GEOMETRIA PLANA INSTRUCIONAIS DE MATEMÁTICA QUADRO SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidade de Programa I. Geometria Angular II. Semelhança III. Triângulo Retângulo IV. Área
Objetivos Trabalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência. Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras. Deduzir e saber aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras. Calcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito.
CONTEXTUALIZAÇÃO DA DISCIPLINA: Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, buscamos abordar os conceitos básicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os estudos das Geometrias Plana e Espacial. Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos devam limitar-se aos conceitos que listamos. Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas de cursos e da Internet para complementar seu estudo. A Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria Angular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área. Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.
Prof. José Carlos Morais de Araújo
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GLOSSÁRIO:
UNIDADE I .................................................................................................................. 3 I – Ângulos ........................................................................................................... 3 II – Classificação .................................................................................................. 3 III – Considerações Importantes .......................................................................... 3 IV – Teorema Angular de Tales ........................................................................... 5 V – Ângulo externo de um Triângulo ......................... ............. ......................... ......................... ......................... .................. ..... 5 VI – Classificação dos Triângulos ........................................................................ 6 EXERCÍCIOS ....................................................................................................... 8 VII – Polígono ..................................................................................................... 11 VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono ......................... ............. ......................... .......................... .................... ....... 11 IX – Diagonal ...................................................................................................... 12 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 13 X – Relação entre Arcos e Ângulos ................................................................... 15 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 16 UNIDADE II ............................................................................................................... 18 SEMELHANÇA ......................................................................................................... 18 I – Proporção ...................................................................................................... 18 II – Definição de semelhança ............................................................................. 19 II – Semelhança de Triângulos ........................ ........... ......................... ......................... ......................... ......................... ............... 19 EXERCÍCIO ....................................................................................................... 21 UNIDADE III .............................................................................................................. 23 TRIÂNGULO RETÂNGULO ..................................................................................... 23 I – Introdução ..................................................................................................... 23 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 25 EXERCÍCIOS ..................................................................................................... 26 II – Lei dos Cossenos ......................... ............. ......................... .......................... .......................... .......................... ......................... ............ 28 EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 29 UNIDADE IV......................... ............ ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ......................... ....................... .......... 31 I. ÁREA .............................................................................................................. 31 II – Principais áreas: ........................................................................................... 31 III – Polígono Regular......................................................................................... 32 IV - Círculo ......................................................................................................... 33 EXERCÍCIOS: .................................................................................................... 34
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UNIDADE I ÂNGULOS
I – Ângulos Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem. →
B
O
→
OA e OB são semi-retas
O ponto O, origem comum às semiretas, é o vértice do ângulo.
A
Notação : Usamos AÔB = BÔA, o vértice vértice Ô ou simplesmente
.
II – Classificação 1) Seja
um ângulo qualquer. O ângulo
pode ser classificado como:
> 90º < 90º
= 90º
Reto
Agudo
Obtuso
2) Sejam ∝ e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que ∝ e β são:
β
Complementares:
β
+ β = 90º
Suplementares:
+ β = 180º
Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x.
III – Considerações Importantes 1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais)
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2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes ( que possuem um ponto em comun ) que formam ângulos retos. Denotamos por: s r ⊥s: r perpendicular a s r
3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades.
β
r s: r é paralela a s Observe que + β = 180º
r
β β s
β
Esses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. Destacamos:
Alternos internos
Colaterais externos
Correspondentes
Observe que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um deles. Exemplos. 140o
α 50º
β
5x
4x
Nas figuras acima temos: α = 50º , β = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 20º.
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As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem referências aos ângulos do triângulo.
IV – Teorema Angular de Tales C
Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º. A + B + C = 180º B
A
Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C podemos visualizar essa propriedade.
C
B
A
V – Ângulo externo de um Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo tem 3 ângulos externos. B
Ângulo externo α
A C
Observe que: α + C = 180º
e
A + B + C = 180º
Então: α + C = A + B+ C ⇒
α=A+B
Conclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele. a+c b
a+b
a
b a
c
c b +c
Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro.
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VI – Classificação dos Triângulos Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados.
