apostila - econometria espacial

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CURSO DE ECONOMETRIA ESPACIAL APLICADA

PROF. DR. EDUARDO SIMÕES DE ALMEIDA ESALQ-USP

Piracicaba, 2004

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________

SOBRE O AUTOR O professor Eduardo Simões de Almeida é economista, mestre e doutor em Economia pela Faculdade de Economia e Administração da Universidade de São Paulo (FEA-USP). Conquistou o 21º Prêmio BNDES de Economia, com a sua dissertação de mestrado em 1997. O título de sua tese de doutorado é "Um Modelo de Equilíbrio Geral Aplicado Espacial para Planejamento e Análise de Políticas de Transporte". Recebeu recentemente o Prêmio CNT de Produção Acadêmica 2003 pelo artigo científico "Quanto Custa o Descaso com as Nossas Estradas", extraído da sua tese de doutorado. Foi pesquisador visitante, por meio de uma bolsa "sandwich" concedida pela CAPES, no Regional Economics Applications Laboratory (REAL), da Universidade de Illinois (EUA) em 2001-02. Na Universidade de Illinois, desenvolveu a sua tese de doutorado e realizou estudos sobre Econometria Espacial. Foi aluno do Prof. Luc Anselin, da Universidade de Illinois, assistindo aos cursos "Spatial Analysis" e "Spatial Econometrics". Foi durante dez anos pesquisador científico da Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe), desenvolvendo vários projetos nas áreas de transportes, logística, modelagem econômica, desenvolvimento regional e índices econômicos. Auxiliou no desenvolvimento do modelo econométrico espacial para projeção consistente de culturas agropecuárias (MEECA). Publicou dezenas de artigos científicos em revistas e apresentou diversos trabalhos em congressos nacionais e internacionais na área de modelos de equilíbrio geral computável, econometria espacial e análise espacial.

 Copyright Eduardo Simões de Almeida

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Tem uma larga experiência de docência. Foi professor de Estatística Econômica da Universidade Mackenzie. Ministrou um minicurso “Econometria Espacial Aplicada”, na disciplina "Economia Regional", do curso de Pós-graduação do Instituto de Pesquisas Econômicas da Universidade de São Paulo em 2002. Foi Professor da disciplina Métodos Quantitativos e Análise de Dados, do MBA - Gestão de Operações, da Fundação Carlos Alberto Vanzolini, da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, em 2003. Atualmente, é pesquisador e professor visitante no Departamento de Economia, Adminstração e Sociologia da Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, da Universidade de São Paulo (ESALQ-USP), no campus em Piracicaba.

CONTATOS DO AUTOR Endereço comercial: Departamento de Economia, Administração e Sociologia, da ESALQ-USP Av. Pádua Dias, 11 – Cx. Postal 9 CEP 13418-900 Piracicaba – SP Tel.: (019) 3417-8726 (011) 9932-6377 Fax.: (019) 3434-5186 E-mails: [email protected] [email protected]


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO “É preciso medir tudo o que é mensurável, e tornar mensurável o que não é...” Galilei Galileu

1.1.

Por que Estudar Econometria Espacial? Suponha que um pesquisador esteja interessado em estimar uma função de produção

agrícola agregada em nível microrregional, ou seja, uma cross-section de microrregiões. Como a teoria da produção recomenda, ele pretende regredir a quantidade agrícola produzida contra insumos, tais como a quantidade de trabalho, capital, terra utilizada etc. A sua primeira idéia é adotar o modelo clássico de regressão linear. Vamos começar especificando o modelo clássico de regressão linear: y = Xβ + ε

ε ~ N (0, σI )

(1.1)

em que y é a variável dependente com n linhas, X é uma matriz de variáveis explicativas com n linhas e k colunas, β é um vetor com k coeficientes de regressão e ε é um vector com n termos aleatórios de erro, seguindo uma distribuição normal. Os pressupostos subjacentes para esse modelo clássico são os seguintes: a) Uma função linear de um conjunto específico de variáveis independentes relevantes, com coeficientes fixos; b) Termos aleatórios de erro têm média zero; c) Todos os termos de erro têm a mesma variância e não são correlacionados entre si (em outros termos, os termos de erro são esféricos); d) As observações sobre as variáveis independents podem ser fixas em amostras repetidas; e) A matriz X tem pleno posto. O pesquisador pode se considerar muito sortudo se o fenômeno estudado comportar-se conforme os pressupostos do modelo clássico de análise de regressão linear. O mundo real é


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ muito mais complexo, impondo desafios ao pesquisador que deseja compreendê-lo e quantificálo. O desenvolvimento histórico da econometria é explicado pela tentativa de superar as violações dos pressupostos do modelo clássico, tais como a multicolinearidade, a correlação de X com o termo de erro ε, a heterocedasticidade etc. Existem uma série de livros em nível de graduação ou pós-graduação que fornece as diretrizes para resolver esses problemas. Contudo, uma classe de problemas relacionadas à dificuldade de estudar fenômenos que ocorrem no espaço não é contemplada por esses livros e pela econometria convencional. Vamos voltar à necessidade de estimar a função de produção agrícola. Agora considere que o pesquisador verificou que a produção agrícola é dependente da distribuição de recursos naturais, tais como qualidade do solo, regime pluviométrico, e cuja resposta aos insumos trabalho, capital e terra não é uniforme através dos municípios. Isso pode acarretar que os coeficientes β tenham estimativas diferentes para certos subconjuntos dos seus dados (para algumas regiões). Ou a variância do erro não é constante em todos os municípios. Ou, ainda, a forma funcional, pressuposta ser linear, para alguns grupos de municípios vizinhos entre si pode ser não-linear. O que fazer?, pergunta o pesquisador. Vamos mais adiante no azar do pesquisador e supor que existem interações entre os produtores agrícolas, fornecendo uma dinâmica diferente. Vamos supor que exista um conjunto de produtores que introduz uma inovação agrícola – por exemplo, um novo sistema de irrigação proposto por um órgão do governo como a Embrapa – que ajuda a elevar a produtividade das culturas beneficiadas. Os agricultores vizinhos observam esse efeito sobre a produção e começam a imitar essa inovação, difundindo-a. Os vizinhos desses agricultores vizinhos também vêem os resultados positivos e também imitam. Essa inovação na agricultura, que teve um epicentro num município (ou num conjunto de municípios), começa a passar por um processo de difusão, transcendendo as fronteiras de um município isolado. Essa interação pode acarretar que o nível de produção agrícola de um determinado município dependa dos níveis de produção de seus municípios vizinhos. Diante desse fato, o que fazer?, pergunta novamente o pesquisador.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Estudar econometria espacial urgentemente, respondo eu, pois desconsiderá-la, levará a resultados viesados, inconsistente e/ou ineficientes. Isso porque os efeitos apresentados de forma intuitiva nos parágrafos passados não estão sendo levados em consideração. Portanto, o prejuízo para a análise pode ser muito elevado. Chegamos, assim, ao ponto de apresentar um ramo emergente da Econometria com inúmeras aplicações que fornecerá as soluções que você está procurando. 1.2.

O que é Econometria Espacial? A econometria espacial difere da econometria convencional porque leva em consideração

os chamados efeitos espaciais na especificação, na estimação e no teste de hipótese e previsão de modelos, com dados do tipo cross-section ou com um painel de dados. Ao não reservar atenção a esses efeitos espaciais, os resultados proporcionados pela análise econométrica convencional tornam-se inválidos.1 A diferença entre a econometria espacial e a econometria tradicional concentra-se na preocupação de se incorporar na modelagem o padrão da interação sócio-econômica entre os agentes num sistema, assim como as características da estrutura desse sistema no espaço. Essas interações e as características estruturais – que podem ser instáveis no espaço – geram efeitos espaciais em vários processos econômicos (Anselin, 2003; Anselin, 1988; Anselin e Bera, 1998). No entanto, talvez uma diferença mais profunda possa ser delineada em termos de ponto de partida metodológico. Metodologicamente falando, a econometria convencional procura tratar quantitativamente o comportamento do agente segundo um ponto de partida puramente atomístico, sem se preocupar com o contexto espacial. Em contraste, a econometria espacial busca tratar quantitativamente o comportamento do agente tanto do ponto de vista atomístico (quais são os fatores exógenos independentes do espaço que interferem em sua tomada de decisões) quanto da sua interação com outros agentes heterogêneos ao longo do espaço, este igualmente heterogêneo. Um modelo econométrico de regressão linear tradicional tem a limitação de não ser capaz de controlar para esses efeitos espaciais. 1

De acordo com Anselin (2001b, p. 113), “econometria espacial é um subcampo da econometria que lida com as complicações causadas pela interação espacial (autocorrelação espacial) e pela estrutura espacial (heterogeneidade espacial) em modelos de regressão para dados na forma de cross-section e painel de dados”.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O primeiro efeito espacial diz respeito à dependência espacial dada pela interação dos agentes no espaço. De modo geral, todo processo que se dá no espaço está sujeito à chamada Lei de Tobler, também conhecida como a Primeira Lei da Geografia, cujo enunciado pode ser estabelecido da seguinte forma: “tudo depende de todo o restante, porém o que está mais próximo depende mais”. A Lei de Tobler destaca, com isso, o papel da proximidade para o estabelecimento da interação espacial entre os fenômenos. Note a particularidade da noção de proximidade nessa lei. Proximidade pressupõe a noção de distância relativa entre as unidades espaciais (municípios, distritos, bairros, países, estados, microrregiões etc.) e seus efeitos, discutidos acima. Todavia, vale ressaltar que o efeito da “distância” deve ser tomado de modo amplo, não apenas geográfico, porém mais no sentido dado por Isard, ou seja, a distância relativa de renda, espaço de política, correspondendo à força da interação verificada pelas unidades espaciais. A dependência espacial significa, por sua vez, que o valor de uma variável de interesse numa certa região i depende do valor dessa variável nas regiões vizinhas j. Generica e formalmente, tal conceito pode ser expresso como: yi = f ( y j )

i = 1, K , n

i≠ j

e

(1.2)

Podemos representar a dependência espacial, usando um esquema gráfico simplificado para capturar a intuição que está por trás da interação: Figura 1.1: Representação Gráfica da Interação Espacial yi

yj

Nesse esquema, existe uma interação entre a variável de interesse y da unidade espacial i com a mesma variável localizada na unidade espacial contígua a ela, denominada j. Cabe aqui uma palavra de alerta. Dependência espacial é uma propriedade de funções de densidade conjunta. Conseqüentemente, é difícil de se observar na prática. Assim, procura-se


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ avaliar a dependência espacial pelo momento dessa função de densidade conjunta, ou seja, pela autocorrelação espacial, que pode ser estimada e testada. Portanto, toda a análise a respeito da dependência espacial será feita por intermédio do conceito de autocorrelação espacial. Usaremos os termos autocorrelação espacial e dependência espacial como sinônimos. É possível destacar algumas fontes de dependência espacial, relacionadas a uma variedade de processos de interação social. De acordo com Haining (1990, pp. 24-25), existem basicamente quatro processos espaciais. O primeiro refere-se ao processo de difusão que se caracteriza pela adoção de um atributo de interesse por parte dos elementos de uma população fixa. A qualquer momento, pode-se descobrir qual é a proporção da população que já adotou determinado atributo. Nesse aspecto, a distribuição espacial da população pode desempenhar um relevante papel para o desenvolvimento do padrão de difusão do atributo em estudo. Um exemplo clássico é a difusão tecnológica. O segundo processo espacial envolve a troca de mercadorias e a transferência de renda entre unidades espaciais. Segundo o autor, a renda auferida numa região pode ser despendida em outra. O efeito multiplicador regional da renda desempenha importante papel. No terceiro processo, é destacado o comportamento estratégico como uma característica fundamental, no sentido em que envolve a “‘interação em que eventos em uma região influenciam e são influenciados por eventos em outras regiões”, envolvendo competição e/ou cooperação. Por exemplo, a determinação de preços no varejo depende das condições de mercado e da localização dos vendedores, além de suas ações e reações. O quarto processo trata da dispersão ou do espraiamento de um atributo. Em contrate com o processo de difusão, aqui é a própria população que se dispersa. A natureza de tal dispersão gera dependência espacial no atributo (ou atributos) estudado ao longo do processo. No campo das ciências sociais, um bom exemplo seria a migração populacional, ao passo que no campo das ciências naturais seria a dispersão de sementes.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O outro efeito refere-se à heterogeneidade espacial. Fenômenos que ocorrem no espaço não apresentam estabilidade estrutural.2 Em termos intuitivos, a heterogeneidade espacial manifesta-se quando ocorre instabilidade estrutural no espaço, fazendo com que haja diferentes respostas, dependendo da localidade ou da escala espacial. Tal instabilidade pode ser detectada na forma de coeficientes variáveis, de variância não constante ou, ainda, de formas funcionais diferentes para determinados subconjuntos de dados. Nesse caso, a conseqüência prática é a inadequação de se ajustar um mesmo modelo teórico para todo o conjunto de dados. Ao não tratá-la convenientemente no modelo, paga-se um preço alto. O problema da heterogeneidade pode provocar a instabilidade estrutural sobre os resultados da regressão, causando a perda da eficiência. Em alguns casos, como veremos abaixo, é possível acarretar em estimativas viesadas. Como já dissemos, a econometria espacial é um ramo emergente com diversas aplicações práticas em vários campos do saber, tais como economia agrícola, finanças públicas locais, organização industrial, economia regional e urbana, economia internacional, ciências ambientais etc.

1.3.

Desafios da Econometria Espacial Como é possível de se perceber, desconsiderar os efeitos espaciais pode acarretar em

estimativas viesadas, inconsistentes e/ou ineficientes. Porém, ao incorporar os efeitos espaciais, a técnica econométrica, concomitantemente, sofistica-se e torna-se muito mais complexa. Em contraste com as séries de tempo cuja direção da interação e a dependência no tempo ocorre unidirecionalmente, do passado para o presente e do presente para o futuro, a dependência no espaço é bidirecional, expressa pelo seguinte enunciado: “sou vizinho do meu próprio vizinho”. É conveniente não se deixar influenciar pela singeleza do enunciado. Ele condensa uma dificuldade inerente quando se tenta modelar processos espaciais com esse grau de 2

Segundo Boller et al. (2001, p. 566), “heterogeneidade espacial refere-se à situação em que coeficientes ou os padrões de erro variam sistematicamente através das áreas geográficas”. De acordo com Le Sage, “heterogeneidade espacial refere-se à variação em relações através do espaço”.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ interdependência. Só para que se possa enxergar a profundidade da interdependência, observe que o meu vizinho, além de ser vizinho meu, é também vizinho dos vizinhos dele que, por sua vez, são meus vizinhos de segunda ordem, e assim por diante. Esse aspecto envolverá a simultaneidade da interação que complicará sobremaneira a estimação, como será visto posteriormente. De modo prático, diversas ferramentas, como, por exemplo, o correlograma, que são úteis em séries de tempo perdem seu sentido prático. Não se pode adotar o correlograma espacial a não ser em situações extremamente estilizadas e raramente verificadas no mundo real. Outro aspecto intrigante é que existem modelos espaciais no qual o termo de erro é aleatório e bem comportado, ou como se costuma dizer, esférico. E mesmo assim, por influência da interdependência e a interação entre os vizinhos surgirá heterocedasticidade junto da dependência espacial. Intuitivamente, a fonte desse imbricamento pode ser encontrada na própria motivação metodológica do campo da econometria espacial apresentada no início de nossa exposição e aqui relembrada: “a econometria espacial busca tratar quantitativamente o comportamento do agente tanto do ponto de vista atomístico (quais são os fatores exógenos independentes do espaço que interferem em sua tomada de decisões) quanto da sua interação com outros agentes heterogêneos ao longo do espaço, igualmente heterogêneo”. Note como as idéias de dependência e a heterogeneidade convivem nesse enunciado. Esse é um dos maiores problemas neste ramo da econometria: o assim chamado imbricamento da heterogeneidade espacial com a dependência espacial, conduzindo a uma extrema dificuldade na correta identificação dos modelos econométricos relevantes para o fenômeno em estudo. Isso implicará uma série de procedimentos para contornar tal dificuldade. Um deles é realizar uma análise exploratória de dados espaciais para ter um conhecimento mais preciso da natureza da estrutura e da interação do processo espacial. Um exemplo claro disso é que a especificação de modelos econométricos espaciais envolve dificuldades em identificar o modelo apropriado. Por isso, é de bom alvitre fazer uma análise exploratória de dados espaciais a fim de que se possa sugerir padrões e prover indicações para auxiliar posteriormente na seleção do modelo mais apropriado.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O outro modo é a realização de testes para detectar esses efeitos espaciais, como será visto no capítulo 6. 1.4.

Um Pouco de História Em termos quantitativos, o interesse e a preocupação a respeito da influência do espaço

em diversos fenômenos é de longa data. Existem relatos indicando que, em 1914, Student já se preocupava com a questão da influência dos efeitos espaciais na estimação de modelos (Antonio, 1999). Todavia, apenas no final dos anos quarenta, mais precisamente em 1948, com o trabalho de Moran, introduziu-se o primeiro estimador formal da dependência espacial, o chamado teste I, permitindo que a estimação da força da interação espacial pudesse ser realizada. O teste I de Moran, como veremos no capítulo quatro, é do tipo de uma medida de correlação segundo um certo critério de associação de variáveis. Em 1954, é a vez de Geary desenvolver um outro teste, chamado de teste C, para detectar a dependência espacial, também uma medida de correlação, usando um critério distinto de associação entre variáveis. Ainda em 1954, Whittle publica um artigo discutindo a particularidade de processo estocástico no espaço, enfocando a bidirecionalidade da interação. Além disso, o autor propõe o modelo econométrico do erro auto-regressivo espacial, que será visto no quarto capítulo desta apostila. Em 1973, Cliff e Ord escreveram um livro, cuja segunda edição foi lançada em 1981, que aprofundou a análise dos processos espaciais numa abordagem eminentemente estatística, enfocando sobretudo a dependência espacial. De qualquer forma, esse livro expandiu a possibilidade de aplicação de um conjunto de técnicas em vários campos, inclusive na economia. Outro marco no desenvolvimento desse ramo da econometria foi o livro de Jean Paelinck e Klaassen em 1979, intitulado “Spatial Econometrics”. Aliás, Paelinck é considerado até hoje o pai da Econometria Espacial, talvez muito pelo fato de ter cunhado o termo. Segundo Florax e Vlist (2003, p. 225), a partir daí a econometria foi alvo do estudo de dois grupos de pesquisadores: de um lado, os holandeses cujos principais nomes são Bartels,


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Brandsma, Hordjik, Ketellapper e Nijkamp; de outro, os britânicos, despontando nomes como Fingleton, Haining, Ord e Upton. Em 1988, Anselin publica o livro “Spatial Econometrics: Models and Methods”, que teve o mérito de sistematizar uma série de conceitos e terminologias nesse campo do saber, até então sem um amarramento e uma unidade. É possível afirmar que em algum momento dos anos oitenta o grande centro de desenvolvimento da econometria espacial passou a ser os EUA, com nomes como o próprio Anselin, Keilejian, Prucha e Cressie. O grande desenvolvimento, no entanto, ocorreu mesmo nos anos noventa com a confluência de três fatores que impulsionaram a econometria espacial. Em primeiro lugar, o desenvolvimento da capacidade computacional que permitiu estimar modelos econométricos espaciais, adotando metódos de estimação complexos. Em segundo lugar, a disponibilidade de uma profusão de dados georeferenciados, em grande parte em decorrência da revolução do computador, mais especificamente o surgimento de sistemas de informações geográficas na forma de softwares. Vamos discutir isso na próxima seção. O avanço das técnicas econométricas espaciais apresenta dois ramos distintos: o paramétrico e Bayesiano. O ramo bayesiano foi desenvolvido principalmente por Alan Gelfand. Outro nome de destaque é Le Sage. Por esse material cobrir exclusivamente o ramo paramétrico da econometria espacial, não dedicaremos atenção ao ramo Bayesiano. 1.5.

A Natureza dos Dados Espaciais No campo da econometria espacial, não são apenas os modelos que são diferentes, mas

também os dados são diferenciados. Para serem incorporados nos modelos, os dados precisam ser espaciais. Uma primeira questão de uma pessoa que esteja aprendendo econometria espacial é saber qual é a diferença entre dados não-espaciais (ou a-espaciais) e dados espaciais. Dados a-espaciais denotam a variação de algum fenômeno sem se preocupar com a determinação em saber onde ocorre tal variação. Dados espaciais denotam a variação de algum fenômeno tendo a preocupação em determinar onde ocorre tal variação. Portanto, dados espaciais apresentam dois componentes. Um primeiro componente referente ao atributo do fenômeno em estudo; e um


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ outro, de natureza espacial, que fornece a referência em termos da localização geográfica desse atributo. Nos últimos quinze anos, o mundo vivenciou a emergência de uma pletora de dados espaciais, sobretudo de cunho sócio-econômico. Anselin (1999, p. 6) menciona uma explosão da disponibilidade de bases de dados sócio-econômicos georeferenciados. Isso ocorreu devido ao avanço tecnológico, especialmente vinculado à informática, tanto no que se refere ao hardware quanto ao software, no que tange à coleta de dados. Houve a chamada “Revolução do Sistemas de Informação Georeferenciada (SIG)”, ou seja, o desenvolvimento de programas de computador que permitiram a estocagem, organização, descrição e análise de dados espaciais ou georeferenciados. O SIG disponibilizou uma grande quantidade de dados espaciais, levando a necessidade do desenvolvimento de técnicas tanto de análise exploratória como de análise confirmatória de dados espaciais. A coleta de dados beneficiou-se também do avanço tecnológico do sensoreamento remoto e da rede de satélites em torno da terra que permitiram o desenvolvimento do Global Positioning System (GPS), primeiro para fins militares, e posteriomente, para fins comerciais. Essa pletora de dados georeferenciados contribui para a interpretação de que o campo da econometria espacial é guiada por essa disponibilidade de dados (data-driven). Em terceiro lugar, o avanço da teoria econômica, preocupada em estudar a interação entre os agentes num contexto espacial em modelos como a Nova Geografia Econômica. A grande quantidade de novos avanços da teoria econômica que pressupõe a interação dos agentes no espaço é visto por alguns como a responsável pelo impulso das técnicas econométricas espaciais, guiadas, assim, pelos modelos teóricos (model-driven). Os dados geográficos podem ser representados por três tipos de objetos espaciais Fotheringham et al. (2000, p. 17): a) pontos; b) linhas; c) polígonos.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ No mapa 1.1, estão representados os três objetos espaciais na forma da rede ferroviária, hidroviária e aeroportuária. Nesse mapa, os pontos denotam os aeroportos, enquanto as linhas representam as ferrovias. Já os polígonos, extremamente irregulares, simbolizam as hidrovias.

Mapa 1.1: Rede Ferroviária, Hidroviária e Aeroportuária de MG

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N

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200

1.6.

0

Mg_ferro_polyline.shp Mg_hidro_region.shp Mg_aero_point.shp

W 200

400 Miles

E S

Processo Estocástico Espacial Convém destacar um aspecto curioso a respeito dos dados espaciais coletados. Os dados

espaciais são uma única realização de um processo estocástico do tipo espacial. Veja o mapa 1.2, mostrando a área colhida per capita para o Estado de Minas Gerais. Pode-se considerar que esse mapa com dados espaciais é uma realização, dentre inúmeras possíveis, de um processo estocástico espacial. Ou seja, o mapa com a área colhida per capita para Minas Gerais é a única


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ amostra que se dispõe de uma população de mapas com a área colhida per capita para Minas Gerais que poderiam ter sido realizados.

