1
GUIA N° 2 .PROBABILIDADES
1. Veri car que para los eventos A y B cualesquiera: (a) (b)
P (A − B) = P (A) − P (AB), C
donde
AB
quiere decir
A ∩ B.
C
P (AB ∪ A B) = P (A) + P (B) − 2P (AB). Solución: a) Por teoría de conjuntos, el evento(conjunto) A se puede escribir en la forma:
A = (A − B) ∪ (A ∩ B)
( Color amarillo unido con color verde)
siendo estos (colores) conjuntos disjuntos, entonces
√ P (A) = P ((A − B) ∪ (A ∩ B)) = P (A − B) + P (A ∩ B)⇒P (A − B) = P (A) − P (AB). . C C C C b)Por teoría de conjunto se tiene, la propiedad A−B = A∩B =AB , del mismo modo A B = B ∩A = B−A
los conjuntos
AB C , BAC
son disjuntos, sin intersección, (color verde y amarillo) entonces la unión se
separa en simple suma en cuanto a probabilidades.
P (AB C ∪ AC B) = P (AB C ) + P (AC B) = P (A − B) + P (B − A) Aplicamos la propiedad demostrada en a) y tenemos .P (AB
C
√ ∪ AC B) = P (A) − P (AB) + P (B) − P (BA)= P (A) + P (B) − 2P (AB) .
2. Un sistema está formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de falla son 1/6, y 2/ 15 respectivamente, si la probabilidad de que al menos una de las componentes falle es 7/30, calcular la probabilidad de que: (a) Ninguna de las dos componentes falle R. 23/30 (b) Sólo una de las componentes falle R 1/6 Solución a) Adoptamos notaciones:
A = f alla A, B = f alla B ,
1
[email protected]
1
entonces
P (A) =
2 1 , P (B) = 6 15
Note la frase la probabilidad de que al menos una de las componentes falle es 7/30 se traduce en conjuntos como sigue:
7 , de la 30 1 ⇒ P (A ∩ B) = . 15
P (A ∪ B) =
propiedad
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)⇒
7 1 2 = + − P (A ∩ B) 30 6 15
Veamos las preguntas. a) Ninguna de las dos componentes falle se traduce como
P (no f alla A ∧ no f alla B) = P (AC ∩ B C ).
Pero según una propiedad de conjuntos conocida como ley de DE MORGAN
AC ∩B C = (A∪B)C
y conociendo la propiedad de probabilidades de un complemento:
Podemos escribir entonces
P (no f alla A ∧ no f alla B) = P (AC ∩ B C ) = P ((A ∪ B)C ) = 1 − P (AU B) = 1 −
P (AC ) = 1−P (A).
23 √ 7 = . . 30 30
b)Sólo una de las componentes falle, se traduce como, falla A pero no falla B o bien falla B pero no A, en conjuntos se escribe:
P ((A ∩ B C ) ∪ (B ∩ AC )) = P ((A − B) ∪ (B − A)) = P (A) + P (B) − 2P (AB) =
3. Un lote contiene
n
objetos.
1 2 1 1√ + −2· = . 6 15 15 6
La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 0.06, mientras que la
probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es 0.04. Calcular la probabilidad de que: (a) Todos los objetos sean no defectuosos R 0.94 (b) Exactamente un objeto defectuoso R 0.02 Solución: a)Denotamos como Sean
A1 . A2 , . . . , An
los
n
Ai :El
objeto
objetos. y
X:
i
es defectuoso.(i
= 1, 2, 3, ..., n)
la variable números de objetos defectuosos en los
n
objetos
la frase La probabilidad de que al menos uno sea defectuoso es 0.06 se traduce como
P (A1 ∪ A2 ∪ . . . , ∪A ) = P (X ≥ 1)= 0.06 Pero en el lote hay o bien 0 defectuoso o bien 1 defectuoso o bien 2 defectuoso
···
o bien
n
defectuosos, con probabilidad igual a 1, lo que se escribe como.
P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + · · · + P (X = n) = 1. ⇒ P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) ésta última igualdad explica el sinónimo
P (Al menos 1) = 1 − P (ninguno)
Se pide Todos los objetos sean no defectuosos equivale a
√ P (X = 0) = 1 − P (X ≥ 1) = 1 − 0, 06 = 0.94. .