1) Quanto aos Ângulos
Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
Ângulos agudos
Um Ângulo reto
Um Ângulo obtuso
Isósceles
Eqüilátero
2) Quanto aos Lados
Escaleno
Vale Destacar : 1) O Triângulo Isósceles se caracteriza por ter 2 lados iguais. A
AB = AC ⇔ B = C São iguais os ângulos opostos aos lados iguais. B
C
Essa é a condição mínima para um triângulo ser
A
classificado como Isósceles, portanto, o triângulo que apresenta os 3 lados iguais (o eqüilátero) também representa um triângulo isósceles. No Triângulo eqüilátero temos:
A = B = C = 60º
B
C
2) Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares α + β = 90º β
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3) Como conseqüência das relações angulares do triângulo tem-se: α
r
c
θ β
s
α a
b
Se r // s então, θ = α + β
Nesse quadrilátero côncavo α = a + b +c
Justificativas: θ é ângulo externo ao triângulo α
α é ângulo externo
r
c
θ β
s
α
α a
b
b + c
Verifiquemos então como você pode proceder para resolver um problema que envolva relações angulares. Tomemos o exemplo a seguir:
Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule , sabendo que o ângulo mede 25º. B
A
C
D
Aconselho que você anote na figura as informações que foram dadas. A partir daí, o ângulo CBD = 25º, dado o triângulo CBD ser
B
isósceles. O ângulo BCA é externo a esse triângulo então, BCA = 50º. Como o triângulo ABC também é isósceles (BA = BC) temos o ângulo BAC = 50º.
Observe agora o
triângulo ABD: o ângulo α é externo a ele, portanto α = A + D, ou seja, α = 50º + 25º .
25º A
C
D
Logo α = 75º. 7
EXERCÍCIOS 01. Determine α nas seguintes figuras:
02. Nas figuras, AÔB = 80o e BÔC = 500. Calcule a medida do ângulo α sabendo-se que OX é bissetriz de AÔB.
03. A medida de um ângulo é igual a 2/3 da medida de seu complemento. Calcule a sua medida.
04. Dois ângulos, opostos pelo vértice, medem respectivamente 3x + 10 o e x + 50o. Calcule o valor de cada um deles.
05. Um dos ângulos formados por duas retas concorrentes é 1/8 da soma dos outros. Qual é o maior ângulo formado por tal figura?
06. Determine o ângulo cujo suplemento excede em 6 o o quádruplo do seu complemento.
07. Dois ângulos suplementares são proporcionais ao números 2 e 3. Determine-os.
→
→
→
→
08. Quatro semi-retas OA , OB , OC e OD formam, em torno de um ponto, quatro ângulos cujas medidas são proporcionais aos números 2, 3, 5 e 8. Determine os ângulos.
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09. Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo entre r e s mede 72 o, calcule o ângulo α.
10. Um dos ângulos formados por duas paralelas, cortadas por uma transversal, é 1/8 da soma dos outros. Qual o maior ângulo formado por tal figura? 11. O triângulo ABC é isósceles com AB = AC. Determine α e β. C
A
C
70
α
o
70
A
B
β
o
B
12. Na figura seguinte, AB = BC = CD. Calcule α, sabendo que D = 30º. B
A
D
C
13. Calcule α em cada figura, sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero. B
A E
A
α E
B
α D
C
D
C
14. Em um triângulo obtusângulo a medida da soma dos ângulos agudos é igual à metade da medida do ângulo obtuso. Calcule este ângulo, sabendo que um ângulo agudo é o dobro do outro.
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15. O triângulo ACD da figura é isósceles de base AD. Sendo 42 o a medida do ângulo BAD e 20o a medida do ângulos ABC, calcule a medida do ângulo ACD. C D B
A
16. Na figura, AB = AC, CD = CE e AFD = 60o. Calcule a medida do ângulo A.
A
F B
C
E
D ∧
∧
∧
17. Na figura, sabe-se que A = 90o , MC = MB, BS é bissetriz de B e que A S B = 126 o . ∧
A
Pede-se o ângulo C . Dica: “Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa é sempre igual à metade da hipotenusa.”
S C
B
M
18. Na figura, sendo AB ) congruente a AC , AE congruente a AD , calcule a medida ) A do ângulo CDE , dado B AD = 48o.
E B
19. Na figura abaixo, AB = AC e
C
D Cˆ =
2ˆ. E 3
∧
Calcule a medida do ângulo A . A
E B
C
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VII – Polígono Entendemos por polígono a região plana limitada por uma linha poligonal fechada. A linha poligonal é o conjunto formada por segmentos de reta consecutivos.
Ex.: Pentágono Convexo
Côncavo
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono 1) Ângulos internos Todo polígono pode ser dividido em Triângulos.
