CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
CEFET-SP Uned Cubatão
Curso:
Curso Superior de Tecnologia em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Turma:
SAI – 171
Matéria:
Geometria Analítica
Aluno:
Flávio Alves Monteiro 051017
Matrícula:
Geometria Analítica Espacial
1
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Geometria Analítica Espacial
2
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Geometria Analítica Espacial
2
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GEOMETRIA ANALÍTICA Conceito de vetor Definição 1
Um, segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do espaço. A é dito origem,
B
extremidade
do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma
(A, A) são ditos nulos. Se A ≠ B, (A, B) é diferente de (B, A). Definição 2
Dize izemos que os segme gmentos tos orie rientad tados (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprime imento se os segmentos tos geométric ricos AB e CD têm têm o mesm esmo comprimento.
Suponha (A, B) e (C, D) não nulos. Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesma direção se AB // CD (AB // CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem) . Nesse caso dizemos que (A, B) e (C, D) são paralelos.
.Suponha que (A, B) e (C, D) têm mesma direção.
a) Se as retas AB e CD são distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se a intersecção entre os segmentos AC e BD for vazia. Caso AB ∩ CD ≠ φ , dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrário. b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' não pertença à reta AB e (A', B') tenha mesma direção, e mesmo sentido que (A, B). Então dizemos que (A, B) e (C, D) têm mesmo sentido se (A', B' ) e (C, D) têm mesmo sentido. Se não, dizemos que (A, B) e (C, D) têm sentido contrario. Geometria Analítica Espacial
3
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Definição 3 .
Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são
equipolentes,
e indica-se (A,B) ∼
(C,D), se um dos casos seguintes ocorrer: a) ambos são nulos; b) nenhum nenhum é nulo, nulo, e têm têm mesmo mesmo comprim comprimento ento,, mesma mesma direç direção ão e mesm mesmoo sentid sentido. o.
Proposição 1: A relação de equipolência goza das seguintes propriedades:
a) (A , B) ∼ (A , B)
(reflexiva)
b) (A ,B) ∼ (C , D) ⇒ (C,D) ∼ (A,B)
(simétrica)
c) (A,B) ∼ (C,D) e (C,D) ∼ (E ,F) ⇒(A ,B)∼ (E,F)
(transitiva)
Observação: (Uma relação que goza das propriedades a), b) e c) se chama de relação de equivalência.
Definição 4
Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados de E3. Se (A,B) é um segmento orientado, o vetor correspondente (ou seja, o vetor cujo representante é (A,B)) será indicado por →
→ AB AB
minúsculas minúsculas encimada encimadass por por uma seta ( a ,
→
b
. Usam-se também letras latinas ,
→
x
etc.), não se fazendo desse
modo referência ao representante. Chamaremos vetor nulo ao vetor cujo representante é um segmento orientado
→
nulo (A,A) e indica-se o vetor nulo por 0 . →
Os vetores x e
→
y
Geometria Analítica Espacial
→
→
→
não-nulos são paralelos ( x // y ) se um representante representante de x
4
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é paralelo a um representante de têm mesmo sentido
→
y
(e portanto a todos). Se →
se um representante de
x
→
→
x // y
,
e um representante de
→
x →
y
e
→
y
têm
mesmo sentido. Consideramos o vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
Chamaremos
(ou
norma
ou
módulo,
comprimento)
de um vetor ao
comprimento de qualquer um de seus representantes; indica-se a norma de →
→
→
x
→
por x . Se x = 1, dizemos que o vetor x é unitário. Observação →
O vetor BA é chamado vetor oposto do vetor
→ AB
e eles só diferem no sentido (se
A≠ B), já que seus representantes (A,B) e (B,A) têm mesma direção, mesmo comprimento e sentido contrário. O vetor oposto do vetor →
→
→ AB
é indicado também
→
por - AB ; o vetor oposto de um vetor x é indicado por - x .
OPERAÇÕES COM VETORES ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores
→
u
e
→
v
representados pelos segmentos orientados AB e BC. →
Os pontos A e C determinam o vetor soma dos vetores u e
→
v
Propriedades da adição A1) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA →
→
(u +
v
) +
→
w
=
→
u
→
+ (v +
→
w
), ∀
→
u
,
→
v
,
→
w
∈ V3
A2) PROPRIEDADE COMUTATIVA →
u
+
→
v
=
→
v
+
Geometria Analítica Espacial
→
u
∀
→
u
,
→
v
∈ V3 5
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A3) ELEMENTO NEUTRO
Existe um só vetor nulo →
+
u →
+
u
→
→
=
0 →
→ AB
=
0
→
+
0
→
0
→
=
u
u
→
+
tal que para todo vetor
BB
→
, ∀
=
u
→ AB
=
→
u
se tem:
∈ V3 →
u
.
A4) ELEMENTO OPOSTO →
Dado um vetor u qualquer, existe um vetor que somado a vetor nulo: trata-se do vetor oposto de →
u →
→
+ ( -u ) = -u + →
+ ( -u ) =
u
→
→
→ AB
u →
=
→
u
u
dá como resultado o
→
, que se indica por - u .
→
0 →
+ BA = AA =
→
0
Diferença de vetores
Chama-se diferença de dois vetores vetor
→
→
u
+(-
→
v
→
u
e
→
v
, e se representa por
→
d
=
→
u
-
→
v
, ao
).
Dados dois vetores
→
u
e
→
v
, representados pelos segmentos orientados AB e AC, →
respectivamente, e construído o paralelogramo ABCD verifica-se que a soma s = +
→
v
→
u
é representada pelo segmento orientado AD (uma das diagonais) e pela
diferença
→
d
=
→
u
-
→
v
é representada pelo segmento orientado CB (a outra diagonal)
Geometria Analítica Espacial
6
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Multiplicação por um número real →
Dado um vetor →
vetor v
pelo
v
→
≠
e um número real k ≠ 0, chama-se produto do número real k
0
o vetor
→
p
→
= k v , tal que: →
a) módulo:
=
p
=
k v
k
v
→
b) direção: a mesma de
v →
c) sentido: o mesmo de
se k > 0 , e contrário ao de
v
→
se k < 0.
v
Observações: →
a) Se k = 0 ou
→
→
→
→
= 0 , o produto é o vetor 0 , isto é k v = 0 . → → b) Dados dois vetores u e v , colineares, sempre existe k ∈ R tal que v
→
Exemplo: se
u
=
−2
→
v
5
→
⇒
v
=
−5
u
=
De fato, ele é unitário
→ v
Daí, concluí-se que
→
v
=
v
→
u
u
=k
→
v
.
u
2
→
c) O versor de um vetor v ≠ 0 é o vetor unitário →
u
→
→
→ v
→
=
→ v → v
u
1
=
→→
v
ou
v
→
v
=
→
v
=1
→
isto é, o vetor v é o produto de seu módulo pelo
vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de
→
v
Propriedades da multiplicação de número por vetor.
Se
→
u
→
e
são vetores quaisquer e α e β são números reais, temos:
v
M1) α (
→
u
→
+
v
) = α
→
u
+ α
→
v
, ∀ α ∈R , ∀
→
u
,
→
v
∈ V3
(distributiva
em relação à adição de vetores) M2) ( α + β ) M3)
1.
