ESTIMACIÓN DE LA GRAVEDAD GRAVEDAD UTILIZANDO UN PENDULO SIMPLE D. Beleño, C. González, C. Guevara, J. Salas Universidad del Atlántico Departamento de Física ! de A"ril de #!
%$RESUMEN &a pres presen ente te prác práctitica ca real realiz izad ada a en el la"o la"ora rato tori rio o de 'ísi 'ísica ca mecá mecáni nica ca de la univ univer ersi sidad dad del del atlá atlánt ntic ico o tuvo tuvo como como o"(e o"(etitivo vo cons conse)u e)uir ir la acele acelerac raci* i*n n de la )ravedad )ravedad por medio de un p+ndulo simple, simple, para encontrar el error la desviaci*n desviaci*n estándar respecto al valor de re'erencia de la )ravedad tomado, -ue 'ue de ./!001
. &os materiales para la e2periencia 3an sido un 3ilo de al)od*n con
una lon)itud de % cm, una es'era, 'le2*metro, cron*metro, transportador un soporte soporte universal. &a es'era 'ue atada al nailon, soltada soltada en un án)ulo de $14 se de(a de(a"a "a osci oscilar lar $! vece veces, s, se tom* tom* el tiem tiempo po con con el crono cronome metr tro o para para las las $! oscilaciones despu+s se calcul* el promedio. 5n esta e2periencia se realizaron dos prácticas, cada una con #! valores de tiempo apro2imado con sus respectivos errore erroress porc porcent entua uale less desv desvia iaci cion ones es está estánd ndar ar.. &os &os resul resulta tados dos de la prue prue"a "a encontrando la aceleraci*n de la )ravedad se encontraron positivos a -ue sus errores 'ueron mínimos respecto al valor de re'erencia.
Palabras Claves: 6eriodo, 7asa, &on)itud, Gravedad. ABSTRACT 83is practice 9as carried in t3e mec3anical la"orator at t3e Universidad del Atlántico, in order to )et t3e acceleration o' )ravit " a simple pendulum and 'ind t3e error and also t3e standard deviation respect to t3e selected re'erence value, 93ic3 93ic3 9as ./!00 ./!001 1
. 83e materia materials ls 'or t3e e2perie e2perience nce 3as "een a cotton cotton
t3read or t3in nlon 9it3 a len)t3 o' % cm, an sp3ere, 'le2ometer, timer, protractor and an universal support. 83e sp3ere 9as attac3ed to nlon, released at an an)le o' $1: and allo9ed allo9ed to oscillate oscillate $! times, 9e too; t3e duration 9it3 t3e timer o' t3e $! osci oscillllat atio ions ns and and t3en t3en t3e t3e avera avera)e )e 9as 9as calcu calcula late ted. d.
Keywr!s: 6eriod, 7ass, &en)t3, Gravit.
OB"ETIVOS • • •
Determinar el valor de la )ravedad e2perimentalmente. Comprender el resultado 'inal de la medici*n. Determinar el error de la e2periencia.
#$ INTRODUCCIÓN 8odo movimiento o suceso -ue se repite a intervalos re)ulares se dice -ue es peri*dico. 5n ciertos movimientos peri*dicos, un cuerpo se mueve 3acia adelante 3acia atrás si)uiendo una traectoria determinada, entre una posici*n 'i(a =so"re la cual pasa un e(e perpendicular> dos posiciones e2tremas, tal es el caso del p+ndulo simple, un sistema idealizado en el -ue una masa puntual está suspendida del e2tremo de una cuerda ine2tensi"le de masa desprecia"le =cote(ada con la masa del cuerpo>. 5l motivo -ue estímulo el desarrollo de este sucinto in'orme, 'ue reconocer los 'actores varia"les -ue intervienen en este sistema mecánico, estudiar sí e'ectivamente su comportamiento cumple con las características para catalo)ársele como oscilador arm*nico simple determinar e2perimentalmente el valor de la aceleraci*n de la )ravedad, aprovec3ando la relaci*n entre el período la lon)itud del mismo.
%$ DISCUSIÓN TEORICA 5l 6+ndulo simple es una masa puntual -ue pende de un 3ilo ine2tensi"le de masa desprecia"le, si el p+ndulo se suelta despu+s de 3a"erlo separado de la posici*n de e-uili"rio comienza a oscilar alrededor de dic3a posici*n. 5n el p+ndulo simple act?a la tensi*n del 3ilo el peso de la masa el cual es positivo si se desplaza el cuerpo 3acia posiciones ne)ativas ne)ativo cuando el p+ndulo se desplaza 3acia posiciones positivas.