Si = 180º
Si = 180º . 2
Si = 180º. 3
Si = 180º.4
Um polígono de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º ( n – 2) 2) Externos Como cada ângulo interno é suplemento do interno adjacente temos: Si + Se = 180º . n Então:
Se = 180º. n – Si Se = 180º. n – 180º ( n – 2 ) Se = 180º. n – 180º n +360º Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é constante. É mais fácil, portanto, determinar – caso os ângulos internos e externos sejam, respectivamente, iguais – a medida do ângulo externo de um polígono, mesmo quando queremos o interno.
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Observação: Os polígonos são classificados pelo gênero como triângulo, quadrilátero, pentágono, etc. e quanto ao comportamento dos lados e ângulos em Equilátero (lados iguais), Eqüiângulo (ângulos iguais) e Regular. Eqüiângulos
Eqüiláteros Regular
Um polígono é regular quando possui lados e ângulos respectivamente iguais. Sendo assim, as medidas de seus ângulos interno e externo serão:
A =
180 º ( n − 2)
i
n
e A e =
360º n
* Procure pesquisar que nomes recebem polígonos de 3, 4, 5, 6, ... lados e quais são as medidas de seus ângulos.
IX – Diagonal Chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui como extremos dois vértices não consecutivos do polígono. D
E
No polígono ABCD..., AC, BE e BD são exemplos de diagonais nesse hexágono. C
F
B
Observe que, de cada vértice de um polígono de gênero n partem ( n – 3) diagonais. n(n − 3) Num total de: d = 2
A
Exemplo: O decágono regular possui d = ângulo externo será A e =
360 o 10
10.(10 − 3) , ou seja, 35 diagonais. Seu 2
= 36º e seu ângulo interno será A i = 180º - 36º.
O ângulo interno do decágono regular mede 144º.
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EXERCÍCIOS 01. Calcule o maior ângulo de um pentágono convexo ABCDE, sabendo-se que: C = 2A, E = 2B, D =
C+E 2
e que E = 3A.
02. Considere um eneágono regular e calcule: a) A soma dos ângulos internos. b) A soma dos ângulos externos. c) Seu ângulo externo. d) Seu ângulo interno. 03. Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos e externos vale 2160º?
04. Determine o polígono regular que tem o ângulo interno igual ao triplo do ângulo externo. 05. ABCDE é um polígono regular e DEFG é um quadrado. Determine a medida do ângulo α. B
G
C
B
F
A
C
G
α
D
F
A
α E
D
E
06. Na figura tem-se um octógono regular. Determine a medida do ângulo α: (a) (b) (c) (d) (e)
22o 30’ 30o 45o 60o 90o
α
07. Num polígono regular ABCD... as retas que contém os lados AB e CD formam um ângulo de 60º. Determine que polígono é esse.
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08. A figura seguinte, ABCDE e DEF são polígonos regulares. Calcule o ângulo α formado pelos prolongamentos de BC e DF. G B
F
C
D
A
E
09. Seja ABCD... um polígono regular. Determine o seu gênero sabendo-se que as diagonais AC e AG formam um ângulo de 80º.
10. Calcule o número de diagonais do polígono convexo cuja soma dos ângulos internos é 1440o.
11. A figura seguinte é um polígono côncavo (ou não convexo) de gênero sete. Trata-se de um Heptágono.
A
a) Quantas e quais diagonais podem ser traçadas do vértice A? b) Quantas diagonais este polígono possui?
12. Num polígono regular ABCD ... a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de 20o. Calcule o gênero e o número de diagonais desse polígono.
13. Um polígono regular convexo tem ângulo interno medindo 150º. Calcule o número de diagonais deste polígono que não passam pelo centro.
14. O número de diagonais de um polígono é dado pela relação a 2 - 4a, onde a é o número de lados do polígono. Qual é o nome desse polígono?
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X – Relação entre Arcos e Ângulos O ângulo formado por dois raios de um círculo é chamado de
B
Ângulo central. Intuitivamente, observamos que o arco AB representa da circunferência, tanto quanto o ângulo AÔB
A
O =
representa de uma volta completa em torno do centro do círculo. A medida do ângulo AÔB é igual a medida angular do arco AB.
Usando o ângulo central podemos mostrar outras relações.