M4) α ( β
→
v
= →
v
→
v →
v
,
= α
→
v
+ β
→
v
∀ α ,β ∈R ,
,
∀
→
v
∈ V3
→
∀ v ∈ V3 →
) = (α β ) v = β ( α
Geometria Analítica Espacial
→
v
), ∀ α ,β ∈R ,∀
→
v
∈ V3 7
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Observação →
→
Se α ∈ R e
v
∈ V3 , com α ≠ 0 ,
v α
significa
1
→
α
v
Soma de ponto com vetor →
Cada ponto P ∈ E e cada vetor 3
v
∈ V3 associa um único ponto Q de E3
→
→
indicado por P + v e chamado soma de P com v . Assim: ∀ P ∈ E3 , ∀ → → ⇔ P Q P+ u =Q = u donde P + PQ = Q →
→
v
∈ V3 :
→
Observação: →
A notação P →
Assim: P -
→
indica a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor v
v
→
= P + ( −v )
v
Propriedades dessa operação:
P1
→
P +
→
P +
P2
P+
Logo P3
u
→
→
⇒
→
= P +
u
v
u
→
= P+
u
→
→
u
)+
→
v
→
= P + (u + →
u
→ AB
=
→
u
+
→
v
→
v
) ∀
e B=A+
por def. decorre que PA = +
v →
por def. decorre
v
→
PA
+
PQ
=
→
u
e
→
=
PQ
→
v
v
Sejam A = P + →
→
→
=
(P+
= P
PP
Seja Q = P + →
∀ P ∈ E3
= P
0
→
u →
e
mas, PA +
→
v → AB
→ →
u ,v
∈ V 3 ∀ P ∈ E3
( logo B = (P + =
→ AB
→
v
→
u
→
v
)
somando, temos:
→
→
= PB , portanto temos PB =
Pela definição de soma de ponto com vetor, temos: B = P ( Geometria Analítica Espacial
)+
→
u
+
→
v
→
u
+
→
v
) 8
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→
u
v
e portanto: (P + ) +
P4
A+ A+
→ →
=B+
v
→
P 3
⇒ A+(v -
P5 ( P (P-
→
v
→
v
)+
)+
→
v
→
v
v
→
v
→
v
(u
+
→
v
)
⇒ A=B
→
= B+
v
= P+
→
⇒ (A +
→
v
→
(v
)= B+
)→
-
v
→
v
)
→
= (B + ⇒
v
)-
→
A+
0
→
v
P 3
⇒
=B+
→
0
P 1
⇒ A=B
=P
= [P + ( -
→
v
)]+
→
v
P 3
⇒P +[-
→
v
+
→
v
]=P+
→
0
P 1
⇒P
Dependência Linear →
→
Dados n vetores
→
→
v1 , v , v ,....., → vn chama-se combinação linear dos n → → vetores a qualquer vetor da forma: a1 v1 + a2 v + ....+ an vn em que a1 , a2 , 2
3
2
a3 ,......,an são números reais. Observe que os números a1 , a2 , a3 ,......, an que figuram na combinação linear podem ser nulos ou não. O vetor nulo é combinação linear de qualquer vetor pois:
→
0
→
=0
→
→
v1 + 0 v + 2
+..... + 0 v p , onde p é qualquer número natural, maior do que zero. Exemplo: →
No triângulo ABC, M é o ponto médio de BC. Escrever o vetor AM como combinação linear de
→ AB
Geometria Analítica Espacial
e
→
AC
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A
B
M
C
Solução: Traçar pelo ponto M, paralelas aos lados AB e AC. Pelo teorema de Pitágoras → P e N são pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente. A P
N
B
M
C
Como o quadrilátero APMN é um paralelogramo, temos: 1 → 1 → → → → → → = + e = e = AN AN AP AP AM 2 AB 2 AC → AM
portanto:
=
1 → 2 AB
+
1 → 2 AC
Condições para que um vetor possa ser dado como combinação linear de outros vetores. Proposição 1 (para dois vetores) → Dados um vetor → v , não nulo, e um vetor u , tais que
número real m tal que
→
u
=m
→
u
//
→
v
, então existe um único
→
v
→
a) Se o vetor u for nulo, basta fazer m = 0. →
b) Se o vetor u também também não for nulo, teremos: →
→
→
u = m v ⇒ se
→
u
e
→
v
→
u
= m
têm mesmo sentido e m < 0 se
Geometria Analítica Espacial
→
u
→
v
e
⇒m = ± →
v
u →
v
, sendo m > 0
têm sentidos contrários. 10
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“Dois vetores são paralelos se e somente se um deles é igual ao outro multiplicado por um número real” . exemplo: Sejam dados os vetores u
=4 e
v
= 7. Escreva
Solução: Como
→
→
e
u
→
u
→
e
u
→
v
, paralelos e de sentidos contrários tais que
em função de
→
v
e
→
v
em função de
→
u
.
têm sentidos contrários, o número que multiplicando um
v
deles dá o outro será um número negativo. → 4→ = 7 u v ∴ →
u
=
−4 7
→
→
e
v
v
=
−7 4
→
→
u
v
→
u
Quando a combinação linear existe, dando um vetor em função do outro, dizemos que existe uma dependência linear entre eles e, o conjunto formado por dois vetores paralelos é linearmente dependente. ( LD ).
Um vetor não nulo
→
v
forma uma base para o conjunto de todos os vetores que
possuem a mesma direção de múltiplos de
→
v
→
v , isto é, todos os vetores paralelos a
→
v
são
.
Proposição 2 ( para 3 vetores ) →
Dados os vetores
u
e
→
v
, LI, e o vetor
→
w
tais que
então existem e são únicos os números n e m , tais que
→
u
,
→
w
→
v
e
→
w
sejam coplanares,
→ = m→ + n v. u
a) Se o vetor w for nulo, basta fazer m = 0 e n = 0. →
b) Se o vetor w for paralelo a →
c) Se o vetor w for paralelo a →
d) Se o vetor
w não →
→
u
, basta fazer n = 0 e achar m conveniente.
→
v
, basta fazer m = 0 e achar n conveniente.
for nulo e não for paralelo a nenhum dos dois vetores,
→ tomemos os três vetores aplicados em um mesmo ponto A e seja AP =
B Geometria Analítica Espacial
→
w
P 11
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
→
v
w
→
A
C
u
Traçando-se por P paralelas a → AP
paralelogramo ∴ → Como AC //
→
→
e a
u
v
forma-se o quadrilátero ABPC
→ → = AB + AC
→
→ , existe um número real tal que m AC = m u
→ Existe um número real n tal que AB =n
→
e, portanto:
v
→
u
→
w
→ e como AB //
→
v
,
→ = m→ u +nv .
• Pela definição da operação adição de dois vetores pode-se afirmar que “ w = m → u →
+ n→ v então
→ →
u ,v e
→
w
são coplanares”
pois
→ → , m e n w u v possuem →
representantes que são lados de um triângulo, sendo portanto coplanares e, conseqüentemente
→
w, →
e
u
→
v
também são coplanares.
“Três vetores são coplanares se e somente se um deles é igual a uma combinação linear dos outros dois”. Exemplo: Dados os vetores
→
u
→
,
e
v
w, →
como na figura, e sendo
Obter w como combinação linear de →
θ = 600
→
u
e
→
v
C
u
=2,
v
=3e
w
= 6,
. P
→
w →
v
θ A Por P traça-se // a
→
u
→
ea
v
θ →
u
B
. Assim, ABPC é um paralelogramo sendo que o triângulo
ABP é eqüilátero. → AB
= 3→ e u
→
AC
Geometria Analítica Espacial
= 2→ v , logo: 12
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos → AP →
w
→ → = AB + AC
→ = 3→ + 2 u v
• Dados três vetores coplanares, sendo dois deles LI, o outro poderá ser expresso como combinação linear dos dois primeiros. • Como essa combinação linear sempre existe, dando um vetor em função dos outros dois pode-se dizer que existe uma dependência linear entre eles ou seja, o conjunto formado por três vetores coplanares é LD. • O conjunto formado por três vetores não coplanares é LI. • Dois vetores LI formam uma base para o conjunto de todos os vetores coplanares com eles isto é, todo vetor w , coplanar com →
como combinação linear de
Dados
→
u
e
→
v
→
u
e
→
v
, LI , pode ser sempre escrito
.
