ORGANIZACIÓN E INTERPRETACIÓN DE DATOS ESTADÍSTICOS •
Con seguridad, más de una vez habrás visto gráficas como éstas:
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Estas gráficas son muy útiles porque nos permiten ver rápidamente alguna información que nos interesa.
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En esta unidad vamos a aprender cómo se hacen y cómo se interpretan.
PRIMERA EXPERIENCIA •
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En la vuelta a Colombia hay una etapa de 190 Km. Los participantes reciben una gráfica con la información del recorrido-. Responde: - ¿A qué qué dist distan anci cia a de la part partid ida a está el Puerto de la categoría? - ¿Qué ¿Qué altu altura ra tiene tiene ese ese pue puert rto? o? Ambas preguntas podemos responderlas observando la gráfica; así: - El puerto puerto de la la categorí categoría a está está situado situado a 50 km de la la salida salida - El puer puerto to de la cate categor goría ía tien tiene e 2.100 2.100 m de de altura altura Observa la gráfica y contesta: - ¿A qué qué altur altura a está está situad situada a la sali salida? da? ¿Y ¿Y la meta meta? ? - ¿A qué qué altu altura ra está está el punt punto o A? - ¿Cuán ¿Cuántos tos kil kilóme ómetro tros s hay desd desde e A hasta hasta la la cima? cima? - ¿A cuántos cuántos kilómetr kilómetros os de la salida salida está está situado situado el puerto puerto de 2a. categor categoría? ía? ¿Qué ¿Qué altura altura tiene? tiene? - ¿Cuántos ¿Cuántos kilómet kilómetros ros faltarán faltarán para para la meta meta después después de cruzar por por el puerto puerto de 2a. categorí categoría? a? La zona de alimentación está ubicada en el punto B. Responde-. - ¿Cuántos ¿Cuántos kilóm kilómetros etros habrán habrán recorri recorrido do los cicli ciclistas stas hasta hasta ese ese punto? punto? - ¿A qué qué dista distanci ncia a de la la meta meta está está el punt punto o B?
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SEGUNDA EXPERIENCIA •
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Mariana realizó una encuesta entre los alumnos del grupo 6°B, para averiguar su preferencia por las áreas académicas. Una vez recogida la información, procedió a representarla así:
MEDIANTE UNA TABLA DE DATOS Materia Preferida Catequesis Matemáticas Español Ciencias Naturales
Número de Alumnos 15 18 9 3
MEDIANTE UN DIAGRAMA DE BARRAS
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De acuerdo con la tabla de datos y con el diagrama de barras, contesta: ¿Cuá ¿Cuánt ntos os alum alumno nos s pre prefi fier eren en espa españo ñol? l? ¿Cuál ¿Cuál es el el área área más más popul popular ar entr entre e los los alumn alumnos os de de 6°B? 6°B? ¿Con ¿Con qué qué frec frecuen uencia cia se repit repite e el dato dato cate cateque quesis sis? ? El número de veces que se repite un dato se denomina frecuencia absoluta. ¿Cuál ¿Cuál es la frec frecue uenc ncia ia de mat matem emát átic icas as? ? ¿Cuál ¿Cuál es la frec frecue uenc ncia ia de cate catequ ques esis is? ? ¿Cuá ¿Cuánt ntos os alu alumn mnos os con conte test star aron on la la encue encuest sta? a?
MEDIANTE UN DIAGRAMA DE LÍNEAS
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Los diagramas de líneas muestran la tendencia de un dato a subir o a bajar a lo largo del tiempo.
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Al igual que en los diagramas de barras, en los de línea siempre deben figurar el título y la definición de los ejes.
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Los intervalos de la escala numérica, en cada eje, deben ser iguales.
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Observa el diagrama anterior y contesta: a) ¿Qué temper temperatura atura había había a las 3 de la la madrugada? madrugada? ¿Y ¿Y a las 3 de la tarde? tarde? b) ¿A qué qué hora hora se superar superaron on los 12 grados grados de temperatu temperatura? ra? c) ¿Cuál es la la temperat temperatura ura mínim mínima a y máxima máxima del día? día?
