UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial
Probabilidad y Estadística I Sesión # 3 y # 4 Conceptos Básicos de Probabilidad Técnicas de Conteo y Cálculo de Probabilidades Mario Castillo (Coordinador General Curso) 1
Experimento Aleatorio - Ejemplos Daremos algunos ejemplos iniciales y después caracterizaremos a los experimentos aleatorios. 1 : Número de kilómetros que recorre r ecorre un carro seleccionado al azar de un parqueadero de la ciudad de Bogotá, hasta que se le acabe acabe la gasolina. 2 : El tiempo que transcurre entre este instante y el próximo temblor de tierra en Bogotá, con una intensidad mayor o igual que 6. 3 : El número de llamadas que salen de Bogotá hacia Nueva York en la próxima hora, hora, a partir de este instante. 4 : El número que se obtiene al lanzar un dado normal. 5 : El número de lanzamientos de un dado hasta obtener el número número 6. 6 : Lanzar un dado 100 100 veces y registrar el número número de veces que se obtuvo el número 6. 6. 7 : El precio de cierre de de valor de la acción de ECOPETROL el 31 31 de diciembre de 2013. 2013. 8 : Resultado de la solicitud de un cliente a un crédito hipotecario (aceptado o rechazado). 9 : El monto, en miles de pesos, que gastarán los estudiantes estudiantes de P&E I de esta sección el próximo fin de semana. 2
Experimento Aleatorio - Ejemplos En los ejemplos anteriores notamos ciertas características importantes (indispensables) para que dichos experimentos puedan ser llamados experimentos aleatorios. 1. Antes de que el experimento haya finalizado es imposible conocer con certeza cual será el resultado del experimento (se dice entonces que el experimento es no determinístico). 2. Todo experimento aleatorio debe producir en cada una de sus ocurrencias un resultado único. 3. El conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se debe poder determinar completamente.
Espacio Muestral • •
Se llama espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. A los elementos de se les llama resultados elementales. El E.M. puede ser finito o infinito; en caso de ser infinito es importante distinguir entre espacios numerables (discretos), y no numerables (continuos).
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Eventos Un evento asociado a un experimento aleatorio es un subconjunto B del espacio muestral del experimento aleatorio. Se dice que el evento B se da o tiene lugar si el resultado final del experimento es un elemento de B.
Propiedades de los Eventos Es intuitivamente claro que los eventos deben tener las siguientes propiedades: - Si B es un evento, entonces B C (el complemento de B con respecto a , ó la afirmación contraria a la que define B) también es un evento. - Debe haber una forma de representar los eventos imposibles: el conjunto vacío, , permite representar tales eventos. Luego debería ser un evento. - Si tenemos dos eventos A y B la unión de éstos (i.e. que suceda A ó B, ó los dos) debe ser también un evento .
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Eventos y diagrama de Venn
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Axiomas de Probabilidad Sea el ESPACIO MUESTRAL asociado a un experimento aleatorio. Suponga que a cada evento B, perteneciente a se asocia un número P(B). Si P satisface los siguientes axiomas, entonces recibe el nombre de Probabilidad y el número P(B) se dice la PROBABILIDAD DE B. 1,
para cualquier evento B asociado a
. (No negatividad)
1.
0 P(B)
2.
P( ) = 1, (La probabilidad del evento cierto
3.
Si B1, B2 ,...., Bn es una colección de eventos tales que B i B j = para i j , entonces:
es 1)
P (B1 U B2 U.... Bn ) = P(B1 ) + P(B2 ) +....+ P(B n ) (La probabilidad de ocurrencia de al menos un evento en una secuencia de eventos mutuamente excluyentes es la suma de sus probabilidades)
(Esta propiedad también se debe cumplir para sucesiones infinitas).
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Algunos Teoremas A y B son eventos cualesquiera de , entonces: 1.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)
2.
P(AC) = 1 – P(A); P () = 0
3.