Proposição 3 ( para 4 vetores ) →
u
,
→
v
e
w, →
LI , e o vetor → r qualquer, então existem e são únicos os
números reais m , n e p tais que
→
r
→ = m→ u + nv + pw
→
→
a) Se o vetor r for nulo, basta fazer m = 0 , n = 0 e p = 0. b) Se o vetor
→
r
for paralelo a
→
for paralelo a
→
for paralelo a
w,
u
, basta fazer n = 0 e p = 0 e encontrar o m
conveniente. c) Se o vetor
→
r
v
, basta fazer m = 0 e p = 0 e encontrar o
n
conveniente. d) Se o vetor
→
r
→
basta fazer m = 0 e n = 0 e encontrar o p
conveniente. →
e) Se o vetor r não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a
→
u
e
Geometria Analítica Espacial
→
v
, basta fazer p = 0 e encontrar m e n convenientes.
13
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
f) Se o vetor r não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas →
for coplanar a
v
e
w, →
basta fazer m = 0 e encontrar n e p convenientes.
→
g) Se o vetor r não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, mas
for coplanar a
→
e
→
w
u
, basta fazer n = 0 e encontrar m e p convenientes.
→
h) Se o vetor r não for nulo, nem paralelo a nenhum dos outros três vetores, nem
coplanar com dois deles, tomemos os quatro vetores aplicados em um mesmo ponto A . Seja
→ AP
→
=
r . Traçando por P paralelas a
→
u
, a→ v e a w obtemos, assim, um →
paralelogramo. Portanto:
→ AP
→ Como AB //
→ AB
=
→
u
+
→
BC
→
∴
→
r
→
CP
existe um número real m tal que
→ número real n tal que AD =n
w
+
→
v
;
→ AE
//
→
w
→ AB
=m
→ u ; AD //
→
→
v
existe um
→ existe um número real p tal que AE =p
→ = m→ u + nv + pw
→
E P →
→
w →
u
A
r →
v
D
B C “ Dados quatro vetores no espaço, sempre um deles é combinação linear dos outros três” – Os vetores são LD. Exemplo:
Geometria Analítica Espacial
14
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Dados os vetores = 3;
w
→
r
r
=6
u
,
→
v
e
w,
→
e sabendo que
3
como combinação linear de
ortogonais dois a dois; sendo
→
→
u
,
r →
v
forma ângulos iguais com
e
= 1;
u
→
u
,
→
v
e
v
w, →
= 2; obter
w. →
Solução: E
→
w
→
r
P →
u
→
→
u
v
portanto
→
→
→
w
r
A
→
D
v
B
C →
Tracemos por P, paralelas a
u
,
→
v
e
w. →
Obtemos, assim, um cubo de aresta 6 logo: → AB
=6
→ AD
→
u
=3
→
→
v
= 2w
→
AE
r
→ = 6→ u + 3v + 2w
→
Base Chama-se base de V3 a qualquer trinca ordenada de vetores LI. Assim, se ( → u, ,
w) →
3 é uma base de V3 então qualquer vetor → r de V é gerado por
seja, existem números reais m, n e p tais que
→
r
→
u
,
→
v
,
w, →
→
v
ou
→ = m→ + n u v + p w . Como esses →
números são únicos, associamos a cada vetor de V3 uma única trinca de números reais ( m, n, p). Esses números são chamados de coordenadas de vetor → r em relação à base ( → u,
→
v
,
w) →
→ → ; os vetores m → u , n v e p w são componentes do vetor r . →
Exemplos: Fixada uma base E = (
→
,
→
,
→
e e e 1
2
3
)
Verificar se são LI ou LD os vetores: Geometria Analítica Espacial
15
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a)
→
u
1 2
b)
→
u
2 1
≠
≠
= (1, 7, 1) e
1 1 2 →
u
→
= (1, 2, 3) e
= =2
7 7 2
=
3
eles não são proporcionais ∴ ( → u,
1 →
1 1 2
→
= ( 2, 1, 1)
v
v
=(
1 2
,
1 2
→
v
v
) é LI
)
são proporcionais
∴ (→ u,
v
7 2
,
→
- fator de proporcionalidade: 2
) é LD
2) Verificar se são LI ou LD os vetores: →
u
= (1, -1, 2)
→
= ( 0, 1, 3)
v
1 -1 2 0 1 3 4 -3 11 resulta que ( → u,
→
v
f 1 = 2 →
w
= ( 4, -3, 11)
= 0 ,
w)
é LI
→
→
→
3) Sejam:
→
e
1
→
→
-
e
2
→
→
f = e1 - e2 + 2 e3 2
→
→
→
f 3 = e1 + 2 e3 →
→
→
Mostre que ( f , f , f ) é LI e portanto base de V3 1 2 3 Resolução: →
Tem-se:
f 1 = (2 , - 1 , 0 ) →
f = (1, - 1, 2 ) 2
→
f 3 = ( 1, 0, 2 )
2 -1 0
Geometria Analítica Espacial
16
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
= -4 ≠ 0
1 -1 2 1 0 2
→
→
→
logo ( f , f , f ) é LI 1 2 3
4) Calcule as coordenadas do vetor anterior.
→
v
= ( 1, 1, 1 )E na base F do exercício
Resolução: →
Sabemos que: f = 2 1 →
→
→
-
e
1
e
2
→
→
→
f = e1 - e2 + 2 e3 2
→
→
→
f 3 = e1 + 2 e3 →
Resolvendo as equações acima com relação a →
→
→
→
→
,
→
,
e e e 1
2
3
temos:
→
→
f = f - e2 ∴ e2 = f - f 3
2
3
→
→
→
→
→
2
→
→
→
→
→
f 1 = 2 e1 - e2 ∴ f 1 = 2 e1 - ( f 3 - f 2 ) ∴ f 1 + f 3 - f 2 = 2
→
e
1
∴ →
f 3 = →
f + 2
1 2
→
e
1
+2
→
e
1
=
→
1 2
→
f 1 -
→
e3 ∴ f 3 -
→
1 2
→
f + 2
→
e3 ∴
= 2
e
1
1 2
→
f 3 1 2
→
f 3 -
1 2
(
1 2
→
f 1 -
1 2
→
→
f 3 ) = e3 ∴
→
e
1
→
=
1 2
→
f 1 →
1 2
→
f + 2
1 2
→
f 3
→
e = - f + f 2
Geometria Analítica Espacial
2
3
17
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
e =3
→
como
v
→
v
→
1 4
f 1 + →
= ( 1, 1, 1 )E , temos
=
1 4
,-
5
→
5 4
f 1 -
v
=
→
2
1 4
→
f +
→
→
→
2
3
2
+
e
1
f 3
e + e e, portanto:
→
7 4
f +
→
1 4
f 3
donde →
v
=(
1 4
,
4
7
) isto é, as coordenadas de
4
→
v
na base F são:
1
,4
5
, 4
7 4
BASE →
Chama-se base V a qualquer tripla ordenada E = ( e , 3
1
V . Se ( 3
e
→
e
3
→
→
1
2
e ,e
,
→
v
=
2
3
e , e ) LI de vetores de
3
→
3
3
→
a e 1
→
→
e ) é uma base de V , todo vetor de V é gerado por e1 , e
, isto é, para todo →
→
1
2
→
v
∈ V3, existem escalares
+ a2
→
+
e
2
a
1
, a2 ,
a , tais que 3
→
a e . 3
3
→
e
3
→
e
2
→
e
1
Essa tripla ( a1 , a2 ,
a ) de escalares é única. 3
Escolhida uma base E de V3 fica associada univocamente a cada vetor → v uma tripla ordenada de escalares ( a1 , a2 , Geometria Analítica Espacial
a ). Essa tripla é denominada 3
tripla de
18
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
Observe que é importante a ordem dos
coordenadas do vetor v em relação à base E.
escalares
a
1
→
a ; trata-se de uma tripla ordenada ∴
, a2 ,
3
→
→
=
v
a e 1
→
e + a e . A notação utilizada para indicar que a , 3
2
a2 ,
1
3
1
+ a2
a são 3
coordenadas (nessa ordem) do vetor → v em relação à base E é →
→ = ( a1 , a2 , a3 )E ou v = ( a1 , a 2 , a3 ) É conveniente que as operações entre vetores sejam feitas diretamente com coordenadas, evitando perda de tempo.