1) Ângulo inscrito: Ângulo formado por duas cordas consecutivas. B
B b
P
=
2a + 2b
b
A
a
P
2a + 2b = a+b=
a
/2
A
/2
2) Ângulo Interno: Ângulo formado por duas retas que se cortam no interior do círculo. B
C
B
C
α é ângulo externo ao
P
D
APB =
α=
AB 2
A )
triângulo PDA portanto,
P
D
A
α=
AB CD 2
2
2
AB + CD 2
CD 2
AB + CD
+
3) Ângulo Externo: Ângulo formado por duas secantes que cortam-se fora do círculo. B
B
C
C
P
P D
)
APB =
AB 2
AB − CD 2
α+
D A
CD 2
O ângulo ACB é externo ao triângulo PCA portanto,
A
CB 2
=
então: α =
AB 2
AB − CD 2
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Todo polígono regular é inscritível e circunscritível, isto é, podemos admitir uma circunferência tanto contendo seus vértices quanto tangenciando seus lados. TRIÂNGULO INSCRITO
QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO
Problemas que envolvam polígonos regulares podem ser também resolvidos, e as vezes com mais facilidade, quando desenhamos o polígono inscrito em um círculo. Observe o problema 06 que fora proposto na lista anterior. A proposta era determinar a medida do ângulo α na figura sabendo que o octógono é regular. O octógono regular divide a circunferência em 8 arcos iguais, portanto cada arco tem 45º. Como o ângulo α é um ângulo externo, em relação ao círculo:
90º 45º
α α=
90 o − 45 o 2
α = 22º 45’
EXERCÍCIOS 01. Os polígonos a seguir são regulares. Calcule a medida do ângulo α. a)
b)
c)
d)
α α α
02. Calcule o ângulo formado pelas diagonais AC e CE de um pentágono regular.
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03. Num polígono regular ABCD... a diagonal BD forma com o lado AB um ângulo de 120o. Calcule o gênero desse polígono. D C B 120o
A
04. Num polígono regular ABCD... os prolongamentos dos lados AB e DE são perpendiculares. Determine que polígono é esse. D C B
A
05. Um quadrilátero convexo está inscrito em um círculo. Calcule a soma dos ângulos mostrados na figura.
α
β
06. Num polígono regular ABCD... os prolongamentos dos lados AB e DE formam um ângulo de 60o. Determine que polígono é esse. 60o
07. Num polígono regular ABCD ... a diagonal BE forma com o lado AB um ângulo C D de 100o. Calcule o número de diagonais desse polígono. B
E
A
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UNIDADE II
SEMELHANÇA
I – Proporção Para entender o conceito de semelhança é recomendável entender o termo proporcionalidade. Diz-se que duas medidas X e Y são proporcionais aos números a e b quando, x, y, a e b formam uma proporção, nesta ordem. X a = ou ainda Y b
X : Y :: a : b
Observe que: Se x e y são proporcionais a 2 e 3 isto significa que
X 2 = . Y 3
No entanto, x = 4 e y = 6 ; x = 6 e y = 9; x = 8 e y = 12; x = 10 e y = 15; e tantas outras opções são possíveis soluções, para x e y, pois: 4 6 8 10 2 = = = =L= 6 9 12 15 3
Portanto, somente a informação de que x e y são proporcionais a 2 e 3 não define, efetivamente, quais são os valores de x e y. No entanto, podemos chamar x e y, respectivamente, de 2a e 3a. Assim temos
x 2a 2 = = . y 3a 3
Exemplo: Suponhamos que um segmento AB = 20cm seja dividido pelo ponto P de tal forma que PA e PB sejam, respectivamente, proporcionais a 2 e 3. Entre outras resoluções vejamos duas maneiras diferentes da fazer: 20 cm
20 cm x
2a
y P
A
B
1ª Resolução: x + y = 20
3a P
A
B
2ª Resolução:
e
x 2 = y 3
Essas 2 equações e as 2 variáveis levam você à resolução de um sistema.
Chamemos PA = 2a e PB = 3a Então 2a + 3a = 20
5a = 20
a=4 Logo:
PA = 8cm e PB = 12cm
y = 20 – x Então:
x 2 = 20 − x 3
5x = 40 Logo:
3x = 40 – 2x
x=8
PA = 8cm e PB = 12cm
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II – Definição de semelhança Dados dois polígonos ABCD... e A’B’C’D’... de mesmo gênero, diz-se que esses polígonos são semelhantes se são satisfeitas as duas condições: i) seus ângulos são respectivamente iguais: A = A’; B = B’; C = C’; ... ii) Seus lados são respectivamente, proporcionais:
AB BC CD = = =L A' B' B' C' C' D'
D’ D
*Duas
C’
A
B’
A razão k =
semelhantes
têm
exatamente o mesmo formato.