Si A B => P(A) P(B)
Generalización de la Propiedad 1: P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(AB) + P(AC) + P(BC)] + P(ABC)
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Un concepto de Probabilidad DEFINICIÓN: una probabilidad es una medida sobre el grado de certeza de que un EVENTO asociado a un experimento aleatorio tiene lugar. ¿Cómo asignarla? En un experimento aleatorio en el que todos los RESULTADOS ELEMENTALES son IGUALMENTE POSIBLES, se puede asignar una probabilidad de un evento cualquiera B por medio de la expresión siguiente:
P(B) =
# RESULTADOS FAVORABLES AL EVENTO B # TOTAL DE RESULTADOS POSIBLES
OJO: Entender interpretar a partir de los axiomas
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Ejercicio 1 En cierto suburbio residencial, 60% de las familias se suscriben al periódico en una ciudad cercana, 80% lo hacen al periódico local y 50% de todas las familias a ambos periódicos. Si se elige una familia al azar: •
¿Cuál es la probabilidad de que se suscriban a por lo menos a uno de los dos periódicos?
•
¿Cuál es la probabilidad de que se suscriban exactamente a uno de los dos periódicos?
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Ejercicio 1 (solución) En cierto suburbio residencial, 60% de las familias se suscriben al periódico en una ciudad cercana, 80% lo hacen al periódico local y 50% de todas las familias a ambos periódicos. Si se elige una familia al azar: •
¿Cuál es la probabilidad de que se suscriban a por lo menos a uno de los dos periódicos?
•
¿Cuál es la probabilidad de que se suscriban exactamente a uno de los dos periódicos?
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Ejemplos Ejemplo 1 Experimento Aleatorio: Lanzamiento de dos dados Espacio Muestral: S = {(1,1),...,(1,6),(2,1),...(2,6),...,(6,1),(6,6)}; # S = 36 Evento B: “obtener pares” Resultados favorables al evento B: {(1,1), (2,2), (3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}; # = 6 P(B) = 6/36 = 1/6 Evento C: “La suma de los puntajes de los dados es mayor que 10”. Resultados favorables al evento C: {(5,6), (6,5), (6,6)}; # = 3 P(C) = 3/36 = 1/12
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Ejemplo 2 Una fotografía de 3 cm. de ancho y 4 cm. de altura tiene un defecto de revelado pues en alguna parte tiene un PUNTO NEGRO. Esquemáticamente la fotografía es como muestra la figura. De acuerdo con esto ¿cuáles son las probabilidades asociadas con los siguientes eventos? EVENTOS: “El punto negro está sobre la Zona inferior” “El punto negro está sobre la cabeza” . “El punto negro está exactamente sobre la circunferencia (de la cabeza)” . “El punto negro está sobre el cuerpo (cabeza y tronco)”.
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Cálculo de Probabilidades - Solución P(Zona inferior) =
área asociada a la Zona inferior = 3 /12 = 1/4 área total
P(Cabeza) =
0.5
2
12
0.785
12
0.065
P(Circunferencia) = 0 /12 = 0 P(Cuerpo) =
área Cab. + área Tronco = 12
0.5
2
12
1
0.148
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Inversión vs. Reserva (muestra de 120 pozos) Ejemplo 3 Se ha tomado una muestra aletoria de 120 pozos de una compañía petrolera, los cuales se clasifican en cuanto a Reservas y Nivel de Inversión como aparecen a continuación:
Res (MB)
Alta
Media
Baja
Total
Alta
8
12
10
30
Baja
20
35
35
90
Total
28
47
45
120
Inv(U$M)
Se selecciona un pozo al azar. La probabilidad de que el pozo seleccionado haya tenido una Inversión baja y/o haya tenido una reserva baja es:
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DESARROLLO Definición de los eventos IB: Inversión Baja IA: Inversión Alta RB: Reservas Bajas RM: Reservas Medias RA: Reservas Altas
Al seleccionar un pozo al azar. La probabilidad de que el pozo seleccionado haya tenido una inversión baja y/o haya tenido una producción baja es: P(IB RB) = P(IB) + P(RB) - P ((IB) (RB)) = 90/120 + 45/120 - 35/120 = 5/6
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Cálculo de probabilidades en conjuntos finitos. Técnicas de Conteo 1. Síntesis clase anterior 2. Cálculo de probabilidades en conjuntos finitos. Técnicas de Conteo 3. Ejercicios resueltos
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SÍNTESIS CLASE ANTERIOR CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN DE UNA PROBABILIDAD 1.