P (X = 0) = P (Ac1 ∩ Ac2 ∩ . . .∩Acn )
b)Usamos el dato la probabilidad de que al menos dos sean defectuosos es 0.04. que traducido queda como:
P (X ≥ 2)= 1 − {P (X = 0) + P (X = 1)}= 0.04,
despejamos lo que se pide :P (X
= 1)= 0.02
√
.
4. Como resultado de la demanda de pasajes, las líneas aéreas nacionales se han visto obligado a aumentar el número de vuelos. Una compañía determinada tiene por el momento cinco vuelos Santiago Puerto Montt, dos de ellos en la mañana y los otros en la tarde. (a) Cuál es la probabilidad de que no haya ningún vuelo en la mañana? R3/5 (b) Si se cancelan al azar dos de estos vuelos, cuál es la probabilidad de que sigan habiendo un vuelo en la mañana y dos en la tarde? R3/5 Solución a) Utilizamos combinatoria.
2
En a) se pregunta por un vuelo, no dos ni tres. Debe razonarse asi: De los 5 vuelos existentes se elige uno de ellos y se pregunta por la probabilidad de escoger 0 vuelo en la mañana.
De los 5 hay
5 1
=5
maneras de escoger un vuelo cualquiera, estos son los casos totales.
Los casos favorables son el producto
p=
2 0
3 · = 1 · 3 = 3, 1
la probabilidad es entonces:
2 3 · 0 1 3√ = . . 5 5 1
b) La frase se cancelan al azar dos de estos vuelos debe interpretarse como se escogen 2 de 5 que se
5 2
van a eliminar, entonce se tienen un total de
=
5(4) = 10 2(1)
maneras de eliminar 2 vuelos.
la frase la probabilidad de que sigan habiendo un vuelo en la mañana y dos en la tarde, debe intrepretarse como escoger 1 de 2 de la mañana y escoger 2 de 3 en la tarde, entonces se tiene:
p=
2 1
3 · 2 6 3√ = = . 10 5 5 2
5. 200 personas están distribuidas de acuerdo a su sexo y lugar de procedencia de la siguiente manera: 130 son hombres, 110 son de la capital y 30 son mujeres y de provincias. Si se eligen dos personas al azar calcular la probabilidad de que: (a) Ambos sean hombres y de provincia R 0.088 (b) Al menos uno de los dos escogidos sea mujer R 0.5786 Solución: Los conjuntos mujer(M), hombre (H) son disjuntos se dibujan paralelos sin intersección al igual que los conjuntos de proviencia (P) y de la capital (C) . Si en una tabla colocamos la información se tiene.
.
C
P
M
.
30
. .
H
.
.
130
.
110
.
200
Es fácil completar la tabla, debe cuadrar sumando 200.
De
.
C
P
.
M
40
30
70
H
70
60
130
.
110
90
200
la tabla , de provincia y hombres hay 60 de los cuales se escogen 2, el número total de casos favorables es
60 2
60(59) = 1770. 2 200 totales son = 19900, 2
=
Los casos
entonces la respuesta a pregunta a) es
3
p=
b)
60 2
140 0
= 0.0889. 200 2 70 70 130 130 2 1 0 1 + = 0.5786 p= 200 200 2 2
6. Para tres sucesos A, B, C se tienen las siguientes probabilidades:
P (A ∪ B) = 0.60, P (B) = 0.30, P (C ∩ AC ) = 0.40, P (A ∩ C) = 0.08, P (A ∩ B) = 0 P (B ∩ AC ∩ C C ) = 0. (a) Calcular la probabilidad de que ocurra solo un evento (b) ocurra al menos un evento (c) ocurra a lo más un evento (d) ocurra ningún evento R. 0.30 Solución: Observe que el dato
P (A ∩ B) = 0⇒ P (A ∩ B ∩ C) = 0.
y entonces el diagrama de conjuntos de Venn
se puede completar facilmente, como se muestra a continuación.
