Revisao Geometria Espacial Sr

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ATIVIDADES DE REVISÃO DE GEOMETRIA ESPACIAL

CONE 2. (Ufpb 2011) A prefeitura de certo município município realizou um processo processo de licitação para a construção de 100 cisternas de placas de cimento para famílias da zona rural do município. Esse sistema de armazenamento de água é muito simples, de baixo custo e não poluente. A empreiteira vencedora estipulou o preço de 40 reais por m2 construído, tomando por base a área externa da cisterna. O modelo de cisterna pedido no processo tem a forma de um cilindro com uma cobertura em forma de cone, conforme a figura abaixo.

Considerando que a construção da base das cisternas deve estar incluída nos custos, é correto afirmar que o valor, em reais, a ser gasto pela prefeitura na construção das 100 cisternas será, no máximo, de: Use: π = 3,14 a) 100.960 b) 125.600 c) 140.880 d) 202.888 e) 213.520 3. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha sombrinha muito usado em países orientais.


Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. b) semiesfera. c) cilindro. d) tronco de cone. e) cone. 4. (Unicamp 2011) Depois de encher de areia um molde cilíndrico, uma criança virou-o sobre uma superfície horizontal. Após a retirada do molde, a areia escorreu, formando um cone cuja base tinha raio igual ao dobro do raio da base do cilindro.

A altura do cone formado pela areia era igual a a) b) c) d)

3 4 1 2 2 3 1 3

da altura do cilindro. da altura do cilindro. da altura do cilindro. da altura do cilindro.

TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.

5. (Insper 2011) Considere o sólido gerado pela rotação completa do triângulo acutângulo ABC, de área S, em torno de um eixo que passa pelo lado BC, que tem comprimento l .


O volume desse sólido é igual a 2 a) 4 πS . 3l b) c)

2 πS

2

3l 4 π Sl

.

.

3

2 πSl . 3 πSl . e) 3

d)

6. (Fgv 2010) A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:

O cone a que se refere tal planificação é

a)

b)


c)

d)

e) 7. (Enem 2ª aplicação 2010) Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 , considerando π ≅ 3,14 , a altura h será igual a a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 9 m. e) 16 m. 8. (Ufpr 2010) A parte superior de uma taça tem o formato de um cone, com as dimensões indicadas na figura.


a) Qual o volume de líquido que essa taça comporta quando está completamente cheia? b) Obtenha uma expressão para o volume V de líquido nessa taça, em função da altura x indicada na figura. 9. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere: Vesfera

= −

4 3 πR 3

e Vcone

=

1 2 π R h 3

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00. d) 56,52. e) 113,04. 10. (Enem cancelado 2009) Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está parcialmente ocupado por 625 π cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na forma de um cone circular reto de raio da base


de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o fundo do vasilhame. Volume do cone: Vcone =

r 2h 3

π

Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H? a) 5 cm. b) 7 cm. c) 8 cm. d) 12 cm. e) 18 cm. 11. (Ufmg 2009) Nesta figura, está representada a região T, do plano cartesiano, limitada pelo eixo y e pelas retas y = x + 1 e y = 3x :

Seja S o sólido obtido pela rotação da região T em torno do eixo y. Então, é correto afirmar que o volume de S é: a) b) c) d)

π

24 π

12 π

.

8 π

4

.

. .


CILÍNDRO 1. (Ufpb 2012) Sr. Ptolomeu construirá em sua chácara um jardim de formato circular com 16 m de diâmetro. Contornando o jardim, haverá uma calçada, medindo 1 m de largura por 0,1 m de altura, conforme figura a seguir:

Supondo que o preço médio do m da calçada a ser construída é de 100 reais, conclui-se que a despesa do Sr. Ptolomeu com a construção da calçada será, aproximadamente, de: ( ) 685,30 reais ( ) 653,80 reais ( ) 583,30 reais ( ) 533,80 reais ( ) 835,30 reais 3

2. (Ufg 2012) Um posto de gasolina possui um reservatório cilíndrico horizontal com dimensões internas de 2 metros de diâmetro por 10 metros de comprimento. O posto iniciou as vendas do dia com o reservatório cheio de gasolina. Após uma hora, verificou-se que o nível de gasolina no reservatório havia baixado meio metro, como representado na figura a seguir.

Diante do exposto, determine quantos litros de gasolina foram vendidos nesse período de uma hora. Dados: π ≈ 3,14 e 3 ≈ 1,73 3. (Ufpr 2012) As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor aproximado da altura h?


a) 5 cm. b) 6 cm. c) 6,25 cm. d) 7,11 cm. e) 8,43 cm. 7. (Ufrj 2011) Considere a superfície cilíndrica S obtida a partir da superposição dos segmentos AB e DC do retângulo ABCD indicado a seguir.

Uma formiga percorreu o caminho mais curto sobre a superfície S, partindo do ponto P para chegar ao ponto Q. Determine o comprimento desse caminho.

8. (Ufu 2011) Durante uma feira de exposição de animais, um tratador de cavalos é encarregado de levar água a alguns animais em uma baia. É colocado um tanque vazio na baia na forma de um paralelepípedo retangular com a = 80 cm, b = 2 m e c = 50 cm, conforme ilustra a figura. O tratador transporta água de um reservatório para o tanque, em um balde de formato cilíndrico com base de 40 cm de diâmetro e 50 cm de altura. Estima-se que a cada vez que vai ao reservatório, ele enche o balde e, no caminho, derrame 5% de seu conteúdo. Para que o nível de água no tanque atinja a metade de sua capacidade, o número mínimo de vezes que o tratador deverá buscar água no reservatório é igual a (Utilize

a) 6 b) 5 c) 7 d) 8

π =

3,1 ).