v
→
a) Adição: Se →
u
+
u
→
v
= ( a1 , a2 ,
= ( a1 +
b
1
→
a3 ) e
, a2 +
= ( b1 ,
v
b , b ) então 2
3
b , a +b ) 2
3
3
De fato: →
u
= ( a1 , a2 ,
→
v
= ( b1 ,
→
⇒
a) 3
u
→
b ,b ) ⇒ 2
=
v
3
=
→
+ a2
a e 1
1
→
b e 1
→
1
+
→
e +a e 3
2
→
3
→
b e +b e 2
3
2
3
Logo: →
u+
→
v
= ( a1 +
b1 )
= ( a1 +
b
→
e
1
+ ( a2 +
b2 )
→
+(
e
2
a
3
+
b3 )
→
e
3
ou seja: →
u
+
→
v
1
, a2 +
b ,a +b ) 2
3
Para o procedimento acima é essencial que
3
→
u
e
→
v
estejam referidos a uma mesma
base.
b) Multiplicação por escalar: Se
λ
→
u
= (λ
a ,λ 1
a2 , λ
→
u
= ( a1 , a2 ,
a ) e λ é um escalar, então 3
a) 3
De fato: Geometria Analítica Espacial
19
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
u
→
e
a3 ) ⇒
= ( a1 , a2 ,
1
+ a2
→
→
u
→
a e 1
1
+ a2
→
e
2
+
→
a3 e3 ⇒ λ
→
u
= λ ( a1
→
e + a e )= 3
2
3
→
→
= (λ
=
a1 ) e1 + (λ a2 ) e2 + (λ →
Observação:
u
→
=
0
⇔
→
u
→
→
a3 ) e ⇒ λ
u
3
= (λ
a ,λ 1
a2 , λ
a) 3
= ( 0, 0, 0 )
Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependência e independência linear. →
Proposição 1: Os vetores
e somente se
u
= ( x1 , y1 , z 1 ) e
x , y , z 1 , são proporcionais a 1
Proposição 2:
1
→
u
= ( x1 , y1 , z 1 ) ,
→
v
→
v
= ( x2 , y 2 , z 2 ) são LD se
x2 , y 2 , z 2
= ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,
→
w
= ( x3 , y3 ,
x y z 1
z 3 ) são LI se e somente se
1
x 2 y 2 z 2
1
≠ 0
x y z 3 3
3
O conceito de ortogonalidade de vetor com setas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Definição:
→
u
de
=
→
0
→
u
é ortogonal à reta r [ ao plano π ] se existe um representante (A, B)
tal que o segmento AB é ortogonal a r [ a π ]. O vetor nulo é
considerado ortogonal a toda reta r e a todo plano π . →
Os vetores
admitirem representantes perpendiculares. Para ortogonalidade usaremos o símbolo ⊥ .
u
e
→
v
são ortogonais se um deles é nulo, ou, caso contrário,
Proposição 3: Geometria Analítica Espacial
20
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Os vetores
→
u
→
e
são ortogonais se e somente se
v
u
+
v
2
=
u
2
+
v
2
.
Demonstração: →
Tomando um ponto ) qualquer, +
→
v
u
⊥
→
→
se e somente se os pontos 0, 0 +
v
u, 0+
→
u
, são vértices de um triângulo retângulo. →
0+ →
→
v
→
+
u
+
u
v →
v →
u
0
0+
Definição: Uma base E = ( →
→
unitários ( e = e
2
1
→
e
1
,
→
=
e3
→
→
2
3
→
u
→
→
→
2
3
e , e ) é ortonormal se e1 , e , e são = 1) e dois a dois ortogonais.
→
e
3
→
0
e
2
→
e
1
Proposição 4: Se E = ( →
z e então 3
u
→
→
→
1
2
3
e ,e ,e
) é base ortonormal, e
→
u
=x
→
e
1
+y
→
e + 2
= √ x 2 + y2 + z 2
Ângulo entre vetores – Produto Escalar Geometria Analítica Espacial
21
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Seja os vetores não nulos E3 tais que
→
u
=
→
OP ,
→
v
=
→
u
→
OQ
e
→
v
. Tomemos um ponto 0 ∈ E3 e, sejam P, Q ∈
. Seja θ a medida em radianos (graus) do ângulo
POQ satisfazendo 0 ≤ θ ≤ π [ 0 ≤ θ ≤ 1800 ] P →
→
u
u
θ
θ →
0
P’
Q
v
→
0
Q’
v
Se tivéssemos tomado outro ponto 0’ ∈ E3 em lugar de 0, e P’, Q’ com →
v
=
→
OQ
→
u
=
→
OP ,
obteríamos que a medida em radianos [graus] de P’Ô’Q’, ainda seria θ
(como na figura) Definição 1
O número θ se chama medida em radianos [graus] do ângulo → u e Para encontrar uma expressão que forneça θ em termos de ortonormal (
→
i
,
→
j
,
→
k
) e sejam
→
u
= ( x1 , y1 , z 1 ) e
→
u →
v
e
→
v
→
v
.
fixa-se uma base
= ( x2 , y 2 , z 2 )
Observação: 1) Uma base no espaço é ortonormal se os vetores forem unitários e dois a dois forem ortogonais. 2) Sendo a base ortonormal a norma de qualquer vetor pode ser calculada →
w
= ( a, b, c ) ⇒
w
= √ a2 + b2 + c2
Aplicando a lei dos co-senos ao triângulo POQ resulta: P →
→
Q P
u
2
=
u
2
+
v
2
–2
u
+
v
cos θ
(1)
θ 0
→
v
Geometria Analítica Espacial
Q 22
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
Q P
z 2 )
2
2
=
→
O P
-
2
→
O Q
=
+
2
u
2
v
= ( x1 - x2 , y1 - y 2 , z 1 -
= 2
2
= ( x1 - x2 )2 +( y1 - y 2 )2 +( z 1 - z 2 )2 = x1 + y1 + z 12 + x22 + y 2 + z 22 - 2( x1 2
x2 + y1 y 2 + z 1 z 2 )
Substituindo em ( 1 ), resulta cos θ
v
u
=
x
1
x2 + y1 y 2 + z 1 z 2
expressão esta que nos permite calcular cos θ , pois 2
2
(2) 2
2
2
= √ x1 + y1 + z 1
u
e
2
= √ x2 + y 2 + z 2
v
A expressão ( 2 ) nos mostra que
x
1
x2 + y1 y 2 + z 1 z 2 não depende da base
ortonormal fixada, pois o primeiro membro não depende. Se
→
u
ou
→
v
são nulos, a expressão do 2º membro é nula.
Definição 2:
Chama-se produto escalar dos vetores
→
u
0 →
u
u
ao número
=
→
se
→
0
→
ou
v
→
u
=
•→ v dado por:
→
0
•→ v v
cos θ
sendo θ a medida do ângulo entre
→
u
e
→
v
u
≠
→
0
ou
→
v
≠
→
0
.