C B
figuras
A’
AB CD = = L é chamada RAZÃO DE SEMELHANÇA. Essa razão A ' B' C' D'
representa quanto um polígono vale do outro.
II – Semelhança de Triângulos São duas as condições que garantem a semelhança entre dois polígonos, no entanto, no caso de triângulos, uma condição é necessária e suficiente para que a outro se verifique, isto é, os ângulos de dois triângulos são respectivamente iguais se, e somente se, seus lados são respectivamente, proporcionais. Logo, para garantirmos a semelhança de dois triângulos, basta que uma dessas condições esteja satisfeita.
C’
C
A
B
•
A = A’ , B = B’ e C = C’
•
AB BC CD = = A ' B' B' C' C' D'
⇒
A’
B’
Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’
⇒ Δ ABC é semelhante ao Δ A’B’C’
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º, basta que dois ângulos sejam, respectivamente iguais, para afirmarmos a semelhança entre dois triângulos. 19
Conseqüência disso é que “toda reta traçada paralela a um dos lados de um triângulo, determina um outro triângulo semelhante ao primeiro”. B’
C’
r
Se r // BC, então: Δ ABC ~ Δ A’B’C’ A
A B’
C
B
C’
r
C
B
Exemplos: 1) Nas figuras seguintes, a semelhança produzida pela reta paralela a um dos lados do triângulo permite que calculemos os valores de x, y e z. 3 4
2
8
x
4
z
y
5
6
12
8
y
6 ⇒ 8y = 6y + 24 8
x 2 ⇒ 6x = 24 = 12 6
y+4
Então x = 4
Então 2y = 24 ⇒ y = 12
=
z 3 ⇒ 8z = 15 = 5 8
Então z =
15 8
2) Na figura seguinte os triângulos ABC e AED são
A
semelhantes, pois são triângulos retângulos e possuem o ângulo A, como um ângulo comum. x 6 ⇒ x2 + 5x = 84 ⇒ x2 + 5x – 84 = 0 = 14 x + 5 Resolvendo a equação do 2º grau temos: x = 7
E 8
C
6 x
B 5
D
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EXERCÍCIOS 01. Na figura, AB = BC = CD = DE = EF = FG. Calcule as razões: A a)
B
C
AB BG
b)
02. Na figura,
D
E
CA CG
F c)
G
AG DG
___ ___ PA 7 = . Determine a razão entre os segmentos AB e BP . PB 3
03. Observe a figura.
Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, calcule a medida do segmento BP.
04. Calcule o perímetro do paralelogramo ABCD, sabendo-se que o triângulo AEF tem lados AE = 24 cm, AF = 18 cm, EF = 32 cm e EC = 8 cm E C
B
A
D
F
05. Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento. Calcule a razão DE
A
BC
r
E D C B 21
06. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e AMD, um triângulo equilátero. Calcule a medida de IM sabendo-se que BC = 30 cm? M
B
C
I
A
D
07. Nas figuras seguintes calcule as medidas dos segmentos x, y e w, assinalados: w
6
6
y
8
x
10
8
6
5
10
6
6
08. Um trapézio de bases 6m e 8cm tem 12 cm de altura. Calcule, a que distância da base maior: (a) Cortam-se suas diagonais? (b) Cortam-se os prolongamentos dos lados oblíquos?
09. Determine o comprimento do segmento MN paralelo às bases do trapézio seguinte: 7
2a Dica: Por esse ponto trace uma reta paralela ao outro lado oblíquo do trapézio.
M
N
a 16
10. Os catetos do triângulo seguinte medem 4 e 12 centímetros. Calcule a medida do lado do quadrado.
22
UNIDADE III TRIÂNGULO RETÂNGULO
I – Introdução Seja ABC um triângulo retângulo em A. Isso implica que A = 90º, que AB e AC são os catetos e que AC é a hipotenusa.
A c
B
b C
a
Traçando a altura do vértice A em relação à hipotenusa, dividiremos o triângulo em dois outros semelhantes. A b
c
h C
H
m
n
B
a
ΔHAC
~ Δ ABC ~ ΔHBA
Chamemos: 1) a altura relativa à hipotenusa AH, de h; 2) as projeções dos catetos sobre a hipotenusa HC e BH, de m e n. Usando a semelhança dos três triângulos temos:
1) O quadrado de um cateto é sempre o produto da hipotenusa por sua projeção.
b
h
b
m
c
h n
c
m b = ⇒ b² = a.m b a
c
c a = ⇒ c² = a. n n c
a b
a 23
2) O quadrado da altura (relativa à hipotenusa) é igual ao produto das projeções dos catetos.
b
h
h m ⇒ h² = m.n = n h
c
h n
m
3) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. b
h
b
m
c
h b = ⇒ ah = bc c a
a
4) Principal relação : Teorema de Pitágoras Mostramos que b² = am e que c² = na, então b² + c² = am + an = a(m + n) Como (m + n) = a ⇒
⇒
b² + c² = a . a
a² = b² + c²
Ou seja: “o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos .”
