demostró experimentalmente el 8eorema de Steiner' teorema de los e&es paralelos.
•
"a lon!itud del péndulo equi%alente para el #ueco L es L5 /.A2.
OBSERVACIONES
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Se puede notar que el error en el experimento debido a que se toman periodos promedios' el fallo en el calculo exacto de las medidas de lon!itud' masa' y periodos.
•
El error en el clculo de la lon!itud es /.mm.
•
El error en el calculo de la masa es de /.///J!
•
El error en el clculo del periodo es /.//s.
•
Mue tomada la !ra%edad con ! B.? m>s2
•
) pesar de todo' los errores que se cometieron fueron le%es y los resultados fueron muy próximos a los ideali$ados.
Yance Aranda, Israel !4