Desde que as coordenadas usadas se referirem a uma base ortonormal podemos escrever:
v →
se
u
→
e
→
u
•→ v = x1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2
Da definição, resulta que se cos θ =
Geometria Analítica Espacial
→
u
→
u
≠
→
0
ou
→
v
≠
→
0
então:
•→ v 23
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos v
u
Observe que decorre da própria definição que: →
pois
•→ u =
u
= √
→
u
•→ u 2
+ y1 y1 + z 1 z 1 = x1 + y1 + z 12 = 2
x x 1
u
1
u
2
proposição 1 →
Quaisquer que sejam 1)
→
2)
→
3)
→
4)
→
u
u u
u
•(→ v + v
u
v
→
v,
→
w
de V3 e qualquer que seja λ real, tem-se: →
•→ v +
u
•
→
w
→ → → ) = ( • λ • u v u v)
→
) = (λ
→
•→ v =
→
)=
→
w
→
•(λ
u,
•→ u
•→ u ≥ 0;
→
u
•→ u =0 ⇔
→
u
=
→
0
proposição 2 →
u
⊥
→
v
⇔
→
u
•→ v =0
Demonstração →
Se
u
→
Se
→
ou
u
•
v →
v
é nulo, é imediato. = 0 ⇔ cos θ = 0 ⇔ θ =
π
2
⇔
→
u
⊥
→
v
( lembre-se que 0 ≤ θ ≤
π) Observação:
“ uma condição necessária e suficiente para que uma tripla (
→
e
1
,
→
→
2
3
e , e ) de
vetores de V3 seja uma base ortonormal é que →
→
1
1
e •e
=
→
→
→
→
2
2
3
3
→
→
e • e = e • e =1
e →
e
1
•
→
e
resumindo:
2
=
→
e
1
• e = 3
→
→
i
j
e
2
→
• e =0 3
e • e = 1, se i = j
Geometria Analítica Espacial
24
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
0, se i ≠ j Atenção:
Evite o erro seguinte: sendo →
v →
u
=
w. →
•→ v =
→
•
u
→
=
v
→
u
•
w, →
cancelar → u e concluir que
ISTO É FALSO
→
u
•
→ ⇔→ u • v -
→
w
→
u
•
→
w
→ =0⇔→ u •(v -
w) →
=0⇔
→
u
⊥ (→ v -
w) →
Exemplos: É fixada uma base ortonormal 1) Ache a medida em radianos do ângulo entre os vetores
→
u
= (2, 0,-3) e
→
v
=
(1, 1, 1). Resolução: →
u
•→ v = (2, 0, -3) • (1, 1, 1) = 2 . 1 + 0 . 1 + (-3) . 1 = -1 =
u
=
v
( 2,0, − 3)
= √ 22 + 02 + (-3)2 =
= √ 12 + 12 + 12
(1,1,1)
∴ cos θ =
→
u
•
→
∴ θ = ARC COS (
3
= -1
v v
u
=
13
13
−1 39
= -1 3
)
2) Ache a medida em graus do ângulo entre os vetores →
39
→
u
= (1, 10, 200) e
= ( -10, 1, 0)
v
Resolução: →
u
•→ v = (1, 10, 200) • ( -10, 1, 0) = 1 . (-10) + 10 . 1 + 200 . 0 = 0
Logo:
→
u
⊥
→
v
, e θ = 900 (em graus)
3) Demonstre a desigualdade de Schwarz: u
•
v
≤
u
v
Geometria Analítica Espacial
25
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Resolução: →
Se
Se
u →
u
→
ou
→
≠
é nulo, é imediato, pois ambos os membros se anulam.
v
→
e
0
→
cos θ =
u
v
→
≠
0
→
•
, então a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de
e │ cos θ │≤ 1
v
v
u
Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores é nulo ou, caso contrário, se │ cos θ │≤ 1
4) O ângulo entre →
→
=
v
a
-2
→
b
→
a
e
→
mede 1200 . Sendo
b
, o ângulo entre
→
e
u
→
v
a
= 4,
b
= 3,
→
u=
→
a
+
→
b
e
é agudo, reto ou obtuso?
Solução: →
u
→
X
v
= ( →a + →
⇒→ u X Mas,
→
a
→
u
X
X
v →
b
→
v
= =
→
b) a
a
X (→ a -2 2
–2
b
b
2
v
b
)=
→
-
X
a
→
a
X
→
a
-2
→
a
X
→
b
+
→
b
X
→
a
- 2 (→ bX
→
b
)⇒
→
b
cos 1200 = 4 . 3 .
−1 2
= -6 Assim,
= 16 – 2 . 9 – ( -6) = 4.
Como o produto escalar entre →
→
→
u
e
→
v
é positivo, concluímos que o ângulo entre
→
u
e
é agudo. 5) Qual o valor de m para que os vetores sejam ortogonais?
a)
→
b)
→
u
r
= (m, 2, 3) e
→
v
= ( m, 3, 4 ) e
= ( 2, -1, 2) →
s
= ( m, -2, 3 )
Solução: Geometria Analítica Espacial
26
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
a)
→
b)
→
u
r
X
→
v
= ( m, 2, 3 ) X ( 2, -1, 2 ) = 2m –2 + 6 = 0 ⇒ m = -2
X s→ = ( m, 3, 4 ) X ( m, -2, 3 ) = m2 –6 + 12 = ⇒ m2 + 6 = 0 ⇒
⇒ não existe m real, ou seja, os vetores nunca são ortogonais, para um mesmo valor de m real. 6) Calcular o ângulo entre os vetores: a) b)
→
u →
r
= (1, 2, 2 ) e
→
= ( 1, -4, 8 )
v
= ( 4, -1, 3 ) e
→
s
= ( 1, 1, -1 )
Solução:
a) cos θ
(1,2,2) X (1,−4,8) 3.9
=
9 27
⇒ θ = arc cos
b) cos θ = (4, -1, 3) X (1, 1, -1 ) = 3 26 . → isto é, → r e s são ortogonais.
0
.
26
1 3
≅ 710
= zero ⇒ θ = 900 3
Ângulos diretores Os ângulos que um vetor forma com os eixos coordenados são chamados de ANGULOS DIRETORES. Eles são assim chamados porque fornecem a direção do vetor (e também o sentido) Como os eixos coordenados possuem a mesma direção e sentido dos vetores →
j
e
→
i
,
→
k .
Assim, temos: →
z →
→ = (a, b, c) = a → i + b j + c k
v
cos α = cos β =
→
γ
então: ( a, b, c) → v
( a, b, c) → v
a
X (1, 0, 0) ⇒ cos α =
→
X (0, 1, 0) ⇒ cos β =
→
Geometria Analítica Espacial
v b v
v
0 α
y
x 27
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos ( a, b, c)
cos γ =
X (0, 0, 1) ⇒ cos γ =
→ v
c →
v
Os co-senos dos ângulos diretores α , β e γ são chamados de COSSENOS DIRETORES. PROPRIEDADES: →
a) Seja o vetor →
u
=
→
u
→ v → v
v
→ = ( a, b, c ). Designando o versor de → por v u , vem: a
=(
→
v
,
b →
v
c
,
→
v
) ⇒
→ v → v
ou
= ( cos α , cos β , cos γ )
Portanto, as componentes do versor de um vetor são os cossenos diretores deste vetor. b) Como o versor de
→
v
é um vetor unitário, o módulo de um versor é igual a 1,
assim temos: cos α , cos β , cos γ = 1 mas, cos α , cos β , cos γ = logo:
√ cos2 α + cos2 β + cos2 γ
√ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 ⇒ cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 Exemplos:
1) Achar os ângulos diretores do vetor → v = 1
Solução: cos α =
cos β = cos γ =
3
−2 3
2 3
⇒ α = arc cos ⇒β = arc cos ⇒ γ = arc cos
1
−2 2 3
i
-2 j + 2 → k = (1, -2, 2) →
⇒ α ≅ 710
3
3
→
⇒β ≅ 1320
⇒ γ ≅ 480
2) Os ângulos diretores de um vetor são α , 450 e 600. Determinar α . Solução:
Substituindo na igualdade: Geometria Analítica Espacial
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1 28
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
β por 450 e γ por 600, temos: cos2 α + cos2 450 + cos2 600 = 1
2
cos2 α = 1 -
2 4
cos2 α + 2
2 1 2 = 1 + 2
-
1 4
1 4
⇒ cos2 α =
1
⇒ cos α = ±
4
⇒ cos α = ±
1 2
logo: α = 600 ou α = 1200 Vetor – componente
Um problema de muita aplicação na Física Geral é o de achar o vetor-componente ou vetor-projeção de um vetor dado em uma direção dada, ou ainda, a decomposição de um vetor em dois vetores. Veja a figura a seguir: →
u
→
→
u
u
-
→
→
c
u
-
→
→
c
u →
v →
→
c
c
=
→
→
0
c
O vetor → c é chamado de vetor-componente ou vetor-projeção de →
v
,
→
v
→
u
na direção de
não nulo.