Mapa 1.2: Distribuição da Área Colhida per Capita em Minas Gerais

Área Colhida per Capita 0.005 - 0.135 0.135 - 0.293 0.293 - 0.485 0.485 - 0.726 0.726 - 1.501 N W 200

0

200

400 Miles

E S

O cerne da questão repousa na representatividade desse único mapa. O que garante que esse mapa é representativo da população de mapas que poderiam ter sido gerado? Perceba que esse é um problema parecido enfrentado também pela econometria de séries de tempo. Quais são os pressupostos necessários para se fazer a fim de poder considerar um único mapa como representativo de toda uma população de mapas? Por essa característica própria do mecanismo estocástico gerador de dados espaciais, isso coloca um problema de como fazer inferência estatística. A solução encontra-se em considerar que o mecanismo estocástico gerador de dados opera com uniformidade através do espaço. Como a discussão envolverá, portanto, mecanismos geradores de dados que estão vinculados a processos estocásticos, vale a pena definir esse último conceito.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Um processo estocástico é uma seqüência de variáveis aleatórias ordenadas de acordo com um critério. É possível definir formalmente processo estocástico espacial da seguinte forma (Cressie, 1993; Anselin, 1988):

{yi : i ∈ D}

(1.3)

em que y é uma variável de interesse associada à variável-índice i que designa uma unidade espacial, ou seja, uma locação no espaço pertencente a um subconjunto fixo e finito D que, por sua vez, pertence a ℜ d . Para contornar esse problema e poder fazer inferência estatística, é preciso impor certas condições de estabilidade aos dados do mapa, restringindo o grau de dependência e heterogeneidade do processo estocástico espacial. Em outros termos, é necessário estabelecer a noção de estacionariedade. A importância disso repousa no fato de que, ao impor essa noção, é possível considerar, no caso em tela, como se houvesse múltiplos mapas com a área colhida per capita para Minas Gerais. Na ausência da estacionariedade, o único mapa (a única realização do processo estocástico espacial) seria considerado uma amostra não representativa da população, tornando inválida a análise confirmatória implementada a posteriori. A noção de estacionariedade permite expressar essas condições de regularidade em termos do primeiro e segundo momentos da distribuição de probabilidades. Ela envolve a imposição das seguintes restrições à variação dos dados extraídos de um processo estocástico espacial. a) média constante: E(yi)=µ; b) variância constante: Var(yi)=σy2 c) covariância: Cov(yi, yj)=σy2c(φ). Convém tecer alguns comentários a respeito da noção de estacionariedade, condensada nos três itens acima. As duas primeiras condições são triviais e semelhantes a que se admite em séries de tempo para se obter estacionariedade.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O aspecto interessante reside na terceira condição, que trata da covariância. A função geral c(φ) refere-se à posição relativa, determinada pela distância entre as unidades espaciais, bem como da sua orientação relativa (angulação). O problema é que, ao se levar em conta a orientação, para uma mesma distância separadora de duas unidades espaciais, a covariância pode assumir vários valores. A solução implica impor a noção de isotropia. Incorporando a isotropia a última condição pode ser reescrita como: c’) covariância como função apenas da distância relativa de duas regiões Cov(yi, yj)=σy2c(dij). Note que agora, na definição da covariância, aparece a função c(.) que relaciona as distâncias das regiões i e j, respectivamente dij. Tal noção de estacionariedade implica um processo isotrópico, ou seja, a função c(.) somente depende da distância entre as regiões e não da direção de separação das duas regiões. Para entender melhor esse conceito de isotropia, considere a figura 2 abaixo. Figura 2: O Conceito da Isotropia

C 100 Km A

B

100 Km D

Por exemplo, admitindo a propriedade da isotropia, se duas cidades, digamos A e B, estão distantes (dAB) entre si por 100 quilômetros no Sul na direção leste-oeste e se houver duas cidades, digamos C e D, cuja distância que as separa (dCD) também é de 100 quilômetros na


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ direção norte-sul, a covariância deveria ser igual (ver figura 1.2). Nesse caso, o único elemento que importa é a distância entre as unidades espaciais, não sendo importante a orientação relativa. Essa é a propriedade da isotropia. Para processos isotrópicos, a função de covariância depende da distância e não da direção, isto é, a orientação relativa entre as unidades espaciais é irrelevante. 1.7.

Problemas Especiais com os Dados Espaciais A inferência a partir de dados espaciais pode ser enganosa e induzir ao erro, se não forem

tomados os cuidados necessários. Para introduzir esses problemas com os dados espaciais, vamos supor que um pesquisador esteja interessado em estimar uma função de produção CobbDouglas para o Brasil para diferentes escalas espaciais, a saber, em nível estadual, macrorregional, microrregional ou municipal: yi = A.Kiα.Li(1-α)

(1.3)

em que y é o nível de produção, K é o estoque de capital, L é a quantidade de trabalho, A é o parâmetro de eficiência e α é a participação do capital na produção. O índice i denota o nível de escala espacial. É provável que as participações do capital (α) e trabalho (1-α) sejam diferentes para cada nível de escala espacial. Ou seja, se forem usados dados municipais (uma escala) as participações de α e (1 - α) serão distintas das participações se os dados em nível microrregional (outra escala) e assim por diante. Esse é o problema de escala. Trata-se do problema mais óbvio e que exibe a maior aplicação prática. A denominação do primeiro problema é concernente à escala espacial e refere-se à sensibilidade dos resultados devido a diferentes níveis de escala. Isto é, os resultados modificam à medida que o número de unidades espaciais (escala) se eleva num determinado agrupamento.


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figura 3: O Problema de Escala

n=9

n=36

O segundo problema é uma sofisticação do primeiro: mesmo mantendo constante a escala espacial, existem diversas formas de agregá-las em zonas, ou seja, há várias maneiras de fazer combinações das unidades espaciais contíguas. Tais combinações são chamadas de zoneamento. O problema do zoneamento ou agregação refere-se à sensibilidade dos resultados obtidos em função das várias alternativas de combinações, dada uma mesma escala. Figura 4: O Problema de Agregação (ou Zoneamento)

Esses dois problemas compõem o que é conhecido na literatura como problema da unidade areal (espacial) modificável, doravante denominado MAUP.3 3

Do inglês, modifiable areal unit problem (MAUP).


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Uma observação deve ser registrada quanto à estranheza do conceito de unidade areal modificável. Ele existe em contraposição a unidades areais não-modificáveis, que seriam “indivisíveis”. Segundo Openshaw, tal unidade areal indivisível, muitas vezes, é arbitrária, em outras, pode ser determinada com base numa teoria subjacente. O que vale destacar é que, na maioria dos casos, tal unidade areal não-modificável não pode ser identificada com precisão. Portanto, o MAUP manifesta-se na situação em que os resultados da análise são sensíveis à forma que os dados espaciais são organizados, sobretudo com relação ao nível da escala espacial e com respeito ao arranjo (configuração) espacial em zonas (combinação de unidades espaciais contíguas). O problema do MAUP manifesta-se tanto na análise univariada quanto multivariada (Fotheringham e Wong, 1991). No contexto multivariado, o MAUP cria incerteza sobre a validade dos resultados derivados da análise econométrica. Além disso, o MAUP estreita a possibilidade de replicação de um modelo a uma outra região de estudo, se a agregação e o zoneamento forem distintos daqueles da aplicação inicial. De acordo com Anselin (1988, pp. 26-27), a metodologia econométrica espacial pode dar um tratamento apropriado aos problemas do zoneamento e de escala, uma vez que cada um deles corresponde a um dos efeitos espaciais. O MAUP está relacionado a um problema econométrico da agregação que se refere ao efeito da heterogeneidade espacial. Suponha agora o contrário que o espaço fosse absolutamente homogêneo. Nesse caso, qualquer combinação (arranjo) de unidades espaciais forneceria os mesmos resultados. Ou seja, a homogeneidade espacial implica as mesmas respostas em qualquer parte do espaço, logo, sendo válida essa condição, o problema da agregação (ou zoneamento) não afloraria. Já o problema da escala vincula-se ao efeito da dependência espacial. Como vimos acima, uma das fontes da dependência são os erros de medida relacionados à escala. Além disso, esse ramo da econometria enfrenta um grave problema de identificação da estrutura da dependência espacial. Nesse último, assoma a importância da matriz W. Segundo Openshaw e Taylor (1979), o problema de escala (ou seja, a variação da correlação de unidades espaciais espacialmente agrupadas) está relacionado com a


17

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ autocorrelação espacial. Por isso, o efeito de escala não aparece em dados espacialmente aleatórios.

1.8.

Organização dos Capítulos Além deste capítulo de cunho introdutório, esta apostila está assim organizada. No

próximo capítulo, é apresentada a matriz de pesos espaciais que fornece um arranjo espacial definido para que a interação dos agentes ocorra. No terceito capítulo, a análise exploratória de dados espaciais (AEDE) é desenvolvida com o intuito de começar a contornar o problema do imbricamento da dependência com a heterogeneidade espacial na etapa de identificação dos modelos. O quarto capítulo discorre sobre a tipologia de modelos econométricos que levam em consideração a autocorrelação espacial. O quinto capítulo trata da estimação da autocorrelação espacial na modelagem econométrica. O sexto capítulo apresenta um conjunto de testes tanto para a identificação quanto para o diagnóstico dos modelos. No sétimo capítulo, são expostos e discutidos os modelos que incorporam o outro efeito espacial, a saber, a hetorogeneidade espacial. No oitavo e último capítulo, desenvolve-se uma aplicação à agricultura.


18

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 2 MATRIZES DE PESOS ESPACIAIS

2.1.

Introdução Vimos no primeiro capítulo que a dependência ou a autocorrelação espacial significa que

o valor de uma variável de interesse numa certa região i depende do valor dessa variável nas regiões vizinhas j. Isso pode ser expresso pela seguinte equação, medindo a covariãncia dessas variáveis em regiões distintas: Cov( yi , y j ) = E ( yi y j ) − E ( yi ) ⋅ E ( y j ) ≠ 0

i = 1, K , n

e

i≠ j

(2.1)

Como a covariância de (2.1) é diferente de zero, existe uma dependência que se dá no espaço. Representar a dependência espacial dessa forma é correto, porém, não se mostra operacionalizável na prática. Considerando que existam n regiões em nossa análise, haverá n*(n-1)/2 interações entre essas regiões. Esse é um número grande de interações para que o pesquisador possa levar em conta, pois são muitos parâmetros a serem estimados (um para cada interação). Por exemplo, usando uma cross-section com os municípios brasileiros, posto que o seu tamanho da amostra será de aproximadamente n=5.500, haverá 15.122.250 interações! Assim, para resolver esse problema, é preciso impor um arranjo para a ocorrência das interações espaciais entre as regiões a fim de se tornar operacionalizável e implementável na prática. Havendo tal arranjo, o objetivo é reduzir a quantidade de parâmetros a serem estimados. Na verdade, o que se deseja é ter de estimar um parâmetro que dê a idéia do grau de interação. Com tal intuito, especifica-se uma matriz de pesos espaciais que procura condensar um determinado arranjo espacial das interações resultantes do fenômeno a ser estudado. Note que a determinação de tal arranjo não precisa seguir uma abordagem apenas geográfica, podendo ser determinada segundo uma abordagem sócio-econômica. Vamos ver mais detalhadamente abaixo como se constrói tal matriz.


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O conceito de matriz de pesos espaciais é baseado na contiguidade, que, por sua vez, pode ser definida de acordo com a vizinhança, a distância tanto geográfica quanto sócioeconômica, bem como uma combinação disso.1 Vários resultados em econometria espacial são sensíveis à escolha da matriz de pesos espaciais. Portanto, a discussão a respeito da tipologia das matrizes é uma questão importante e espinhosa na literatura.

2.2.

Tipologia de Matrizes

2.2.1. Binária A matriz binária de pesos espaciais pode ser construída segundo a idéia da contiguidade, cuja definição é que duas regiões são vizinhas, caso elas partilhem de uma fronteira física comum. Com base nesse conceito de contiguidade, é atribuído um valor unitário na matriz a duas regiões vizinhas; caso contrário, atribue-se um valor nulo. Talvez a forma mais simples para definir uma matriz de pesos espaciais seja uma matriz binária de vizinhança: se duas regiões são vizinhas, ou seja, partilham de uma fronteira, atribuese o valor unitário; caso contrário, atribue-se o valor nulo. Formalmente:

wij =

1

se i e j são contíguos

0

se i e j não são contíguos

(2.2)

Por convenção, wii=0, ou seja, nenhuma região i pode ser vizinha dela mesma. Por que convencionalmente os termos da diagonal principal da matriz W são nulos? Em resposta a isso, alude-se à facilidade computacional: uma vez que se calcula freqüentemente o traço da matriz de pesos espaciais, e como o traço é definido como a somatória dos elementos da diagonal principal da matriz, se esses forem nulos, o traço assumirá, conseqüentemente, o valor nulo também, facilitando uma série de contas. 1

Em vista disso, matriz de pesos espaciais e matriz de contiguidade são sinônimos.


2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Apesar da aparente simplicidade desse conceito, escondem-se várias possibilidades para definir vizinhança, conforme distintas convenções de contiguidade. O problema reside em como se define o conceito de fronteira geográfica por intermédio da observação de um mapa. O mapa é uma mera representação abstrata da real configuração geográfica. Por isso, contém erros de medida. Levando em conta esses erros de medida, e em alusão ao movimento de peças num tabuleiro de xadrez, a convenção de contiguidade é dita ser rainha (queen), caso, além das fronteiras com extensão diferente de zero, puderem ser considerados os vértices (nós), na visualização de um mapa, como contíguos. Caso apenas as fronteiras físicas com extensão diferente de zero entre as regiões sejam levadas em conta, a convenção de contiguidade é considerada como torre (rook).2 Essas duas convenções são as mais utilizadas na literatura. As diferentes convenções para a matriz binária de pesos espaciais são mostradas na figura 2.1 abaixo. Figura 2.1: Convenção “Rainha” de Contiguidade

A

2

Na situação em que apenas os vértices são considerados como vizinhos, a convenção é chamada de bispo (bishop).


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figura 2.2: Convenção “Torre” de Contiguidade

B

A tabela abaixo mostra a matriz binária de pesos espaciais do Brasil segundo a convenção rainha: Tabela 2.1: Matriz Binária de Pesos Espaciais para as Regiões Brasileiras (Convenção Rainha)

N

NE

CO

SE

S

N

0

1

1

0

0

NE

1

0

1

1

0

CO

1

1

0

1

0

SE

0

1

1

0

1

S

0

0

0

1

0

A desvantagem da matriz binária de pesos espaciais reside no fato de que não é garantida uma conectividade balanceada, uma vez que haja regiões com grande área com muitos vizinhos, ao passo que existirão regiões com pouca área e com poucos vizinhos. Para superar esse problema, adota-se a matriz dos k vizinhos mais próximos. Trata-se de uma matriz binária de contiguidade cuja convenção de vizinhança é baseada na distância geográfica. Formalmente:


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ se d ij ≤ d

1 wij =

(2.3) se d ij > d

0

em que d é um valor de distância crítico. A vantagem dessa convenção é combater o desbalanceamento da conectividade de uma matriz, pois todas as unidades espaciais terão o mesmo número de vizinhos cada uma. Uma vantagem comum a todas matrizes de pesos espaciais do tipo binário é a possibilidade de definir vizinhanças de ordens superiores. Uma matriz de vizinhança de primeira ordem é composta dos vizinhos das unidades espaciais. Uma matriz de vizinhança de segunda ordem é composta dos vizinhos dos vizinhos das unidades espaciais (os vizinhos de segunda ordem) e assim por diante. Para entender o conceito de vizinho de segunda ordem, considere a matriz binária de pesos espaciais conforme a convenção rainha dos estados do Brasil. Os vizinhos de primeira ordem do estado de São Paulo são Minas Gerais, Rio de Janeiro, Paraná e Mato Grosso do Sul. Os vizinhos de segunda ordem do estado de São Paulo são Santa Catarina (vizinho do Paraná), Bahia (vizinho de Minas Gerais), Espírito Santo (vizinho do Rio de Janeiro e Minas Gerais) e Goiás (vizinho de Minas Gerais). A importância de se definir matrizes de pesos espaciais de ordens superiores repousa em capturar processos espaciais que apresentam interações que se amortecem com o seu alastramento. Outro conceito de suma importância é a matriz de pesos espaciais padronizada pela linha. A padronização da matriz de pesos espaciais pode ser formulada em termos formais como:

wijs =

wij

(2.4)

∑w

ij

j


5


∑w

s ij

=1

(2.5)

j

A padronização da matriz de pesos espaciais torna a matriz assimétrica, porém, sua relevância reside basicamente dar a interpretação de média dos valores da variável nos vizinhos para a defasagem espacial. A interpretação de média dos valores vizinhos é a chave para se definir posteriormente o conceito de defasagem espacial tanto para a variável de interesse (yi) quanto para as variáveis explicativas (X) e o termo de erro (u). Tabela 2.2.: Matriz Binária Padronizada de Pesos Espaciais para as Regiões Brasileiras N

NE

CO

SE

S

N

0,000

0,500

0,500

0,000

0,000

NE

0,333

0,000

0,333

0,333

0,000

CO

0,333

0,333

0,000

0,333

0,000

SE

0,000

0,333

0,333

0,000

0,333

S

0,000

0,000

0,000

1,000

0,000

2.2.2. Distância Inversa Um outro tipo de matriz geográfica é aquela baseada na distância inversa. A idéia intuitiva que se encontra por trás pode ser estabelecida como o seguinte: quanto mais distante duas regiões estiverem, menor será a interação entre elas. Genérica e formalmente: wij = f (d ij )

(2.6)

Os pesos espaciais são uma função da distância entre as regiões i e j. Vale destacar que a função f pode assumir várias especificações, tais como:


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ a) função de distância inversa: wij = d ij−b

(2.7)

b) função de distância exponencial: wij = exp(−bd ij )

(2.8)

c) função distância linear: wij = −bd ij

(2.9)

Um problema com esse tipo de matriz é que o parâmetro b é, muitas vezes, determinado arbitrariamente. Todavia, o principal problema com a convenção da distância surge quando dij aproxima-se de zero, wij torna-se muito grande, aproximando-se do infinito. Uma alternativa é estimá-los junto do modelo. Todavia, isso impõe uma dificuldade representada pelo problema de identificação quando os pesos são não-lineares como na função de distância inversa e na distância exponencial. Como na especificação dos modelos os parâmetros espaciais multiplicam os pesos, os parâmetros podem não ser identificados separadamente, pois a sua interação é multiplicativa.

2.2.3. Matriz de Pesos Espaciais Gerais de Cliff e Ord Intuitivamente, é razoável supor que regiões que compartilham maior extensão de fronteira entre si tenham uma interação maior. Do mesmo modo, quanto mais próximas duas regiões se encontram, maior a interação entre si. Essas duas forças geográficas indutoras de interação estão condensadas na matriz de pesos espaciais gerais de Cliff e Ord (1981).


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Os pesos espaciais gerais ou pesos Cliff-Ord consistem no comprimento relativo da fronteira comum, ajustado pela distância inversa entre as duas observações. Formalmente, os pesos Cliff-Ord podem ser expressos como:

wij =

bijβ

(2.10)

d ijα

em que bij é a parcela da fronteira comum entre as observações i e j no perímetro de i, e α e β são parâmetros. Convém notar que bij não é necessariamente igual a bji, como pode ser observado na figura abaixo:

Figura 2.3: Representação dos Pesos Espaciais Gerais b

S

R

Claramente, temos que bRS < bSR. Isto é, a proporção da fronteira comum entre as unidades espaciais A e B com relação ao perímetro de A (bRS) é menor que a proporção dessa fronteira comum no perímetro de B (bSR). Isso obviamente acarreta que a matriz W com os pesos Cliff-Ord não é simétrica. Se não forem vizinhos, tem-se que bij=0 e, portanto, wij=0. Uma desvantagem dessa matriz é que é necessário obter valores para dois parâmetros a e b, e não apenas um. Ademais, os valores desses parâmetros são, freqüentemente, determinados arbitrariamente. Se forem estimados, o problema da identificação, discutido acima, retorna.


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 2.2.4. Matriz de Distância Sócio-Econômica Nesse outro tipo de matriz, os pesos espaciais são definidos conforme a interação baseada na distância sócio-econômica. Formalmente:

wij =

1

(2.11)

yi − y j

Usa-se o módulo da diferença a fim de garantir que os pesos não sejam negativos. Podem-se citar alguns exemplos de interação espacial baseada na distância sócioeconômica, tais como a renda per capita, taxa de desemprego, a proporção de pobres, a proporção de brancos na população. Apesar do grande apelo de se considerar como medida da força da interação algum critério que não seja a distância geográfica, é preciso ter pleno conhecimento dos problemas que podem surgir desta abordagem. Em primeiro lugar, é importante evitar o problema da endogeneidade, isto é, a situação em que a mesma variável que define a distância sócio-econômica na matriz de pesos espaciais seja inserida no modelo econométrico. Anselin destaca o problema com a endogeneidade, sobretudo com a distância sócio-econômica, que ocorre quando o pesquisador põe na definição da distância a mesma variável que está sendo introduzida no modelo da regressão. É preciso garantir que a matriz de pesos espaciais seja exógena. Outro problema é a distância zero, quando yi = yj. Por exemplo, se o critério de distância for a proporção de pobres, pode ocorrer que tanto a região i quanto a região j tenha a mesma proporção de pobres. Logo, nesta casela, temos 1/0, que não é definido matematicamente. 2.3. Propriedades das Matrizes de Pesos Espaciais Qualquer matriz de pesos espaciais precisa atender às condições de regularidade impostas pela necessidade de invocar as propriedades assintóticas dos estimadores e dos testes. Segundo Anselin (1997, p. 244), “isso significa que os pesos precisam ser não-negativos e finitos e que correspondam a uma determinada métrica”.


9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Por exemplo, os trabalhos pioneiros de Moran e Geary na elaboração de estatísticas de dependência espacial baseavam-se em matrizes binárias de vizinhança que, além de exibirem as propriedades acima, são simétricas. Um outro aspecto a se considerar durante a construção de uma matriz de pesos espaciais é a respeito do problema das “ilhas”. Nesse caso, “ilhas” são as regiões que ficam isoladas, ou seja, que não são contíguas a nenhuma outra. Na matriz, essa situação é representada por alguma linha que contenha apenas zeros. Isso é mais freqüente ocorrer com matrizes binárias de vizinhança de acordo com as convenções rainha e torre. A conseqüência da existência de ilhas na base de dados é a perda de graus de liberdade, pois essas regiões isoladas (“ilhas”) são eliminadas na estimação e no teste de modelos econométricos espaciais.

2.4. Que matriz de pesos espaciais usar? A sugestão da escolha da matriz a ser usada deve vir, em primeiro lugar, das características do fenômeno em estudo. Segundo a matriz precisa atender às propriedades apresentadas na seção anterior. Mesmo assim, é possível que o pesquisador fica na dúvida entre duas ou mais matrizes espaciais. Nesse sentido, a seguir é apresentado um procedimento simples para auxiliar na definição da matriz de pesos espaciais baseado no valor da função de máxima verossimilhança. O procedimento compreende quatro passos simples: 1o passo: mesma especificação do modelo; 2o passo: usar um conjunto de matrizes de pesos espaciais; 3o passo: estimar as regressões; 4o passo: selecionar a matriz de pesos espaciais que participou da regressão com o mais alto valor da função de máxima verossimilhança.


