Misioneros de la Divina Redención
Colegio El Carpinelo “Formando Integralmente para la Vida con los Valores del Evangelio”
Área: Profesor:
Matemáticas 6° Asignatura: Geometría. Guía N° 11 Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________ 4.8.3 Clasificación de los Triángulos
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PRIMERA EXPERIENCIA Dibuja distintos triángulos en tu cuaderno y mide cada uno de sus lados. Si comparas el trabajo realizado con el de tus compañeros, encontrarás distintos tipos de triángulos. Veamos: *
Triángulos que tienen sus lados de distinta medida. Se TRIÁNGULOS ESCALENOS.
*
Triángulos que tienen sus tres lados de igual medida. Se aman TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS.
*
Triángulos que tienen dos lados de igual medida. Se llaman TRIÁNGULOS ISÓSCELES.
llaman
SEGUNDA EXPERIENCIA Dibuja distintos triángulos y con ayuda del transportador mide cada uno de sus ángulos. Si comparas el trabajo realizado con el de tus compañeros, de nuevo encontrarás distintos tipos de triángulos: *
Triángulos que tienen sus tres ángulos agudos. Se llaman TRIÁNGULOS ACUTANGULOS.
*
Triángulos que tienen un ángulo recto. Se llaman TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
*
Triángulos que tienen un ángulo obtuso. Se llaman TRIÁNGULOS OBTUSANGULOS.
APRENDAMOS… Clasificación de los Triángulos • De acuerdo con la medida de sus lados, los triángulos se clasifican así: 1. TRIANGULO ESCALENO: tiene los tres lados de distinta longitud. 2. TRIANGULO EQUILÁTERO: tiene los tres lados de igual longitud. 3. TRIÁNGULOS ISÓSCELES: tienen dos lados de igual longitud. • De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos se clasifican así: 1. TRIANGULO ACUTANGULO: tiene sus tres ángulos agudos. 2. TRIANGULO RECTÁNGULO: tiene un ángulo recto. 3. TRIANGULO OBTUSANGULO: tiene un ángulo obtuso. Observaciones 1. En un triángulo rectángulo, los lados reciben nombres especiales; así: * HIPOTENUSA: es el lado opuesto al ángulo recto. * CATETOS: son los lados que forman el ángulo recto.
1
2. En un triángulo isósceles, el lado desigual se denomina BASE.
EJERCICIO 4.12 1. Elabora una cartelera con el cuadro sinóptico de la clasificación de los triángulos. 2. Responde: a) ¿Cuánto mide el perímetro de un triángulo equilátero cuyo lado mide 12 cm? b) Si el perímetro de un triángulo equilátero mide 81 cm, ¿cuánto mide el lado? c) ¿Puede ser un triángulo a la vez rectángulo e isósceles? Dibuja uno. d) ¿Puede ser un triángulo a la vez escaleno y obtusángulo? Dibuja uno. e) ¿Puede ser un triángulo a la vez rectángulo y escaleno? Dibuja uno. f)
¿Puede ser un triángulo a la vez equilátero y rectángulo? ¿por qué?
3. a) Explica por qué los tres ángulos de un triángulo equilátero son iguales, ¿cuánto mide cada uno? b) Explica por qué los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles también son iguales. c) Explica por qué son desiguales los tres ángulos interiores de un triángulo escaleno. d) Explica por qué un triángulo rectángulo no puede tener más de un ángulo recto. e) Explica por qué un triángulo obtusángulo no puede tener más de un ángulo obtuso. f) Explica por qué la hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo. g) Explica por qué las escuadras son triángulos rectángulos, h) Explica por qué todo triángulo equilátero es acutángulo. 4. Completa: a) Si los tres ángulos interiores de un triángulo son desiguales, entonces sus lados son ________ y se llama triángulo __________________. b) Si un triángulo tiene dos ángulos interiores iguales, entonces el triángulo tiene dos lados ____________ y se llama triángulo ___________________. c) Si los tres ángulos interiores de un triángulo son iguales, entonces cada uno mide ________ y el triángulo se denomina _______________________. 5. El lado desigual de un triángulo isósceles mide 5 cm. Si el perímetro del triángulo es 25 cm, ¿cuál es la medida de los lados iguales?
DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS 7
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Un capataz ofrece a un obrero un sueldo anual de $11900.000 y un caballo. Al cabo de 8 meses el obrero es despedido recibiendo $11 100.000 y el caballo. ¿Cuál era el valor del caballo? (Resolverlo sólo por lógica). 4.8.4 Alturas de un Triángulo y la Escuadra
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PRIMERA EXPERIENCIA Toma en tus manos las dos clases de escuadras y mide los ángulos interiores de cada una de ellas.
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Completa:
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¿Representa toda escuadra un triángulo rectángulo? ¿Por qué?
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¿Cuáles son los catetos de cada escuadra? ¿Y la hipotenusa?
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Ahora fíjate bien en las posiciones de una de las escuadras con respecto a una recta
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Responde:
↔
r
.
↔
a) ¿Cuál de las dos posiciones de la escuadra me permite trazar perpendiculares a la recta r ?
b) Colocando el lado mayor de la escuadra sobre una recta, ¿puedo trazar perpendiculares a la recta? Explica con dos o tres dibujos. c) Colocando cualquiera de los catetos de la escuadra sobre una recta, ¿puedo trazar perpendiculares a ella? Explica con dos o tres dibujos. •
Usando solamente la escuadra, traza segmentos perpendiculares a cada una de las rectas desde el punto P.
¡Atención! Para trazar la perpendicular a la recta m desde el punto P es necesario prolongar primero la recta m.
