QUESTÕES DE GEOMETRIA ESPACIAL DOS ÚLTIMOS 5 ANOS DA EsPCEx – 2009/13 Questão 01 Considere que uma laranja tem a forma de uma esfera de raio 4 cm, composta de 12 gomos exatamente iguais. A superfície total de cada gomo mede: (A)
4
3
2
cm
(B)
4
(D)
2
cm
3
4
3
(C)
4
2
2
cm
3
9
2
2
cm
(E)
4
3
2
c m
9
Questão 02 Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão entre a aresta da base e a aresta lateral é
3
. Aumentando-se a aresta da base em 2
3
cm e mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108
3
cm
. O volume do prisma original é
(A) 1 8 (D)
36
cm
3
3
3
cm
(B)
3 6 cm
(E)
40
3
(C)
18
3
3
cm
3
cm
Questão 03 Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio de base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na figura. Se essa torneira for aberta, exatamente
1
até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será
3
3
7
(A)
h
(B)
h
2
3
(D)
3
7
(C)
3
h
(E)
2
h 2
3
23
12
23
h 3
Questão 04 O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas
L B
e
G E
; as retas
A G
e
H I
e as retas
desses pares de retas são, respectivamente,
2
A D
e
G K
. As posições relativas
(A) concorrentes; reversas; reversas (B) reversas; reversas; paralelas (C) concorrentes; reversas; paralelas (D) reversas; concorrentes; reversas (E) concorrentes; concorrentes; reversas
Questão 05 Considere as seguintes afirmações: I.
Se uma reta r é perpendicular a um plano
, então todas as retas de
são perpendiculares ou ortogonais a r; II.
Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano
é a metade da medida do segmento AB, então a reta AB faz com
um ângulo de 60° III.
Dados dois planos paralelos
IV.
Se
e , se um terceiro plano intercepta
e , as interseções entre esses planos serão retas reversas.
e são dois planos secantes, todas as retas de
interceptam . Estão corretas as afirmações 3
também
(A) apenas I e II
(B) apenas II e III
(C) I, II e III
(D) I, II e IV
(E) II, III e IV
Questão 06 Considere as seguintes afirmações: I.
Se dois planos e são paralelos distintos, então as retas r
2
II.
Se r
2
III.
e
r
r 1
e
1
são sempre paralelas.
e são planos não paralelos distintos, existem as retas tal que
r
1
e
r
2
são paralelas.
Se uma reta r é perpendicular a um plano reta de
no ponto P, então qualquer
que passa por P é perpendicular a r.
Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s) (A) Somente II
(B) I e II
(C) I e III
(D) II e III
(E) I, II e III
Questão 07 Considere um plano
e os pontos A, B, C e D tais que
O segmento AB tem 6 cm de comprimento e está contido em
O segmento BC tem 24 cm de comprimento, está contido em
perpendicular a AB
O segmento AD tem 8 cm de comprimento e é perpendicular a
Nessas condições, a medida do segmento CD é (A) 26 cm
(B) 28 cm
(D) 32 cm
(E) 34 cm
(C) 30 cm
4
.
e é
Questão 08 A figura espacial representada abaixo, construída com hastes de plástico, é formada por dois cubos em que, cada vértice do cubo maior é unido a um vértice correspondente do cubo menor por uma aresta e todas as arestas desse tipo têm a mesma medida. Se as arestas dos cubos maior e menor medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm, a medida de cada uma das arestas que ligam os dois cubos é
(A)
6
2
cm
(B)
3
2
cm
(D)
4
3
cm
(E)
6
3
cm
(C)
2
3
cm
Questão 09 Na figura abaixo, está representado um cubo em que os pontos T e R são pontos médios de duas de suas arestas. Sabe-se que a aresta desse cubo mede 2 cm. Assim, o volume do sólido geométrico definido pelos pontos PQRST, em 3
cm
, é:
5
(A)
2
(B)
3
4
5
(C)
(D)
16
3
3
(E)
3
32 3
Questão 10 A figura abaixo representa dois tanques cilíndricos, h, e cujos raios das bases medem
R
e
R
2
T 1
e
T 2
, ambos com altura
, respectivamente. Esses tanques
são usados para armazenar combustível e a quantidade de combustível existente em cada um deles é tal que seu nível corresponde a
2
da altura.
3
O tanque
T 1
contém gasolina pura e o tanque
T 2
contém uma mistura etanol-
T 1
para
gasolina, com 25% de etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque etanol na mistura em
T 2
T 2
até que o teor de
caia para 20%.
Nessas condições, ao final da operação, a diferença entre a altura dos níveis de T 1
e
T 2
será
6
(A)
1
h
(B)
2
(D)
1
h
(C)
3
1
h
5
(E)
1
h
4
1
h 6
Questão 11 A figura abaixo representa a planificação de um tronco de cone reto com a indicação das medidas dos raios das circunferências das bases e da geratriz. A medida da altura desse tronco de cone é
(A) 13 cm
(B) 12 cm
(D) 10 cm
(E) 9 cm
(C) 11 cm
7
Questão 12 Se forem tomadas ao acaso duas arestas de um prisma reto de bases triangulares, a probabilidade de que elas estejam em retas-suporte reversas é (A)
1
2
(B)
3
(C)
3
1
(D)
6
1
(E)
4
1 2
Questão 13 Na figura abaixo, está representado um sólido geométrico de 9 faces, obtido a partir de um cubo e uma pirâmide. Sabendo que todas as arestas desse sólido têm medida l , então as medidas da altura (distância do ponto V à face ABCD) e da superfície total desse sólido são, respectivamente,
e
l
2 e 2
l
2
(A) l
3
(E) l
2
2
(C) l
3 2
e
l
2
2
2
3 4
3
3 4
4
(B) l
2
2
5
(D) l
4
8
2 2
2
e
e
l
2
l
2
3
3
5
5
Questão 14 Considere duas retas r e s no espaço e quatro pontos distintos, A, B, C e D, de modo que os pontos A e B pertencem à reta r e os pontos C e D pertencem à reta s. Dentre as afirmações abaixo I.
Se as retas AC e BD são concorrentes, então r e s são necessariamente concorrentes.
II.
Os triângulos ABC e ABD serão sempre coplanares.
III.
Se AC e BD forem concorrentes, então as retas r e s são coplanares.
Pode-se concluir que (A) somente a I é verdadeira (B) somente a II é verdadeira (C) somente a III é verdadeira (D) as afirmações II e III são verdadeiras (E) as afirmações I e III são verdadeiras
Questão 15 Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11 m² por galão.
9
O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é: (A) 6
(B) 7
(C) 9
10
(D) 10
(E) 11
GABARITO 1. A 2. B 3. A 4. E 5. A 6. D 7. A 8. C 9. B 10. A 11. B 12. A 13. B 14. C 15. B
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