Exemplo: 4
3
16 9
Isso equivale dizer: A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.
⇒
5
25 = 9 + 16
25
A diagonal do quadrado e altura do triângulo eqüilátero são duas importantes aplicações desse teorema.
1) Diagonal do Quadrado: Seja d a diagonal de um quadrado de lado l. d² = ² + ² d
d² = 2 ² d²= 2l ²
então
d=
2
24
2) Altura do Triângulo Eqüilátero: Seja h a altura de um triângulo equilátero de lado 2
⎛ l ⎞ h² + ⎜ ⎟ = l ² ⎝ 2 ⎠ h
h² = l ² −
² 4
l
3l ² 4 3l ² h= 4
/2
h² =
⇒
h=
l
3 2
Exemplos/aplicações: 1. Em um trapézio retângulo de bases 5 e 3, a altura é igual a 2. Quanto mede o lado oblíquo às bases ? 3
Ao traçarmos a altura construímos um triângulo retângulo. Então:
2
x
2
3
x2 = 22 + 22 ⇒ x2 = 8 Então x =
2
8.
Logo x = 2 2
5
2. A figura a baixo é formada pelo quadrado ABCD e pelo triângulo equilátero ACE cujo lado é a diagonal do quadrado. Se o lado do quadrado é 6cm, quanto mede o segmento BE? E B
A
Observemos que os pontos D, B e E são colineares, ou seja, estão sobre uma reta. Como as diagonais do quadrado cortam-se ao meio, parte da altura do triângulo equilátero é a metade da diagonal do quadrado. Portanto, BE + OB = OE ⇒ BE = OE – OB
O Então: BE = D
C
6 2. 3 6 2 − ⇒ BE = 3 6 − 3 2 2
Caso seja necessário diremos BE ≅ 5,61
3. Calcule a altura de um triângulo isósceles de base igual a 8cm e cujos lados congruentes medem 6cm. 6
6
h 4
4 10
No triângulo isósceles, a altura traçada do vértice formado pelos lados iguais, coincide com a mediana e bissetriz, portanto, cada triângulo retângulo obtido tem h e 4 como catetos e hipotenusa igual a 6. Então: h2 + 42 = 62 ⇒ h2 = 36 – 16 h2 = 20
⇒
h=
20
⇒
h=2 5 25
EXERCÍCIOS 01. Nas figuras seguintes, calcule os valores assinalados: a)
b)
c)
02. Calcule o valor de x em cada uma das figuras abaixo: x x
12
x
18
7
x–1
03. Calcule o lado do quadrado inscrito no semicírculo de raio 8 centímetros.
8
04. Na figura, ABCD é um quadrado, DE = 3 cm e EP = 1 cm. Calcule a medida do lado desse quadrado. D
C
E P A
B
05. A área do triângulo retângulo ABC da figura é: a) 18 b) 20 c) 22 d) 30 e) 24
B
A
C 4
6 26
06. Calcule o raio do círculo circunscrito do triângulo isósceles de base 6cm e altura 8cm. 07. Na figura, ABCD é um quadrado, calcule seu lado sabendo que M é ponto médio de AB e que PD mede 8cm. Calcule a medida do lado desse quadrado. D
A
Observe que os triângulos ADM, BMN e CNP são semelhantes. M P
B
N
C
08. No quadrado ABCD de lados iguais a 8 cm, calcule o raio do círculo que passa pelos vértices A e B e tangencia o lado CD. A
B
•
D
C
09. Num círculo de raio 10 cm traça-se uma corda de 16 cm. Calcule a distância da corda ao centro. (A distância de um ponto até uma reta é sempre um segmento perpendicular a reta )
10. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32 cm 2. Quanto mede a hipotenusa desse triângulo? 11. Na figura seguinte os segmentos AB, BC, CD, DE, e EF todos têm medidas iguais a 1 cm e cada um deles é perpendicular a seu antecedente. Então, o segmento AF mede: E D (a) 5 (b) 3 F C (c) 2 (d) 6 (e) 7 A
B 27
II – Lei dos Cossenos Seja ABC um triângulo qualquer. Tracemos a altura relativa ao lado AC e chamemos, de m, o segmento AH, projeção do lado AB sobre o lado AC. B c
Então, HC = b – m.
a h
A
m
H
Não estamos admitindo o triângulo ABC como triângulo retângulo, portanto aqui NÃO vale a relação h 2 = m.(b-m).