Para encontrarmos o vetor (i)
→
c
//
→
c , conhecidos
e
v
→
→
( ii )
De ( i ) , vem; existe m ∈ ℜ tal que
→
c
→
u
-
=m
u
→
c
→
e
v
, basta observarmos que:
→
⊥
v
→
v
De ( ii ) , vem: (→ u-
→
c
) X
→
v
= 0 ⇒(
→ ⇒ u X →v = m (
isto é,
→
c
=
→
u
→
v
X
→
u
-m
→
v
X →v ) ⇒ m =
)X
→
v
→ X = u v → → X v v
→
v
.
Geometria Analítica Espacial
→
v
→
→
=0
u →
u v
X
→
v
X
→
v
-m(
→
v
X →v ) = 0 ⇒ →
. Temos assim o vetor c
2
⇒ 29
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
v
X
→
v
⇒
→
c
= (
→
u
→ v
X
→ v
→ v
).
→ v
Exemplo: Decompor o vetor → u = ( 6, -3, 9 ) em dois vetores →
c
paralelo a
→
v
e
→
d
ortogonal a
→
v , onde
→
v
→
c
e
, sendo
→
d
= ( 1, 2, 2).
Solução:
Veja a figura →
→
→
u
d
v
Decompor um vetor → u é encontrar → vetores que somados dão, como c → resultante o vetor u → → → → Neste caso, → = + sendo o vetor-componente de u v c c u na direção de → → → vetor d o vetor-diferença entre → e , isto é: = d u u c . Assim, temos: c (1,2,2) (1,2,2) → = [ ( 6, -3, 9 ) X ] . c 3 3 →
→
c →
d
→
v
eo
→
(1,2,2)
=6. = → u -
→ → → → ⇒ = (2, 4, 4) = 2 +4 + 4 j i k c 3 → → → → = (6, -3, 9) – (2, 4, 4) = (4, -7, 5) = 4 -7 + 5 j k c i
Observações: → ( i ) Os vetores c e
d , →
do exemplo acima, são as componentes ortogonais do vetor
→
→ → , tendo a direção de c v u ( ii ) O módulo do vetor-componente ou vetor-projeção
→
c
será dado por
→
→
c
=
u
X
v →
v
que é o módulo da expressão que está dentro dos colchetes, na
segunda indicação da fórmula do vetor-componente
→
c
.
Projeção de um Vetor → → → Sejam os vetores → e , com ≠ 0 e u u v v ≠ 0, e θ o ângulo por eles → formado. Deve-se calcular o vetor w que representa a projeção de → sobre u v. Observe a figura: →
→
→
u
u
Geometria Analítica Espacial
30
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
θ
θ
→
→
→
→
w
v
w
v
→ e w v têm a mesma direção, segue-se que: → = k v, k∈ℜ w Então: = k ou
Como
→
→
v
w
→ → uX v → v
→ → → →
1
k=
w
→ v
1
uX v
=
uX v
→
v
Portanto, o vetor projeção de proj.
→
v
→
u=
→ u X
→→ uXv → ou proj. → u = →→ vXv v Exemplos:
2
→ v
∴ k =
→ v
→
u
sobre
→
v
logo:
( proj.
→
v
=
→
w
→
u=
2
w)
→
v
é:
→
→ v
→
v
→ v
→
v
→
v
1) Determinar o vetor projeção de → u = ( 2,3,4 ) sobre
→
v
= ( 1, -1, 0 )
Solução: →→ uXv → Utilizando a fórmula proj. → u = →→ vXv v
proj.
→
proj.
→
v v
→
u=
→
u=
→
v
obtem –se:
( 2,3,4) X (1,−1,0) 2 − 3 + 0 (1, -1, 0) (1,−1,0) X (1,−1,0) (1, -1, 0) = 1 + 1 + 0 1 2 − 3 ( 1, -1, 0 ) = 2 2
1 2
,
1 2
,0)
→ → → → → → , , ), sejam = 2 -2 + e = 3 j j i k u k i - 6 j i v a) Obtenha a projeção ortogonal de →v sobre → u → → q ortogonal a b) Determine p e q tais que v = p + q , sendo p paralelo e →
2) Dada a base ortonormal B = ( →
→
→
( 1, -1, 0 ) = ( -
→
→
→
→
→
→
u
Solução: a) Em relação a B,
Logo,
u
→
→
u = ( 2, -2, 1 ) e v = ( 3, -6, 0 ). → 2 = 22 + (-2)2 + 12 = 9 e → X v u = 3 . 2 + ( -6) (-2) + 0 . 1 = 18
Geometria Analítica Espacial
31
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos → →
vX u
Logo, proj.
→
u
→
v
18 9
2
→ →= u u
=
( 2, -2, 1 ) = ( 4, -4, 2 ) →
b) O vetor p é a projeção ortogonal calculada em ( a ), e q é a diferença → Portanto q = → v - p = ( 3, -6, 0 ) – ( 4, -4, 2) = ( -1, -2, -2 ) →
→
v
-
→
p
.
→
PRODUTO VETORIAL Definição: → → = a + b + c e j u i k → → → = d + e + f j k , definimos produto vetorial dos vetores v i → → e u v como sendo o vetor dado pelo determinante formal:
Dados os vetores
→
→
→
→
i →
u
^
→
v
→
j
→
k
= a b c = b c . d e f e f
→
i
- a c . d f
→
j
+ a b . d e
→
k
onde, o 2º lado da igualdade corresponde à expansão do determinante, pela regra de Laplace, através da primeira linha. Exemplo: →
i
→
j
→
k → = -2 → + 4 -2 j i k →
a) ( 1, 3, 5 ) ^ ( 1, 1, 1 ) = 1 3 5
1 1 1 →
i
→
j
→
k → = 2→ 4 + 2 j k i
b) ( 1, 1, 1 ) ^ ( 1, 3, 5 ) = 1 1 1 1 3 5 →
i
c) ( 0, 0, 0 ) ^ ( 2, 1, 7 ) =
→
k →
→ = 0→ + 0 + 0 j i k =
0 0 0 2 1 7 →
i
d) ( 2, 4, 6 ) ^ ( 3, 6, 9 ) =
→
j
→
→
j
2 4 6
→
0
→
k → = 0→ + 0 + 0 j i k = →
→
0
3 6 9 Geometria Analítica Espacial
32
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Propriedades: P1.
→
P2.
→
P3.
→
u u
u
→
X →
^
→
=
u
→
=-
v
→
^ (
→
w →
P4. m . ( → u ^
v
→
^
v
+
v
( o determinante possui duas linhas iguais)
0
u
→
∀
u
→
) =
→
u
∈ V3
v →
^
u
)=(m
→
,
→
+
v
u
→
) ^
^ u
∀
→
w
→
=
v
Anti-comutativa → , u v,
→
^ ( m →v ) ∀
→
w →
u
,
∈ V3 Distributiva →
v
∈ V3 e m ∈ ℜ
Associativa com um número real P5. a) Se
→
b) Se
→
P6. Se
→
u
=
→
≠
→
u u
e
→
0
ou
→
ou
→
0
→
=
v
0
,
→
0 →
são LI, isto é,
v
→
→
≠
v
⇒
u
^
2
–(
u u
→
≠
v
^
→
^
→
v v
→
0
=
→
=
→
0
0
;
⇒
→
u
//
→
v
→ então ( → u ^ v ) é ortogonal a
→
u
e a →v ,
ao mesmo tempo. P7.
→
P8.