APRENDAMOS… Frecuencia Absoluta es el número de veces que se repite un dato. En un diagrama de barras : -
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Los datos datos se repr represe esenta ntan n en la base base de cada cada barr barra. a. La altur altura a de las las barra barras s repre represen senta ta las las frecu frecuenc encias ias absol absoluta utas. s. Los diagramas de líneas : Muestr Muestran an la tend tendenc encia ia de un un dato dato a subir subir o a bajar bajar a lo lo largo largo del del tiemp tiempo. o.
TERCERA EXPERIENCIA •
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Los socios de una empresa que vende bicicletas estudian el informe del gerente:
¿Cuántas bicicletas vendidas representa cada bicicleta del gráfico? Una gráfica como esta se llama PICTOGRAMA.
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APRENDAMOS… En un pictograma: Cada figura representa un número de unidades Este número es el mismo en todo el pictograma. Este pictograma representa los barcos fabricados, por una empresa naviera, en diferentes años: •
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Responde: a) ¿Cuántos ¿Cuántos barcos se constr construyeron uyeron en 1989? 1989? ¿Y ¿Y en 1990? b) ¿En qué año año se fabricaron fabricaron más barcos barcos? ? ¿Cuántos ¿Cuántos? ? c) Comple Completa ta la la sigui siguient ente e tabla tabla de de datos: datos:
A ño
Número de Barcos
1989 1990 1991 1992
CUARTA EXPERIENCIA •
La profesora Lina preguntó a los 45 estudiantes de 6°C lo que habían hecho durante el fin de semana pasado y recogió toda la información en una tabla así:
Actividad Realizada Estudiar Hacer deporte Ver TV Ir a cine
15 18 9 3
Total
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No. De alumnos
45
Esta manera de representar la información se llama Diagrama Circular . Para obtener los ángulos que corresponden a cada parte de la información, procedemos así: 4
-
En todo círculo podemos trazar 360 ángulos iguales cuyos vértices coinciden con el centro del círculo. Cada uno de estos ángulos es lo que denominamos GRADO.
-
El número de ángulos en que dividimos el círculo depende del número total de elementos que dieron la información (en este caso, 45 alumnos) y de la frecuencia de cada dato.
-
Como la información la dieron 45 alumnos, entonces debemos dividir 360 entre 45:
-
¿Qué indica el 360? ¿Y el 45? ¿Y el 8? El 8 indica el número de grados del círculo que corresponde a cada alumno. Por lo tanto: * A 15 alumnos le corresponden……..15 x 8º = 120º A 18 alumnos le corresponden……..18 x 8º = 144º * * A 9 alumnos le corresponden……….9 x 8º = 7 2º A 3 alumnos le corresponden……….3 x 8º = 2 4º *
-
Finalmente, llevamos estos datos al círculo y con el transportador medimos los ángulos obtenidos. Esta es la figura que resulta
EJEMPLO Un almacén de electrodomésticos vendió el mes pasado los artículos que indica el siguiente diagrama circular. Contestemos: a) ¿Cuán ¿Cuántos tos artí artícul culos os vendi vendió ó el almac almacén? én? b) ¿Cuá ¿Cuánt ntas as nev never eras as? ? c) ¿Cuá ¿Cuánt ntos os tele televi viso sore res? s? d) Elabo Elaborem remos os una una tabl tabla a de de dato datos. s.
SOLUCIÓN a) Observemos que la circunferencia circunferencia del diagrama circular circular está dividido en 24 partes iguales. Esto Esto quiere decir que el almacén vendió 24 artículos el mes pasado. b) El diagrama circular nos nos muestra que el ángulo ángulo correspondiente correspondiente a NEVERAS NEVERAS tiene 4 divisiones; por lo tanto, el almacén vendió 4 neveras. c) La franja angular correspondiente correspondiente a los televisores televisores tiene 2 divisiones; divisiones; luego, el almacén vendió 2 televisores. d) Esta Esta es la la tabl tabla a de dato datos: s:
Datos
Frecuencia absoluta
Neveras Lavadoras Estufas Televisores
4 10
Total
24
2
Pregunta: ¿Cuántos grados miden cada uno de los ángulos d el diagrama?