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:

Os sólidos de revolução são gerados pela rotação completa de uma figura plana em torno de um eixo. Por exemplo, rotacionando um quadrado em torno de um eixo que passa por um de seus lados obtemos um cilindro circular reto, como mostra a figura.

10. (Espm 2010) Um vidro de perfume tem a forma e as medidas indicadas na figura abaixo e sua embalagem tem a forma de um paralelepípedo cujas dimensões internas são as mínimas necessárias para contê-lo. Pode-se afirmar que o volume da embalagem não ocupado pelo vidro de perfume vale aproximadamente:

a) 142 cm3 b) 154 cm3 c) 168 cm3 d) 176 cm3 e) 182 cm3 11. (Unesp 2010) Na construção de uma estrada retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal na forma de um círculo de raio R seccionado pela corda AB e altura máxima h, relativa à corda, conforme figura.


Sabendo que a extensão do túnel é de 2000 m, que AB = 4 3m e que h =

3R 2

=

6m ,

determine o

volume aproximado de terra, em m3, que foi retirado na construção do túnel. Dados:

π ≈

3

1,05 e

3

≈

1,7.

12. (Uerj 2010) Uma caixa cúbica foi dividida em duas partes por um plano que contém duas diagonais de faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto, conforme ilustrado a seguir.

Desprezando as espessuras dos materiais utilizados na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre o volume do cilindro e o da caixa. 13. (Enem 2010) No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,30 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se "rodo" da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar , ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo • 3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 m de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3; • 2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m de comprimento e densidade 0,78 toneladas/m 3. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, a) 29,9 toneladas. b) 31,1 toneladas. c) 32,4 toneladas. d) 35,3 toneladas. e) 41,8 toneladas.


PRISMAS 1. (Unicamp 2012) Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas uma face é igual a

a) 360. b) 344. c) 324. d) 368. 2. (Uff 2012) O sistema de tratamento da rede de esgoto do bairro de lcaraí, em Niterói, tem a capacidade de processar 985 litros de esgoto por segundo, ou seja, 0,985 metros cúbicos de esgoto por segundo.

Sendo T o tempo necessário para que esse sistema de tratamento processe o volume de esgoto correspondente ao volume de uma piscina olímpica de 50 metros de comprimento, 25 metros de largura e 2 metros de profundidade, é correto afirmar que o valor de T está mais próximo de a) 3 segundos. b) 4 minutos. c) 12 hora.


d) 40 minutos. e) 1 dia. 4. (Uerj 2012) As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos semelhantes.

Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do maior pacote e a do menor é igual a: a) 3 3 b) 3 4 c) 6 d) 8 5. (Cesgranrio 1992) No cubo da figura, o ângulo entre AD e AF vale: (Poliedro)

a) 15° b) 30° c) 45° d) 60° e) 90° 7. (Ufrgs 2011) Observe o sólido S formado por 6 cubos e representado na figura abaixo.


Dentre as opções a seguir, o objeto que, convenientemente composto com o sólido S, forma um paralelepípedo é

a)

b)

c)

d)

e)

9. (G1 - ccampos 2011) A figura abaixo mostra como Vicente envolveu, com fitas, três caixas de 10 cm de comprimento, 4cm de largura e 3cm de altura. Sabendo que Vicente gastou o mínimo de fita nessa tarefa, em qual das três caixas (A, B ou C) Vicente gastou menos fita? Justifique sua resposta.


10. (Unicamp 2011) A caixa de um produto longa vida é produzida como mostra a sequência de figuras abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida, a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa, como mostra a figura 3. Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o produto final, exibido na figura 4. Para simplificar, consideramos as emendas como linhas, ou seja, desprezamos a superposição do papel.

a) Se a caixa final tem 20 cm de altura, 7,2 cm de largura e 7 cm de profundidade, determine as dimensões x e y da menor folha que pode ser usada na sua produção. b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade seja igual a sua largura), escreva a fórmula do volume da caixa final em função das dimensões x e y da folha usada em sua produção. 11. (Uel 2011) Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir.

A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos regulares, conforme a figura. Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça? a) 640 3 cm3 b) 1280 3 cm3 c) 2560 3 cm3


d) 320 3 cm3 e) 1920 3 cm3 13. (Ufpe 2011) Considere três cubos, com arestas medindo 1 cm, 2 cm e 3 cm. Os cubos serão colados ao longo de suas faces de modo a se obter um sólido. Pretende-se saber quais os sólidos com menor área total da superfície. Por exemplo, se a colagem é feita como na ilustração a seguir temos um sólido com área da superfície 6 ( 1 + 4 + 9 ) − ( 8 + 2 ) = 74 cm2 .

Dentre os sólidos obtidos, colando os três cubos ao longo de suas faces, existem alguns com menor área total da superfície. Indique o valor desta área em cm2

22. (Uepg 2010) Dispondo-se de uma cartolina de 20 cm por 30 cm pretende-se construir uma caixa, sem tampa, cortando-se um quadrado de x cm de lado em cada canto da folha, conforme a figura a seguir, que não está representada na escala proporcional, assinale o que for correto.

01) Se x = 8 cm, o volume da caixa é menor que 500 cm3. 02) Se x = 3 cm, a área da base da caixa é 336 cm 2. 04) Se x = 1 cm, o volume da caixa é menor que 500 cm 3.


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