Figura 1. Comportamiento de fuerzas en el movimiento del péndulo.
Su periodo es dependiente de la lon)itud del p+ndulo, =desde el centro de )ravedad de la masa 3asta el punto de uni*n del 3ilo el pivote> es independiente de la masa. =$> 6ara movimientos oscilatorios, cuando el án)ulo @ es pe-ueño entonces se tiene -ue el
.
5l arco descrito es como una línea recta, entonces tenemos -ue sen @ @ 2l siendo así, la 'uerza del p+ndulo es i)ual a F Em.).2l A3ora, Como F m.a m.a Em.).2l
a
E).2l
6ara un movimiento arm*nico se tiene -ue a E9.2, entonces E9.2 E).2l 9 )l como 9 #.H8 reemplazamos %.H8 )l Figura 2. Arco descrito por el péndulo.
8eniendo como resultado 'inal
Ecuación 1
D*nde &, es la lon)itud del p+ndulo. , es la aceleraci*n de la )ravedad. 8, es el periodo de oscilaci*n.
Me!&!a !e la a'elera'&() !e la *rave!a! &a le de la )ravitaci*n de Ie9ton descri"e la 'uerza de atracci*n entre dos cuerpos de masas M m respectivamente cuos centros están separados una distancia r . &a intensidad del campo )ravitatorio g , o la aceleraci*n de la )ravedad en un punto 6 situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de
masa M es la 'uerza so"re la unidad de masa
colocada en dic3o punto.
Su direcci*n es radial diri)ida 3acia el centro del cuerpo celeste. =#> 5n la pá)ina dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa =o densidad> radio de los distintos cuerpos celestes. 5l valor de la aceleraci*n de la )ravedad en la 8ierra es de
, a ese valor
es al -ue se -uiere lle)ar por medio de la '*rmula del periodo del movimiento arm*nico de un p+ndulo simple =pe-ueñas oscilaciones>. Despe(ando la )ravedad de la ecuaci*n $ se o"tiene -ue
Ecuación 2
8eniendo esta '*rmula se puede 3allar la )ravedad "uscando los valores de la lon)itud del p+ndulo su periodo para maor e2actitud precisi*n se realizara la medici*n de periodos %! veces. Además de conceptos 'ísicos es válido tam"i+n tener en cuenta características estadísticas para o'recer un me(or resultado en la práctica, )eneralmente se usan las si)uientes 'ormulas
Para 'al'+lar ,r-e!&:
E'+a'&() .
Para la !esv&a'&() es/0)!ar:
E'+a'&() 1
Para el 'e2&'&e)/e !e var&a'&():
E'+a'&() 3
.$ METODOS E4PERIMENTALES 5n la e2periencia se utilizaron los si)uientes elementos • • • • • •
7asa cilíndrica. Kilo. Larilla metálica para colocar la masa suspendida en el 3ilo. 8ransportador. Cronometro. Fle2*metro
Se constru* un sistema tal cual como se muestra en la si)uiente 'i)ura
Figura 3. Montaje experimental de la práctica.
&a práctica se llev* a ca"o "a(o el si)uiente procedimiento •
•
•
•
Se coloc* la masa cilíndrica a un e2tremo del 3ilo se at* a la varilla metálica en el sistema para p+ndulo simple. Se con'i)ur* la varilla se midi* la lon)itud del 3ilo 3asta el punto medio de la masa cilíndrica. Se coloc* un punto de re'erencia para -ue el p+ndulo simple oscilara siempre con el mismo án)ulo =$14> con la auda de un transportador. Se coloc* a oscilar el p+ndulo se tom* su periodo para $! oscilaciones, se repiti* el proceso %! veces.
Figura 4. Esquema del montaje experimental.
1$ ANALISIS DE RESULTADOS 5 DISCUSIÓN 5l periodo de un p+ndulo simple viene dado por la ecuaci*n $ Donde el o"(etivo a analizar es el valor de la )ravedad, por lo cual despe(amos esta '*rmula para encontrar una e2presi*n e-uivalente =ecuaci*n #>
Donde la lon)itud utilizada en la práctica 'ue de % cm. Siendo así, "a(o condiciones de repetitividad, se tomaron como primera instancia #! mediciones, las cuales encuentran en la si)uiente ta"la
Crr&!a
Per&! 6s7
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$,%$1 $,%!%1 $,%$1! $,$1 $,!1 $,#1
Grave!a! * 6-8 7
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Tabla 1. Datos obtenidos en primera instancia con su respectivo error.