→
u u
^
→ 2
^
→
=
v
=
v
→ 2
u
→
θ o ângulo entre P9. Se
→
u
e
→
v
v →
.
u
→
.
u
u
. sen θ
v →
→
→
X v ) Identidade de Lagrange
∀
→
u
,
→
v
∈ V3 com
→
u
≠
→
e
→
0
,
→
^
→
v
≠
→
0
e
→
e
v
são L I é habitual afirmar-se que os vetores → u,
→
v
u
v
possuem orientação positiva ou dextrógira (regra da mão direita). Observação: 1) Se dois vetores são LD, isto é, paralelos ou pelo menos um deles nulo, então o produto vetorial deles será o vetor nulo; → 2) Se dois vetores, → u e v são LI, isto é, o ângulo entre suas direções não é zero,
então o produto vetorial deles será um vetor não nulo, tal que: Direção:
a direção de
→
u
representantes de Módulo:
o módulo de →
u
e de
→
v
→
u
^
→
v
^
→
→
e
u
será perpendicular a um plano que contenha
v
→
v
;
será numericamente igual ao produto dos módulos de
→ multiplicado pelo seno do ângulo entre → e u v;
Geometria Analítica Espacial
33
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos Sentido:
Supondo que o plano, que contém representantes de
→
u
e →v , seja horizontal
e que o ângulo entre eles seja percorrido no sentido anti-horário, quando →
vamos de
u
para →v , nessas condições, o sentido de
→
u
^
→
v
será para
cima. Vetor ortogonal a dois vetores LI
Dados dois vetores paralelos ou pelo menos um deles nulo então o produto vetorial será o vetor nulo. Dados dois vetores LI o produto vetorial deles será um vetor não nulo ortogonal aos dois vetores operados. Esta é a principal aplicação física ou geométrica do produto vetorial. Exemplo: →
Sejam dados os vetores
u
→
vetores ortogonais a
u
= ( 2, -2, 1 ) e
e a
→
v,
→
v
= ( 2, 0, -1 ). Ache o conjunto dos
ao mesmo tempo. Encontre um vetor unitário
pertencente a esse conjunto. Solução:
Como o vetor
→
u
^
forem ortogonais a
→
v
tem direção perpendicular a
→
u
ea
→
v
serão paralelos a
→
u →
u
→
então todos vetores que
v.
Assim, o conjunto será
ea ^
v,
→
→ formado pelos vetores m ( → ^ u v ). →
i →
u
^
→
v
=
→
j
→
k
2 -2 1 = ( 2, 4, 4 )
2 0 -1 Assim, temos o conjunto: { m . ( 2, 4, 4 ), m ∈ ℜ }. Um vetor unitário pode ser o versor do vetor ( 2, 4, 4 ), isto é,
( 2,4,4) 6
= (
1
, 3
2 3
,
2 3
).
Observação importante: Geometria Analítica Espacial
34
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Se conhecemos um vetor →
u
^ →v , isto é:
→
w
⊥
→
u
e
→
w
→
w
ortogonal a
⊥
→
⇒
v
→
w
→
u
// (
ea →
u
→
v,
então
→
w
é paralelo ao vetor
^ →v )
Área do paralelogramo
Consideremos o paralelogramo ABCD, cujos lados AB e AC são representantes dos vetores
→
u
e →v , respectivamente.
A área S do paralelogramo ABCD é dada por: S = b . h, onde b é o comprimento de AB e h é o comprimento de CH. Mas, no triângulo retângulo ACH, temos: h = c . sen
θ , onde c é o comprimento de AC. Assim, S = b . c . sen θ . Por outro lado, o módulo de numericamente
→
u
^
→
v
é igual a →
u
.
v
. sen θ , logo S é →
→ igual ao módulo de → ^ , isto é: = S ABCD u v u ^ v
Observação:
O módulo ou comprimento de um vetor é uma medida linear enquanto que área é uma medida em unidades quadradas, daí, dizemos que a área do paralelogramo é numericamente igual ao módulo do vetor produto vetorial de vetores cujos representantes sejam os lados não paralelos desse paralelogramo. Em unidades : Se o Geometria Analítica Espacial
35
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
vetor, resultado do produto vetorial, tiver módulo 15 cm então a área do correspondente paralelogramo será 15 cm2. Exemplo:
Calcular a área do paralelogramo cujos vértices são A = ( 4, 1, 5), 5 ), C = ( 4, 2, 4 ) e D = ( 6, 1, 4 ).
B = ( 6, 0,
Solução: →
Sejam B – A = ( 2, -1, 0 ) =
u
e C – A = ( 0, 1, -1 ) =
Assim:
→
v
C →
i →
→
S = u ^ v =
→
j
2 -1 0
D
→
k
= ( 1, 2, 2 )
0 1 -1
⇒ S = 3 unidades quadradas.
A
B
Área do triângulo
A diagonal de um paralelogramo divide-o em C D dois triângulos iguais (simétricos em relação a essa diagonal). Assim, a área de um triângulo é sempre igual à metade da área do paralelogramo A B de modo que um dos lados do triângulo seja a diagonal do paralelogramo. Seja o triângulo ABC da figura. A área S do triângulo será dada por: S=
1 2
. ( B – A ) ^ ( C – A )
Exemplo:
Calcular a área do triângulo ABC, onde A = ( 2, 0, 3 ), B = ( 8, 8, -3 ) e C = ( 2, 2, 2 ) Solução:
É preciso encontrar os vetores cujos representantes são os lados do triângulo ABC. B – A = ( 6, 8, -6 ) e C – A = ( 0, 2, -1 ) A área do triângulo será: A Geometria Analítica Espacial
C
B 36
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
i 1 2
S=
. ( B – A ) ^ ( C – A )=
→
j
→
k
6 8 -6 =
1 2
. ( 4, 6, 12 )=
1 2
. 14
0 2 -1
⇒ S = 7 unidades quadradas. Observação:
O cálculo da área do triângulo não depende dos lados escolhidos. Assim, no exemplo acima, poderíamos ter escolhido os lados AB e BC ou, então, os lados AC e BC. Produto Misto → → → → → → Dados os vetores → = x + y + z , = x + y + z 1 1 1 2 2 2 j j u i k v i k e → → = x + y + z 3 3 3 j i k , tomados nessa ordem, chama-se produto misto dos w → → → → vetores → , e ao número real . ( X ). Indica-se o produto misto por ( u v v w w u u → , v , w ). Tendo em vista que: →
→
→
→
→
→
→
i →
→
→
j
k
x2 y2 z2 = → z2 + → i y2 z2 - j x2 k x2 y2 x3 y3 z3 y3 z3 x3 z3 x3 y3 e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de → → . ( u v X w ) é dado por: v
X
→
w
→
=
→
→ (→ , u v,
ou
→
w
) = x1 y2 z2 y3 z3
→
→
(u , v ,
- y1 x2 z2 x3 z3 x1
→
w
y1
+ z1
x2 y2 x3 y3
z1
) = x2 y2 z2 x3 y3 z3
Exemplo:
Calcular o produto misto dos vetores → → = -4 -3 + 2→ j k . w i
→
u
→ = 2→ i + 3 j + 5 k , →
→
v
→ = -→ i + 3 j + 3 k e →
→
→ (→ u , v,
Geometria Analítica Espacial
→
w
2 3 5 ) = -1 3 3 = 27 -4 -3 2 37
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Observação: Produto escalar de dois vetores é número real. Produto vetorial de dois vetores é vetor. Propriedades do Produto Misto/ →
→
1) ( u , v ,
→
w
) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os
três são coplanares. 2) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é: → (→ u , v,
→
w
) = ( →v ,
→
w, u →
) = (
→
w, u →
,
→
v
)
Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores consecutivos, isto é: → (→ , u v,
→
w
) = - ( →v ,
→
u
,
→
w
)
Esta propriedade do produto misto é uma conseqüência da propriedade dos determinantes relativamente à circulação de linhas e à troca de duas colunas. Observação: Resulta desta propriedade, denominada propriedade cíclica , que os sinais . e X
permutam entre si no produto misto de três vetores: w
→ ) = (→ u X v).
w
+
p
→ 4) ( → u , v,m
w
→
u
.(
→
v
X
→
3) ( → u , v,
→
→
→
→
w
→ ) = (→ , u v,
w
→ ) = (→ u ,m v,
w
→
→
→
→ ) + (→ , u v,
)=(m
→
u
→
p
) =
, →v ,
→
w
→ ) = m (→ u , v,
→
w
)
Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos no
2
Exemplos: 1) Verificar se são coplanares os seguintes vetores: →
u
= ( 3, -1, 4 ) ,
→
v
= ( 1, 0 –1 ) ,
→
w
= ( 2, -1, 0 )
Solução: → Os três vetores são coplanares se: ( → , u v,
Geometria Analítica Espacial
→
w
) =0 38
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
3 -1 4 → (→ , u v,
mas,
→
w
) =
1
0 -1 = -5 ≠ 0
2 -1 0 Logo, os vetores não são coplanares. 2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores
-1, 3 ) ,
→
w
→
u
→
= ( m, 2, -1 ) ,
v
= ( 1,
= ( 0, -2, 4 ) sejam coplanares?