A y B son eventos cualesquiera de , entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AB)
2. P(Ac) = 1 - P(A); P () = 0 3. Si A B => P(A) P(B) Generalización de la Propiedad 1: P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - [P(AB) + P(AC) + P(BC)] + P(ABC)
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO Si el EM de un EA es un conjunto finito
= {w1, w2, …, wn}, tal
que P{wi} = 1/n para todo i, es decir, si es un espacio de probabilidad equiprobable, entonces para cualquier evento B de ,
P(B) = # de casos favorables al evento B / # de casos posibles Sin embargo, no siempre es fácil contar correctamente tanto los casos favorables como los casos posibles, como se puede observar en los siguientes ejemplos:
Ejemplos sobre cálculo de probabilidades en EMs finitos 1. Se tienen 6 bolas Blancas y 4 bolas Rojas a. Si se extraen al azar 3 bolas, sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas Rojas? b. Si se extraen al azar 3 bolas, con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 bolas Rojas?
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CÁLCULO DE PROBABILIDADES - TÉCNICAS DE CONTEO Ejemplos sobre Cálculo de Probabilidades en EMs Finitos 2. El Presidente de la República ha invitado a 10 altos ejecutivos colombianos a una comida a la Casa de Nariño. Hay 10 puestos seguidos en una larga mesa destinados a esos 10 invitados. Al llegar los ejecutivos son recibidos y sentados al azar. - 3 son del Sindicato Antioqueño - 5 del Grupo Santo Domingo - 2 del Grupo Ardila Lule ¿Cuál es la probabilidad de que los miembros de c/u de los grupos económicos queden juntos?
3. Se tiene una clase de 100 estudiantes y se quiere dividirla en 4 subgrupos de 40, 30, 20 y 10 estudiantes. Hay cuatro amigos que provienen del Colegio Cervantes. ¿Cuál es la probabilidad de que queden en el mismo grupo?
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MÉTODOS DE CONTEO – Regla de Multiplicación Consideremos un experimento aleatorio que se lleva a cabo en dos etapas, de tal forma que para la primera etapa hay n 1 resultados posibles y para cada uno de estos resultados de la primera etapa hay n 2 resultados en la segunda etapa. Entonces, el número total de resultados posibles es n 1 * n2.
1 2 3
1 2
número total de resultados = n1 * n2.
3
n1
n2
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MÉTODOS DE CONTEO Sea A = {a1, a2,...., an} un conjunto finito de n elementos.
MUESTRA: Una MUESTRA de orden r de A es un arreglo ordenado (ai1, ai2,..., air ) , donde a ij A. # M(r; A): Número total de r-muestras de un conjunto de n elementos = n r Ejemplo: A = {0, 1, 2, …, 9} Las siguientes son muestras distintas de orden 4 del conjunto A: 0 3 4 1, 3 4 0 1, 1 1 1 1, 2 3 4 5, entre otras. # M(4; A) = 104 = 10000
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PERMUTACIONES Una PERMUTACIÓN de orden r de A ( r n) es un arreglo ordenado (ai1, ai2,..., air ) de r elementos diferentes de A. El número de permutaciones de orden r de un conjunto de n elementos es: n! P (r ; n)
n
!
r
Ejemplo: A = {0, 1, 2, …, 9} Las siguientes son permutaciones distintas de orden 4 del conjunto A: 0 3 4 1, 3 4 0 1, 1 2 3 4, 2 3 4 5, 8 0 9 1, entre otras. # P(4; A) = 10! / (10 – 4)! = 10! / (6)! = 7*8*9*10 = 5040 2 2 1 3 no es una permutación de orden 4 de A puesto que tiene elementos repetidos.