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SEGUNDA EXPERIENCIA Dibuja un triángulo cuyos lados midan a = 4 cm, b = 4cmy c = 4 cm.
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Escribe las tres letras mayúsculas correspondientes a cada vértice.
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Utilizando la escuadra, traza el segmento perpendicular desde cada vértice al lado opuesto. Compara lo que has hecho con lo que muestra la figura siguiente:
3
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Si al trazar las tres alturas del triángulo que dibujaste no te queda una figura parecida a la siguiente, debes repetir la experiencia anterior.
•
Ahora dibuja un triángulo cuyos lados miden a = 3 cm, b = 4cm y c = 5 cm.
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Escribe las letras mayúsculas correspondientes a los vértices.
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A continuación, utilizando la escuadra, traza las tres alturas del triángulo. Te debe quedar una figura parecida a la siguiente:
* *
•
¿Cuántas alturas de un triángulo rectángulo coinciden con los lados del mismo? ¿cuáles son estos lados? ¿Dónde se cortan las tres alturas de un triángulo rectángulo?
Fíjate bien en el
*
∆ABC:
¿Puedo trazar la altura que va del vértice A al lado opuesto? ¿Por qué? ¿Puedo hacerlo sobre la prolongación del lado
____
BC ?. Trázala.
4
*
¿Puedo trazar la altura que va del vértice C al lado opuesto? ¿Por qué? ¿Puedo hacerlo sobre la prolongación del lado
____
AB
?. Trázala. ____
*
¿Puedo trazar la altura sobre el lado
*
Si prolongo las tres alturas del triángulo ABC, ¿se cortan en el interior del triángulo, sobre el triángulo o por fuera del triángulo? Si hay necesidad de prolongar las alturas, hazlo.
AC AC? Trázala. * Después de trazar las tres alturas del ∆ABC te debe quedar una figura parecida a la siguiente:
APRENDAMOS… • Se llama ALTURA de un triángulo al segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. • El lado del triángulo sobre el cual se traza la altura se llama BASE del triángulo. • Las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado ORTOCENTRO. • El ortocentro se encuentra: * En el interior del triángulo cuando éste es acutángulo. * En el vértice del ángulo recto cuando el triángulo es rectángulo. * Por fuera del triángulo rectángulo cuando éste es obtusángulo. ¡Atención! En el triángulo rectángulo cada cateto es altura del otro cateto. EJERCICIO 4.13 1. Responde: a) ¿A qué se da el nombre de altura de un triángulo? b) ¿Cuántas alturas tiene un triángulo? c) ¿Cómo se llama el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo? d) ¿Qué se llama base de un triángulo? ¿Y base de un triángulo isósceles? 2. Completa: a) El ortocentro de un triángulo acutángulo se encuentra en el _______; el de un triángulo rectángulo en el _______ y el de un triángulo obtusángulo en el_______. b) El único triángulo que tiene por alturas dos de sus lados es el triángulo ________ y son los lados que forman el ángulo __________. c) El lado desigual de un triángulo isósceles se llama ________________. 3. Dibuja un triángulo isósceles cuyos lados miden a = 7 cm, b = 7cmy c = 4 cm. Nombra cada vértice con la letra mayúscula correspondiente. A continuación: a) Traza la altura sobre el lado que es base del triángulo isósceles. b) Comprueba que esta altura divide al ángulo correspondiente al vértice desde el cual se trazó en dos ángulos iguales.
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c) Comprueba que esta altura cae en el punto medio de la base del triángulo. d) Comprueba que el triángulo isósceles queda dividido en dos triángulos iguales por esta altura trazada sobre la base. e) Comprueba con otros triángulos isósceles lo que acabas de comprobar en los literales b), c) y d). f)
Escribe con tus propias palabras las conclusiones obtenidas en los literales anteriores.
4. Dibuja los siguientes triángulos equiláteros, nombrando los vértices con las letras correspondientes: PRIMERO: a = 4 cm; b= 4 cm; c = 4 cm SEGUNDO: m = 6cm;
n = 6cm;
p = 6cm
a) Traza las tres alturas a cada uno de los triángulos. b) Responde: * ¿Cómo divide cada altura a los lados del triángulo equilátero? * ¿Cómo divide cada altura a los ángulos del triángulo equilátero? 5. Teniendo en cuenta el ∆ABC de la figura siguiente, contesta: a) ¿Cuánto mide el ángulo C? b) ¿Cuánto mide el ángulo α ? c) ¿Cuánto mide el ángulo Á? d) ¿Es el ∆ABC equilátero? ¿Por qué? ____
e) ¿Es el segmento AM una altura del ∆ABC? ____
f) ¿Cuánto mide el segmento BM ? ¿Por qué? ____
____
g) ¿Cuánto miden los lados AB y AC ? h) ¿Cuánto mide el perímetro del ∆ABC? 6. Teniendo en cuenta el ∆ABC de la figura siguiente, contesta a) ¿Es el ∆ABC rectángulo? ¿Por qué? b) ¿Es el ∆ABC isósceles? ¿Por qué? ____
c) ¿Es el segmento BM altura del ∆ABC? ¿Por d) ¿Es el ∆BMC rectángulo? ¿Y el ∆BMA? ¿Por
qué? qué?
e) ¿Cuánto miden los ángulos A y C? f) ¿Cuánto mide el ángulo α ?
DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS 8 Se compra en la taquilla de un estadio 5 entradas de adulto y 6 de niño por $27.000. Más tarde se compran 8 de adulto y 6 de niño por $36.000. ¿Cuánto cuesta cada entrada de hombre y cuánto cada una de niño?
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