10

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ De qualquer modo, às vezes, é útil estimar os modelos econométricos usando mais de uma matriz de pesos espaciais e comparar os resultados, a fim de detectar discrepâncias significativas nos resultados. 2.5.

Defasagem Espacial No tocante ao operador de defasagem espacial, é valido traçar uma comparação com o

conceito de defasagem temporal, encontrado na literatura de séries de tempo. Autocorrelação em séries de tempo significa correlação entre o valor de uma variável no período t e o período t-h, em que h é a defasagem temporal. Por exemplo, em séries de tempo, se y2003 é o PIB em 2003, B2y2003 é o PIB dois períodos para trás, ou seja, o PIB em 2001. No domínio do espaço, o significado do operador de defasagem é muito diferente. Isso acontece porque não se tem uma clara definição, sem incorrer em ambiguidades, do operador de defasagem espacial que desloca h regiões no espaço a variável de interesse na análise (digamos, y). Na verdade, o significado do operador de defasagem espacial de uma variável y, formalmente Wy, é a média do valor dessa variável nas regiões vizinhas. Para ver isso, vamos computar a defasagem espacial do PIB macro-regional (Wy).  0,000   0,333  0,333   0,000  0,000 

0,500 0,000 0,333 0,333 0,000

0,500 0,333 0,000 0,333 0,000

0,000 0,333 0,333 0,000 1,000

0,000  50,6   110,3      0,000  144,1   254,5  0,000  76,5  =  277,0      0,333  636,4   138,0  0,000  193,5   636,4 

(2.12)

A primeira matriz diz respeito à matriz padronizada de pesos espaciais W da tabela 2.2. O vetor refere-se ao PIB das regiões Norte, Nordeste, Centro-Oeste, Sudeste e Sul. O último vetor apresenta a defasagem espacial do PIB macrorregional, isto é, o PIB médio das regiões vizinhas. A utilidade desse conceito para definir defasagens tanto na variável dependente (Wy), quanto na variável independente (WX) e defasagem no termo de erro (Wu). A interpretação sempre continua sendo a média nos vizinhos.


11

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ O conceito de operador de defasagem espacial não é tão simples e direto como o operador de defasagem em séries de tempo devido à natureza bidirecional do processo de interação no espaço.

2.6. Conclusões A necessidade de se construir uma matriz de pesos espaciais surge a fim de pôr uma configuração na interação espacial. Existem vários tipos de matrizes baseadas na contiguidade geográfica, tais como as matrizes binárias de vizinhança nas convenções rainha, torre e k vizinhos mais próximos ou nas matrizes de distância inversa. As matrizes de pesos espaciais também podem ser construídas com base no conceito de contiguidade sócio-econômica. Com relação a esse tipo de matriz, é preciso cuidado a respeito do problema de endogeneidade e da “distância zero”. A escolha da matriz mais adequada deve respeitar certas propriedades desejáveis e certas particularidades do estudo em questão. Um procedimento simples apresentado neste capítulo pode auxiliar na seleção da matriz mais apropriada.


12

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 3 ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS ESPACIAIS 3.1.

Introdução Como já vimos no primeiro capítulo, a interação no espaço tem uma natureza

bidimensional, gerando efeitos espaciais que violam o vital pressuposto de que os erros são esféricos. Além do mais, desde que a heterocedasticidade é resistente a vários procedimentos para corrigi-la, é muito provável que as suas fontes venham da intricada relação com a dependência espacial. Conforme destacado por Anselin e Bera (1998), em processos espaciais, existe um imbricamento entre esses dois efeitos: heterogeneidade gera dependência espacial e, por sua vez, dependência espacial pode também induzir heterogeneidade. Essas

características

provocam

sérias

dificuldades

para

identificar

modelos

econométricos espaciais de forma apropriada. Em conseqüência, o trabalho de identificação pode consumir muito tempo, transformando-se em tedioso, ou pior ainda, pode conduzir a modelos inadequados. Em vista disso, uma análise exploratória de dados espaciais (AEDE) pode auxiliar a superar tal problema de identificação, provendo claras dicas e indicações sobre a existência de padrões de associação espacial – tanto em âmbito global quanto local – ou sobre a presença de clusters nos dados, ou, ainda, sobre a influência de observações discrepantes (outliers). Assim, fazer uma análise exploratória precede uma boa modelagem econométrica espacial. A AEDE é uma coleção de técnicas para a análise estatística de informação geográfica, com o intuito de descobrir padrões espaciais nos dados e para sugerir hipóteses, mas impondo a menor estrutura possível. A AEDE procura descrever distribuições espaciais, identificar observações discrepantes no espaço, descobrir padrões de associação espacial e sugerir clusters espaciais. Assim, o objetivo primordial é deixar os dados espaciais falarem por eles próprios. Um ponto a se destacar é que essa análise é mais apropriada para investigar variáveis espacialmente densas ou intensivas – variáveis que são divididas por algum indicador de intensidade. Encontram-se na literatura diversas maneiras de definir um indicador de intensidade. As formas mais comuns seriam variáveis per capita, ou por área, ou variáveis divididas pela


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ quantidade de trabalho ou de capital. É possível achar ainda variáveis divididas por uma combinação linear de população, área, trabalho e capital (Preud’homme, 1996). A sua importância reside no fato de que essas variáveis estariam levando em conta externalidade relevantes na consideração do fenômeno em análise, tais como efeitos de aglomeração, efeitos de vizinhança e/ou congestão. O uso de AEDE para variáveis extensivas pode levar a resultados enganosos.

3.2.

Associação Espacial Global Univariada O primeiro passo num estudo de AEDE é testar a hipótese de que os dados espaciais são

distribuídos aleatoriamente. Intuitivamente, aleatoriedade espacial significa que os valores de um atributo numa região não dependem dos valores desse atributo nas regiões vizinhas.

Mapa 3.1: Distribuição da Área Colhida per Capita em Minas Gerais

Área Colhida per Capita 0.005 - 0.135 0.135 - 0.293 0.293 - 0.485 0.485 - 0.726 0.726 - 1.501 N W 200

0

200

400 Miles


E S

2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Observando o mapa 3.1 acima, um pesquisador poderia estar tentado em tirar conclusões sobre a existência de padrões de associação no espaço com base apenas na visualização. Cabe alertar que o olho humano é treinado para buscar padrões e estruturas em todos os aspectos da realidade. Portanto, o olho acaba sendo um instrumento “viesado” e, por isso, talvez não seja um bom conselheiro nessas horas de se extrair informação dos dados espaciais. Para isso, é necessário usar alguma estatística que meça a associação espacial de forma global. Existe um conjunto de estatísticas na literatura que averiguam por meio de testes formais a presença de autocorrelação espacial, ou seja, a existência de coincidência de similaridade de valores de um atributo com a similaridade de localização desse atributo. Como se trata de estatísticas de teste, essas medidas apresentam como hipótese nula a aleatoriedade espacial, ou seja, os valores observados da variável de interesse (atributo) y não dependem da sua localização. Em outros termos, y parece que é distribuída aleatoriamente ao longo do espaço. 3.2.1.

Estatística I de Moran O coeficiente de correlação espacial I de Moran foi proposto pioneiramente em 1948.

Formalmente, essa estatística é dada por:

I =

n

∑∑w

ij

∑ ∑ w ( y − y )( y ∑ ( y −y) ij

i

j

− y)

2

(3.1)

i

em que n é o número de unidades espaciais, yi é a variável de interesse, wij é o peso espacial para o par de unidades espaciais i e j , medindo o grau de interação entre elas. A estatística de I de Moran é um coeficiente de associação linear do tipo produto cruzado, padronizado por dois termos (Odland, 1988, p. 10). O primeiro termo refere-se à variância dos dados de interesse [Σ(yi - y )2], ao passo que o segundo fornece a idéia da configuração espacial dos dados n/ΣΣwij. Note ainda que somatória dupla significa que todos os elementos da matriz de pesos espaciais W devem ser somados, denotando a densidade dessa matriz. Assim, a estatística I de Moran é baseada nas somas de produtos cruzados de yi para regiões vizinhas, segundo um critério de vizinhança dado pela matriz de pesos espaciais W.


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ A estatística I de Moran tem um valor esperado de –[1/(n-1)], isto é, o valor que seria obtido se não houvesse padrão espacial nos dados. O valor calculado de I deveria ser igual a seu valor esperado, dentro dos limites da significância estatística, se yi é independente dos valores de yi nas regiões vizinhas. Valores de I que excedem –[1/(n-1)] indicam autocorrelação espacial positiva. Valores de I abaixo do valor esperado sinalizam uma autocorrelação negativa. Note que, ao contrário de um coeficiente de correlação ordinário, essa estatística não é centrada em zero. À medida que o número de regiões aumenta, o valor esperado da estatística I de Moran aproxima-se de zero. Como um coeficiente de correlação ordinário, tal estatística varia entre –1 e +1. Dessa forma, a estatística I assemelha-se a um coeficiente de correlação, porém, não é idêntico a ele. Uma vez que se trata de uma estatística de correlação linear do tipo produto cruzado, há a necessidade de se ter cuidado na sua interpretação. Uma indicação de autocorrelação espacial positiva revela que há uma similaridade entre os valores do atributo estudado (por exemplo, área colhida per capita) e da localização espacial do atributo (por exemplo, microrregião). Ou seja, a autocorrelação espacial positiva indica que, no geral, alta área colhida per capita de uma microrregião tende a ser rodeada por área colhida per capita também alta das microrregiões vizinhas e/ou uma pequena área colhida per capita de uma microrregião tende a ser rodeada por área colhida per capita também baixa das microrregiões vizinhas. Uma indicação de autocorrelação espacial negativa revela, por sua vez, que existe uma dissimilaridade entre os valores do atributo estudado e da localização espacial do atributo. A autocorrelação espacial negativa indica que, por exemplo, no geral, uma elevada área colhida per capita de uma microrregião tende a ser rodeada por pequena área colhida per capita das microrregiões vizinhas e/ou uma baixa área colhida per capita de uma microrregião tende a ser rodeada por alta área colhida per capita das microrregiões vizinhas. O caso extremo de autocorrelação negativa igual à unidade (I = -1) pode ser representado por uma configuração de tabuleiro de xadrez. Existem duas estratégias de verificar a significância estatística deste teste por intermédio da computação do desvio padrão de I. O pressuposto da normalidade assume que a variável


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ padronizada, z(I), tem uma distribuição amostral que segue uma distribuição normal com média 0 e variância unitária. Uma segunda interpretação, conhecida como o pressuposto da aleatorização, assume que o mecanismo estocástico gerador dos dados é aleatório e o padrão dos dados observados é simplesmente um de muitas possíveis realocações das n observações em n locações. A inferência com base no pressuposto da aleatorização envolve as seguintes etapas. Primeiramente, os valores observados para uma variável são aleatoriamente realocados (embaralhados) para as diversas regiões. Em segundo lugar, a estatística do teste é calculada para uma dessas realocações (embaralhamentos). Conseqüentemente, obtém-se uma distribuição de referência empírica a partir dos cálculos da estatística para as realocações. Finalmente, é possível comparar a estatística do teste computada com os dados observados com a distribuição de referência empírica e verificar se está dentro ou fora de uma região crítica especificada pelo pesquisador. A distribuição de I é assintoticamente normal sob qualquer dos pressupostos acima citados (Fortheringham et al., 2000; Levine, 1999). À guisa de exemplo, vamos calcular a estatística I de Moran para a área colhida per capita em Minas Gerais. De posse das evidências estatísticas exibidas pela tabela 1, é possível rejeitar a hipótese de ausência de autocorrelação espacial num nível de significância de 0,001%. Esses resultados são invariantes com respeito à convenção de contiguidade usada na construção das matrizes de pesos espaciais (rainha ou torre). Além disso, como o valor computado (0,36) é maior que o valor esperado (-0,015) a estatística I fornece clara indicação de que a área colhida per capita é autocorrelacionada no espaço através das microrregiões mineiras. Pelo valor computado de I, há evidências de autocorrelação espacial positiva, ou seja, microrregiões com área colhida per capita acima da média são também adjacentes a microrregiões com elevada área colhida per capita; ou microrregiões com área colhida per capita abaixo da média são vizinhas de microrregiões com reduzida área colhida per capita.


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Tabela 3.1: Estatística I de Moran para Área Colhida per Capita em Minas Gerais Normalidade

Aleatorização

Permutação

Convenção

I

Probabilidade

I

Probabilidade

I

Probabilidade

Rainha

0,359

0,000

0,359

0,000

0,359

0,001

Torre

0,361

0,000

0,361

0,000

0,361

0,001

Nota: a pseudo-significância empírica baseada em 999 permutações aleatórias.

Por fim, a fórmula de cálculo da estatística I de Moran para autocorrelação espacial é semelhante à formula da estatística de Durbin-Watson para detectar autocorrelação temporal.1 Conseqüentemente, conclui-se que a estatística I é uma medida para capturar principalmente a autocorrelação espacial de primeira ordem. 3.2.2. Estatística c de Geary Uma outra medida global de autocorrelação espacial foi proposta por Geary em 1954. É construída conforme uma diferente medida de covariância, a saber, a soma de diferenças ao quadrado entre pares dos valores do atributo em estudo. Mais uma vez, o pressuposto subjacente é a aleatoriedade espacial, isto é, a ausência de dependência espacial nos dados. A fórmula dessa estatística é dada por:

c=

n −1 2∑∑ wij

∑∑ w ( y − y ) ∑ ( y −y) ij

i

2

j

2

(3.2)

i

Note que também tal medida assume uma forma de qualquer coeficiente de autocorrelação: o numerador é uma medida de covariância entre yi, ao passo que o denominador é uma medida de variância. Posto que essa estatística assume uma medida diferente de covariância, a sua interpretação é muito distinta do coeficiente I de Moran. O valor de c de Geary situa-se entre 0 e 2, ao passo que o seu valor esperado (teórico) é 1. Valores menores que o seu valor esperado de

1

Para ver formalmente essa semelhança entre as duas fórmulas, consulte Anselin (1988) e Anselin e Bera (1998).


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 1 (i.e., entre 0 e 1) indicam autocorrelação espacial positiva, enquanto que valores maiores que 1 (i.e., entre 1 e 2) indicam autocorrelação espacial negativa. Calculamos a estatística c para a variável área colhida per capita para as microrregiões de Minas Gerais. A tabela 3.2 apresenta os resultados. À medida que n eleva-se, a estatística c é distribuída assintoticamente de acordo com uma normal. Analogamente à medida de I de Moran, a significância estatística do c de Geary pode ser avaliada conforme os pressupostos da normalidade, aleatorização e permutação, já explicados acima. Tabela 3.2: Estatística c de Geary para Área Colhida per Capita em Minas Gerais Convenção Rainha Torre

c 0,566 0,569

Normal Probabilidade 0,000 0,000

Aleatorização c Probabilidade 0,566 0,000 0,569 0,000

Permutação c Probabilidade 0,566 0,001 0,569 0,001

Nota: a pseudo-significância empírica é baseada em 999 permutações aleatórias.

O valor de c de Geary para área colhida per capita é 0,57, altamente significante do ponto de vista estatístico, tanto pela convenção rainha quanto torre. Como a estatística c é menor que o valor esperado de 1, isso sugere evidências de que a área colhida per capita esteja positivamente autocorrelacionada no espaço. Esse resultado reforça a evidência de autocorrelação espacial encontrada por meio da estatística I de Moran.

3.3.

Associação Espacial Global Multivariada Poderíamos estar interessados em saber se a área colhida per capita numa microrregião

mineira está associada à disponibilidade de infraestrutura rodoviária nas microrregiões vizinhas. A existência de boas estradas pode facilitar o envio de insumos e as possibilidades de escoamento da produção, incentivando, assim, o crescimento da área colhida per capita. Na verdade, estamos interessados na verificação da existência de um padrão de associação espacial global entre duas variáveis. Para fazer isso, precisamos avançar a análise para incluir a associação espacial global multivariada.


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ A autocorrelação espacial global pode ser averiguada num contexto multivariado (Anselin et al. 2003). A idéia intuitiva é descobrir se os valores de uma variável observada numa dada região guarda uma relação sistemática com os valores de uma outra variável observada em regiões vizinhas. Em termos formais, é possível calcular-se a estatística I de Moran para duas variáveis diferentes:

I kl =

z k' Wzl

(3.3)

z k' z k

Como zk e zl são variáveis padronizadas, 2 a soma dos quadrados tanto de zk quanto de zl iguala-se a n: z k' Wzl I kl = n

(3.4)

Essa medida identifica o grau de associação sistemática de uma variável padronizada zk com uma outra (diferente) variável padronizada vizinha zl. Essa estatística tem dois componentes distintos. Como se trata da versão multivariada da estatística I de Moran, o numerador refere-se a uma medida de associação linear do tipo produtocruzado. O denominador diz respeito a um reescalonamento por dividir tal medida pela soma dos quadrados da primeira variável, que se iguala ao tamanho da amostra n. A interpretação intuitiva para o I de Moran multivariado positivo é a seguinte: as microrregiões que apresentam uma área colhida per capita alta tendem a estar rodeadas por microrregiões vizinhas com elevada densidade de infraestrutura rodoviária, bem como microrregiões com pequena área colhida per capita são circunvizinhas de microrregiões com baixa densidade rodoviária. Analogamente, um I multivariado negativo significa que microrregiões com elevada área colhida per capita são circundadas por microrregiões com baixa

2

Logo, temos que: z k = ( y k − y ) / σ k

.


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ densidade rodoviária, ao passo que microrregiões com reduzida área colhida são vizinhas de microrregiões com boa infraestrutura de estradas. Vamos exemplificar I de Moran multivariado, usando as variáveis densidade rodoviária pavimentada (zk) e área colhida per capita (zl) em Minas Gerais em nível microrregional. Veremos se existe relação entre a densidade rodoviária pavimentada e a área colhida per capita taxa de crime nas microrregiões vizinhas.3 A tabela exibe os resultados do cálculo da estatística. Tabela 3.3: Estatística I Multivariada para Densidade Rodoviária e Área Colhida per Capita Estatística I

E(I)

Desvio-padrão

Probabilidade

0,1804

-0,0154

0,0607

0,008

Os resultados da inferência indicam que existe uma pequena associação linear espacial positiva (0,18) entre a densidade rodoviária pavimentada e a área colhida per capita em nível microrregional, porém altamente significante do ponto de vista estatístico.

3.4.

Associação Espacial Local Univariada A indicação de padrões globais de associação espacial pode estar também em

consonância com padrões locais, embora não seja necessariamente o caso que prevalece. Na verdade, existem dois casos distintos. O primeiro caso acontece quando uma indicação de ausência de autocorrelação global oculta padrões de associação local. O caso oposto ocorre quando uma forte indicação de autocorrelação global pode camuflar padrões locais de associação (clusters ou outliers espaciais). Conseqüentemente, as estatísticas de autocorrelação global não têm capacidade de identificar a ocorrência de autocorrelação local, estatisticamente significantes (Anselin, 1995, p. 97). Vamos ver como alguns autores propuseram soluções para equacionar tal problema.

3

Os resultados desse exemplo foram obtidos usando o programa GeoDa.


9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 3.4.1. I de Moran local A fim de superar esse obstáculo, um novo indicador foi sugerido na literatura por Anselin (1995), com a capacidade de capturar padrões locais de associação linear, estatisticamente significantes. Segundo Anselin (1995), o indicador de I de Moran local faz uma decomposição do indicador global de autocorrelação na contribuição local de cada observação em quatro categorias, cada uma individualmente correspondendo a um quadrante no diagrama de dispersão de Moran. A interpretação intuitiva é que o I local provê uma indicação do grau de agrupamento dos valores similares em torno de uma determinada observação, identificando clusters espaciais, estatisticamente significantes. De acordo com Anselin (1995), a estatística I local de Moran para uma observação i pode ser estabelecida como:

Ii =

( yi − y )∑ wij (y j − y ) j

∑ (y − y)

2

i

/n

(3.5)

i

ou I i = z i ∑ wij z j

(3.6)

j

em que zi e zj são variáveis padronizadas e a somatória sobre j é tal que somente os valores dos vizinhos j∈ Ji são incluídos. O conjunto Ji abrange os vizinhos da observação i. Sob o pressuposto da aleatorização, o valor esperado da estatística Ii é dado por: E[ I i ] = − wi. (n − 1)

(3.7)

em que wi é a soma dos elementos da linha. A variância é dada por:


10


Var (I i ) = wi2.V

(3.8)

em que V é a variância de I sob o pressuposto da aleatorização (Fotheringham et al., 2000, p. 102).

3.5.

Associação Espacial Local Multivariada Assim como se pôde obter uma estatística de autocorrelação espacial global num

contexto multivariado, também é possível conseguir uma medida de autocorrelação espacial local multivariada. Vamos readaptar a fórmula do I de Moran local como: I kli = z ki ∑ wij z li

(3.9)

j

“Essa estatística dá uma indicação do grau de associação linear (positiva ou negativa) entre o valor para uma variável em uma dada locação i e a média de uma outra variável nas locações vizinhas” (Anselin et al., 2003, p. 7).

3.6.

Análise de Clusters Espaciais Uma abordagem alternativa para visualizar diagramaticamente a associação espacial é

baseada no diagrama de dispersão de Moran, que mostra a defasagem espacial da variável de interesse (ou seja, a média do atributo nos vizinhos) no eixo vertical e o valor da variável de interesse no eixo horizontal. Convém observar que tanto a variável de interesse (y) quanto a sua defasagem espacial (Wy) são padronizadas quando apresentadas no diagrama. Assim sendo, a estatística I de Moran pode ser interpretada como o coeficiente angular da regressão da defasagem espacial (Wy) contra a variável de interesse (y):


11

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ b=

y 'Wy y' y

(3.10)

Se o coeficiente angular é positivo, há evidências de que a autocorrelação espacial é positiva. Se o coeficiente angular for negativo, existem evidências de que a autocorrelação espacial é negativa. Construímos o diagrama de dispersão de Moran para a área colhida per capita em Minas Gerais, conforme pode ser apreciado na figura 3.1. Note que o coeficiente angular é positivo, como era esperado, à luz das evidências obtidas na seção anterior. Contudo, além da medida global de associação linear espacial, esse diagrama fornece muitas outras informações interessantes, tais como agrupamentos (clusters) representando quatro tipos de associação linear espacial, a saber, Alto-Alto (AA), Baixo-Baixo (BB), Alto-Baixo (AB) e Baixo-Alto (BA). Um agrupamento Alto-Alto (AA) significa que as unidades espaciais pertencentes a esse agrupamento exibem valores altos da variável de interesse rodeados por unidades espaciais que apresentam valores também altos, representado pelo primeiro quadrante do diagrama. Um agrupamento Baixo-Baixo (BB) refere-se a um agrupamento cujas unidades espaciais mostram valores baixos circundados por unidades espaciais que ostentam valores também baixos, representado pelo terceiro quadrante. Um agrupamento Alto-Baixo (AB) diz respeito a um cluster no qual uma unidade espacial qualquer com um alto valor da variável de interesse é circunvizinha de unidades espaciais com um baixo valor. Isso é representado pelo quarto quadrante. Um agrupamente Baixo-Alto (BA) concerne a um cluster no qual uma unidade espacial qualquer com um baixo valor da variável de interesse é circundada por unidades espaciais com alto valor. Isso é representado no segundo quadrante.