C
b–m b
Como Δ HBC é retângulo. Temos: a² = h² + (b – m) ² a² = h² + b² + m² - 2bm a² = b² + h² + m² - 2bm Como: h² + m² = c² e ainda, cos A = adjacente a esse ângulo, e a hipotenusa )
m c
⇒
Substituindo na relação anterior temos
(o
cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto
m = c . cosA
a² = b² + c² - 2bc cosA
Ou seja: “O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, diminuído do duplo produto desses dois lados, pelo cosseno do ângulo formado por eles.”
Observe que caso A = 90º, isto implica que cos A = 0 e a relação fica reduzida ao teorema de Pitágoras. a² = b² + c² - 2 bc.0 Exemplo:
⇒
a² = b² + c²
Calcular o cosseno do ângulo α na figura seguinte.
1
2
Como o triângulo não é retângulo, o cosseno não pode ser calculado por cateto adjacente dividido pela hipotenusa. Então, apliquemos a lei dos cossenos.
( 2 )2 = 12 + 22 – 2.1.2.cos α
α
2
4.cos α = 3
⇒
Então: cos α =
2 = 1 + 4 – 4.cos α
3 4
28
EXERCÍCIOS 01. Calcule as medidas assinaladas nas figuras abaixo:
2
7
x
8
y
o
30O
60o
60
10
3 3
8
02. Considere na figura abaixo dois triângulos equiláteros de lados 6cm e 8cm, respectivamente. Calcule o segmento AD. D
A
B
E
C
03. Calcule o cosseno do ângulo  num triângulo ABC onde AB = 12, AC = 14 e BC = 8 centímetros. 04. Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 centímetros mede 120o. Calcule a maior diagonal desse paralelogramo. 05. Na figura, o triângulo DCM é equilátero e ABCD é um quadrado de lado 6cm. Calcule a medida do segmento AM. B A M
D
06. Observe a figura. D
C
C
Nessa figura, o trapézio ABCD tem altura 2 3 e bases AB = 4 e DC = 1. Calcule a medida do lado BC.
60o A
B
Dica: Trace uma reta pelo ponto D paralela ao lado BC.
29
07. Seja M o ponto médio da altura AH de um triângulo equilátero ABC de 8 cm de lado. Calcule a medida do segmento BM. A
M
B
C
H
08. No triângulo equilátero ABC tem-se BM = MC = 2 centímetros e NA = 1 cm. Calcule a medida do segmento MN. C
M N A
B
09. No quadrilátero da figura, BC = CD = 3 cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°. A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: D C
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
A
B
Para calcular o lado AD, que está faltando, você talvez tenha que resolver uma equação do 2º grau.
10. No quadrado ABCD de lado 3cm, os pontos P e Q dividem a diagonal AC em três partes iguais. Calcule a distância do ponto P ao vértice B. D
C Q P
A
B
30
UNIDADE IV
I. ÁREA Área é uma função que associa a cada figura um número positivo que representa a Medida de sua superfície. Mais importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a área de uma região plana é o número que expressa a relação entre sua superfície e a superfície desse quadrado. Seja “u” a unidade de área: 1
A área da figura é “n” se:
F
1
1 1
S(F) =n u
Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente, que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões. Um retângulo de dimensão 4cm por 3cm, por exemplo, tem 12cm² de área. Isto é, sua superfície equivale à superfície de 12 quadrados de lado 1cm.
h
S = b.h 3cm S = 4.3
b
Então S = 12 cm 2
1 cm2
4cm
II – Principais áreas: •
Paralelogramo
h
S = b.h
b 31
•
Triângulo
Observe que o paralelogramo tem área igual ao dobro desse triângulo.
h Então: 2S = b.h
⇒
S=
b.h 2
b •
Losango Observe que o losango ocupa a metade do retângulo cujas medidas são suas diagonais.
d Então: 2S = D.d
⇒
S=
D.d 2
D •
Trapézio A área do trapézio pode ser obtida pela soma das áreas dos dois triângulos determinados por uma de suas diagonais.
b h
Então: S =
B.h b.h (B + b). h + ⇒ S= 2 2 2
B
III – Polígono Regular O Polígono regular de gênero “n” pode ser dividido, a partir do centro, em “n” triângulos isósceles congruentes. A área do polígono será “n” vezes a área deste triângulo.