Solução:
Para que
→
u
,
→
v
e
→
w
→ sejam coplanares, deve-se ter: ( → , u v,
w) →
=0
Isto é:
m 2 -1 1 -1 3 = 0 0 -2 4 ou: -4m + 6m –8 + 2 = 0 ⇒ 2m –6 = 0 ⇒ 2m = 6 ⇒ m = 3 3) Verificar se os pontos A ( 1, 2, 4 ), B ( -1, 0, -2 ), C ( 0, 2, 2 ) e
D ( -2, 1,
-3 ) estão no mesmo plano. Solução:
Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores → AD
→ AB
,
→
AC
e
→ → → , e, para tanto, deve-se ter: ( AB , AC , AD ) = 0
e, -2 → → → ( AB , AC , AD ) =
-2 -1
-6 0
-2
= 0
-3 -1 -7 Logo, os pontos dados são coplanares. Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
Geometria Analítica Espacial
39
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
Geometricamente, o produto misto
u
.(
→
v
X
w) →
é igual, em módulo, ao volume
→ do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores → = u AD ,
=
→
AC
→
v
=
→ AB
e
→
w
.
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é V = (área da base X altura) →
mas, v X
ou: V = A b X h →
vX
w , lembrando que o vetor →
→
w →
e sendo θ o ângulo entre os vetores
vX
→
w
→
u
e
é perpendicular à base, a altura do
→
paralelepípedo é dada por: h = u cosθ ( É necessário considerar o valor absoluto cosθ , pois θ pode ser um ângulo obtuso) →
Logo, o volume do paralelepípedo é: V = v X →
Fazendo Mas,
→
u
vX w
.
→
a
→
=
→
a
→
w
→ u cos θ
→ , vem: V = → u a cos θ
(1)
→ = → u a cos θ
Geometria Analítica Espacial
40
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos →
E, em conseqüência: u .
→
a
= u → a cos θ →
(2)
Comparando ( 1 ) e ( 2 ), temos: →
V = u .
→
a
Logo: V = → u .(
→
v
X
w) →
= (
→
u
,
→
v
,
w) →
Volume do tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é
1 6
do volume do paralelepípedo.
Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores →
→ AB
,
→ AD
)
AC
,
→ AD
e, portanto, o volume do tetraedro ABCD é
V=
1 6
→ ( AB ,
→
AC
,
Exemplos:
Geometria Analítica Espacial
41
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
1) Dados os vetores
→
u
= ( x, 5, 0 ) ,
→
v
= ( 3, -2, 1 ) e
→
w
= ( 1, 1, -1 ), calcular o valor
de x para que o volume do paralelepípedo determinado por → u ,
→
v
e
→
w
seja 24 u.v.
(unidades de volume). Solução:
O volume do paralelepípedo é dado por: V = ( → u , →
deve-se ter: ( u ,
→
v
,
= 24
w) →
x (→ u ,
→
v
,
w) →
5
=
v
,
w) →
e, no caso presente,
mas, 0
3 -2 1
→
1
= x + 20
1 -1
logo: x + 20 = 24 pela definição de módulo, implica duas hipóteses: x + 20 = 24 ou -x –20 = 24 portanto: x = 4 ou x = - 44 2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são: A ( 1, 2, 1 ), 3 ), C ( 4, 6, 2 ) e D ( 3, 3, 3 )
B ( 7, 4,
Solução:
O volume do tetraedro é dado por: V = mas:
→ AB
= ( 6, 2, 2),
e:
6
→
AC
= ( 3, 4, 1 ) ,
2
2
→ → → ( AB , AC , AD )= 3
4
2
1
1 6
1
→ → → ( AB , AC , AD )
→ AD
= ( 2, 1, 2 )
= 24
2
Portanto, o volume do tetraedro é: V =
1 6
. 24 = 4 u. v.
Duplo Produto Vetorial → → → → → Dados os vetores → = x + y + z , = x + y + z 1 1 1 2 2 2 j j v i k e u i k → → = x3 → + y + z 3 3 j i k , chama-se duplo produto vetorial dos vetores →
→
w
e
→
w
ao vetor
→
u
X ( →v X
Geometria Analítica Espacial
→
→
u
,
→
v
w ). →
42
CEFET-SP Uned Cubatão Tecnólogo em Automação e Controle de Processos Industriais Contínuos
Observação:
Tendo em vista que o produto vetorial não é associativo, em geral →
u
X(
→
X
v
w) →
→ ≠ (→ u X v)X
→
w
Decomposição do duplo Produto Vetorial
O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com →
coeficientes escalares: Com efeito, o vetor →
u
X ( →v X
u
X ( →v X
→
u
w) →
X ( →v X
w) →
= (→ u .
→
w) v →
w ) é coplanar com →
= m →v + n w
→
v
→ - (→ u . v)
e
v
→
,
j
coplanar com
→
v
e
w, →
e
→
k
isto é:
(1)
→
Para determinar m e n, escolhe-se a base ortonormal { → i , →
w, →
→
w
paralelo a →v X
→
j
,
→ } com k i paralelelo a
→
→
w
De acordo com a figura, pode-se escrever:
→
= ai → w = bi + cj → → → u = xi + yj + zk Por outro lado: →
v
→
(2)
→
→
→
i →
v
X
→
w
= a
→
j
0
Geometria Analítica Espacial
→
k
0
= ac
→
k
43
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b
e
c
0 →
i →
→
X (v X
u
w) =
x
→
→
u →
u
z = acy → i - acx j
→
0
X ( →v X
w)
X ( →v X
w) =
→
k
y
0
ou:
→
→
j
ac
→ → = acy → i - acx j + abx i - abx i →
→
→
ai
( bx + cy ) - ax ( bi + →
→
cj
)
tendo em vista as igualdades em ( 2 ): →
u
X ( →v X
= ( bx + cy ) →v - ax w
w) →
(3)
→
comparando as igualdades ( 1 ) e ( 3 ), temos: m = bx + cy n = - ax mas, de acordo com a definição de produto escalar e tendo em vista as igualdades ( 2 ), temos: bx + cy =
→
u
.
e
→
w
ax =
→
.
u
→
v
logo: m=
→
u
.
e
→
w
n=-
→
u
.
→
v
substituindo m e n em ( 1 ), temos: X ( →v X
→
u
w) →
=(
→
u
.
→
w)v →
-(
→
u
. →v ) w
→
Esta forma pode ser escrita sob a forma de determinante: →
u
X ( →v X
w) →
=
→
→
v
w
→ →
u .v
→
u .w
→
exemplo:
Se
→
→ → → → = 3 2 6 , = 2 j u i k v i → → u . v = 3 x 2 – 2 x ( - 1) – 6 x 0 = 8
→
u .w
→
→
→
j
e
→
w
=
→
i
+ 3 j + 4 → k , temos: →
= 3 x 1 – 2 x 3 – 6 x 4 = - 27
logo: →
u
X ( →v X
w) →
=
→
→
v
w
Geometria Analítica Espacial
=
→
→
v
w
44