12

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figure 3.1: Diagrama de Dispersão de Moran para Área Colhida per Capita em MG

É interessante mapear os resultados apresentados no diagrama de dispersão de Moran. Dá-se o nome de mapa de dispersão de Moran. Construímos esse mapa para os dados de área colhida per capita em Minas Gerais (ver mapa 3.2 abaixo).


13


Mapa 3.2: Mapa de Dispersão de Moran para Área Colhida per Capita

Tipo de Associação Alto-Alto Baixo-Baixo Alto-Baixo Baixo-Alto N W

E S

É possível também construir um diagrama de dispersão de Moran multivariado, colocando no eixo das ordenadas a área colhida per capita dos vizinhos e no eixo das abscissas a densidade rodoviária per capita, conforme o mapa abaixo. O diagrama de dispersão de Moran multivariado plota, no eixo das abcissas, os valores de uma variável, observados numa determinada região, com o valor médio de uma outra variável, observado nas regiões vizinhas, no eixo das ordenadas. Note que a inclinação da reta do diagrama de dispersão de moran multivariado pode ser interpretado como o coeficiente da regressão linear de Wy contra X, estimado por minimos quadrados ordinários:

b=

X 'Wy X'X

(3.11)


14

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Figura 3.2: Diagrama de Dispersão de Moran Multivariado para Densidade Rodoviária e Área Colhida per Capita em Minas Gerais

O problema com o diagrama e o mapa de dispersão de Moran é que eles exibem clusters tanto estatísticamente significantes quanto não. Não há sentido levar em conta na análise clusters que não sejam estatisticamente significantes. Como já vimos, podemos avaliar a associação linear espacial localizada pelo I de Moran local, que pode ser avaliado sua significância estatística. Para cada observação é computada um Ii. Assim, temos n Ii e seus níveis de significância. Tamanha quantidade de informação pode confundir o pesquisador, se colocada em tabelas. Uma forma mais eficiente de apresentar esse conjunto de estatísticas é mapeá-las. O mapa de significância 3.3 exibe as unidades espaciais com estatísticas I local de Moran significantes para área colhida per capita em Minas Gerais.


15


Mapa 3.3: Mapa de Significância para a Área Colhida per Capita

Níveis de Significância não significante p = 0.05 p = 0.01 N W

E S

Adaptando a mesma idéia, pode-se mapear a medida I kli , estatisticamente significantes, gerando o chamado mapa de significância do Moran local (Anselin, 2003). Construímos esse mapa para a densidade rodoviária e área colhida per capita abaixo.


16

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Mapa 3.4: Mapa de Significância Bivariada para Densidade Rodoviária e Área Colhida per Capita

No mapa 3.4, a coloração verde escuro representa o nível de significância de 1%, enquanto que a coloração verde claro denota o nível de significância de 5%. O mapa de clusters combina a informação do mapa de dispersão de Moran e a informação do mapa de significância das medidas de associação local Ii. Ele ilustra a classificação em quatro categorias de associação espacial que são estatisticamente significantes. O mapa 3.5 apresenta os clusters que passaram no teste de significância estatística do I de Moran local.


17


Mapa 3.5: Mapa de Clusters para Área Colhida per Capita

Clusters Não significante Alto-Alto Baixo-Baixo Alto-Baixo N W

E S

Note que existem dois principais clusters a respeito de área colhida per capita em Minas Gerais. O primeiro envolve oito microrregiões localizadas no Triângulo ou no Noroeste (Araxá, Uberlândia, Uberaba, Paracatu, Passos, Patos de Minas, Patrocínio e Pium-í), representando uma região caracterizada por uma agricultura moderna de grande propriedade, cujo destino são os mercados externos. Era esperado que haja um agrupamento (cluster) do tipo Alto-Alto (AA) com relação à área colhida nesta parte de Minas Gerais. O outro agrupamento é composto por seis microrregiões (Belo Horizonte, Conceição do Mato Dentro, Guanhães, Ipatinga, Itabira e Sete Lagoas) numa das partes mais urbanizadas do Estado de Minas Gerais, onde a área agricultável é muito reduzida. O destaque agrícola desta parte é a produção de alimentos (sobretudo, produtos hortifrutigranjeiros) para serem consumidos pelos grandes centros urbanos e industriais que dominam o espaço. Em


18

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ conseqüencia, é esperado que surgisse um cluster do tipo Baixo-Baixo (BB) para a área colhida nesta parte. Itaguara está assinalada como um cluster Alto-Baixo (AB), pois apresenta uma elevada área colhida per capita vizinha do cluster anterior BB. Todavia, rigorosamente não é possível considerá-la uma “agrupamento”.

Mapa 3.6: Mapa de Clusters Multivariado para Área Colhida per Capita e Densidade Rodoviária

No mapa 3.6, as colorações definindo os clusters AA, BB, AB ou BA são as mesmas que as utilizadas no mapa 3.5.


19

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 3.7.

Detecção de Outliers Espaciais Outliers são observações que não seguem o mesmo processo de dependência espacial

como a maioria dos dados. É importante identificar outliers que exercem uma influência espúria sobre a medida global de autocorrelação espacial. Em dados espaciais, existem outliers de duas naturezas: outlier global e outlier espacial. O outlier global pode ser definido como sendo um uma observação que foge muito do restante das outras observações tanto para cima (superior) quanto para baixo (inferior). Ele pode ser identificado por meio de técnicas conhecidas tais como box plot. O box map é uma ferramenta para detectar outliers globais superiores. Para ser considerado um outlier global superior, uma observação precisa cair acima da fronteira superior do intervalo interquartílico do box plot por um montante que é, no mínimo 1,5 vezes o valor do intervalo interquartílico.

Mapa 3.5: Box Map da Área Colhida per Capita

Quartis 1o quartil 2o quartil 3o quartil 4o quartil outliers superiores N W

E S


20

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Um procedimento que permite identificar outliers de forma ampla foi proposto por Almeida et al. (2004), usando o diagrama de dispersão de Moran adaptado. De fato, como vimos, o diagrama de dispersão de Moran é capaz de identificar quatro tipos de associações espaciais, a saber, AA, BB, AB e BA, dependendo do quadrante. Um outlier espacial é definido como aquele apresentando uma associação espacial extrema. Outliers espaciais são determinados em termos de suas observações vizinhas. Um outlier AA é uma observação cujo valor é extremamente alto (maior que dois desvios-padrões) em comparação com os valores vizinhos que são altos também. Um outlier BB é uma observação cujo valor é extremamente baixo com referência a seus valores vizinhos, que são também baixos. Um outlier AB é uma observação cujo valor é extremamente alta com respeito a seus vizinhos, que são baixos. Finalmente, um outlier BA é uma observação cujo valor é extremamente baixo com relação às observações vizinhas, que são altas. As questões fundamentais são as seguintes: quão alto é necessário que um outlier seja a fim de possa detectado? E como os outliers detectados influenciam a medida global de autocorrelação espacial I de Moran? Para detectar um outlier é necessário usar o diagrama de dispersão de Moran adaptado. A natureza da adaptação reside em desenhar linhas representando 2 desvios-padrões nos quatro quadrantes. Qualquer observação que cai fora da linha de dois desvios-padrões horizontal e vertical é identificada como um outlier. O seu tipo será determinada pela localização do quadrante em que ele se encontra. No primeiro quadrante, os outliers detectados são do tipo AA; no segundo quadrante, os outliers identificados são do tipo BA; no terceiro quadrante, os outliers são classificados como sendo BB; e finalmente, no quarto quadrante, os outliers detectados são do tipo BA. Na figura 3.3, é ilustrado a detecção de um outlier do tipo AA, pois ele encontra-se no primeiro quadrante.


21


LH

HH

LL

HL

A estatística I de Moran é sensível a esse outlier detectado? A fim de avaliar o grau de sensibilidade, calculamos uma nova estatística I de Moran, excluindo o outlier detectado. Fazendo isso, o nova linha de regressão é empurrada para baixo um pouco, gerando um novo valor de I (0,2960), indicando ainda uma autocorrelação espacial positiva, corrigida agora para a presença de outliers. Neste particular caso, a conclusão que o outlier AA detectado não tão grave que acabe exercendo uma influência na computação da medida global de autocorrelação espacial, deturpando-a. 3.8.

Conclusões No campo da econometria espacial, freqüentemente encontra-se uma dificuldade de

identificação de modelos mais apropriados. A análise exploratória de dados espaciais (AEDE) pode ser um instrumental relevante a fim de contornar tal dificuldade. A fim de se evitar conclusões enganosas, é aconselhável que se faça AEDE para variáveis intensivas e não para variáveis extensivas. Algumas variáveis intensivas podem ser construídas dividindo a variável de interesse pela área ou pela população.


22

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ A primeira tarefa é descobrir se os dados são aleatoriamente distribuídos através do espaço, isto é, se eles estão autocorrelacionados espacialmente. Para isso adota-se algumas estatísticas globais de associação linear espacial, entre elas, o I de Moran e o C de Geary. No entanto, não devemos confiar apenas em estatísticas globais, pois elas podem camuflar padrões locais de associação espacial linear. Para detectar tais padrões locais, usa-se estatísticas LISA, sendo que a principal é o I local. Se os resultados estatisticamente significantes forem mapeados, obtém-se o mapa de LISA. Quanto à tendência dos dados se agruparem no espaço, o diagrama de dispersão de Moran pode identificar quatro padrões de associação linear: alto-alto, baixo-baixo, alto-baixo e baixo-alto. O problema com essa ferramenta é que ela não verifica o nível de significância desses clusters. O mapa de clusters fornece os agrupamentos de dados na forma de associações alto-alto, baixo-baixo, alto-baixo, baixo-alto estatisticamente significantes. O mapa de clusters é resultante da combinação da informação de dois outros mapas: o mapa de dispersão de Moran e o mapa LISA. Esse instrumental pode ser usado para uma análise tanto num contexto univariado quanto multivariado. Os outliers espaciais podem causar efeitos daninhos sobre os resultados da autocorrelação espacial. Os outliers espaciais são de quatro tipos: AA, BB, AB e BA e funcionam como variáveis influentes no cômputo da estatística I de Moran. Essa estatística é identificada como sendo o coeficiente angular da regressão de Wy contra y. Com o uso do diagrama de dispersão de Moran adaptado, é possível identificar se existem outliers espaciais e qual a sua influência sobre o valor da estatística I.


23

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 4 MODELANDO A AUTOCORRELAÇÃO ESPACIAL 4.1. Introdução O modelo econométrico espacial que deve ser estimado depende dos aspectos que envolvem o processo espacial subjacente ao fenômeno em estudo. Para compreender isso, vamos voltar ao nosso exemplo da função de produção agrícola em nível microrregional para Minas Gerais. Caso haja difusão de uma nova técnica de cultivo, isso corresponde a um determinado modelo. Se existir um espraiamento de longo alcance de uma população de pragas para a qual não é permitido medir, corresponde a um outro modelo e assim por diante. De qualquer modo, os componentes espaciais que serão incorporados no modelo a fim de capturar esses aspectos do processo consubstanciam em termos de defasagem espacial como Wy, WX e Wu. Isoladamente ou em conjunto num mesmo modelo, são esses componentes que darão conta de representar o processo espacial subjacente. A ordem da matriz W inserida no modelo pode representar características particulares do processo espacial em estudo. Por propósitos didáticos, começaremos nossa exposição pelo modelo que representa o processo a-espacial, ou seja, em que não se leva em conta a influência do espaço em nenhuma de suas dimensões. Vamos considerar o modelo clássico de análise de regressão linear, portanto, um processo a-espacial, por excelência. Formalmente: y = Xβ + ε

(4.1)

Esquematicamente, poderíamos representar esse processo a-espacial como:


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Xi

Xj

yi

yj

εi

εj Neste esquema, as unidades espaciais vizinhas i e j são denotadas por apenas dois

retângulos contíguos. Note que, nesta representação esquemática, não existe interação alguma entre as unidades espaciais. O modelo econométrico espacial envolve a incorporação de componentes espaciais. Os componentes relacionados aos processos espaciais aludidos acima podem tomar a forma de defasagens na variável dependente (Wy), defasagens nas variáveis independentes (WX) e/ou defasagen no termo de erro (Wu). 4.2. Modelos Econométricos Espaciais É válido ainda ressaltar que a apresentação dos modelos dará um destaque ao alcance global ou local da autocorrelação espacial, bem como a associação intrincada entre tal autocorrelação e a heterocedasticidade. 4.2.1. Modelo de Defasagem Espacial Vamos supor que uma inovação tecnológica (por exemplo, uma nova técnica de cultivo) que afeta a produção agrícola esteja se difundindo através do espaço por meio da imitação. Os agricultores que não adotavam a inovação vêem seus vizinhos adotarem e obterem bons resultados, estimulando-os a imitarem. Nesse sentido, o desempenho da produção agrícola dos vizinhos influencia a produção agrícola de um certo fazendeiro. É preciso incluir no modelo um termo para capturar tal efeito de vizinhança contido na imitação de uma inovação.


2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Este modelo pode ser expresso na sua versão pura do seguinte modo: y = ρWy + ε

(4.2)

Se incluirmos o conjunto de variáveis explicativas exógenas X em (2), temos: y = ρWy + Xβ + ε

(4.3)

em que y é um vetor N por 1 de observações sobre a variável dependente, Wy é um vetor N por 1 de defasagens espaciais para a variável dependente, ρ é o coeficiente auto-regressivo espacial (um escalar)1, X é uma matriz N por k de observações sobre as variáveis explicativas exógenas com um vetor associado K por 1 de coeficientes de regressão β e ε é um vetor N por 1 de termos de erro aleatório distribuído aleatoriamente ε ~ (0, σI ) . Esquematicamente, teríamos: Xi

yi

ui

Xj

yj

uj Após algumas manipulações algébricas simples, é possível representar a expressão

anterior na forma reduzida: y = ( I − ρW ) −1 X + ( I − ρW ) −1 ε

(4.4)

A restrição sobre o coeficiente de defasagem espacial é a seguinte: -(1/ωmax)< ρ < +1, em que ωmax é o maior autovalor de W (em valor absoluto). Para maiores detalhes, veja Anselin, 1988. 1


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Note que (I - ρW) precisa ser não-singular para ser invertível. No espaço, Wy está, neste caso, correlacionada com todos os εi em todas as regiões. Na expressão, (I - ρW)-1 representa uma série infinita que envolve os erros em todas as regiões: ( I − ρW ) −1 = ( I + ρW + ρ 2W 2 + ρ 3W 3 + L)ε

(4.5)

Essa série infinita pode ser considerada uma expansão de Leontief, que desempenha o papel de um multiplicador espacial, ou seja, a função é dependente dos vizinhos de primeira, segunda, terceira ordens etc. A conseqüência disso é que a matriz (I-ρW)-1 é plena, implicando que cada região é correlacionada com todas as outras, mas de forma que a intensidade da correlação decresce com a ordem da contiguidade (Anselin and Bera, 1998, p. 246). Portanto, o alcance de um choque inovacional é global no sentido de que ele propaga-se por todo o espaço. No epicentro de ocorrência do choque, a sua intensidade é maior e, à medida que se distancia, tal intensidade perde força. Vamos analisar mais detidamente a estrutura de variância do modelo de defasagem espacial: E ( yy ' ) = σ 2 [( I − ρW )' ( I − ρW )]−1

(4.6)

A condição de matriz plena implica uma simultaneidade da interação espacial que traz uma clara implicação no momento da estimação. Como será visto no próximo capítulo, esse tipo de modelo precisa ser estimado por máxima verossimilhança (MV) ou pelo método de variáveis instrumentais (VI). A implicação direta quando não se insere Wy no modelo de defasagem espacial, incorrendo-se numa falha de especificação da mesma natureza da omissão de variável relevante. O método dos mínimos quadrados (MQO) não é apropriado nesse caso, pois caso o modelo econométrico de defasagem espacial for estimado por ele, as estimativas dos coeficientes serão viesadas e inconsistentes (Anselin, 1988).


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 4.2.2. Modelo com Erro Auto-regressivo Espacial Suponha agora que surja uma praga que afete as lavouras numa determinada região (um choque de oferta, u), espalhando-se por todas as outras regiões (Wu, W2u, W3u etc.). Claramente, a praga é um efeito não modelado que se manifesta no termo de erro inovacional. Comumente, depois de identificada pelos órgãos competentes, a tendência é de se combater a praga, fazendo com que o seu espraiamento perca força, exibindo um decaimento em seu efeito, em decorrência do fato de que λ < 1 . Vamos começar com o modelo de erro espacial auto-regressivo de primeira ordem, sugerido inicialmente por Whittle (1954): y = Xβ + u u = λWu + ε

(4.7)

no qual o coeficiente λ é o parâmetro do erro auto-regressivo espacial. Por meio da nossa representação esquemática: Xi

yi

ui

Xj

yj

uj Após algumas manipulações algébricas, a forma reduzida do modelo pode ser expressa

por:


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ y = Xβ + ( I − λW ) −1ε

(4.8)

Desde que λ < 1 , e assumindo matrizes de pesos espaciais padronizados,2 uma outra expansão de Leontief aparece na expressão (8) na seguinte forma: [ I − λW ] −1 = I + λW + λ2W 2 + K

(4.9)

Como a expansão de Leontief denota uma espécie de multiplicador espacial, o alcance de um choque inovacional é global, fazendo com que haja uma propagação do efeito ao longo do sistema, atingindo todas as regiões, todavia, com uma intensidade decrescente à medida que se afasta do epicentro da ocorrência da inovação. No nosso exemplo, a praga atingindo a produção agrícola é nociva e com uma alta capacidade de espraiamento através do espaço que tem potencial de impactar todo o sistema. Vamos definir a estrutura de variância-covariância desse modelo: E (uu ' ) = σ 2 [( I − λW )' ( I − λW )]−1

(4.10)

Note que Wu é chamado de erros defasados espacialmente. Semelhantemente ao modelo anterior, a matriz de variância-covariância é plena e exibe um decaimento, ou seja, todas os locais são correlacionados entre si, contudo, os que estão mais próximos, estão correlacionados mais intensamente. A complexa estrutura da equação (10) produz elementos da diagonal principal que não são constantes (heterocedasticidade em u), a despeito da homocedasticidade de

ε, uma vez que a expressão (10) é diferente de σ2I. Somente no caso trivial em que λ seja nulo, os erros não serão autocorrelacionados no espaço. O significado intuitivo desse modelo é que o padrão espacial manifestado no termo de erro é dado por efeitos não modelados por conta da falta de adequada medida, que, por sua vez, 2

Como definido no segundo capítulo, uma matriz de pesos espaciais padronizados implica que a soma dos pesos de uma linha tem de perfazer o valor unitário. Formalmente: wij* = wij / wij .

∑ j


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ não são distribuídos aleatoriamente no espaço, mas, ao contrário, estão espacialmente autocorrelacionadas. O impacto espacial do modelo será manifestado somente no termo de erro da regressão. As implicações para os coeficientes estimados são claras. Embora as estimativas por MQO não são viesadas e consistentes, os erros não são mais esféricos, e conseqüentemente, as estimativas não são eficientes. Com relação ao modelo de erro auto-regressivo espacial, Kelejian e Robinson (1995) identificam uma possível singularidade da matriz (I-λW) para certos valores de λ como um problema que impossibilitaria a sua estimação. Para superar tal problema, Kelejian e Robinson (1995) propuseram uma variação do modelo de erro de média móvel espacial. Na variante do modelo, há dois choques estocásticos dentro de cada região. Um deles é específico à região e não gera efeito de transbordamento, ao passo que o outro não é específico à região e gera efeitos de transbordamento. O termo de erro da regressão é considerado a soma desses dois componentes: um choque específico da região e o outro é uma combinação linear dos choques que transbordam para outras regiões: u = Wε + ψ

(4.11)

Assumindo que E(u) = E(ψ) = 0, o que implica uma nova estrutura de variânciacovariância: E (uu ' ) = σ ε2WW '+σ ψ2 I

(4.12)

Uma vez que o segundo termo do lado direito é definido positivamente e o primeiro termo é, no mínimo, semidefinido positivamente, a matriz de variância-covariância é definida positivamente e, portanto, invertível. Assim sendo, concluem Kelejian e Robinson (1995, p. 88), problemas de singularidade na matriz de variância-covariância não afloram nessa variante do modelo de erro auto-regressivo espacial.


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 5.2.3. Modelo com Erro de Média Móvel Espacial Voltando ao nosso exemplo com base numa função de produção agrícola, suponha agora que uma fábrica, localizada numa região, jogue poluentes no ar ou despeje efluentes no rio, prejudicando a produção agrícola não apenas da região onde se localiza a planta industrial, mas também das regiões vizinhas próximas, mas – note bem - não de todas as regiões. Como a poluição é um efeito não modelado na regressão por falta de uma medida adequada, isso se manifesta no termo de erro. Pelo alcance localizado do choque inovacional, tal modelo apresenta-se mais apropriado que o anterior. O segundo modelo de erro espacial segue um processo de média móvel de primeira ordem, especificado da seguinte maneira: u = γWε + ε

(4.13)

em que γ é o coeficiente de média móvel espacial, sendo que os termos restantes são como definido antes. A interpretação para o coeficiente de média móvel espacial γ é de que a influência de efeitos não modelados, por falta de dados medidos precisamente, têm um impacto localizado sobre a vizinhança. Convém observar que o erro é composto pela inovação no local (ε) e pela média dos choques inovacionais dos locais vizinhos (Wε). A forma reduzida desse modelo é a seguinte: y = Xβ + ( I − γW )ε

(4.14)

É interessante ressaltar que agora não aparece na forma reduzida nenhum termo que denote a expansão de Leontief. Conseqüentemente, o alcance do choque inovacional, neste modelo, é local, não tendo impacto sobre todo o sistema, como nos dois modelos anteriores. Para se observar até onde vai o impacto localizado é necessário analisar a matriz de variânciacovariância do erro deste modelo, que assume a seguinte forma: E[u ' u ] = σ 2 [( I + γW )( I + γW )]


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ = σ 2 [ I + γ (W + W ' ) + γ 2WW ' ]

(4.15)

Note que a matriz de variância-covariância não é plena, neste caso, desde que os elementos não-nulos fora da diagonal principal são apenas os correspondentes aos elementos de W e WW’. Ou seja, tais elementos não-nulos consistem de pares de locais que são somente vizinhos de primeira e segunda ordem, denotando os erros correlacionados espacialmente. Cabe notar que, neste modelo novamente, a autocorrelação espacial induz heterocedasticidade, uma vez que os termos diagonais em WW’ não serão constantes, a despeito da homocedasticidade do termo de erro ε. Cabe reforçar essa descoberta: o termo de erro ε pode ser homocedástico por natureza e, mesmo assim, a matriz de variância-covariância ser heterocedástica. 4.2.4. Modelo Regressivo Cruzado Espacial Suponha agora que todas as variáveis contidas na matriz X transbordassem, além de conter uma defasagem espacial da variável dependente. No caso de uma função produção, a suposição seria de que algumas (ou todas, no limite) das variáveis explicativas especificadas, apresentassem um efeito de transbordamento para as regiões vizinhas. Por exemplo, se na função de produção agrícola fosse inserida uma medida de infra-estrutura rodoviária como uma variável explicativa, seria interessante descobrir se ocorre transbordamento da infra-estrutura rodoviária de um município auxiliando na produção agrícola de um outro município. Para captar isso, teríamos que incluir também um componente WX: y = Xβ + WXτ + ε

(4.16)

Note que a especificação desse modelo envolve uma série de transbordamentos espaciais. Convém ainda observar que τ é um vetor e não um escalar. Agora alguns elementos de τ podem ser nulos de forma que algumas variáveis X defasadas espacialmente não precisam ser incluídas no modelo. A forma estrutural do modelo coincide com a forma reduzida e, na ausência da expansão de Leontief, os impactos de transbordamentos das regiões vizinhas são localizados, não afetando todo o sistema.