a)
que ocurra s´ olo un evento
⇒ P (A pero no B ni C) + P (B pero no A ni C) + P (C pero no B ni A) =
P (A ∩ B C ∩ C C ) + P (B ∩ AC ∩ C C ) + P (C ∩ B C ∩ AC )
=
0.22 + 0 + 0.10 = 0, 32
b)
P (ocurra almenos un evento)
4
=
P (A ∪ B ∪ C)
=
0.70
c)
P (ocurra a lo m´ as un evento)
=
P (ocurra 0 evento ∨ ocurra s´ olo1 evento)
=
P (AC ∩ B C ∩ C C ) + P (ocurra s´ olo un evento)
=
0, 30 + 0.32 = 0, 62
7. Se ha determinado que el porcentaje de televidentes que ven los programas A, B y C son respectivamente 0.4, 0.5 y 0.3.Cada televidente ve los programas independientemente uno del otro. Si se elige al azar a uno de tales televidentes: (a) Calcular la probabilidad de que vea dos de los tres programas. (b) Calcular la probabilidad de que vea al menos uno de los tres programas Solución. Adoptamos la notación :A : vé el programa A con probabilidad con probabilidad
P (A) = 0.4, AC :
no vé el programa A,
C
P (A ) = 1 − P (A) = 0.6
a) que vea dos de los tres programas.
⇒ P (ABC C ) + P (ACB C ) + P (BCAC )
⇒
P (ABC C ) + P (ACB C ) + P (BCAC )
=
P (A)P (B)P (AC ) + P (A)P (C)P (B C ) + P (B)P (C)P (AC )
=
0.4 · 0.5 · 0.7 + 0.4 · 0.3 · 0.5 + 0.5 · 0.3 · 0.6 = 0.29.
que vea al menos uno de los tres programas⇒
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) −
P (BC) + P (ABC)
=
P (A) + P (B) + P (C) − P (A)P (B) − P (A)P (C) − P (B)P (C) + P (A)P (B)P (C)
=
0.4 + 0.5 + 0.3 − 0.4 · 0.5 − 0.4 · 0.3 − 0.5 · 0.3 + 0.4 · 0.5 · 0.3 = 0.79.
8. Una caja contiene 10 objetos numerados del 1 al 10. Un juego consiste en sacar tales objetos y termina cuando sale el numerado con uno . ¾ Cuál es la probabilidad de que el juego termine si se sacan al azar 5 objetos (a) A la vez R. 0.5 (b) Uno a uno sin reposición R. 0.1 (c) Uno a uno con reposición
Solución: a) Si son 5 los objetos que se extren al azar, hay un total de
10 5
= 252
maneras diferentes
de extraer esos 5 objetos.El juego termina si en estos 5 se ha extraido el numerado con 1. Hay un total
de
p=
1 1
1 1
= 126 casos 9 4 = 0.5
9 4 10 5
favorables, la probabilidad en este caso es :
Solución b) Si la extracción de estos 5 objetos es uno a uno sin reponer entonces usamos el principio de multiplicación
p=
9 8 7 6 1 1 · · · · = , 10 9 8 7 6 10
observe que el numerado 1 sale en la quinta extracción.
5
Solución c) Usamos el mismo principio que en b) sólo que la probabilidad de extraer el numerado 1 es
1 , al igual que la probabilidad de no extraer el numerado 10
constante de extracción en extracción e igual a 1 con probabilidad constante e igual a
9 p= 10
4
1 = 0.0656 10
9 . 10
.El exito obtenido en el quinto intento. Se conoce como modelo geometrico (
Más adelante se ve en detalles) 9. En un lote de 50 artículos, hay 10 del tipoA y 40 del tipo B, se extraen del lote 5 artículos al azar uno por uno sin reposición .¾ Cuál es la probabilidad de que al menos uno de estos sea del tipo A?. Solución: Si son 5 los que se extraen, entonces se tienen los siguientes resultados posibles Se extraiga ningún objeto del tipo A, o bien , se extraiga un objeto del tipo A, o bien dos del tipo A ,o bien tres , o bien cuatro , o bien cinco. No hay más resultados posibles, la suma de estas probabilidades debe ser 1. P( al menos uno sea de A) = P( uno de A)+P( 2 de A )+P( 3 de A)+P( 4 de A )+P( 5 de A )
1 = P (ninguno de A) + P (uno de A) + P (2 de A) + P (3 de A) + P (4 de A) + P (5 de A) Entonces se tiene el sinónimo para P( al menos uno ) que es equivalente a
1 − P (ninguno).