NOTA: 5l valor de la )ravedad tomada como re'erencia 'ue de ,/!001 m De i)ual 'orma con el o"(etivo de realizar una práctica más e2acta, se tomaron nuevamente #! medidas, -ue se presentan en la ta"la a continuaci*n
Crr&!a Per&! %# %% %. %1 %3 % %; %< %= .> .# .% .. .1 .3 . .; .< .=
6s7 $,/11 $,/$! $,/#! $,/%1 $,0!1 $,M1 $,/%! $,0! $,MM1 $,M1 $,0!! $,/11 $,M! $,/%! $,MM1 $,//1 $,/0! $,%$1 $,111
Grave!a! * 6-8 77
Errr E 6-8 77
$!,!MM# $!,$%! $!,$#/ $!,!$/ $!,%1$! ,!% $!,!$ ,#0# $!,$%0 $!,$01$ $!,%1/M $!,!MM# ,$#! $!,!$ $!,$%0 $!,!M $!,!0 ,0!! $!,1#/#
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Errr ,r'e)/+al Er 697 #,M1//%##$% ,%#/$1%/# ,#M$M$ #,!MM#!M/$ 0,1M!1%$%$/ $,!!$/M$$M #,/#$0!!01 $,#$!M!M ,11/!%/ ,011$M#M01 0,0%!110M #,M1//%##$% $,!M%#M$!! #,/#$0!!01 ,11/!%/ #,$1#0100# #,0/%%!#$ #,$!%$/%%!0 M,1MM0#1
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Tabla 2. Datos obtenidos en segunda ocasin con su respectivo error.
NOTA: Se de"e aclarar -ue el valor del periodo en las # ta"las es un promedio de dos valores arro(ados por # cron*metros distintos, esto se 3izo con el 'in de uni'icar una medici*n tratar de o"tener valores más e2actos. A3ora para calcular el error de veracidad simplemente utilizamos la de'inici*n 'ormal de error, donde para este caso se toma el valor o"tenido como un promedio del resultado de todas las mediciones para la )ravedad para el valor de re'erencia como el anterior mencionado.
Siendo así se calcula el error relativo de veracidad, dado por la de'inici*n 'ormal de error porcentual
Con "ase a lo anterior es posi"le calcular la veracidad del e2perimento, -ue viene determinado por el e'ecto del error relativo porcentual o"tenido "a(o la de'inici*n 'ormal de error porcentual, así
Siendo el anterior resultado la veracidad del e2perimento realizado, un error del #N está considerado un error permisi"le, puesto -ue a partir del $!N o maor a este se considera una mala medici*n. 5l error o"tenido está dado por la calidad del transportador utilizado, por la lon)itud e-uivalente de la cuerda por el 3ec3o de -ue en al)unas ocasiones el arco descrito por la oscilaci*n no era uni'orme, a'ectado un tanto a los resultados. Además de esto de"e aclarase -ue la )ravedad de la tierra es distinta en cual-uier parte de la tierra, esto a'ecta de i)ual 'orma al cálculo de este tipo de error. 5s válido aclarar -ue las condiciones de repetitividad son de )ran auda al momento de realizar un con(unto de mediciones de"ido a -ue se presenta un me(or resultado en la calidad de los datos arro(ados. Ba(o las condiciones anteriormente mencionadas, se tuvo como o"(etivo calcular parámetros importantes para la e2periencia, como lo es el promedio, la desviaci*n estándar el coe'iciente de variaci*n lo anterior con la auda de las ecuaciones ,% 1 previamente esta"lecidas.
6ara calcular la precisi*n del e2perimento se utiliza la ecuaci*n % puesto -ue este criterio de precisi*n está de'inido por la desviaci*n estándar de los datos o"tenidos.
5n "ase a lo anterior se calcula la precisi*n de la e2periencia el cual está de'inido por el criterio de la precisi*n relativa, dada por el coe'iciente de variaci*n. 5ste se calcula por la ecuaci*n 1, así
&a concepci*n del coe'iciente de variaci*n tiene como o"(etivo determinar cuánto precisa 'ue la medici*n realizada, es decir, de -ue tan 3omo)+neos son los datos en la e2periencia realizada result* un coe'iciente de variaci*n relativamente "a(o, lo -ue a'irma -ue la medici*n de los datos o"tenidos en las ta"las no 'ue mu imprecisa, es válido con'iar en estos datos con una precisi*n del #,! N. 6ara sa"er cuál 'ue la estimaci*n más e2acta en la e2periencia, se recurre a la idea del dato o"tenido con menor error de veracidad, el cual resulta -ue es el dato o"tenido en la corrida # / con una ma)nitud de ,/!0%
, esto evidenciado
en la ta"la $.