9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Esquematicamente: Xi

yi

Xj

yj

ui

uj Conforme destacado por Rey e Mantouri (1998), tal modelo pode ser estimado por MQO

sem incorrer em problemas para as estimativas. O aspecto importante é a inclusão do termo de transbordamentos, quando houver justificativa teórica, pois a sua ausência provoca um viés nas estimativas dos coeficientes da mesma natureza que o provocado pela variável relevante omitida na regressão. Caso haja sugestões da teoria de que o fenômeno a ser estudado exerce um impacto além dos vizinhos diretos (de primeira ordem), é possível incluir efeito de transbordamento de ordens superiores. A implementação dessa idéia é feita com a inclusão de termos, como W2X, W3X, W4X, etc. Intuitivamente, seria o caso da influência de uma grande infraestrutura de transportes, por exemplo, a construção de um porto de grande dimensão, que tenha um impacto global sobre toda uma região e não apenas localizado (como uma estrada vicinal). Com efeito, uma extensão óbvia desse modelo é a seguinte: y = Xβ + W 1 Xτ 1 + W 2 Xτ 2 + K + W l Xτ l + ε

(4.17)

sendo que Wl é a matriz de pesos espaciais de l-ésima ordem. Obviamente, espera-se que os coeficientes dos efeitos τ1, τ2 etc. tenham um amortecimento à medida que a ordem do efeito de transbordamento se eleve.


10

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 4.2.5. Modelo de Durbin Espacial (ou do Fator Comum) Esse modelo é derivado do modelo de erro auto-regressivo espacial de primeira ordem. Além de incorporar a idéia do transbordamento por meio da defasagem das variáveis independentes (WX), ele incorpora a suposição de que estaria existindo um processo de difusão técnica que impactasse a produção, ou algum outro fenômeno que justificasse a inclusão da variável endógena defasada espacialmente (Wy). Considere a expressão para a forma reduzida (8) e multiplique os dois lados por (I-λW), obtendo: ( I − λW ) y = ( I − λW ) Xβ + ( I − λW )( I − λW ) −1 ε

(4.18)

Depois de algumas manipulações algébricas e reagrupando os termos, obtemos: y = λWy + Xβ − λWXβ + ε

(4.19)

Reescrevendo essa expressão: y = π 1Wy + Xπ 2 − WXπ 3 + ε

(4.20)

Esse modelo contém k restrições não-lineares, conhecidas como restrições de fator comum. Como esse modelo é equivalente ao modelo com erro de média móvel espacial de primeira ordem, o produto do coeficiente de Wy com os coeficientes de X deveria igualar-se ao negativo dos coeficientes do termo WX. Na literatura, isso é tratado como sendo a hipótese do fator comum. Formalmente, para satisfazer tal hipótese, tem-se que:

π 1 ⋅ π 2 = −π 3 Uma vez que a forma reduzida não envolve nenhuma expansão de Leontief, o alcance do impacto desse modelo é local, ou seja, é restrito aos vizinhos de primeira ordem. Posto que é um


11

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ modelo derivado do modelo de erro auto-regressivo espacial, a única implicação para a estimação dos coeficientes é a ineficiência, embora continuem consistentes. Esquematicamente: Xj

Xi

yi

ui

yj

uj

4.2.6. Modelo Misto com Defasagem Espacial e Erro Auto-regressivo Espacial Vamos supor o caso em que houvesse um processo de difusão de uma nova técnica agrícola (efeito modelado), concomitantemente com o avanço de uma praga da lavoura (efeito não modelado) que se espalhe por todas as regiões, porém, com uma intensidade de contágio decrescente. Seja o modelo: y = ρW1 y + Xβ + u

(4.21)

u = λW2u + ε Esquematicamente:


12

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Xi

yi

Xj

yj

ui

uj Cabe notar que W1 e W2 podem ser matrizes diferentes, constituindo um caso mais geral.

Naturalmente, o caso em que W1=W2 é particular. A forma reduzida revela que: y = ( I − ρW1 ) −1 Xβ + ( I − ρW1 ) −1 ( I − λW2 ) −1 ε ou y = ρW1 y + λW2 y − λρW2W1 y + Xβ − λW2 Xβ + ε

(4.22)

Por envolver claramente expansões de Leontief, o alcance dos efeitos é global, afetando todo o sistema. Pela expressão (4.22), é possível observar que esse modelo é mais complexo em sua especificação, engendrando sérios problemas na identificação dos parâmetros ρ e λ. Por ter uma natureza mista, a sua estimação por MQO implica em estimativas inconsistentes e ineficientes. 4.2.7. Modelo Misto com defasagem e erro de média móvel de primeira ordem Suponha agora que haja uma difusão de uma nova técnica de produção, concomitantemente com um efeito não modelado como a poluição na região, afetando as regiões vizinhas mais próximas, mas não todo o sistema. Um modelo sobre isso é o que envolve uma defasagem espacial com um erro de média móvel espacial, assim especificado:


13

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ y = ρW1 y + Xβ + u u = γW2ε + ε

(4.23)

A forma reduzida transforma-se em: y = ( I − ρW1 ) −1 Xβ + ( I − γW2 )ε

(4.24)

Neste modelo, os efeitos não modelados nos erros são localizados, ao passo que os efeitos modelados nas variáveis explicativas apresentam um efeito global no sistema econômico. A sua implicação para o processo de estimação é o mesmo que o modelo anterior, ou seja, os coeficientes estimados por MQO são ao mesmo tempo inconsistentes e ineficientes. 4.2.8. Modelo Econométrico Espacial Geral Com o conhecimento adquirido até aqui, já podemos inferir um modelo geral, representando um processo espacial altamente complexo e de elevada ordem de interação: y = ρ1Wy + ρ 2W 2 y + L + ρ rW r y + WXτ 1 + W 2 Xτ 2 + L + W t Xτ t + u u = λ1Wu + λ2W 2u + L + λlW l u + ε ou u = γ 1Wε + γ 2W 2ε + L + γ gW g ε + ε

(4.25)

A prática ensina que modelos econométricos espaciais parcimoniosos têm a capacidade de capturar a dependência espacial, não havendo a necessidade de tentar estimar modelos complexos, que, como visto, envolvem potenciais problemas de identificação de parâmetros.


14

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Não é conhecida uma estimação de um modelo tão parametrizado como esse. Na realidade, a maioria dos processos espaciais pode ser estimada por meio de modelos pouco parametrizados, tais como os modelos das seções 4.2.1, 4.2.2.

4.4. Conclusões Em suma, é possível ressaltar os principais aspectos de todos esses modelos econométricos que tratam da autocorrelação espacial. O Quadro 1 fornece um resumo com os principais aspectos abordados na exposição da tipologia dos modelos econométricos espaciais. Quadro 4.1: Resumo das Propriedades dos Modelos Econométricos Espaciais Modelo

Componente Alcance

Implicação

Defasagem

Wy

Global

Inconsistência

Erro autorregressivo

Wu

Global

Ineficiência

Erro de média móvel

Wu

Local

Ineficiência

Durbin

Wy e WX

Local

Inconsistência

Regressivo cruzado

WX

Local

Inconsistência

Misto 1

Wy e Wu

Global

Inconsistência e ineficiência

Misto 2

Wy e Wu

Global e local

Inconsistência e ineficiência

Fonte: elaboração do autor. Notas: o modelo misto 1 é o descrito na sub-seção 4.2.6, ao passo que o modelo misto 2 é o apresentado na sub-seção 4.2.7.

A demonstração formal das implicações – isto é, o viés e a ineficiência – ficarão para o próximo capítulo. Note que a tipologia dos modelos difere pela inclusão de algum dos três componentes de interação espacial Wy, WX e Wu ou de uma combinação deles. Outro aspecto distinto é o alcance da interação: global ou local.


15

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 5 ESTIMANDO A AUTOCORRELAÇÃO ESPACIAL 5.1.

Introdução Vamos supor que você já identificou um modelo econométrico espacial para a sua função

de produção agrícola em nível municipal que você deseja estimar. Vamos supor que o modelo identificado tenha sido o modelo de defasagem espacial de primeira ordem ou um modelo de erro espacial (autorregressivo ou de médias móveis). O problema agora é como estimá-lo? Uma idéia inicial seria estimar por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), o mais adotado e consagrado estimador na econometria. Mas será que seria uma boa idéia? Podemos adiantar que não. E por que não? Quais são as opções de estimadores? Esse é o assunto deste capítulo. 5.2.

Os Problemas de Estimar por MQO Digamos que você identificou um modelo de defasagem espacial de 1a ordem para a sua

função de produção agrícola em nível municipal. Vamos verificar quais são os problemas envolvidos na estimação por MQO. Vamos mostrar que a estimativa MQO para ρ do modelo econométrico de defasagem espacial de 1a ordem é viesada. Para ver isso, considere a versão pura desse modelo: y = ρWy + ε

(5.1)

A estimativa MQO para o parâmetro autorregressivo espacial ρ é dada por: r = (Wy 'Wy ) −1Wy ' y

(5.2)

Substituindo (6.1) em (6.2):


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ r = (Wy ' Wy ) −1Wy ' ρWy + (Wy ' Wy ) −1Wy ' ε

r = ρ + (Wy ' Wy ) −1Wy ' ε

(5.3)

O valor esperado do segundo termo do lado direito da expressão (6.3) não se anula, fazendo com que a estimativa MQO para ρ seja viesada. Vamos demonstrar agora que a estimativa MQO para ρ tampouco goza da propriedade da consistência, que, neste caso, depende de duas condições: p lim n −1 (Wy ' Wy ) = Q p lim n −1 (Wy' ε ) = 0

(5.4)

em que Q é uma matriz finita e não singular. Segundo Anselin (1988), com as devidas restrições sobre o valor de ρ e de W, a primeira condição pode ser satisfeita. O problema reside na segunda condição, pois: p lim n −1 (Wy' ε ) = p lim n −1ε ' W ( I − ρW ) −1 ε

(5.5)

Essa expressão será zero, apenas se ρ for zero, mas, nesse caso, não se trata mais de um processo espacial. Qualquer outro valor assumido por ρ a expressão acima será diferente de zero, significando que o estimador MQO para ρ será inconsistente. E se o processo de identificação apontou para o modelo de erro espacial, tanto autorregressivo quanto de médias móveis. O que acontece se estimá-lo por MQO? Nesses dois casos, as estimativas MQO são não-viesadas e consistentes, porém são ineficientes. Considerando a estrutura de variância-covariância do modelo de erro autoregressivo espacial, apresentado no capítulo quatro:


2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ E (uu ' ) = σ 2 [( I − λW )' ( I − λW )]−1

(4.10)

Percebe-se com clareza que a variância é muito diferente da variância estimada por MQO [E(uu’) = σ2I]. No caso do modelo de erro de média móvel espacial, relembrando o capítulo anterior, a estrutura de variância-covariância é dada por: E[u ' u ] = σ 2 [( I + γW )( I + γW )] =σ 2 [ I + γ (W + W ' ) + γ 2WW ' ]

(4.15)

A natureza bidimensional da dependência no espaço implica numa matriz plena, denotando a simultaneidade da interação. Cabe aqui fazer um paralelo com as séries de tempo em que a natureza unidirecional no tempo conduz a uma matriz triangular. O método MQO é inadequado para estimar modelos econométricos espaciais incluindo termos como Wy e/ou Wu porque desconsidera o jacobiano da transformação. A condição de matriz plena implica uma simultaneidade da interação espacial que traz uma clara implicação no momento da estimação: essa classe de modelos precisa ser estimada por máxima verossimilhança (MV) ou pelo método de variáveis instrumentais (VI).

5.3.

Estimando o Modelo de Defasagem Espacial

5.3.1. Máxima Verossimilhança Define-se o estimador de máxima verossimilhança como sendo o parâmetro estimado que gerou, com a maior probabilidade, a amostra observada. Esse parâmetro é determinado pela maximixação da função de máxima verossimilhança. A densidade conjunta de n observações é a função de verossimilhança, definida para como sendo uma função de um parâmetro ou um conjunto de parâmetros (Greene, 1997, p. 130).


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Ainda de acordo com Greene (1997, pp. 133-134), dadas certas condições de regularidade, o estimador de máxima verossimilhança desfruta das propriedades assintóticas desejáveis de consistência, eficiência assintótica, normalidade assintótica e invariância. A primeira condição de regularidade que precisa ser satisfeita é a existência das derivadas parciais da função de verossimilhança com respeito ao conjunto de parâmetros a ser estimado. Além disso, essas derivadas precisam ser ainda limitadas. A segunda condição de regularidade envolve que os parâmetros encontrem-se no interior do espaço de parâmetros. A questão em processos espaciais é mais complexa, pois os dados são dependentes espacialmente, violando a condição iid em que se apóia o estimador de máxima verossimilhança na sua versão clássica. Isso implica um problema, pois uma amostra dependente contém menos informação, causando perda de propriedades para os estimadores e para os testes. Essa menor quantidade de informação exibida por uma amostra dependente precisa ser compensada de alguma forma. Uma solução para isso é invocar uma abordagem assintótica para os processos espaciais. Assim, as propriedades dos estimadores e dos testes serão baseados em aproximações válidas quando o tamanho da amostra cresce ao infinito (Anselin, 1988). Nesse caso, é necessária aplicar a teoria assintótica moderna. Antes disso, note que se estivéssemos trabalhando com um gride regular de unidades espaciais, poderíamos considerá-lo como uma amostra representativa e aleatória de uma população infinita de grides regulares de unidades espaciais. O problema é que, no trabalho aplicado e na prática, trabalhamos com uma amostra de unidades espaciais irregulares no sentido de que as suas áreas são distintas e suas fronteiras diferentes. Na teoria assintótica, a Lei dos Grandes Números é importante porque garante a consistência do estimador. Formalmente, quando o tamanho da amostra aproxima-se do infinito, temos que: 1  ∑ [gi (x,θ ) − E ( g i ( x,θ ))] n i


(5.6)

4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ em que θ é uma parâmetro qualquer e g é uma função dos dados de uma amostra e desse parâmetro. Em outros termos, o desvio médio dessa função dos dados da amostra e desse parâmetro do seu valor esperado converge a zero, quando o tamanho da amostra cresce ao infinito. O Teorema Central do Limite estabelece que o desvio entre o estimador e a estimativa obtida de uma amostra converge em distribuição para uma variável aleatória normal. Formalmente: n(θ − q ) → N (0,V )

(5.7)

em que q é a estimativa de θ. Com o Teorema Central do Limite obtém-se a propriedade da normalidade assintótica, que permite que construa testes para identificar e validar os modelos econométricos espaciais. O problema da estimação de modelos econométricos espaciais envolve a otimização de uma função log-verossimilhança altamente não-linear. Seja o modelo de defasagem espacial misto: y = ρWy + Xβ + ε

ε ~ N (0, σ 2 I )

(5.8)

Sob o pressuposto da normalidade conjunta dos termos de erro, a função logverossimilhança para o modelo de defasagem espacial assume a seguinte forma:

ln L = −

n n ε'ε ln(2π ) − ln(σ 2 ) + ∑ ln det( I − ρW ) − 2 2 2σ 2

(5.9)

Convém observar que: ε = y − ρWy − Xβ

(5.10)


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Substituindo essa expressão na função log-verossimilhança:

ln L = −

( y − ρWy − Xβ )' ( y − ρWy − Xβ ) n n ln(2π ) − ln(σ 2 ) + ∑ ln det( I − ρW ) − 2 2 2σ 2

(5.11)

Vale a pena tecer alguns comentários a respeito dos elementos da função de máxima verossimilhança. A função de log-verossimilhança é composta por três elementos. O primeiro elemento são as constantes n e π. O segundo elemento é a forma quadrática nos termos de erro (ε’ε). Esses dois elementos são comuns em modelos econométricos a-espaciais. O terceiro elemento é o mais interessante e distintivo dos modelos econométricos espaciais em comparação com modelos a-espaciais. Esse terceiro elemento refere-se ao surgimento do determinante do jacobiano da transformação de dimensão igual ao tamanho da amostra. O Jacobiano é uma relação entre y, que é observado, e ε, que não é observado. No modelo de defasagem espacial, o termo aleatório é definido como:

ε = ( I − ρ W ) y − Xβ

(5.12)

Note que ε pode ser expresso como uma função de y:

ε = f ( y)

(5.13)

O Jacobiano de transformação é requerido em virtude da simultaneidade, expressa pela série infinita, representada pelo multiplicador de Leontief, que aparece em alguns modelos econométricos espaciais. Devido a essa simultaneidade, o Jacobiano da transformação espacial é uma matriz plena. Essa característica eleva o peso computacional na etapa de estimação desses modelos. Conceitualmente, o Jacobiano da transformação é definido como o determinante da derivada de f com relação a y:


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________  ∂f  det  = det( I − ρW )  ∂y 

(5.14)

Cabe notar que, em modelos a-espaciais, o Jacobiano da transformação assume o valor unitário e, por conseqüência não aparece na função de log-verossimilhança como uma matriz. Baseado nesses elementos, com o intuito de conseguir a otimização não-linear dos parâmetros, é preciso impor duas condições de regularidade para a função log-verossimilhança. A primeira condição estabelece que o Jacobiano da transformação seja definido positivo. A segunda condição impõe que a matriz de variância-covariância precisa ser positiva. Uma vez que o método MQO de estimação não leva em consideração o termo do Jacobiano da transformação, ele mostra-se inapropriado para a estimação de diversos modelos econométricos espaciais. Para mostrar a limitação do método MQO, é necessário entender que o princípio desse método repousa em minimizar os resíduos ao quadrado. Assim, dado um vetor de resíduos e: ε = y − ρWy − Xβ

(5.15)

A soma dos resíduos ao quadrado é representada como: ε ' ε = ( y − ρWy − Xβ )' ( y − ρWy − Xβ )

(5.16)

Observe que a estimativa MQO necessita da minimização da soma dos quadrados dos resíduos com relação a β. Todavia, a otimização tem por referência apenas o último termo da função de log-verossimilhança (ver equação 5.11). Mais uma vez, percebe-se claramente que o método MQO não considera o jacobiano da transformação no seu procedimento de estimação. Temos condições agora de mostrar que o viés do parâmetro estimado b. Para isso, vamos derivar as condições de primeira ordem:


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ b = ( X ' X ) −1 X ' ( I − ρW ) y

b = ( X ' X ) −1 X ' y − ρ ( X ' X ) −1 X ' Wy s2 =

( y − ρWy − Xβ )' ( y − ρWy − Xβ ) n

(5.17)

(5.18)

Note que b é viesado quando se desconsidera no modelo a defasagem espacial Wy. O tamanho do viés de omissão de variável relevante é dado pelo segundo termo do lado direito da expressão. Note que a direção do viés é, a priori, indeterminado. Isto é, b pode ser subestimado ou sobrestimado, dependendo do sinal de ρ, positivo ou negativo, respectivamente. Perceba ainda que a única possibilidade de que b não seja viesado é se ρ assumir o valor nulo. Contudo, esse é o caso trivial no qual a expressão (6.8) transforma-se no modelo clássico não-espacial. 5.3.2. Método de Variáveis Instrumentais (VI) Na econometria convencional, às vezes, ocorre a situação em que uma ou mais variáveis explicativas (a matriz X) estarem correlacionadas com o termo de erro, engendrando um problema de endogeneidade. Intuitivamente, a endogeneidade pode ser entendida como a variável explicativa determinando a variável dependente, mas, por sua vez, esta também determinando a variável explicativa por meio de um mecanismo retroalimentador, gerando simultaneidade. Essa violação dos pressupostos do modelo de regressão linear clássico acarreta conseqüências graves, a saber, as estimativas por MQO são viesadas e inconsistentes. Para se contornar tal problema, nessa situação, costuma-se estimar o modelo usando o método de variáveis instrumentais. A idéia é usar um conjunto de instrumentos que apresentem duas propriedades. Primeiro, esses instrumentos precisam estar correlacionados com as variáveis explicativas. Segundo, tal conjunto de instrumentos não pode estar correlacionado com o termo de erro. Cabe destacar que essa última é a condição fundamental para se obter a consistência das estimativas.


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Além disso, ao contrário da estimação de máxima verossimilhança, o método das variáveis instrumentais não exigem o requisito da propriedade da normalidade. Vamos trazer essa discussão para o contexto espacial. Vamos considerar o modelo de defasagem espacial de primeira ordem misto: y = ρWy + Xβ + ε

ε ~ (0, σ 2 I )

(5.8)

Observe que agora o termo de erro aleatório não precisa seguir uma distribuição normal. Na situação em que há endogeneidade, temos que:

E (Wy, ε ) ≠ 0

(5.19)

Vamos reescrever o modelo da seguinte forma: y = Zθ + ε

(5.20)

Com as seguintes definições: Z=[X, Wy] e θ=[β’, ρ’]. Note que a dimensão de Z é n x l, sendo que l ≥ k. O método de estimação baseado em variáveis instrumentais necessita evidentemente de um conjunto de instrumentos. Todas as variáveis exógenas podem ser instrumentos delas próprias. A questão repousa em saber quais serão os instrumentos para Wy. Kelejian e Robinson (1993) demonstraram que as defasagens espaciais das variáveis exógenas de diversas ordens (WX, W2X, W3X,...) são consideradas como instrumentos “ideais”, pois, de um lado, não são correlacionados com o termo de erro e, por outro, são muito correlacionados com X. Para se obter a consistência, basta incluir WX como instrumentos. Todavia, com vistas de se conseguir estimativas mais eficientes, é aconselhável incluir W2X, W3X etc. Assim, formalmente, o conjunto de instrumentos pode ser expresso como Q=[X, WX, W2X, W3X,...]. Como um requisito para a consistência; as variáveis em Q são correlacionadas com aquelas em Z que, no limite (Anselin, 1988):


9


p lim

Q' Z = H QZ n

(5.21)

sendo que HQZ uma matriz finita e com pleno posto.

p lim

Q' Q = H QQ n

(5.22)

A outra condição é que as variáveis em Q não sejam, no limite, correlacionadas com o termo de erro aleatório:

p lim

Q' ε =0 n

(5.23)

sendo que HQQ uma matriz finita e não-singular. Para derivar o estimador de VI, vamos pré-multiplicar o modelo de defasagem espacial por Q: Q ' y = Q ' Zθ + Q ' ε

(5.24)

O estimador é dado por:

θ VI = [ Z ' Q (Q ' Q ) −1 Q' Z ]−1 Z ' Q (Q ' Q) −1 Q' y

(5.25)

Vamos definir que Z p = Q(Q' Q) −1 Q' como sendo a projeção de Z nas variáveis de Q e substituir na relação acima: θ VI = [ Z ' Z p ' Z ]−1 Z ' Z p ' y


(5.26)

10

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Seguindo Johnston (1997), vamos agora mostrar que o estimador de VI é idêntico ao estimador de Mínimos Quadrados em 2 Estágios (MQ2E). O primeiro estágio é a regressão das variáveis em Z para obter uma matriz de valores ajustados ( Zˆ ):

Zˆ = Q (Q ' Q) −1 Q ' Z

(5.27)

ou Zˆ = Z p ' Z

(5.28)

No segundo estágio, faz-se a regressão de y contra Zˆ para obter o vetor θ estimado: θ MQ 2 E = [ Z ' Z p ' Z ]−1 Z ' Z p ' y

(5.29)

Comparando a expressão (5.29) com a expressão (5.26), note que θ MQ 2 E = θ VI .