=
P (al menos uno)
1 − P (N ing´ un objeto de A) = 40 39 38 37 36 · · · · = 1− 50 49 48 47 46 0.6894 = 10. Solo una de las 10 llaves que lleva una persona abre la cerradura de su puerta. El prueba las llaves una a una escogiendo al azar cada vez una de las llaves no probadas .Calcular la probabilidad de que la llave que abre la cerradura sea escogida en el quinto intento. Solución:
La probabilidad que no acierte a la llave a la primera es
9 , 10
pues son 9 las llaves que no abren de un
total de 10, en el segundo intento deja aparte la llave ya probada y el espacio de resultados se reduce de 10 a 9 y los casos desfavorables se reducen de 9 a 8, teniendo la probabilidad de acertar de
8 9
y así sucesiva-
mente, entonces fracasando en 4 oportunidades y acertando en el quinto ensayo, donde la probabilidad es de
p=
9 8 7 6 1 1 · · · · = . 10 9 8 7 6 10
11. Un tirador acierta un blanco con probabilidad .Determine:
1 . 3
Suponga independencia de disparos sucesivos
(a) La probabilidad de lograr un blanco seguidos de 2 fallas . (b) Dos blancos y una falla ( en cualquier orden ) Si el tirador ensaya hasta dar en el blanco, ¾ Cuál es la función de probabilidad .?. Solución. a)P (BF F )
= P (B)P (F )P (F ) =
1 · 3
2 2 . 3 6
1 . 6
2 1 2 b)P (BBF ) = P (B)P (B)P (F ) = · , 3 3
ésta probabilidad hay que multiplicarla por todas la maneras en
que pueden ordenarse 2 blancos(BB) y una falla(F), dado por c)
X:
3! =3 2! · 1!
Números de ensayos hasta dar en el blanco.( Es más probable que la variable jugar al LOTO hasta
ganar ).Estos tipos de experimentos reciben el nombre de geométricos, cuya variable es:
X:
ensayar hasta
x=1y x = 1, x = 2, . . . ,∞. (x − 1) ensayos
lograr el exito, se requiere ensayar por lo menos una vez para tener un exito luego la variable parte de puede que uno muera intentando ganar el loto y nunca lo consigue, luego la variable va de ademas se supone que el exito se alcanza en el ensayo
x−1 1 2 x−1 · f (x) = q p= 3 3
con
x = 1, 2, 3, . . . ∞.
x,
antes se ha fracasado en los
es la función buscada.
PROBABILIDAD CONDICIONAl. 12.
P (A) =
3 2 5 , P (B) = ,P (A/B) = 8 4 3
. Calcular
P (A/B C ).
Solución: Por de nición de probabilidad condicional y propiedades de probabilidad en conjuntos.
P (A/B C ) =
P (A) − P (A ∩ B) P (A ∩ B C ) P (A − B) = = P (B C ) 1 − P (B) 1 − P (B)
pero por dato tenemos
2 P (A ∩ B) 2 P (A ∩ B) 1 .⇒ P (A/B) = ⇒ = ⇒ P (A ∩ B) = . 3 P (B) 3 3/4 2 5/8 − 1/2 1 C podemos calcular P (A/B )= = . 1 − 3/4 2
P (A/B) = ya
13.
P (A ∩ B) = Solución:
3 1 1 , P (B) = ,P (B/A) = 15 15 5
. Calcular
P (A ∩ B C ).
1 15 1 1 P (A ∩ B) 1/15 1 P (B/A) = ⇒ = = ⇒ P (A) = 5 5 P (A) P (A) 3
P (A ∩ B C )= P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B)= P (A) − calcular
P (A)
P (A ∩ B C )=
fácil , por datos
4 15
14. Un club consiste de 150 socios .Del total 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales .Además 1/3 de las mujeres son no profesionales (a) Se elige al azar un socio del club, calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional. (b) Se eligen 5 socios al azar.
Si las 5 son mujeres calcular la probabilidad de que sólo una de ellas sea
profesional. Solución:
7
.
P
No P
.
H
.
.
90
M
.