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QUINTA EXPERIENCIA •
En la terminal de buses de una ciudad capital se hizo el siguiente estudio sobre la salida de buses hacia otras capitales del país; así: 40% hacia la ciudad A
30% hacia la ciudad B
10% hacia la ciudad C
5% hacia la ciudad D
15% hacia la ciudad E •
Si diariamente salen 220 buses de la terminal de buses: a) ¿Cuánt ¿Cuántos os buses buses salen salen hacia hacia cada cada capit capital? al? b) Elabora Elabora un diagram diagrama a de barras barras para repres representar entar esta esta informa información. ción. c) Elabora Elabora un diagram diagrama a circular circular para para representa representarr esta inform información ación.. d) ¿Con qué qué frecuenci frecuencia a absoluta absoluta salen salen los buses buses hacia hacia la ciuda ciudad d C? e) ¿Cuál es la la ciudad ciudad que que está está de MODA? MODA? ¿Por qué?
SEXTA EXPERIENCIA •
Se realizó una encuesta en los grupos 6°A y 6°B indagando sobre el deporte preferido. Las tablas de frecuencias son las siguientes:
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¿Cuántos alumnos tiene cada grupo?
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Elabora en diagrama de barras para cada grupo.
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¿Cuál es el deporte de moda en cada grupo?
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¿Es posible decidir a simple vista en cuál de los dos grupos es más popular el fútbol? ¿Cómo lo podríamos hacer?
¡ATENCIÓN! Cuando tenemos dos o más tablas de frecuencias acerca de la misma variable y queremos comparar en cuál de ellas un determinado dato es más popular, debemos determinar su frecuencia relativa (f), que consiste en hallar el cociente entre la frecuencia absoluta (F) y el número total de elementos que conforman la muestra (N); es decir:
f= •
Frecuencia Número
total
F
Absoluta de encuestado
s
=
N
Veamos:
GRUPO: DEPORTE FRECUENCIA ABSOLUTA
6ºA FÚTBOL 18
6ºB FÚTBOL 14 6
ELEMENTOS DE LA MUESTRA
45 18
FRECUENCIA RELATIVA • •
45
= 0,4
35 14 35
= 0,4
Conclusión: el fútbol es igualmente popular en los dos grupos. ¿En cuál grupo es más popular el baloncesto? ¿Por qué? ¿Y la natación? ¿Por qué?
SÉPTIMA EXPERIENCIA •
Las estaturas de las personas que conforman dos grupos A y B son las siguientes:
Grupo A: 1,40 m; 1,56 1,56 m; 1,60 m. m. Grupo B: 1,35 m; 1,52 m; 1,47 m; 1,70 m
¿Cuál de los dos grupos es más alto? •
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Notemos que si sumamos las estaturas de cada grupo no obtendremos la respuesta correcta, ya que el número de personas de cada grupo es d istinto. Para resolver el problema podemos hacer lo siguiente; Calcular la suma de las estaturas de cada grupo. Dividir esta suma por el número de personas de cada grupo. 1,40m + 1,56m + 1,60m
Grupo A = Grupo B =
•
•
= 1,52m
3 1,35m + 1.52m + 1,47m + 1,70m
= 1,51m
4 Estos resultados podemos entenderlos como si todas las personas del grupo A midieran 1,52 m cada una y las personas del grupo B midieran 1,51 m cada una.
Decimos que 1,52 m es la media aritmética o promedio del grupo A y 1,51 m es la media aritmética o promedio del grupo B. Por lo tanto, en promedio, el grupo A es más alto que el grupo B.
¡ATENCIÓN! La MEDIA o PROMEDIO de un conjunto de datos es el resultado de dividir la suma de todos los valores de los datos observados entre el número total de ellos.
OCTAVA EXPERIENCIA •
La siguiente lista de números corresponde a las edades de los alumnos de una clase: 15, 13, 16, 18, 15, 11, 10, 18, 16, 12, 16, 15, 12, 13, 14 •
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Si ordenamos estos datos de menor a mayor nos queda:
El valor CENTRAL de la nueva lista ordenada es 15. Este valor es la MEDIANA de las edades consideradas. •
Si en la clase tuviéramos un número par de alumnos y las edades fueran: 11, 13, 15, 16, 18, 10, 13, 16, 12, 16, 13, 16, 17, 14, 18, 18 ¿Cuál sería la mediana? 7
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Rara responder la pregunta, ordenemos la lista de menor a mayor; así:
En este caso, son dos los valores centrales: 15 y 16. Por lo tanto, la MEDIANA será el promedio de los dos valores centrales,- es decir: 15 + 16
MEDIANA =
2
= 15,5
¡ATENCIÓN!