NOTA: 5l Kec3o de -ue el valor arro(ado ten)a si)no ne)ativo no repercute en al)?n e'ecto secundario, de"ido a -ue es un 3ec3o al)e"raico el punto a analizar es la e2actitud o"tenida la di'erencia e2istente +ntrelas mediciones. A3ora en la si)uiente ta"la se aprecia los valores correspondientes a las mediciones realizadas
Pr-e!&
Desv&a'&() es/0)!ar
Ce2&'&e)/e !e var&a'&()
Per&!
$,/0 s
!,!$0!#/#$1 s
$,$1%%!% N
Grave!a! g
$!,!#$10 m
!,#$$/%## m
#,!/#!MM#$ N
Tabla 3. !arámetros de medicin fundamentales para los datos obtenidos
Cada e2periencia siempre re-uiere de un parámetro -ue caracteriza la dispersi*n de los valores atri"uidos a un mesurando a partir de la in'ormaci*n o"tenida =Cuando se 3a"la de mesurando se re'iere a una ma)nitud particular su(eta a una medici*n> este parámetro se conoce como incertidum"re de medici*n. 5sta incertidum"re viene dada por la e2presi*n Ecuación 6
Donde
es un 'actor de co"ertura, -ue su valor para la e2periencia será de $,0
de"ido a -ue este o'rece una con'ia"ilidad del 1N. 5l t+rmino
3ace
re'erencia a la incertidum"re com"inada de todas las mediciones realizadas en la práctica, siendo para la práctica la medici*n del periodo la lon)itud. 6ara el caso actual de la práctica realizada se tiene una e2presi*n -ue mantiene una relaci*n las dos varia"les a estudiar
Donde la incertidum"re com"inada viene dada por la e2presi*n
Siendo
coe'icientes de sensi"ilidad.
Ca"e destacar -ue la e2presi*n
se de'ine por
de"ido a ser un
elemento de medici*n análo)o. 5l 'actor d 3ace alusi*n a la divisi*n de escala del 'le2ometro, siendo !,!!$ m $mm.
Así mismo para la e2presi*n
se tiene -ue
Donde r es i)ual a !,!$
s -ue e-uivale a la divisi*n de escala del cronometro siendo una cent+sima de se)undo. &a e2presi*n anteriormente mencionada so"re la incertidum"re com"inada de la )ravedad re-uiere una correcci*n o"tenida a partir de la concepci*n de la desviaci*n estándar calculada, teniendo así la si)uiente 'ormula 'inal para calcular la incertidum"re
8eniendo claro -ue
Siendo entonces
reemplazamos
> !,$M/0#
Como respuesta 'inal tenemos entonces -ue * ? 6#>@>%#3 >@#;<=%7
3$ CONCLUSIÓN De la anterior e2periencia, Se lo)r* e2plicar elocuentemente c*mo calcular la aceleraci*n de la )ravedad mediante un p+ndulo simple, se aclararon los conceptos de la )ravedad se tuvo en cuenta el error la incertidum"re de medida para realizar la media. &a veracidad del e2perimento es en un #,$ N. 5n esta e2periencia los resultados de la )ravedad nunca 'ueron precisos, de lo cual podemos concluir -ue no es posi"le tener un resultado i)ual a un valor real a -ue no e2iste una medici*n per'ecta, aun-ue los resultados 'ueron precisos por-ue su
mar)en de error 'ue mínimo. 5l valor promedio de la )ravedad o"tenido con su respectiva incertidum"re 'ue de =$!,!#$10 O !,$M/0#> estándar de !,#$$/
, con una desviaci*n
con un coe'iciente de variaci*n de #,!N. 6ara 'uturas
e2periencias se de"en tener en cuenta los errores aleatorios puesto -ue estos son los 'actores e2ternos -ue pueden a'ectar los resultados de la medici*n. .
REERENCIAS P$Q FRS. P5n líneaQ PCitado el $0 de !% de #!$%.Q 3ttp999.'isicanet.com.ar'isicaelasticidadap!1pendulosimple.p3p P#Q Curso interactivo de 'ísica =5l p+ndulo simple>. P5n líneaQ PCitado el $0 de !% de #!$%.Q 3ttp999.sc.e3u.ess"9e"'isicadinamicatra"a(opendulopendulo.3tml