50 .
.
.
100
.
150
completar la tabla es fácil, debe cuadrar en las y en columnas.
.
P
No P
.
H
90
0
90
M
10
50
60
.
100
50
150
a) Esta pregunta nada tiene de condicional, un socio se puede escoger de 150 maneras distintas y que sea hombre y profesional se escogen de 90 maneras diferentes, como lo indica la tabla, entonces la probabilidad pedida es :
p=
90 . 150
b) Esta es una pregunta de probabilidad condicional, ha ocurrido ya un hecho: las 5 ya son mujeres.
Se pide
P (P/M ) =
P (P ∩ M ) = P (M )
10 1
60 5
50 4
= 0.4217
Los ejercicios 15 y 16 a continuación, se resuelven de manera similar, construyendo una tabla de doble entrada. 15. En una muestra de 120 socios se encontró que el 60% sufre alguna enfermedad, el 30% tienen al menos 30 años y el 20 % son menores de 30 años y sanos .Si uno de tales socios es escogido al azar. ¾ Cuál es la probabilidad (a) de que sufra alguna enfermedad y tenga al menos 30 años . R.12/120. (b) de que sufra alguna enfermedad si tiene al menos 30 años .? R. 12/36. 16. De 200 clientes de crédito de una tienda comercial, 100 tienen créditos menores que $ 200, 15 tienen créditos de al menos $ 500 y 110 tienen créditos menores de 4 años. Además 30 clientes tienen créditos de al menos 4 años y de $ 200 a menos de $ 500, y 10 clientes tienen créditos de al menos $500 y menos de 4 años (a) Si se elige un cliente al azar .¾ Cuál es la probabilidad de que tenga crédito de menos de 4 años, si tiene saldo de crédito de menos de $ 200?. R45/100. (b) Si se eligen dos clientes al azar y resultan de al menos de 4 años de crédito. ¾Cuál es la probabilidad de que uno tenga saldo de crédito de de $ 500 o más ?.
R.
5 85 2 0 90 2
17. En horas de trabajo, una cervecería utiliza dos máquinas embotelladoras M1 y M2, pero no operan simultáneamente. La probabilidad de que la primera máquina se descomponga es 0.2. Si la primera máquina se descompone se enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3 ¾ Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo ?. R.0.06. Solución: Adoptemos la notación :
P (M 1C ) = 1 − 0.2 = 0.8
M1:
M1 descompuesto con probabilidad igual a
P (M 1) = 0.2,
por lo tanto
indica la probabilidad de que M1 no se descompone, es decir funcionando.
la frase: Si la primera máquina se descompone se enciende la segunda, la cual tiene probabilidad de descomponerse de 0.3, es una frase condicional que debe interpretarse como:
8
P (M 2/M 1) = 0.3 este dato nos permite escribir
P (M 2 ∩ M 1) = 0.3 P (M 1) la pregunta ¾ Qué probabilidad hay de que el sistema embotellador no esté funcionando en las horas de trabajo ? se interpreta como
P (F alla
M1 y falla M2)=
P (M 1 ∩ M 2) = 0.3 · P (M 1) = 0.3 · 0.2 = 0.06
18. Suponga que un sistema funciona si al menos de sus componentes funciona.
Si las componentes trabajan
independientes y si la probabilidad que falle cada una es de 0.01 .¾ Cuantas componentes debería tener el sistema para que no falle con probabilidad de 0.9999.? . R. 2 Solución. Sea
n
el número de componentes del sistema.
El sistema funciona (no falla) si al menos una de las componentes funciona( no falla) un sinónimo de al menos una es :
P robabilidad
de que al menos una=
P (almenos
una funcione)=
1 − P (todas
fallen)=
1 − P (0
componentes
funcionan) Establecemos una ecuación igualando esto último a la probabilidad 0.9999
1 − P (falla
la 1∩falla la 2∩...∩falla la
n)= 0.9999
Como hay independencia de sucesos, las intersecciones se convierten en productos y como la probabilidad de falla es constante para cada componente se tiene la ecuación:
1 − P (f alla)n = 0.9999 1 − 0.01n = 0.9999 104 = 0.01n , aplicamos logaritmos n = 2.