La MEDIANA de una lista de números que están o rdenados de menor a mayor es el valor que ocupa la posición central. Si la posición central la ocupan dos valores, entonces la mediana es el promedio de esos dos valores. •
Observa de nuevo la lista de las edades de los alumnos de la clase: 15, 13, 16, 18, 15, 11, 10, 18, 16, 12, 16, 15, 12, 13, 14 ¿Cuál es la frecuencia de la edad de 1 5 años? ¿Cuál es la frecuencia de la edad de 12 años? ¿Cuál es la edad de moda en la clase? ¿Cuál es la edad media en la clase?
APRENDAMOS…
Las GRÁFICAS son muy útiles porque nos permiten ver rápidamente alguna información que nos interesa. Las formas más frecuentes de presentar una información son: las tablas de datos, los diagramas de barras y los diagramas circulares.
TABLA DE DATOS
DIAGRAMA DE BARRAS
DIAGRAMA DE LÍNEAS
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PICTOGRAMA
DIAGRAMA CIRCULAR
Alimento de oso pardo
• •
•
•
•
• •
•
La FRECUENCIA ABSOLUTA es el número de veces que se repite un dato. Las MEDIDAS ESTADÍSTICAS son. 1. La FRECUENCIA ABSOLUTA y la FRECUENCIA RELATIVA. 2. Las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL que son: - La moda - La med media ia arit aritmé méti tica ca o prom promed edio io - La mediana Las medidas estadísticas se utilizan para interpretar las tablas o diagramas de los datos obtenidos. La FRECUENCIA ABSOLUTA o simplemente FRECUENCIA de un dato es el número de veces que se repite el dato. La FRECUENCIA RELATIVA de un dato es el cociente entre su frecuencia absoluta y el número total de elementos encuestados. La MODA es el dato de mayor frecuencia absoluta. La MEDIA ARITMÉTICA de un conjunto de datos numéricos es el resultado de dividir la suma de todos los datos numéricos entre el número total de ellos. La media aritmética también se llama PROMEDIO. La MEDIANA de un conjunto de datos numéricos, organizados de menor a mayor es el dato que ocupa la posición central. Si la posición central lo ocupan dos datos numéricos, entonces la mediana es el promedio de estos dos.
EJERCICIO 10.3 1. Observa la tabla y contesta las preguntas:
especie
-
longitud en m
Bisonte 2,70 Canguro 1,70 Ciervo 2,10 Elefante 6,80 Gato salvaje 0,85 Lobo 1,25 ¿Cuá ¿Cuánt nto o pes pesa a el el gat gato o sal salva vaje je? ?
altura hasta el lomo en m 1,80 2,00 1,40 3,70 0,45 0,85
peso en kg 900 100 270 7.000 8 65
n° de crías en cada parto 1 1 1-1 1 5-6 3-9
longevidad en años 40 20 30 100 20 18 9
-
¿Qué ¿Qué anim animal al mide mide más más de de 2m 2m de de alt altur ura? a?
-
¿Qué ¿Qué anim animal al mide mide menos menos de de un metro metro de long longit itud? ud?
-
¿Qué ¿Qué anim animal ales es vive viven n más más de 35 años años? ?
-
¿Qué ¿Qué difere diferenci ncia a de altura altura hay entr entre e un lobo lobo y un cang canguro uro? ?
-
Uno de de estos estos anim animale ales s ha teni tenido do 8 cría crías. s. ¿A ¿A cuál cuál nos nos referi referimos mos? ?
-
¿Cuál ¿Cuál es es la dif difere erenci ncia a de peso peso entre entre un un cierv ciervo o y un cangur canguro? o?