Permutaciones Ordinarias: r = n ; P(n) = n !
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COMBINACIONES Una combinación de orden r de A ( r n) es un subconjunto de r elementos tomados de A. El número de combinaciones de orden r de un conjunto de n elementos es: C (r ; n)
n!
n
! r !
r
Ejemplo1: A = {0, 1, 2, …, 9} Las siguientes son combinaciones distintas de orden 4 del conjunto A: {0, 3, 4, 1}, {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, entre otras. # C(4; A) = 10! / (10 – 4)!4! = 10! / (6)! 4! = 7*8*9*10/4! = 5040/24 = 210 Ejemplo 2: Si se tienen 10 personas numeradas, hay entonces C(2;10) = 45 m aneras posibles de formar parejas diferentes de dicho grupo de personas. Ejemplo 3: Tomemos una baraja de 52 cartas; si le damos a una persona 5 cartas al azar, dicha persona puede recibir C(5;52) = 2.598.960 juegos diferentes.
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PARTICIONES ORDENADAS Sea A un conjunto que contiene n elementos. Una Partición Ordenada de A en r subconjuntos de A es un arreglo ordenado A1, A2, …Ar de r subconjuntos de A de tamaño n 1, n2, …, nr , tales que: A A i j = y Σni = n El número de particiones ordenadas del conjunto A es: n n n n n n n n n ... n # P(n1, n2, …, nr ; A) = ... 1
n 1
n
2
1
2
1
n
3
2
r
n
r
n!
1
n
! n2!n3!...n !
1
r
Ejemplo1: En el ejemplo de la clase de 100 estudiantes que se quiere partir en cuatro grupos de de 40, 30, 20 y 10 estudiantes, se tendrían
100 60 30 10 * * * 40 30 20 10
100!
60!
30!
10!
60!40! 30!30! 10!20! 0!10!
100! 40!30!20!10!
formas diferentes de conformar los 4 grupos.
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SOLUCIONAR EJERCICIOS
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Ejercicios 1. Para el estreno de la última película de El Hombre Araña en una determinada sala de cine se encontraban 30 hombres y 20 mujeres esperando para adquirir su boleta. Teniendo en cuenta que sólo quedaban seis sillas disponibles, el administrador de la sala de cine decidió seleccionar al azar 6 personas entre los 50 de la fila para regalarles la boleta de entrada. La probabilidad de que el administrador de la sala seleccione 3 mujeres y 3 hombres está dada por:
a. 0.5
b. 2/3
c.
50 3 50 6
d.
30 20 3 3 50 6
e.
30 20 3 3 50 6
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Ejercicios 2. Suponga que en una comunidad de 40 adultos, 30 practican ciclismo o natación o ambos deportes, 16 practican natación y 12 practican natación y ciclismo. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto, seleccionado aleatoriamente de esta comunidad, practique ciclismo?
3. Roberto invitó a 8 amigos a su casa, Juan y Pedro son dos de ellos. Si sus amigos arriban de manera aleatoria y separadamente, ¿cuál es la probabilidad de que Juan llegue justo después de Pedro? 4. El almacén de una universidad recibió 25 impresoras, de las cuales 10 son impresoras láser y 15 son modelos de inyección de tinta. Si 6 de esas 25 se seleccionan al azar para que las revise un técnico particular, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 de las seleccionadas sean impresoras de inyección de tinta? 5. De un grupo de 15 trabajadores actuales de una empresa, 8 hombres y 7 mujeres, se van a escoger 7, para ser trasladados al departamento de ventas. La selección del grupo se va a realizar al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 4 hombres queden en el grupo que va a ser trasladado?
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