y despejamos
n
19. En el circuito de la gura la probabilidad de cada llave A,B ,C se cierre ( pase corriente ) es
p, 0 < p < 1
. Si
todas las llaves se cierran o abren en forma independiente calcular la probabilidad de que la corriente pase de E a S . R.
p(1 + p − p2 )
Solución:
P (A ∪ (B ∩ C)) = P (A) + P (B ∩ C) − P (A ∩ (B ∩ C)) Como hay independencia de sucesos, podemos convertir la intersección en producto y dado que
P (A) =
P (B) = P (C) = p se tiene el resultado
20. En una o cina hay dos computadores A y B que trabajan de manera independiente.
Si en un momento
cualesquiera la probabilidad de que la máquina B esté en mal estado es ¼ y la probabilidad de que sólo la máquina A esté en mal estado es 3/10 . ¾ Cuál es la probabilidad de que sólo la máquina B esté en malas condiciones ,? R. 3/20 Solución.
9
Por datos se tiene: Probabilidad de que B esté en mal estado es ¼=
P (B) =
1 4
3 10 3 3 es decir = P (A ∩ B C ) = P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B)= P (A) − P (A)P (B) = P (A)(1 − P (B)) = P (A) · 10 4 esto nos permite hallar P (A) La probabilidad de que sólo la máquina A esté en mal estado es 3/10
= P (A
en mal estado pero no B)=
¾ Cuál es la probabilidad de que sólo la máquina B esté en malas condiciones? se pide
P (B − A) = P (B) − P (B ∩ A) = P (B) − P (B) · P (A) = P (B)(1 − P (A)) 4 3 1 P (B pero no A) = · (1 − ) = 4 10 20 P (B
pero no A)=
21. Suponga que una compañía utiliza un procedimiento de prueba que es con able en 98%, es decir identi ca correctamente a un objeto como defectuoso o no defectuoso con una probabilidad de 0.98.En un esfuerzo por reducir la probabilidad de error a cada objeto se somete a dos pruebas independientes (a) ¾ Cuál es la probabilidad de que un objeto no defectuoso no pase ambas pruebas R. 0.02x0.02 (b) ¾ Cuál es la probabilidad de que se detecte a un objeto defectuoso, es decir de que no pase por lo menos una de las dos pruebas R.0.98x0.02+0.02x0.98 .
22.
P (A) =
11 1 , P (A ∪ B) = , 3 21
Calcular
P (B)
si los sucesos
(a) A y B son excluyentes. (b) A y B son independientes Solución a)
P (A ∩ B) = 0 11 4 11 entonces de los datos P (A ∪ B) = ⇒ P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = se conoce facilmente P (B)= 21 21 21 2 Solución b) Que sean independientes implica que P (A ∩ B) = P (A)P (B)⇒ P (B) = 7 Que A y B son excluyentes implica que
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL. 23. Suponga que en cierta región del país la probabilidad de que un adulto mayor de 40 años tenga cáncer es de 0.05. La probabilidad de que el diagnóstico sea correcto es de 0.80 y de que sea errado es de 0.20 . Si se elige al azar una de tales personas, calcular la probabilidad de que: (a) Se le diagnostique cáncer. R. 0.23 (b) Si se le diagnostica cáncer, tenga realmente la enfermedad . R.0.1739 Solución: Sean los sucesos mutuamente excluyentes
C = C´ ancer
y
N o c´ ancer = C C con probabilidad P (C) = 0.05,
C
P (C ) = 0.95 C Sea el suceso D =diagnóstico, con cáncer⇒ D =diagnóstico, sin cáncer, entonces se tienen las siguientes probabilidades condicionales:
P (D/C) = 0.80, P (DC /C) = 0.20, P (D/C C ) = 0.20,P (DC /C C ) = 0.80 C C Se pide a) P (D) = P (C) · P (D/C) + P (C ) · P (D/C ) = 0.05 · 0.80 + 0.95 · 0.20 = 0.23
10
P (C/D) P (C)P (D/C) 0.05 · 0.80 P (C/D)= = = 0.1739. P (D) 0.23 Solución b) Se pide la probabilidad condicional
Según teorema de Bayes
Obs. se puede ilustrar lo anterior en un diagrama de árbol, entonces irse por las ramas.Lo importante es reconocer los sucesos mutuamente excluyentes que inician el árbol.