5.4.

Estimando o Modelo de Erro Espacial

5.4.1. Máxima Verossimilhança Sob o pressuposto da normalidade, a função de log-verossimilhança para o modelo de erro autorregressivo espacial:

ln L = −

n n 1 ln π − ln σ 2 + ln det( I − λW ) + ( y − Xβ )' ( I − λW )' ( I − λW )( y − Xβ ) 2 2 2σ 2 (5.30)


11

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Novamente aqui vemos o aparecimento do determinante do Jacobiano da transformação [det(I – λW)] na função de log-verossimilhança. Estabelecendo as condições de primeira ordem:

b = [( X − λWX )' ( X − λWX )] ( X − λWX )' ( y − λWy ) −1

σ2 =

(e − λWe)' (e − λWe) n

(5.31)

(5.32)

5.4.2. Estimação pelo Método Generalizado do Modelo de Erro SAR Na situação em que não há a normalidade dos erros, as estimativas por MV tornam-se inválidas. É necessário achar um método de estimação que não tenha esse pressuposto. Kelejian e Prucha (1999) propuseram um método que prescinde da normalidade. Seja o modelo: y = Xβ + u

u = λWu + ε

com

ε ~ (0, σ 2 )

(5.33)

Note que a normalidade do termo de erro não é requerida. Vamos estabelecer as condições de momento sobre ε:

ε = u − λWu

(5.34)

E[ε ' ε / n] = σ 2

(5.35)

E[ε ' W ' Wε / n] = σ 2 (1 / n)tr (W ' W )

(5.36)


12


E[ε 'Wε / n] = 0

(5.37)

Esse último resultado é decorrência do fato de que tr(W)=0, por construção. As condições de momentos operacionais, que convertem condições sobre ε em condições sobre u (resíduos), são estabelecidas como:

ε ' ε = (u − λWu )' (u − λWu ) = u ' u − 2λu 'Wu + λ2 u 'W 'Wu

(5.38)

ε 'W 'Wε = (u − λWu )'W 'W (u − λWu ) = u 'W 'Wu − 2λu 'W 'WWu + λ2 u 'W 'W 'WWu

(5.39)

ε 'Wε = (u − λWu )'W (u − λWu ) = u 'Wu − 2λu 'W 'WWu + λ2 u 'W 'WWu

(5.40)

Substituindo as equações (5.38)-(5.40) em (5.35)-(5.37), obtemos: 1 2  1  E (ε ' ε ) − λ  E (u ' Wu ) + λ2  E (u ' W ' Wu ) = σ 2 n n  n 

(5.41)

1 1 2  1  E (ε ' W ' Wε ) = E (u ' W ' Wu ) − λ  E (u ' W ' WWu) + λ2  E (u ' W ' W ' WWu ) = σ 2 n n n  n 

(5.42)

1 1 2  1  E (ε ' Wε ) = E (u ' Wu ) − λ  E (u ' WWu) + λ2  E (u ' W ' WWu) n n n  n 

(5.43)


13

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Note que temos 3 equações em duas incógnitas, a saber, λ e σ2. A solução das equações de momento envolve usar o método dos mínimos quadrados generalizados factíveis (MQGF) para estimar consistentemente λ:

b = [( X − λWX )' ( X − λWX )]

−1

( X − λWX )' ( y − λWy )

Var (b) = σ 2 [( X − λWX )' ( X − λWX )]

−1

(5.44)

(5.45)

sendo que:

σ2 =

(uˆ − λWuˆ )' (uˆ − λWuˆ ) n

uˆ = y − Xβˆ

5.5.

Conclusões Para estimar vários modelos econométricos espaciais, o método MQO pode não ser

apropriado. Para o modelo de defasagem espacial de primeira ordem, o coeficiente espacial ρ é viesado e não consistente se estimado por MQO. Já com relação ao modelo de erro autorregressivo espacial, as estimativas MQO são não-viesadas e consistentes, porém são ineficientes. Como os dados são dependentes espacialmente, a teoria assintótica moderna desempenha importante papel por intermédio da Lei dos Grandes Números e do Teorema Central do Limite. Uma solução é estimar usando o método da máxima verossimilhança, desde que garantida a propriedade da normalidade. O problema da estimação de modelos econométricos espaciais envolve um problema computacional que não é trivial: a otimização de uma função


14

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ log-verossimilhança altamente não-linear com a inclusão de um termo Jacobiano de dimensão igual ao tamanho da amostra. Para o modelo de defasagem espacial, quando a normalidade não é garantida, é possível estimar usando o método das variáveis instrumentais. Já para o modelo do erro auto-regressivo espacial, quando a normalidade não pode ser assumida, Kelejian e Prucha desenvolveram um método baseado nos Momentos Generalizados para estimar esse tipo de modelo.


15

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 6 TESTANDO A AUTOCORRELAÇÃO ESPACIAL 6.1.

Introdução O teste de hipóteses enfrenta o desafio de discriminar a autocorrelação espacial da

heterocedasticidade. Como vimos no capítulo passado, esses dois efeitos, muitas vezes, estão imbricados num único processo estocástico espacial.1 O conjunto de testes para averiguar a presença de autocorrelação espacial é útil tanto para servir de auxílio no momento de identificação do modelo econométrico espacial mais apropriado quanto para a tarefa de validação ou diagnóstico desse modelo. O problema do imbricamento interfere nessas duas etapas, a identificação e a validação. Os testes para detectar a autocorrelação espacial podem ser divididos em duas categorias: testes gerais e testes específicos. De um lado, os testes gerais são aqueles em que nenhuma indicação é fornecida no sentido de se detectar o tipo de autocorrelação espacial predominante na regressão, pois não são baseados numa especificação explícita do processo estocástico gerador do erro. Desse modo, tal categoria diz respeito aos testes cuja hipótese alternativa não refere-se a um modelo econométrico espacial específico. De outro, existem os testes específicos, no quais é fornecida uma indicação do tipo predominante da autocorrelação remanescente na regressão, posto que se faz uma especificação explícita do processo estocástico gerador do erro. Essa especificação é uma tentativa de formular a fonte da autocorrelação espacial. Ademais, essa categoria de teste pressupõe a ausência de heterocedasticidade. Assim sendo, essa outra categoria refere-se a testes cuja hipótese alternativa trata-se de um modelo econométrico espacial específico. Como será visto posteriormente, o poder de um teste para detectar autocorrelação espacial depende de uma série de fatores, tais como o tamanho da amostra, a intensidade da

1

De acordo com Boller et al. (2001, p. 466), “de um ponto de vista prático, é difícil distinguir dependência espacial da heterogeneidade espacial baseado nos resíduos da regressão porque todos os diagnósticos têm poder contra ambas as formas de má-especificação”.


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ autocorrelação espacial, o grau de intensidade da heterocedasticidade, a escolha da matriz de pesos espaciais (W), a função de distribuição do erro etc.

6.2.

Testes Gerais

6.2.1. Estatística I de Moran O primeiro teste geral para identificação de autocorrelação espacial é uma adaptação do teste I de Moran para o contexto da análise de regressão linear, sugerido por Cliff e Ord (1981). Trata-se de um teste simples sobre a autocorrelação espacial entre os vizinhos mais próximos. Esse teste guarda similaridade com o teste de Durbin-Watson para a dependência serial de primeira ordem no tempo (Anselin, 1988; Anselin e Bera, 1998). O teste de I de Moran assume a seguinte forma:

I =

n  e' We    S 0  e' e 

(6.1)

em que e = y - Xb, sendo que b é o estimador MQO para β e S0 é ΣiΣjwij, representando um fator de normalização. No caso em que a matriz W é padronizada pela linha, S0 iguala-se a n. Dessa forma, o teste I de Moran pode ser reescrito como:

I =

e' We e' e

(6.2)

Pela expressão, percebe-se que a estatística I é baseada nas somas de produtos cruzados de resíduos para regiões vizinhas. A hipótese nula do teste assume que os resíduos da regressão estimada por MQO são distribuídos aleatoriamente ao longo do espaço. O critério do teste é que


2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ se H0 é rejeitada, os resíduos são autocorrelacionados espacialmente. A inferência do teste é baseada numa variável z(I) padronizada que segue assintoticamente uma distribuição normal:

z(I ) =

I − E(I )

(6.3)

Var ( I )

em que a média é dada por:

E ( I ) = tr ( MW ) /( n − k )

(6.4)

em que a matriz projeção é definida como M = I – X(X’X)-1X’. A variância da estatística é dada por:

Var ( I ) =

{tr (MWMW ' ) + tr (MW )

}

+ [tr ( MW )]2 2 − [E ( I )] {(n − k )(n − k + 2)} 2

(6.5)

A principal vantagem desse teste é a sua simplicidade computacional, uma vez que apenas os resíduos da regressão estimada por MQO são necessários (Anselin, 2001, p. 114). O teste I de Moran apresenta um alto poder contra a presença de autocorrelação espacial. Existe, entretanto, um problema com esse teste referente ao seu poder. Isso porque, além da autocorrelação espacial nos resíduos, o teste captura uma série de problemas na regressão, tais como a má especificação do modelo, a heterocedasticidade e a ausência de normalidade nos resíduos. A isso pode ser adicionado mais um problema. Para ser válido, o teste I de Moran requer que os resíduos da regressão sejam normais. Porém, de acordo com Kelejian e Robinson (1998, p. 391), na ausência de heterocedasticidade, o teste I de Moran é um teste que apresenta bom


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ desempenho para detectar autocorrelação espacial, mesmo que os erros não sejam distribuídos normalmente. 2 Porcausa de sua natureza geral, o principal problema é que o teste, uma vez significativo em termos estatísticos, não aponta para qual tipo de autocorrelação espacial é predominante, ou seja, se é do tipo defasagem espacial ou de erro espacial. Na tarefa de prover subsídios para a seleção do mais apropriado modelo com autocorrelação espacial na forma de defasagem ou de erro, “o I de Moran tem poder contra as duas alternativas e, assim, não pode ser usado para discriminar entre as duas” (Anselin e Rey, 1991, p. 130). Conseqüentemente, não se deve basear a decisão apenas nesse teste, pois pode induzir a erro. 6.2.2. Teste de Kelejian-Robinson (KR) Esse é outro teste geral proposto por Kelejian e Robinson (1992), mas, ao contrário do teste I de Moran, o teste KR não pressupõe a normalidade dos resíduos da regressão, representando, nesse sentido, um avanço. O teste KR apresenta similaridade com o famoso teste White.3 A estatística do teste KR é obtida da seguinte regressão auxiliar: C h = Z khγ + α h

(6.6)

em que Ch= eiej, ou seja, é um vetor 1 x hn de produtos cruzados dos resíduos (σij), para os quais não são zero para i < j (i e j são observações contíguas), enquanto que Zkh=Xki.Xkj é o produto cruzado das variáveis explicativas; h é o índice para cada produto-cruzado. “Os produtoscruzados são para todos os pares de observações para os quais uma correlação não-nula é pressuposta”, assim, perfazendo hn pares (Anselin, 1992). Formalmente: Cov(u i , u j ) = σ ij = Z ijα

(6.7)

2

Segundo Anselin e Rey (1991, p. 124), o I de Moran é sensível à escolha da matriz de pesos espaciais e à presença de não-normalidade nos erros. 3 Na apresentação do teste KR, vamos seguir a notação de Anselin (1992) e Anselin e Bera (1998).


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ A hipótese nula é que os resíduos são distribuídos aleatoriamente ao longo do espaço, isto é, não há autocorrelação espacial nos resíduos. Com esse teste, a hipótese nula de ausência da autocorrelação espacial é averiguada da seguinte forma: H0: α = 0 Baseada nessas considerações, a estatística do teste KR é dada por:

KR =

γ ' Z ' Zγ α 'α hn

(6.8)

Sob a hipótese nula, essa estatística converge em distribuição para uma qui-quadrado com k graus de liberdade, sendo que k é o número de variáveis explicativas (ou o número de colunas) contidas na matriz Z. As vantagens desse teste global residem no fato de que não é requerido o pressuposto de normalidade dos resíduos, ao contrário do teste I de Moran. Ademais, o teste KR é aplicável a regressões lineares e não-lineares. Cabe notar que, na fórmula do teste, não é necessário especificar nenhuma matriz de pesos espaciais, prescidindo deste tipo de informação. Uma desvantagem do teste KR repousa no fato de que, uma vez que exibe características assintóticas, ele é mais apropriado para grandes amostras. É preciso cercar-se de extrema cautela quando se usa para averiguar a presença de autocorrelação dos resíduos para pequenas e médias amostras, pois seu poder é baixo, como prévios estudos comprovaram. Além disso, esse teste perde poder pela alta quantidade de graus de liberdade (k), em comparação com o teste I que segue também um qui-quadrado, contudo com apenas um grau de liberdade. Todavia, a principal desvantagem do teste KR é aquela compartilhada com o teste I de Moran: na condição de teste do tipo geral, quando estatisticamente significantes, ambos não fornecem indicações sobre a forma da autocorrelação espacial presente (defasagem ou erro).


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 6.3.

Testes Específicos Como vimos até aqui, o problema comum dos testes gerais é a sua incapacidade de

indicar como a autocorrelação toma forma, quando a hipótese nula é rejeitada. A solução é o desenvolvimento de testes chamados de específicos. Essa denominação é decorrência da capacidade desse tipo de teste de especificar a forma assumida pela autocorrelação espacial. A maioria dos testes específicos é do tipo Multiplicador de Lagrange. Por isso, vale a pena apresentar o princípio desses testes. Para construir um teste do tipo multiplicador de Lagrange é preciso cumprir três passos. O primeiro passo é conseguir o vetor escore, derivado da função de log-verossimilhança. O vetor escore é definido como:

dθ =

∂L ∂θ

(6.9)

em que θ é um parâmetro qualquer. O segundo passo é obter a matriz de informação, definida como:  ∂ 2 ln L   Inf (θ ) = − E   ∂θ∂θ ' 

(6.10)

O último passo é avaliar o vetor escore e a matriz de informação para θ = 0. Por fim, a estatística de um teste de multiplicador de Lagrange é dado por: MLθ = dθ ⋅ Inf −1 ⋅ dθ

(6.11)


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 6.3.1. Teste MLρ Trata-se de um teste do tipo multiplicador de Lagrange contra a defasagem espacial. Esse teste específico é dito ser unidirecional, porque uma hipótese alternativa é estabelecida a respeito do processo estocástico gerador do erro, contendo somente um único parâmetro espacial. Ele verifica uma única especificação, assumindo que o restante do modelo é especificado corretamente (Anselin e Bera, 1998). Como um teste do tipo multiplicador de Lagrange, ele é baseado no vetor escore e na matriz de informação sob a hipótese nula, que, no caso em tela, é estabelecida como H0: ρ = 0, assumindo que λ = 0. As hipóteses nula e alternativa são estabelecidas como: H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 Para se obter o vetor escore e a matriz de informação, é necessário calcular o logaritmo da máxima verossimilhança, obtido do modelo de defasagem espacial no capítulo anterior. Vamos repetir aqui a expressão:

ln L = −

( y − ρWy − Xβ )' ( y − ρWy − Xβ ) n n ln(2π ) − ln(σ 2 ) + ∑ ln det( I − ρW ) − 2 2 2σ 2

O próximo passo é derivar o vetor escore dessa função log-verossimilhança e avaliá-lo para ρ = 0. Desse modo, derivando a função de log-verossimilhança (lnL) com relação ao parâmetro espacial ρ, temos que:

d ρ = −tr (I − ρW ) W + −1

e'Wy σ2


(6.12)

7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Avaliando em ρ=0, o primeiro termo da expressão é zero, pois tr(W)=0, por convenção. Assim,

dρ =

e'Wy σ2

(6.13)

Numa etapa posterior, deriva-se o escore, ou seja, a derivada parcial dessa função com relação ao parâmetro de defasagem espacial ρ. Em seguida, avalia-se o escore sob a hipótese nula (ou seja, para ρ = 0). Além disso, é necessário obter a matriz de informação.

[WXβ ][' WXβ ]  2 tr W + W 'W + σ2  Inf =  ( X 'WXβ )'  σ2 

[

]

( X 'WXβ )'  σ2

(X ' X ) σ2

    

(6.14)

A fórmula do teste é dada por: 2

 e'Wy   2   s  MLρ =  (WXb)' MWXb  + tr[W 'W + W 2 ]  2 s  

(6.15)

em que s2 é a estimativa para a variância do erro e b é um vetor k x 1 com as estimativas dos coeficientes MQO. O teste MLρ segue a distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Como se trata de um teste assintótico, a estatística MLρ é mais apropriada para grandes amostras. Uma vez que se refere a um teste unidirecional, convém observar que, caso λ ≠ 0 ocorra, o teste é inválido mesmo que se trabalhe com grandes amostras.


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ No que tange ao poder do teste, sobretudo para pequenas amostras, Anselin e Rey (1991, p. 124) descobriram que a estatística MLρ é menos afetada contra erros não-normais, em especial para erros exponenciais e erros lognormais. Uma outra vantagem desse teste é a facilidade computacional, já que, sob a nula, pode ser calculada com base nos resíduos de uma regressão estimada por MQO. Assim sendo, tal teste compartilha dessa vantagem com o I de Moran. A outra vantagem é a discriminação do tipo de autocorrelação espacial presente nos dados na forma de defasagem (Wy) ou de erro (Wu). A grande desvantagem do teste é representada pela falta de poder que acarreta a freqüente rejeição da hipótese nula. 6.3.2. Teste MLλ O outro teste específico unidirecional, proposto originalmente por Burridge (1980), é um teste do tipo Multiplicador de Lagrange contra a autocorrelação espacial na forma do modelo de erro autorregressivo espacial. A forma de calculá-lo segue os mesmos passos do anterior. Em primeiro lugar, constrói-se o logaritmo da função de máxima verossimilhança para o modelo de erro espacial. Em segundo lugar, deriva-se o vetor escore sob a hipótese nula que, nesse caso, é estabelecida como H0: λ = 0, assumindo que ρ = 0. Para esse teste específico, As hipóteses nula e alternativa são estabelecidas como: H0: λ = 0 H1: λ ≠ 0 O escore dλ, avaliado em λ = 0, é expresso como:

d λ = −tr (I − λW ) W + −1

e'We σ2


(6.16)

9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Avaliando esse vetor escore para λ = 0, como o primeiro termo torna-se nulo, pois tr(W)=0, vem que:

dλ =

e'We σ2

(6.17)

Em terceiro lugar, obtém-se a matriz de informação:  n / 2σ 4  Inf =  −1  tr W (I − λW )  σ2

(

(

tr W (I − λW ) σ2

−1

)

    

) tr [(W (I − λW ) )]+ tr{[W (I − λW ) ]' [W (I − λW ) ]} −1

−1

−1

(6.18)

Note que, para λ = 0, os elementos fora da diagonal dessa matriz igualam-se a zero, enquanto o elemento diagonal reduz-se a tr[W’W + W2]. Neste caso, a estatística assume: 2

 e' We   2   s  MLλ = tr W ' W + W 2

[

]

(6.19)

Esse teste segue uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Novamente, a principal vantagem desse teste é a sua simplicidade computacional, uma vez que, para implementá-lo, é necessário apenas os resíduos da regressão do modelo clássico estimado por MQO. Mais uma vez, a principal desvantagem do teste é a tendência de rejeitar com muita freqüência a hipótese nula.


10

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 6.3.3. Teste SARMA (MLλρ) Esse é um teste para ordens superiores de dependência, proposto num artigo por Anselin (1988). Como se trata de um teste específico, a hipótese alternativa é estabelecida como um modelo com defasagem e erro (autorregressivo ou de média móvel) espaciais: y = ρWy + Xβ + λWu + ε y = ρWy + Xβ + γWε + ε

(6.20)

O procedimento de obtenção da estatística do teste ML é análogo aos dois anteriores. A função de log-verossimilhança é dada por:

( y − ρWy − Xβ )' (I − λW )' (I − λW )( y − ρWy − Xβ ) n n ln L = − ln (2π ) − ln σ 2 + ln I − ρW + ln I − λW − 2 2 2σ 2 (6.21) O teste LMλρ é expresso por: 2

LM λρ

2

 e'Wy e'We   e'We   2 − 2   2  σ σ    σ  = (WXb )' M (WXb ) + tr (WW + W 'W ) σ2

(6.22)

Esse teste segue uma distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Nesse ponto surge o primeiro problema com tal teste, ou seja, esses dois graus de liberdade implicam um perda de poder. O segundo problema refere-se à própria natureza específica do teste, isto é, quando a nula é rejeitada, existe uma indefinição da fonte de erro espacial, fazendo com que o pesquisador não fique sabendo se a fonte da autocorrelação no erro é na forma autorregressivo ou de média móvel.


11


6.4.

Testes Robustos de Multiplicador de Lagrange

6.4.1. Teste ML*λ robusto Conforme destacado anteriormente, os testes do tipo multiplicador de Lagrange tanto contra a defasagem quanto contra o erro espacial não apresentam muito poder. O problema reside no fato de que MLλ segue uma distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade, se ρ = 0. No caso em que houver má especificação local, ou seja, ρ ≠ 0, o teste LMλ transforma-se em uma qui-quadrado não centralizada, o que fará com que o teste rejeite a nula com muita freqüência. Para contornar esse problema, foram desenvolvidas algumas extensões desses testes a fim de aumentar o seu poder. As versões robustas desses testes procuram lidar com as situações em que há má especificação local. Do ponto de vista técnico, os testes robustos são similares aos dois testes vistos anteriormente, porém, incorporam um fator de correção para levar em conta a má especificação local (Florax et al., 2002). O primeiro teste ML é um teste para autocorrelação na forma de erro espacial robusto para a presença de uma variável dependente espacialmente defasada, assumindo a seguinte forma:4

ML = * λ

[d λ − Tσ 2C −1d ρ ]2

(

)

[T 1 − Tσ 2C ]

(6.23)

C = (WXb)' M (WXb) + Tσ 2

(6.24)

T = tr (WW + W 'W )

(6.25)

4

Assume-se que o processo estocástico espacial é representado por uma única matriz de pesos espaciais W (W1=W2).