⎛ l.a ⎞ (n.l ).a ⎟⇒ S = Então: S = n.⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ a
l
a
l
Mas (n. ) é o perímetro do polígono que representamos por (2p) e a, que representa a distância do centro ao lado, é conhecido como apótema do polígono.
Então: S =
(n.l).a ⇒ 2
S=
2p.a 2
⇒ S = p.a
Embora a área do polígono regular possa ser encontrada pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaba sendo mais prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos congruentes.
32
IV - Círculo Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo, quanto maior é o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxima da área do círculo. Ou seja, aumentando o número de lados do polígono inscrito num círculo, a área do polígono tende ser a área do círculo.
Nesse processo, o perímetro do polígono tende a 2 πr (comprimento da circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio r. A área do círculo então, pode ser determinada como sendo a área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema igual a r. Isto é:
S = πr.r
S = πr 2
Logo
Vale ainda ressaltar: 1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o ângulo formado por eles.
a.h Sabemos que S = 2
A
b
c
h
Mas também sabemos que o sen α =
α
C
B
a
h , então: b
ab. sen α h = b.sen α, portanto, S = 2
2) Radical de Heron. A área do triângulo pode ser obtida em função de seus lados. C
S = p.(p − a).(p − b).(p − c )
a
b
Onde p é o semi-perímetro do triângulo. A
c
B
3) A área de um triângulo equilátero de lado S = l.
l.
l
pode então ser determinada por:
3 1 . (multiplicar por 1 é o mesmo que dividir por 2) 2 2 2
Então S =
l
2
3 4
33
EXERCÍCIOS: 01. Calcule as áreas hachuradas, inscritas em quadrados de lados iguais a 6 cm. Admita que os vértices que estão sobre seus lados são pontos médios desses lados. a) b) c) d) e) f)
02. Na figura seguinte, ABC é um triângulo equilátero de 12 cm de lado e ABDE tem os ângulos retos. Calcule, em centímetros quadrados, as áreas dos triângulos CBD e ACD assinaladas nas figuras. (a)
E
A
C
D
C
E
(b)
D
A
B
B
03. Na figura, o triângulo equilátero ABC tem lado 2cm e o vértice C está sobre o lado do retângulo ABDE. Determine a área assinalada. C
E
D
P
A
B
04. O retângulo ABCD, da figura abaixo, está subdividido em 100 quadrados elementares iguais.
Determine a área sombreada correspondente às letras da sigla UFRJ se: a) a área da letra U é a unidade de área. b) a área do retângulo ABCD é igual a uma unidade de área.
05. Suponhamos que uma folha retangular, de 8cm por 5cm, seja dobrada segundo as ilustrações a seguir. Quantos cm 2 quadrados terá a área hachurada do retângulo ABDQ ? (a) 4 cm2 (b) 6 cm2 (c) 7 cm2 A B 2 (d) 9 cm D
C
34
06. Calcule a área do triângulo ADE na figura seguinte sabendo-se que ABCD é um quadrado e DCE é um triângulo eqüilátero de 6 centímetros de lado.
B
A E
D
C
07. O decágono da figura ao lado foi dividido em 9 partes: 1 quadrado no centro, 2 hexágonos regulares e 2 triângulos equiláteros, todos com os lados congruentes ao do quadrado e mais 4 outros triângulos. Sendo T a área de cada triângulo equilátero e Q a área do quadrado, pode-se concluir que a área do decágono é equivalente a: (A) 14 T + 3 Q (B) 14 T + 2 Q (C) 18 T + 3 Q (D) 18 T + 2 Q 09. Considere o trapézio ABCD da figura e calcule a área do triângulo ADE. D
4 cm
C
E
6 cm
A
B
12 cm
10. Calcule as áreas hachuradas. Os arcos pertencem a circunferências com centros nos pontos médios dos lados do quadrado ou nos vértices dos mesmos. Os quadrados têm lados iguais a 6cm. a)
b)
c)
d)
e)
A
11. O círculo seguinte tem 4cm de raio. Calcule a área hachurada sabendo-se que o ângulo ABC = 30 o. B
•
O
C
35
