Formulas Geometria Espacial

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matematica: geometria espacial

Elaborado pe pelo pr professor Ba Baiano do do

1) Poliedros dePlatão

2) C álc álcul ulo do doss vé vért rtic ices es,fa ,face cess eare earest stas as deum po poliliedro e dro

3) Ân Ângu gulo loss in inte tern rnos os,dia ,diago gona nais is,ár ,áreaev eaev olu olumedeu medeum m po poliliedro e dro

Tetraedro= 4 Hexaedro= 6 Octaedro= 8 Dodecae odecaedro= dro= 12 Icosaedr cosaedro= o= 20

Somadosângulosinternosdasfaces

l

· Áreatota Áreatotal:l: At = l² . 3

l

l³. 2 · Volume: V= –––––– 12

Pl atão.

Cauc hy.

Todopoliedroregularéde aréde Pla Platão,mas tão,mas nemtodopoliedrodePlatãoé nemtodopoliedrodePlatã oé regular. ar. Emsentidohorário:tetraedro,hexa o:tetraedro,hexaedro,octaedro,icosaedroe oe dodecaedro.

Teoremad eEuler

Emtoda superfíciepoliédrica convexaaberta: V+ F= A+ 1 Emque:V–númerodevértices F–númerodefaces A–númerodearestas

Emtodasuperfíciepoliédricaconvexafechada: V+ F= A+ 2 Onúmerodeladoséigualao dobrodasarestas. nl = 2A

5) Prismas especiais

prismaéumpoliedrolimitadopor opor umasuperfícieprismá ícieprismática Definição: prismaéumpoliedrolimitad

prismacujasfacessãoparalelogr ssãoparalelogramos. amos. Cubo: éo prismacujasface prismacujasfacessãoquadrados. ssãoquadrados. Paralelepípedo: éo prismacujasface

fechadae fecha dae doisplanosparalelosqueinterceptamtodasasaresta elosqueinterceptamtodasasarestas. s. Prismaregular: éo prismaretocujasbase prismaretocujasbasessãopolígonosregula ssãopolígonosregulares. Ortoedro: éo prismacujasface prismacujasfacessãoretângulo ssãoretângulos. s.

a

vértice

Equaçõesparaprismasregulares

· Áreatotal: At = A l+ 2.A b

d       ia               g     o      n     a      l      

arestas dasbases

b

· Volume: V= Ab.h

At = 6.a²

Equações

V= a.b.c

V= a³

D²= a²+ b²+ c²

D= a 3

· Ár Árealat ealateral: eral: Al = 2. p .r. h · Ár Áreat eatot otal al: A t = 2. p.r.h + 2. p.r²

D

D

c b Paralelepípedo.

Cubo.

ecônicaeum plano Definição: éumsólidolimitadoporumasuperfíciecônicaeum

· Merid Meridiana:dete iana:determina rminadaporum daporum planoqueconten planoquecontenhaoeixo haoeixo dosólido.

queintercepta todasas geriatrizes.

· Transversal:paralela àbase. h ² Ab  ––– = ––– H AB h ³ v  ––– = ––– H V h r  ––– = ––– H R ³ Ab v ²  ––– = ––– AB V

( ( ( (

Coneequilátero:g= 2.r

· Árealate alateral ral: A l= g. p .r a

g

2pr g

g

h

h r

r

r

)( )( )( )(

Equações

h b

H

h

R

Sec çã ção trtrans versal de de um um co cone.

Definição: éaporçãodapirâmideouconecompreen-

cieesférica. Definição: éumsólidolimitadoporumasuperfícieesférica.

· Áreadofusoesfér Áreadofusoesférico ico

didaentreabaseeum planoparar planoparareloàbase. eloàbase.

Equações

360º 36 0º –– –––– –––– ––– 4. p.R²

· Área: A= 4. p .R²

h h/3

B

g

g R

a

4. p–––– .R³³ .R · Volume: V= –––– 3

r

R

h

· Áreadacalotaesfé aesférica rica:: A c= 2. p.R.h · Áreadazonaes adazonaesfér férica ica:: A z= 2. p.R.h · Áreadasecçãoesfé Áreadasecçãoesférica: rica: As = p .r²

ab

A M l

Pirâm d i eq equadrangul ar.

12) Fuso e Cunha

r

ap

B

11) Esfera

b

al

O

r

Sec çã ção me merid iana de de um um co co ne.

a

r

Ab .h · Volume: V= ––––– 3

10) Tronco

· Áreatotal: At = AB+ A b+ A l h.(AB + Ab + A B.A b) · Volume: V = –––––––––––––– ––––– 3

r

r

Daesquerdaparaadireita:cilindroe secçãomeridiana.

Secção

V

2Pb .a p · Árealateral: A l= –––––––– 2 · Áreatotal: At = A l+ A b

B

Equações

r

éumpoliedrolimitadoporumângulopoliédricoe oe umplanoqueinterce umplanoqueinterceptatodasasarestas. ptatodasasarestas. Definição: éumpoliedrolimitadoporumângulopoliédric

) ) ) )

desenvolvida) Coneeângulocentral.

r

9) Pirâmide

Asecção = r .h .h

Equações

h

· Meridiana:determina diana:determinadaporum daporum planoquecontenhaoeixodo sólido. Asecção = 2 .r.r .h .h Cilindroequilátero:g= 2.r · Transversal:paralela àbase. Asecção = p . r²

a

8) Secções do cone

r

l

Secções

bases

Prisma pentagonal ep epartes de de um pr prisma qu quadrangular.

r

l

adoporumasuperfíciecilíndricaedoisplanosparalel ciecilíndricaedoisplanosparalelosqueinterceptamtodasasgeriat osqueinterceptamtodasasgeriatrizes. rizes. Definição: éumsólido limitadoporumasuperfí

At = 2.(ab+ ac+ bc)

7) Cone

g

l

h l

6) Cilindro

a

p.r²

Sãosegmentosderetaqueunemdois · Áreatota Áreatotal:l: At = 2l². 3 vérticesnãosituadosnamesmaface icesnãosituadosnamesmaface. l³. 2 · Volume: V= –––––– D= C2v –A–d f 3 Emque:C 2v– combina combinaçãodosvérticestomado çãodosvérticestomadosdoisa sdoisa dois A–númerodearestas df –totaldonúmerodediagonaisdetodasasfaces

· Volu olume: me: V= p .r².h

aresta lateral

· Árealateral: Al = 2Pb .h

l

Octaedroregul ar

Diagonaisde poliedros

Euler.

LemadeCauchy

4) Prismas

p .r².h · Volume: V= –––– –––– 3 2. p–––– .r · Ângulocentral: a = –––– g (superfícielateral

Tetraedro regular

Si = 360.(v–2)

Dica

· Áreatota atotal:l: At= g. p.r+

Sistemade Sist emade Ens EnsinoEnergia inoEnergia.

  –––– –––– –––

fA

· Transversal:paralela àbase. h ² Ab   ––– = ––– a C' H AB B' h ³ v   ––– = ––– H V C b h l  ––– = ––– H L B Ab ³ v ²  ––– = ––– AB V

( ( ( (

)( )( )( )(

) ) ) )

R

O

R

O

O R

· Volumedacunhaesférica 4. p .R .R³ 360º ––––––– –––– ––³ 3 a   –––– –––– –––– cV

O

h

a

H A

Sec çã ção trtrans vers al de de um uma pi pi râmi de tr tri ang ular.

h

O

h A'

a