12

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ em que dλ e dρ são, respectivamente, os escores para o erro e a defasagem. Esse teste segue uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. Na fórmula do teste é incluído um fator de correção da não-centralidade da distribuição qui-quadrado. Observe que o teste ML*λ corrige o teste MLλ para a presença de ρ ≠ 0 por meio de dρ e da incorporação da covariância entre dλ e dρ na fórmula. Quanto à propriedade de pequena amostra, de acordo com Anselin e Florax (1995), ML*λ robusto é poderoso, sobretudo quando realmente se está na presença de ρ ≠ 0 . Conforme Anselin e Bera (1998, p. 277), no caso em que realmente não existe autocorrelação na forma de defasagem, mas somente autocorrelação na forma de erro, o poder do teste robusto ML*λ é menor que teste MLλ. Isso é chamado de “custo da robustificação”, ou seja, o preço a ser pago para tornar o teste ML robusto. 6.4.2. Teste ML*ρ robusto Tecnicamente, tal teste é similar ao teste MLρ, no qual é testado ρ = 0, porém, agora incorporando um fator de correção com o intuito de lidar com a má especificação local do modelo, ou seja, neste caso, λ ≠ 0 . O teste ML para uma variável dependente defasada espacialmente na presença de um processo de erro espacial autorregressivo assume a seguinte forma:

ML = * ρ

[d ρ − d λ ]2

(6.26)

 C σ 2 − T   

em que toda a notação permanece a mesma que no teste anterior. Tal teste é distribuído conforme um qui-quadrado com um grau de liberdade. O fator de correção do teste ML*r para a má especificação local envolve o vetor escore dλ e a covariância entre entre dλ e dρ na fórmula. Quanto a propriedades para pequenas amostras, segundo Anselin e Florax (1995), ML*ρ robusto tem um bom desempenho em termos de poder do teste. Anselin e Rey (1991) encontraram que os testes para defasagem espacial são mais poderosos que os testes para erro


13

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ espacial, o que é interessante, pois as conseqüências de ignorar a autocorrelação espacial na forma de defasagem é mais séria que na forma de erro. Isso porque, conforme vimos no quinto capítulo, desconsiderar a defasagem espacial no modelo acarreta estimativas viesada e inconsistente, ao passo que desconsiderar o erro espacial no modelo provoca a ineficiência nas estimativas, porém estas permanecem não-viesadas e consistentes.

6.5.

Outros Testes

6.5.1. Teste Wald O teste assintótico do tipo Wald pode também ser usado para averiguar a dependência espacial tanto na forma de defasagem quanto na forma de erro. A fórmula da estatística do teste para a defasagem é dada por:

Wald ρ =

ρ ~ N (0,1) (asy Var[ρ ])

(6.27)

Já o teste Wald para o erro espacial é dado pela fórmula:

Wald λ =

λ ~ N (0,1) (asy Var [λ ])

(6.28)

Note as estatísticas do teste seguem uma normal padronizada. Se a estatística de Wald for elevada ao quadrado segue uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade. 6.5.2. Teste do tipo Razão de Verossimilhança (RV) Trata-se de um teste do tipo Razão de Verossimilhança específico unidirecional. Assim como o teste Wald, o teste do tipo RV pode ser utilizado para verificar a autocorrelação espacial tanto na forma de defasagem quanto de erro. As estatísticas do teste são dadas por:


14


[

]

2 2 RVρ = n ln σ MQO − ln σ defasagem + 2∑i ln (1 − ρω i )

[

]

2 2 RVλ = n ln σ MQO − ln σ erro + 2∑i ln (1 − λω i )

(6.29)

(6.30)

em que ωi são autovalores da matriz de pesos espaciais W. Ambos as estatísticas seguem uma qui-quadrado com um grau de liberdade.

6.6.

Procedimento de Identificação de Modelos Florax et al. (2002) propuseram uma estratégia de identificação híbrida, abrangendo os

testes clássicos e robustos para a autocorrelação com os seguintes passos: 1o passo: estime o modelo clássico de análise de regressão linear por meio de MQO. 2o passo: teste a hipótese de ausência de autocorrelação espacial devido a uma defasagem ou a um erro por meio das estatísticas MLρ e MLλ. 3o passo: caso ambos os testes não sejam significantes, use o modelo clássico como o modelo mais apropriado. Caso contrário, siga para o próximo passo. 4o passo: caso ambos sejam significantes, estime o modelo apontado como o mais significante pelas versões robustas desses testes ML*ρ e ML*λ. Por exemplo, se ML*ρ > ML*λ, use o modelo com a defasagem como o mais apropriado. Caso ML*λ > ML*ρ, use o modelo de erro autorregressivo espacial como o mais apropriado. Caso contrário, siga para o próximo passo. 5o passo: se o teste ML*ρ é significante e o ML*λ não, adote o modelo de defasagem espacial. Caso contrário, vá para o próximo passo.


15

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ 6o passo: se o teste ML*λ é significante e o ML*ρ não, adote o modelo de erro espacial.

6.7.

Conclusões O desenvolvimento dos testes seguiu uma trajetória de problema-solução comum na

ciência. Os primeiro testes eram gerais que tinham como problema principal a incapacidade de identificar a forma da autocorrelação espacial (defasagem ou erro), quando a hipótese nula era rejeitada. A solução envolveu a construção de testes específicos que tinham a vantagem de especificar a forma da autocorrelação espacial. O problema era a freqüência com que os testes de multiplicador de Lagrange rejeitavam a hipótese nula. Quando tanto MLρ e MLλ rejeitavam com tanta freqüência, o pesquisador fica sem indicações para identificar o modelo. A solução foi o desenvolvimento dos testes de ML robustos com elevado poder. Ao contrário do que o senso comum poderia sugerir, o teste bidirecional MLlr não é a composição de MLλ e MLρ. O teste bidirecional pode ser decomposto pelo MLλρ = ML*λ + MLρ = MLλ + ML*ρ Assim, o teste ML bidirecional para λ e ρ pode ser decomposto na soma da versão robusta do teste para uma alternativa (λ ou ρ) e o teste ML não-robusto para a outra alternativa. Por fim, vale destacar que os testes do tipo ML, RV e Wald são assintoticamente equivalentes. Porém, para pequenas amostras, respeitam o seguinte ordenamento: W > RV > ML Caso esse ordenamento não seja respeitado, isso pode ser interpretado como uma evidência de problemas de má especificação do modelo.


16

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 7 MODELANDO A HETEROGENEIDADE ESPACIAL

7.1.

Introdução Na economia aplicada, segundo Anselin (1990, p. 185), “é comum assumir que a relação

de interesse é estável através do espaço”. A bem da verdade, a hipótese da homogeneidade espacial, entendida como um processo no qual há as mesmas respostas, independente da localização ou da escala espacial, é, sem dúvida, heróica no mundo real. Para ver esse grau de heroísmo, vamos voltar à nossa função de produção agrícola para Minas Gerais. Um aspecto interessante a abordar é a diversidade das características rurais das regiões de Minas Gerais, mesmo que de uma forma estilizada. A agropecuária feita em grandes propriedades com direcionamento para o mercado, em especial para exportação, concentra-se no Triângulo Mineiro/Alto Paranaíba, Noroeste e Norte, com destaques na plantação de grãos com a ampla utilização de insumos modernos. Essas duas regiões têm o solo de cerrado e representam uma exploração agrícola mais recente em comparação com as outras regiões, em virtude do avanço da fronteira agrícola do Estado. Já a agricultura das regiões do Sul/Sudoeste e Oeste é caracterizada pela pequena propriedade e produção para o mercado, sobretudo interno. Um conjunto de regiões – Zona da Mata, Campo das Vertentes, Vale do Mucuri e Vale do Jequitinhonha – tem por característica a agricultura de subsistência por meio de pequenas propriedades. A região do Vale do Rio Doce também ostenta uma agricultura de subsistência, porém ao lado de uma pecuária de mercado. As regiões Central e Metropolitana de Belo Horizonte têm uma taxa elevada de urbanização, limitando o espaço para a realização de atividades agrícolas. A despeito disso, sua vocação é para a produção de hortifrutigranjeiros para abastecer os seus mercados. Todavia, essas duas regiões desempenham principalmente o papel de serem o grande mercado consumidor para a produção agropecuária das outras regiões do Estado.


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Como se pode observar do relato acima, a tônica é a heterogeneidade das características e das condições agrícolas e rurais do Estado de Minas Gerais e não a sua homogeneidade ao longo do espaço. Conceitualmente, heterogeneidade espacial significa que existem respostas distintas aos estímulos proporcionados por um fenômeno em estudo, dependendo do lugar onde ocorrem. Em outros termos, a heterogeneidade espacial está associada à falta de estabilidade estrutural. Ao não tratá-la convenientemente no modelo, paga-se um preço alto. Em alguns casos, como veremos abaixo, é possível acarretar em estimativas viesadas. Conseqüências: estimativas viesadas e inconsistentes, perda de eficiência e previsões sub-ótimas. Essa instabilidade estrutural pode ser manifestada de várias maneiras tais como coeficientes variáveis, variância não-constante ou mesmo formas funcionais diferentes para cada sub-conjunto dos dados. Formal e genericamente, podemos representar todas as possibilidades de manifestação da heterogeneidade espacial como: yi = f i ( Xβ i + ui ) ui ~ (0, Ω)

(7.1)

em que Ω é uma matriz de variância-covariância diagonal. σ i2 0 L 0    0 σ i2 0 M   Ω=  M 0 σ i2 0   2  0 L 0 σ i 

(7.2)

Convém notar que nessa matriz de variância-covariância diagonal, não está sendo representada autocorrelação espacial. Na prática, em virtude do imbricamento entre os efeitos espaciais, pode-se verificar o aparecimento conjunto de heterocedasticidade e autocorrelação espacial.


2

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Essa equação destaca os três aspectos da questão da heterogeneidade espacial. O primeiro aspecto diz respeito à instabilidade estrutural expressa na forma de coeficientes (ou parâmetros) variáveis no espaço (βi). Isso é denominado como mudança estrutural. Fenômenos sócioeconômicos podem levar à mudança estrutural. Um caso extremo seria um modelo no qual cada observação fosse diferente, correspondendo a um particular coeficiente. Teríamos n coeficientes para serem estimados. Caso tentássemos inserir uma dummy para cada observação, incorreríamos num problema de estimação, denominado problema do parâmetro incidental, no qual o número de parâmetros a ser estimado cresce com o tamanho da amostra. O segundo aspecto refere-se à heterocedasticidade (ui e Ω), cuja fonte é a omissão de variáveis não-medidas no modelo que levam à não constância da variância do erro. O problema da heterocedasticidade provoca instabilidade estrutural nos resultados da regressão, causando a perda de eficiência. O terceiro aspecto da heterogeneidade espacial trata da forma funcional distinta (fi). O tratamento da heterogeneidade na forma funcional pela literatura é rara. Não trataremos da heterogeneidade na forma funcional nesta apostila. Vamos analisar cada um desses aspectos mais detidamente abaixo. 7.2.

Heterogeneidade Espacial nos Coeficientes (βi) Alguns processos espaciais podem acarretar distintas respostas na forma de diferentes

interceptos ou inclinações. 7.2.1. No intercepto 7.2.1.1.SANOVA A técnica ANOVA espacial tem por objetivo averiguar a existência de diferença significativa da média de uma variável de interesse através de subconjuntos dos dados. Isso consiste em regredir a variável de interesse y contra variáveis dummies (ou indicadores de tratamento geográfico), referentes a clusters, e um termo constante. Formalmente:


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ yi = α + δREG + ε

(7.3)

em que α é a média geral da regresssão, δ é um parâmetro a ser estimado e REG é uma dummy ou um indicador de tratamento geográfico, ε é um termo de erro bem comportado. Um valor altamente significante para o coeficiente REG indica que existe uma discrepância considerável entre a média de cada cluster com relação à média geral representada pela constante da regressão a. Se esse valor for positivo significa que a discrepância é para cima da média geral; se for negativa, há uma discrepância para baixo. 7.2.1.2.Análise de Tendência Espacial Uma superfície pode ser decomposta em dois principais componentes, a saber, uma tendência global determinística e uma variação aleatória de curto alcance. A análise de tendência espacial tem por objetivo encontrar e identificar tendências espaciais globais nos dados. O modelo é simples, pois trata-se de uma regressão polinomial nas coordenadas das unidades espaciais, l1i e l2i. Para uma especificação quadrática, temos que:

y i = α + β 1l1i + β 2 l 2i + β 3l12i + βl 22i + β 5 l1i l 2 i + ε

(7.4)

Uma extensão do modelo é incluir na regressão um conjunto de variáveis explicativas (X) e seus respectivos parâmetros. Em função da quantidade de variáveis de coordenada multiplicadas entre si e elevadas ao quadrado, um problema muito comum é a forte multicolinearidade que aflora com esse tipo de modelo. Um modelo de superfície de tendência pode ser útil para limpar os dados das tendências espaciais, significando uma forma de suavizar os dados. Além disso, um modelo desse tipo pode ser usado para fazer interpolação espacial, ou seja, fazer previsão para regiões que não tem informação ou o dado está ausente. Todavia, esse tipo de modelo recebe a crítica de que sofre de determinismo geográfico.


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Vamos exemplificar esse tipo de regressão com as taxas de crime de Minas Gerais em nível municipal como função das coordenadas, l1i, l2i, os quadrados de l1i e l2i, componente de interação, l1i*l2i. Os resultados dessa regressão são apresentados na tabela 7.1. Todos os coeficientes negativos para l2i são significantes, indicando uma tendência quadrática Oeste-Leste na forma de um U invertido. Por outro lado, parece não haver uma tendência espacial quadrática na direção Norte-Sul.

Tabela 7.1: Modelo de Tendência Espacial para Taxas de Crime em MG variáveis independentes Constante -255,46 (-2,10)** l1i

-6,37 (-1,30)

l2i

-10,17 (-2,54)**

l1i

2

-0,07 (-1,26)

l2i

2

-0,34 (-4,45)***

l1i.l2i

0,07 (0,75)

R2 ajust. 0,15 Nota: estatística t em parênteses; * p<=0.1; ** p<=0.05 ; ***p<=0.01.

7.2.2. Na inclinação 7.2.2.1.

Modelo de Regimes Espaciais


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Regimes espaciais afloram por causa da heterogeneidade ou instabilidade na estrutura do fenômeno estudado ao longo do espaço. Regimes espaciais significam que um modelo de regressão não pode ser ajustado para todos os dados, mas apenas para alguns subconjuntos da base de dados. Esses subconjuntos são definidos por algum critério geográfico. A conseqüência prática é que os coeficientes da regressão não são mais invariantes para todo o conjunto de dados, mas o intercepto ou as inclinações do modelo variam conforme o regime espacial. Num grau mais intenso, os regimes espaciais nos dados podem levar à heterocedasticidade, isto é, à não-constância das variâncias do erro. A idéia por trás do modelo de regimes espaciais é compreender que existem respostas distintas dependendo dos subconjuntos dos dados. Cada regime espacial representaria uma parte do banco de dados que exibe uma determinada resposta a um fenômeno. Tal tipo de heterogeneidade manifesta-se tanto no intercepto quanto na inclinação da regressão, mas na forma de variação discreta. Formalmente, para o caso com m regimes espaciais:  y 1   X1 0 L 0   β 1   u 1   M  0 O 0 M   M   M   = +  M   M 0 O 0  M   M         y m   0 L 0 X m   β m  u m 

(7.5)

Note que o conjunto de dados foi dividido em m partes. Para isso, usa-se uma variável indicadora discreta. Assim, n=n1 + n2 + ... +nm. Uma alternativa é que a variância do erro seja diferente em cada regime. Formalmente, temos que: σ 12 I1 0 L 0    0 O 0 M   Ω=  M 0 O 0    2  0 L 0 σ m I m 


(7.6)

6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ É importante avaliar a estabilidade estrutural do modelo por intermédio de testes. Existe um conjunto de testes com tal propósito. Adota-se o teste Chow, que é baseado na comparação da soma dos resíduos ao quadrado de uma regressão usando todo o conjuntos de dados com a soma dos resíduos ao quadrado obtidos quando todo o conjunto de dados é dividido em sub-amostras. Esse teste verifica a estabilidade dos coeficientes da regressão através dos regimes espaciais. Formalmente: H 0 : β1 = β 2 = L = β m Outro teste adotado é o teste Wald. Levando em consideração a mesma hipótese nula do primeiro modelo, o teste Wald para a estabilidade estrutural assume a forma:

{

Wald = ( g ' b) g ' [var(b)] g −1

} ( g ' b) −1

(7.6)

em que g é uma matriz k por 2k [Ik – Ik], com Ik sendo uma matriz identidade de k por k. O teste Wald é distribuído como uma qui-quadrado (χ2) com (m - 1)*k graus de liberdade. 7.2.2.2.

Modelo de expansão espacial

A heterogeneidade nos coeficientes da regressão pode se manifestar na forma de uma variação contínua e não discreta, como é o caso do modelo de regimes espaciais. Um modelo que comporta isso é aquele apresentado por Casseti (1972), adaptado para o contexto espacial. Considere o seguinte modelo básico: yi = α + β 1 xi1 + K + β k xik + ε i

(7.7)

Suponha que cada coeficiente de regressão dependa de uma função linear de um conjunto de m variáveis de expansão:


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ β 1 = φ 01 + φ11l1 + φ 21l 2 + K + φ m1l m

(7.8)

em que l são variáveis de expansão. Mais especificadamente: β 1 = φ 0 + φ1l1 + φ 2 l 2

(7.9)

Substituindo (7.9) em (7.7), vem que: y = α + φ 0 x + φ1l1 ⋅ x + φ 2 l 2 ⋅ x + ε

(7.10)

Vale a pena tecer alguns comentários. No contexto espacial, as variáveis de expansão são latitude (l1) ou longitude (l2). Originalmente, as variáveis de expansão podem ser inclusive algumas variáveis da matriz X ou variáveis como renda. Note que a especificação é determinística e não aleatória. Para torná-la aleatória, é muito simples, bastando adicionar um componente de erro aleatório: β1 = φ0 + φ1l1 + φ 2l2 + ξ

(7.11)

O interessante nesse caso é que com a especificação aleatória acarreta que ao problema dos coeficientes variáveis é adicionada a heterocedasticidade no erro. Para ver isso, basta substituir: yi = α + φ0 xi + φ1l1i ⋅ xi + φ 2l2i ⋅ xi + ui ui = ε i + ξ i xi

(7.12)

Analisando a variância desse modelo:


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Var [ui ] = Var [ε i ] + xi2Var [ξ i ]

(7.13)

Claramente a variância não é constante, pois varia com xi. Caso sejam relevantes, a omissão das variáveis de interação no modelo resulta em viés nas estimativas. b = ( X ' MX ) −1 X ' My

(7.14)

em que M = I – L(L’L)-1L’; X=[ι x] e L=[l1*x l2*x] Para averiguar a estabilidade dos coeficientes de regressão, testa-se a significância conjunta dos coeficientes expandidos. A hipótese nula assume a forma: H 0 : l1k = l 2 k = K = l mk Esse teste segue uma distribuição F com m.(k-1), n - m.(k-1) graus de liberdade para regressões estimadas por MQO. Para outros métodos de estimação, adota-se o teste Wald assintótico, seguindo uma qui-quadrado com m.(k-1) graus de liberdade.

7.3.

Heterogeneidade no Erro

7.3.1. Modelos Considere o seguinte modelo de erro heterocedástico: y = Xβ + u

E [uu '] = Ω

(7.15)


9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ A matriz de covariância com a diagonal com a variância σ i2 e valores nulos nas outras caselas. É preciso especificar uma forma definida para a variância não constante. Vamos sugerir uma especificação aditiva: σ i2 = Zδ

(7.16)

em que Z é uma matriz N por P com as variáveis heterocedásticas como colunas e δ é um vetor de coeficientes. Existem três variantes do modelo de erro heterocedástico, a saber, em grupos (ou regimes), genérico e com coeficiente aleatórios. A diferença entre eles reside na especificação da matriz Z e na natureza contínua ou discreta da heterocedasticidade. Veremos cada um deles nas próximas subseções. O grande problema com o modelo de erro heterocedástico, em qualquer de suas variantes, é que a variância estimada pode não ser positiva, como requerida pela teoria. Vamos analisar os três modelos de erro heterocedástico que estudaremos nesta apostila, a saber, em grupos, genérica e de coeficientes aleatórios. O modelo do erro heterocedástico em grupos (ou regimes) é de natureza claramente discreta. Há a necessidade de se especificar um indicador categórico para discriminar os grupos ou regimes nos dados. As variáveis heterocedásticas que compõem a matriz Z são o indicador categórico discriminador dos grupos ou regimes espaciais. Note que, pelo menos, uma variável heterocedástica precisa ser especificada. Cabe observar que esse modelo não inclui constante, logo o teste Wald verifica a igualdade da variância em cada regime ou grupo. A heterocedasticidade manifesta-se na forma de que a variância do erro distingue através dos regimes, porém, é constante dentro do regime. A variância é estimada por meio dos resíduos para cada regime. Para o modelo de erro heterocedástico em grupos, o teste Wald verifica a igualdade das variância em cada grupo (supondo g grupos):


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Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ H0: σ21 = ... = σ2g No modelo de erro heterocedástico genérico qualquer variável do conjunto de dados, tomada ao quadrado, pode ser incluída na matriz de variáveis heterocedásticas Z. Convém observar que, mesmo a variável heterocedástica sendo tomada ao quadrado, isso não garante que a variância do erro estimada seja negativa. Evidentemente, uma variância negativa não faz sentido algum e representa, na realidade, um problema. Na especificação da variância de erro heterocedástico é incluída uma constante, que pode ser interpretada como a variância constante através do espaço. Para o modelo genérico, o teste Wald averigua a significância conjunta dos outros coeficientes na especificação heterocedástica. Outro teste é a razão de verossimilhança (RV) que ‘consiste em computar duas vezes a diferença entre o log-verossimilhança no modelo de erro heterocedástico e o log da verossimilhança no modelo de regressão convencional com o mesmo conjunto de variáveis’ (p. 223) Na especificação da matriz Z do modelo de erro heterocedástico com coeficientes aleatórios, são incluídos os quadrados de todas as variáveis explicativas. Formalmente, o modelo pode ser expresso como: y i = α + xi β i + u i βi = β + ξi

(7.17)

Ou seja, o parâmetro variável espacialmente pode ser decomposto em um termo que captura o efeito médio (β) e um termo de variação aleatória ξi. Substituindo : y i = α + xi β + u i + xi ε i


(7.18)

11

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Analisando a variância desse modelo:

Var [u i + xi ε i ] = σ u2 + σ ε2 xi2

(7.19)

Claramente a variância não é constante, pois altera-se com cada xi. Segundo Anselin (1988, p. 130), esse modelo pode ser estimado usando a abordagem da máxima verossimilhança. Assim como para o modelo genérico, no modelo com coeficientes aleatórios, o teste Wald pode ser usado na averiguação da significância conjunta dos coeficientes na especificação heterocedástica. 7.3.2. Estimação do Modelo de Erro Heterocedástico Para estimar o modelo de erro heterocedástico, existem dois métodos: os mínimos quadrados generalizados factíveis (MQGF) em três passos e os mínimos quadrados generalizados factíveis iterativo (MQGFI). O método MQGF em três passos é usado para estimar o modelo de erro heterocedástico genérico e com coeficientes aleatórios. Já o método MQGFI pode ser utilizado para estimar as três variantes do modelo de erro heterocedástico. O método dos mínimos quadrados generalizados factíveis (MQGF) em três passos foi proposto por Amemiya (1985). O procedimento de estimação tem seu início quando, no primeiro passo, os quadrados dos resíduos da regressão estimada por MQO são regredidos contra as variáveis heterocedásticas da matriz Z para gerar a primeira estimativa de δ. −1 δˆ1 = (Z ' Z ) Z ' e 2

(7.20)

No segundo passo, as variâncias do erro são estimadas por meio do vetor de estimativas de δ1. Com base nessas variâncias do erro estimadas é computada a segunda estimativa de δ2, conforme a expressão:


12


(

δˆ2 = Z ' D − 2 Z

)

−1

Z ' D − 2e 2

(7.21)

em que D é uma matriz diagonal cujos elementos são Zδ1. No terceiro passo, a estimativa δ3 é calculada como:

(

δˆ3 = Z ' Ω −1Z

)

−1

Z ' Ω −1e 2

(7.22)

em que Ω é uma matriz diagonal cujos elementos são Zδ3. O outro método de estimação é o MQGF de forma iterativa. A iteração do método melhora a eficiência e, caso os erros sejam normais, é equivalente à estimação de máxima verossimilhança (MV). 7.3.3. Testes contra o Erro Heterocedástico Para o método MQGF iterativo, temos os teste Wald e de razão de verossimilhança (RV) sobre a heterogeneidade e o teste de multiplicador de Lagrange (ML) sobre a remanescente dependência espacial na forma do erro e dependência espacial na forma de defasagem num modelo heterocedástico.