24. Al contestar una pregunta de opción múltiple de 5 alternativas, donde sólo una es la respuesta correcta, un estudiante o bien conoce la respuesta o responde al azar. La probabilidad de que conozca la respuesta es 0.6 y de que responda al azar es de 0.4 (a) Calcular la probabilidad de que conteste correctamente . R.0.68 (b) Si contesta correctamente, calcular la probabilidad de que no conozca la respuesta. R. 0.08/0.68 . Solución : Confeccionamos un árbol, donde Cc, es el suceso: Contestar correctamente y E, es el suceso: equivocarse al contestar la pregunta de alternativa. Como hay 5 alternativas y sólo una es la correcta, la probabilidad de adivinar la respuesta sin saber es
Solución a)
1 = 0.20 5
P (Cc) = 0.40 · 0.20 + 0.60 · 1 = 0.68.
Solución b) Es una probabilidad condicional,
P (Azar/Cc) =
P (Azar) · P (Cc/Azar) 0.40 · 0.20 = P (Cc) 0.68
25. Solo el 60 % de la mercadería que recibe un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadería que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad
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de fabricación de B es limitada y por esa razón sólo el 30 % de la mercadería le es permitido adquirir del fabricante B, el 70% lo adquiere de A .Se inspecciona un embarque que acaba de llegar y se encuentra que es de calidad excepcional. Calcular la probabilidad de que provenga de A. R .0.42/0.69 26. El 100 % de una población de electores se divide en tres estratos sociales excluyentes :baja(B), media(M), alta(A), de manera que la clase baja o media son el 90% del total, la clase media o alta el 40% del total . De los primeros sondeos realizados para las próximas elecciones se sabe que el % de electores que votarían por el candidato D puede ser, 30% de clase baja 50% de clase media 70% de clase alta. (a) Se elige un elector al azar y se encuentra que vota por D, calcular la probabilidad de que pertenezca a la clase alta. R.0.175 (b) Si se escogen dos electores al azar . calcular la probabilidad que uno de ellos vote por D. R.0.48 27. El departamento de producción determina los siguientes rangos de producción defectuosas. Turno Diurno.: 200 por cada 10.000 artículos producidos . Turno nocturno : 500 por cada 10.000 artículos producidos Diariamente se producen 1.000 artículos en el turno diurno y 600 en el turno nocturno . Si se elige un artículo al azar del total de la producción (a) Calcular la probabilidad de que el artículo sea defectuoso. R0.03125 (b) Si el artículo no es defectuoso, calcular la probabilidad de que sea producido por el turno nocturno.R.0.36774 28. Los compradores de volúmenes grandes de mercaderías utilizan con frecuencia esquemas de muestreo de inspección para juzgar la calidad de las mercaderías que llegan. Los lotes de mercaderías son rechazados o aceptados sobre la base de los resultados obtenidos al inspeccionar algunos artículos seleccionados del lote. Suponga que un inspector de una planta procesadora de alimentos ha aceptado el 98 % de los lotes que son de buena calidad, además se sabe que el inspector acepta el 94 % de todos los lotes. Sabiendo que sólo el 5 % de los lotes son de mala calidad (a) Si un lote es rechazado, calcular la probabilidad de que sea de mala calidad. R0.6833 (b) ¾Qué es mas probable en una inspección, aceptar un lote de mala calidad o rechazar un lote de buena calidad? 29. En relación a la cantidad de artículos elaborados por turno, se ha construido la siguiente tabla clasi cados
según la calidad de estos
Turno
Buena Calidad
Mala calidad
1
12
5
2
8
2
3
6
2
(a) Se escoge un artículo del total de la producción ¾Cuál es la probabilidad de que sea de mala calidad.? (b) Si un artículo es de buena calidad se vende en $ 4.000 existiendo una probabilidad de 0.4 que el vendedor haga un descuento, mientras que si es de mala calidad el artículo se vende en $ 3.000, existiendo una probabilidad de 0.8 de que el vendedor haga una rebaja .
Si el cliente se le ha realizado una rebaja,
determine la probabilidad que haya comprado un artículo de buena calidad. .
2
2
[email protected]
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