2. Teniendo en cuenta el diagrama cartesiano de la derecha, completa la tabla de la izquierda:
3. Las temperaturas máximas registradas en un observatorio desde marzo hasta septiembre fueron:
Meses
Grados
marzo 27 abril 30 mayo 32 junio 33 julio 36 agosto 39 septiembre 36 octubre 27 noviembre 24 Dibuja un diagrama de barras con los datos de la tabla
4. La tabla recoge las horas de luz de 10 días de octubre. Representa estos datos en un diagrama de barras y en un diagrama de líneas:
Día
Horas de luz
1
6 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 4 1 0 4 9 8 5 2
5. Los gastos de una persona durante un año son
-
¿Cuál ¿Cuál es el mayor mayor gast gasto o que que tien tiene e esta esta person persona? a?
-
¿En ¿En qué qué gast gasta a más, más, en en trans transpo port rte e o en ves vesti tido do? ?
-
Dos de de los gastos gastos suma suman n más más de la la mitad mitad del del total total.. ¿Cuál ¿Cuáles es son? son?
-
¿Cuán ¿Cuántos tos grad grados os mide mide cada cada uno uno de los los ángulo ángulos s del diag diagram rama a circul circular? ar?
6. En esta gráfica puedes ver las cantidades de basura doméstica producida anualmente por una persona en diferentes países (en kg):
Ahora escribe aproximadamente los kilos de basura que produce una persona en los siguientes países (utiliza la calculadora):
España
Francia
Italia
J a pón
Alemania
1 año 1 día 7. Una encuesta realizada sobre la opinión de los televidentes acerca de un programa, arrojó los siguientes resultados-. Muy Bueno……………………..65% Bueno……………………………20% Regular………………………….10% Aburridor………………………….3% 11
Sin opinión……………………….2% Se pide: a) Elaborar un diagrama de barras. b) Elaborar un diagrama circular. c) ¿Cuál es el resultado de moda? ¿Es bien aceptado el programa por los televidentes? 8. En una clase de idiomas las notas obtenidas por 12 alumnos han sido: 7, 6, 6, 8, 5, 6, 10, 9, 5, 8, 5, 1. En otra clase de 8 alumnos las notas han sido: 9, 10, 8 , 7, 6, 6, 5, 9. Responde: a) ¿Cuál fue la nota de moda en el grupo de 12 alumnos? b) ¿Cuál fue la nota de moda en el grupo de 8 alumnos? c) ¿Cuál fue la nota media del grupo de 12 alumnos? d) ¿Cuál fue la nota media del grupo de 8 alumnos? e) ¿En cuál grupo les fue mejor? ¿Por qué? 9. Un grupo de estudiantes hizo un estudio sobre el número de vehículos que cruzaban por un p uente a distintas horas del día. Los resultados obtenidos fueron: 6 - 7 a.m. 1.420 vehículos 7 - 8 a.m. 1.970 vehículos 8 - 9 a.m. 6.400 vehículos 9 - 10 a.m. 2.500 vehículos 10 - 11 a.m. 3.400 vehículos 11 - 12 a.m. 4.900 vehículos 12 - 1 p.m. 7.250 vehículos 1 - 2 p.m. 6.280 vehículos 2 - 3 p.m. 8.370 vehículos a) ¿Cuántos vehículos pasaron por el puente ese día? b) Elabora un diagrama de barras y un diagrama circular que registren esta información. c) ¿Cuál es la hora de moda; es decir, la de mayor congestión? d) ¿Cuál es el promedio de vehículos que pasa po r el puente? e) ¿Cuál es la mediana? 10. Completa la siguiente tabla
Temperatura en ºC
Frecuencia Absoluta
13º C
4
17º C 16º C 14ºC 15º C
Frecuencia Relativa Fracción Común Porcentaje
Decimal
4 10
1 2 2 1
DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS 2 Una cadena de tiendas tiene un establecimiento en la ciudad A y otro en la ciudad B. Al cabo del tiempo se ha comprobado que la distribución estadística estadística de tallas de ropa es diferente en las dos ciudades, según se ve en el diagrama de barras:
12
a) ¿Cuál de las dos dos localid localidades ades parece parece que la la gente es es más corpul corpulenta? enta? b) Si hay que mandar mandar 500 500 camisetas camisetas a la poblaci población ón B, ¿Cuántas ¿Cuántas tendrá tendrán n que ser de talla talla media? media? ¿Y si se envían a la ciudad A?
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