(e' Ω We) = tr (W 'W + W ) −1

MLerro

2

(7.23)

2

em que e são os erros da estimação MQGF iterativa (equivalente à MV).

(e' Ω Wy ) = [D + tr (W 'W + W )] −1

MLdefasagem

2

(7.24)

2

(

em que D = (WXb )' Ω −1 (WXb ) − (WXb )' Ω −1 X X ' Ω −1 X

)

−1

X ' Ω −1 (WXb ) .


13

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Uma vez que existe o imbricamento entre os efeitos espaciais, é interessante ver um teste do tipo ML num modelo afligido pela conseqüência desse imbricamento, ou seja, um teste para autocorrelação espacial com heterocedasticidade. A estatística do teste pode ser expressa por:

MLHet _ Erro

(

(e' Ω =

−1

We T

)

2

T = tr WW + ΩW ' Ω −1W

(7.25)

)

(7.26)

em que Ω é uma matriz consistente de variância-covariância.


14

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ CAPÍTULO 8 APLICAÇÃO À AGRICULTURA 8.1.

Introdução Ao longo de nossa exposição um exemplo recorrente foi a construção de uma função de

produção agrícola para Minas Gerais. Pudemos ilustrar várias ferramentas de análise, conceitos e modelos com esse exemplo. Chegou o momento de aplicarmos a análise econométrica espacial para identificar e estimar a função de produção agrícola, bem como fazer o diagnóstico dos resultados da estimação.

8.2.

Dados A base de dados para a aplicação ilustrativa da função de produção é oriunda de várias

fontes. Em primeiro lugar, como a teoria neoclássica da produção recomenda, todas as variáveis são medidas de quantum. A variável dependente é a área plantada de todas as culturas agrícolas, temporárias ou permanentes, cuja fonte de dados é a Pesquisa Agrícola Municipal do IBGE para o ano de 1996. A explicação para se usar essa variável aproximada deve-se que, em qualquer processo de produção, mas principalmente na agricultura, a decisão sobre o uso dos insumos primários e intermediários é realizada antes que o bem seja efetivamente produzido. Quando os produtores decidem adquirir uma certa quantidade de insumos, tal decisão embute um nível planejado de produção. Contudo, isso envolve um problema teórico e prático, pois o nível planejado de produção existe apenas na cabeça dos produtores e não pode ser observado. Nesse sentido, na agricultura, a área plantada é considerada a melhor proxy para o nível planejado de produção. As variáveis independentes que compõem a função de produção são trabalho, capital e o estoque de infraestrutura de transportes, a saber, a densidade rodoviária e a densidade ferroviária. Vamos começar descrevendo a fonte de dados para os insumos primários, trabalho e capital. Convém notar que, de propósito, escolheu-se um período imediatamente anterior ao


1

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ período da área plantada, pois, como já anteriormente comentado, adquire-se capital e trabalho para posteriormente plantar a área da lavoura. Assim sendo, as quantidades de trabalho e de capital vêm da Base de Informações Municipais (BIM), também do IBGE, e apresentam os níveis para dezembro de 1995. Além disso, não há problemas de endogeneidade de trabalho e capital, como se observa em algumas estimações de função de produção. Essa propriedade decorre do fato de termos escolhido as quantidades desses fatores no começo do período do processo de produção agrícola, ao passo que a variável dependente, ou seja, um indicador de produção, área plantada posteriormente. Os dados para as variáveis de densidade rodoviária pavimentada e não-pavimentada, assim como a densidade ferroviária, são extraídos da Pesquisa Multimodal de Transportes (PMT), realizada pela Secretaria de Planejamento para o ano de 1992. Conseqüentemente, assume-se que tanto as densidades rodoviária e a ferroviária não se alteraram significativamente até 1996, que representa o ano em que a variável dependente está medida. Tal pressuposto é muito razoável para a densidade ferroviária, já que não foram realizados investimentos de ampliação da malha ferroviária para Minas Gerais durante o período entre 1992 e 1996. Esse pressuposto para a densidade rodoviária tampouco apresenta problemas, porque mesmo considerando que uma determinada quantidade de estradas foi construída no Estado de Minas Gerais, nada que seja significativo para que influísse substancialmente na densidade. O conjunto de dados tem a natureza de cross-section para as micro-regiões de Minas Gerais, assim, o tamanho da amostra é composto por 66 observações. A escolha da desagregação regional por micro-região deve-se ao fato de que os dados de infraestrutura de transporte estão disponibilizados para esse nível geográfico, fazendo com que toda a base de dados fosse determinada para tal desagregação regional. Cabe observar que todas as variáveis são definidas em termos per capita. O Mapa 8.1 exibe a distribuição espacial da área plantada pelas micro-regiões de Minas Gerais em 1996.


2


Mapa 1. Distribuição da Área plantada em Minas Gerais (1996)

Área plantada (he) 5.170 a 20.737 20.738 a 37.539 37.540 a 60.132 60.133 a 113.253 113.254 a 197.202 N W 200

0

200

400 Miles

E S

Definidas as variáveis e suas fontes, a forma funcional escolhida recai na especificação de uma função Cobb-Douglas. A principal limitação da função Cobb-Douglas são as elasticidades de substituição unitárias entre os insumos. Essa limitação poderia ser contornada com a adoção de uma forma funcional mais flexível como a função translogarítmica (translog). Porém, essa última forma tampouco está isenta de limitações, tais como o crescimento do número de parâmetros a ser estimado em função dos termos quadráticos e cruzados, que podem produzir multicolinearidade na regressão. Além disso, a interpretação desses termos, muitas vezes, é tortuosa.

8.3.

Resultados da Estimação Como a autocorrelação espacial e a heterocedasticade são processos intimamente

associados, e cuja separação constitui-se numa difícil tarefa, a estratégia de identificação do melhor modelo econométrico espacial basear-se-á em tratar inicialmente a autocorrelação


3

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ espacial e testar, a posteriori, para heterocedasticidade e a remanescente autocorrelação nos resíduos. As regressões (1) a (6) foram estimadas por MQO. Para se fazer a estimação, a função Cobb-Douglas precisa ser linearizada, tomando o logaritmo de todas as variáveis que a compõem. Antes de analisar especificadamente cada uma, vale tecer comentários gerais a respeito dos resultados gerais das estimações, ou seja, as características que são comuns à maioria das regressões. Com esse propósito, há um conjunto de propriedades apreciáveis que é partilhado por todas elas. O poder de explicação das regressões estimadas por MQO é alto, conforme medido pelo valor do coeficiente de determinação (R2), todos acima de 86%. É possível detectar uma estabilidade dos coeficientes estimados ao longo das regressões, dando uma indicação de sua robustez, além de todos os sinais estarem teoricamente corretos. Na primeira regressão, a quantidade planejada é especificada como função de trabalho per capita (l), capital per capita (k), densidade de rodovias pavimentadas (rp) e não-pavimentadas (rnp) e a densidade ferroviária (f). A constante numa função de produção do tipo Cobb-Douglas tem o significado de ser o parâmetro de eficiência comum a todas as regiões. Em todas as regressões, tal parâmetro mostrou-se significante e positivo. Outra regularidade compartilhada por todas as regressões é o fato de que o capital revela-se o insumo que mais contribui para o nível de produção agrícola. Sua elasticidade é superior ao do fator trabalho, fornecendo indicações do intenso processo de mecanização das lavouras em Minas Gerais. No tocante à influência da infraestrutura, não há evidências de que a densidade ferroviária tenha uma contribuição relevante para a produção agrícola. em Minas Gerais, como isso pode ser apreciado na regressão (1). O coeficiente estimado para essa variável não se mostra significante estatisticamente nos níveis de significância convencionais. Os outros elementos da infraestrutura de transportes, as rodovias pavimentadas e não pavimentadas apresentam-se estatisticamente significantes para todas as regressões da Tabela 8.1. Duas observações merecem registro. Em primeiro lugar, a elasticidade-rodovia pavimentada sempre é superior à elasticidade-rodovia não-pavimentada em todas as regressões estimadas. Em segundo lugar, a variável rodovia pavimentada exibiu sempre um maior nível de significância.


4

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Convém lembrar que a rede de rodovias não-pavimentadas é, na sua maioria, constituída por estradas vicinais, presentes no meio rural. Pelos resultados aqui apresentados, há evidências de tais estradas cumprem um papel relevante para a produção agrícola, apesar de que a maior parte das estradas vicinais apresentem precárias condições de pavimento. Os efeitos de transbordamento da infraestrutura de transportes são também avaliados em várias regressões. Na regressão (2) da Tabela 8.1, especificou-se um modelo de transbordamentos de todos os elementos da infraestrutura de transportes, ao passo que nas regressões (3), (4) e (5), continuou-se testando a significância dos efeitos de transbordamento, contudo, eliminando progressivamente os efeitos que não haviam sido significantes do ponto de vista estatístico. Na verdade, nenhum deles foi significativamente diferente de zero, tanto para as rodovias pavimentadas (Wrp) quanto para as não-pavimentadas (Wrnp). Tampouco o efeito de transbordamento das ferrovias (Wf), vale dizer, a densidade ferroviária dos vizinhos tem impacto positivo sobre a produção agrícola, como pode ser observado pelos resultados da regressão (2). A conclusão é que não há evidências de efeito de transbordamento dos transportes dos vizinhos para a produção agrícola. Uma vez que nenhum efeito de transbordamento de primeira ordem mostrou-se estatisticamente diferente de zero, não houve motivo para testar a existência de efeitos de transbordamento de segunda ordem para nenhum elemento da infraestrutura de transporte.

Tabela 8.1: Resultados da Estimação das Regressões


5

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Coeficientes (1) 4,419 (9,403) [0,000]

(2) 6,029 (5,348) [0,000]

MQO (3) (4) 5,523 5,555 (5,153) (5,219) [0,000] [0,000]

(5) 4,653 (8,755) [0,000]

(6) 4,371 (9,860) [0,000]

(7) 4,093 (10,450) [0,000]

(8) 4,376 (10,908) [0,000]

l

0,367 (6,906) [0,000]

0,399 (7,096) [0,000]

0,379 (7,179) [0,000]

0,381 (7,284) [0,000]

0,363 (7,261) [0,000]

0,361 (7,232) [0,000]

0,394 (7,045) [0,000]

0,362 (7,983) [0,000]

k

0,598 (10,381) [0,000]

0,558 (7,295) [0,000]

0,566 (7,413) [0,000]

0,549 (7,832) [0,000]

0,612 (10,494) [0,000]

0,600 (10,540) [0,000]

0,552 (8,017) [0,000]

0,488 (7,670) [0,000]

rp

0,171 (2,100) [0,040]

0,196 (2,370) [0,021]

0,188 (2,309) [0,025]

0,192 (2,386) [0,020]

0,174 (2,176) [0,033]

0,176 (2,209) [0,031]

0,160 (2,453) [0,014]

0,198 (2,733) [0,006]

rnp

0,103 (4,500) [0,000]

0,086 (2,889) [0,005]

0,088 (2,942) [0,005]

0,099 (4,428) [0,000]

0,083 (2,828) [0,006]

0,102 (4,542) [0,000]

0,093 (3,988) [0,000]

0,100 (4,927) [0,000]

f

0,006 (0,330) [0,742]

-0,005 (-0,239) [0,812] 0,186 (1,223) [0,223]

Const.

Wrp

0,114 (0,683) [0,497]

0,153 (0,936) [0,353]

Wrnp

0,054 (1,005) [0,319]

0,030 (0,568) [0,572]

Wf

0,058 (1,513) [0,136]

MV

0,047 (0,963) [0,339]

λ

0,540 (4,157) [0,000]

ρ

0,250 (3,007) [0,003] 2

R ajust. MV AIC SC N

0,867 -18,290 48,581 61,719 66

0,869 -15,867 49,735 69,442 66

0,867 -17,358 48,716 64,043 66

0,869 -17,538 47,076 60,214 66

0,868 -17,844 47,688 60,826 66

0,868 -18,350 46,700 57,649 66

-12,967 35,935 46,883 66

-14,781 41,562 54,700 66

Notas: Em parênteses, encontram-se as estatísticas t para as regressões de (1) a (6); ou z para as regressões (7) e (8).


6

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Em colchetes, estão as probabilidades associadas às estatísticas t ou z. Para as regressões (7) e (8), é mostrado o R2 Buse.

A Tabela 8.2 revela o diagnóstico para todas as regressões estimadas por MQO. Sem entrar em minúcias, podem-se extrair certas regularidades presentes em todas as regressões. O diagnóstico revela que os erros são normais, o que nos permitirá estimar posteriormente os modelos espaciais pelo método de Máxima Verossimilhança. Pelo teste de White, não há evidências de má especificação das diversas regressões. Pelos testes globais para detectar dependência espacial (teste I de Moran e o teste KR),1 há claras evidências de que os erros estão autocorrelacionados no espaço. Pelos testes específicos do tipo da dependência espacial (testes do tipo multiplicador de Lagrange para defasagens e para o erro espacial, bem como suas versões robustas),2 há indicações de que a autocorrelação espacial assume a forma de erro autoregressivo. Em termos de qualidade de ajuste, a melhor regressão estimada por MQO foi a de número (6). Isso foi avaliado com base nos critérios de informação Akaike (AIC) e Schwartz (SC). Os diagnósticos do modelo (6) indicam que não há problemas graves de multicolinearidade, conforme isso pode ser apreciado pelo valor assumido do condition number. Por indicação do teste Jarque-Bera, os erros são normais. Pelo teste Breusch-Pagan, não há evidências de erros heterocedásticos. Quanto à autocorrelação espacial, há claros sinais de que este problema está presente na regressão. Os testes globais –I de Moran e o teste de Kelejian-Robinson (KR) – mostram evidências de que os erros estão autocorrelacionados espacialmente, apesar desses testes serem incapazes de irem além disso, isto é, fornecendo subsídios de qual modelo econométrico espacial seria mais apropriado para modelar tal latente autocorrelação. Podemos conseguir mais auxílio com os testes específicos do tipo multiplicador de lagrange (ML). Com base neles, é possível notar a alta significância do teste ML(erro), indicando que os resíduos da regressão seguem um processo estocástico de erro auto-regressivo de primeira ordem. Essa evidência é reforçada pela

1 2

Para uma descrição desses testes, veja Anselin (1988) e Kelejian e Robinson (1998). Para uma descrição desses testes, consulte Anselin (1988) e Florax et al. (2002).


7

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ versão robusta desse teste. Em contraste, o teste ML(defasagem) não indica que a autocorrelação existente nos resíduos siga um padrão de defasagem espacial de primeira ordem. Tabela 8.2: Diagnósticos das Regressões Estimadas por MQO Diagnósticos

MQO (1) 39,861

(2) 112,087

(3) 97,477

(4) 87,788

(5) 97,477

(6) 36,506

Jarque-Bera

3,575 [0,167]

3,128 [0,209]

1,037 [0,595]

1,982 [0,371]

1,037 [0,595]

3,428 [0,180]

Breusch-Pagan

16,440 [0,006]

26,819 [0,001]

19,176 [0,004]

10,877 [0,054]

19,176 [0,004]

12,488 [0,014]

White

30,652 [0,060]

52,043 [0,189]

35,466 [0,127]

29,348 [0,081]

35,466 [0,127]

23,573 [0,052]

Moran's I

4,253 [0,000]

4,609 [0,000]

4,870 [0,000]

4,791 [0,000]

4,870 [0,000]

4,210 [0,000]

Kelejian-Robinson

28,576 [0,020]

42,578 [0,000]

39,311 [0,000]

29,281 [0,000]

39,311 [0,000]

25,454 [0,000]

ML(erro)

10,968 [0,001]

12,336 [0,000]

15,282 [0,000]

14,923 [0,000]

15,282 [0,000]

11,396 [0,001]

ML(erro) robusto

5,431 [0,020]

5,963 [0,015]

9,727 [0,002]

9,318 [0,002]

9,727 [0,002]

5,958 [0,015]

ML(defasagem)

6,714 [0,010]

6,525 [0,011]

5,580 [0,018]

5,618 [0,018]

5,580 [0,018]

6,435 [0,011]

1,178 0,152 [0,278] [0,696] Nota: Em colchetes, encontra-se a probabilidade.

0,025 [0,874]

0,013 [0,908]

0,025 [0,874]

1,000 [0,318]

Condition number

ML(defasagem) robusto

Tendo em mãos esse diagnóstico, decidiu-se estimar um modelo econométrico espacial de erros auto-regressivo de primeira ordem para a função de produção agrícola de Minas Gerais, conforme pode ser visto pela regressão (7). Todas as estimativas da regressão (7) têm o sinal esperado e mostram-se estatisticamente diferentes de zero. O capital e o trabalho desempenham o principal papel na contribuição à produção. Pela especificação da função log-log, os coeficientes têm uma interpretação de


8

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ elasticidade. Assim sendo, um aumento de 10% na quantidade do fator capital provoca um acréscimo de quase 5,5% na produção. Já um aumento de 10% do fator trabalho ocasiona uma elevação de 3,8% na produção agrícola. A infraestrutura de transporte também cumpre a sua parte. A densidade rodoviária pavimentada, significante em 5%, responde, após os fatores capital e trabalho, pela terceira maior contribuição: um acréscimo de 10% nesta variável engendra uma elevação de 1,6% na produção agrícola planejada. A densidade rodoviária não-pavimentada, significante no nível de 0,01%, vem logo depois, porém, com um efeito menor: um aumento na sua quantidade de 10% cria as condições para uma subida de quase 1% na produção. O coeficiente do erro auto-regressivo espacial (λ) é altamente significante e positivo, indicando que os efeitos não modelados apresentam uma autocorrelação espacial positiva, quer dizer, altos valores desses efeitos são vizinhos de altos valores, ao passo que baixos valores são vizinhos de baixos valores. Tabela 8.3: Diagnósticos das Regressões Estimadas por MV MV

Diagnósticos (7) 10,597 [0,031]

(8) 6,441 [0,169]

10,765 [0,001]

7,139 [0,007]

3,807 [0,433]

-

b) Wald

3,535 [0,473]

-

4. ML

2,793 [0,095]

7,850 [0,005]

1.Breusch-Pagan

2. LR

3. Hipótese do Fator Comum a) LR

Nota: em colchetes, encontra-se a probabilidade.


9

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ Como pode ser observada pela Tabela 8.3, a alta qualidade do ajuste dessa regressão é atestada pelo maior valor assumido pela função de máxima verossimilhança (-12,97) e pelo menor valor, comparativamente a todas as outras regressões, dos dois critérios de informação reportados: AIC (35,93) e SC (46,88). O diagnóstico do modelo de erro auto-regressivo espacial não mostra nenhuma anomalia que mereça atenção. Por exemplo, não há evidências de heterocedasticidade nos resíduos no nível de 1%, como certificado pelo teste de Breusch-Pagan. Os testes RV e Wald verificam a hipótese do fator comum. Se tais testes mostrarem-se significantes, a hipótese de fator comum é rejeitada e, por conseqüência, representa que existem evidências de má especificação do modelo. Como nem o teste RV nem o teste Wald são significantes, não há indicações de que haja inconsistência na especificação do modelo de erro auto-regressivo espacial. Após a estimação de um modelo econométrico espacial, é importante testar se toda a autocorrelação espacial presente foi incorporada apropriadamente no modelo, não remanescendo erros dependentes espacialmente. Isso é realizado pela aplicação do teste do tipo multiplicador de lagrange aos resíduos da regressão. Pelo resultado reportado na Tabela 8.3, não há evidências de existência remanescente de autocorrelação espacial nos resíduos, certificando, assim, que toda a dependência espacial dos erros foi apropriadamente modelada. Todos os testes e as evidências conduzem à conclusão de que a estimação do modelo econométrico do erro auto-regressivo espacial é a melhor opção para a função de produção agrícola de Minas Gerais. A despeito disso, e ainda devido ao fato de que a identificação é um processo intrincado, uma vez que a autocorrelação espacial e a heterocedasticidade estão intimamente imbricadas, é interessante estimar o modelo econométrico de defasagem espacial de primeira ordem e comparar os seus resultados com o do modelo de erro auto-regressivo espacial, previamente estimado. Portanto, esse procedimento pode ser considerado como mais uma checagem adicional da conveniência da especificação adotada. Isso é feito na regressão (8), conforme pode ser visto nas Tabelas 8.1 e 8.3. A qualidade do ajuste da regressão (8) é muito inferior ao da regressão (7), como atestado pelo valor assumido da função de verossimilhança, pelo valor do critério AIC e pelo valor do critério SC. Todavia, o grande defeito da regressão (8)


10

Curso de Econometria Espacial Aplicada _____________________________________________________________________________ manifesta-se na permanência de autocorrelação espacial nos resíduos, embora tenha-se incorporado o termo Wy no modelo com o objetivo de tratá-la, e estimado o seu coeficiente associado, ρ. Apesar desse coeficiente ser significante, tal tratamento da autocorrelação espacial não foi suficiente para eliminá-la. Erros autocorrelacionados espacialmente remanescentes na regressão são uma prova cabal da má especificação do modelo estimado. Por conseqüência, à luz desses resultados nossa confiança sobre a adequação do modelo econométrico de erro autoregressivo espacial ficou reforçada.

8.4.

Conclusões À guisa de ilustração do potencial da análise econométrica espacial, foi feita uma

aplicação para a agricultura. A construção da função de produção espacial agrícola para o Estado de Minas Gerais envolveu a utilização de todos os componentes discutidos anteriormente, a saber, a desagregação regional, a incorporação de variáveis intensivas, a especificação de elementos de infraestrutura de transportes, a inclusão de efeitos de transbordamento e a estimação dos parâmetros controlando para efeitos espaciais. Os principais resultados desta aplicação apontaram que a densidade ferroviária não apresenta efeito sobre a produção agrícola de Minas Gerais, apesar deste Estado apresentar a maior rede ferroviária do país. Além de ser estatisticamente significante, a densidade rodoviária pavimentada exibe um impacto sobre o desempenho produtivo maior que a densidade rodoviária não-pavimentada. Nenhum efeito de transbordamento mostrou relevante na explicação da produção agrícola. Como esperado, o fator capital apresenta a maior contribuição entre os insumos, seguido pelo fator trabalho. Tal evidência empírica é um indicador do avanço histórico da mecanização na agricultura mineira.


11

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apostila - econometria espacial

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