Geometria Espacial - Estudo Da Esfera - Celso Brasil

Exercícios resolvidos de Geometria Espacial – Esfera – C.R.Brasil

Esfera Teoria Definição

Por definição, uma superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos do espaço que estão à mesma distância de certo ponto - o centro.

Uma esfera é o lugar geométrico dos pontos do espaço pertencentes à superfície esférica e ao seu interior. A esfera surge da revolução de uma semicircunferência. Observe:

GEOMETRIA ESPACIAL – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ESFERA Celso do Rosário Brasil

Esse corpo circular possui inúmeras aplicações cotidianas. Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade. A fórmula matemática utilizada para determinar o volume da esfera é a seguinte:

Localização dos pontos pertencentes a uma Superfície Esférica e a uma Esfera Superfície Esférica

1




Os pontos A e B pertencem à Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].



Os pontos E e G pertencem ao exterior da Superfície Esférica de centro C e raio igual ao comprimento do segmento de reta [CA].



O ponto D pertence ao interior da Superfície Esférica.



Os pontos A, B, C, D e F são pontos pertencentes à esfera de centro C e raio [CA].



Os pontos E e G pertencem ao exterior da esfera. Exemplos Em situações do dia a dia existem muitos os exemplos de superfícies esféricas e esferas que podes encontrar.

Bola de futebol

Bola de Basquetebol

2


Bolas de Bilhar e Snooker Área da esfera A área de uma superfície esférica de raio r é igual a:

Volume da e Seu volume depende do tamanho do raio, que é à distância do centro da esfera a qualquer ponto da extremidade. O volume de uma esfera de raio “r” é igual a:

3


Exercícios resolvidos 01. Uma laranja tem a forma esférica. Assim sendo, qual é,

aproximadamente, a área da casca de uma laranja com 8 cm de diâmetro? Adote: π = 3,14.

Solução: Se o diâmetro da laranja vale 8 cm, então, seu raio vale 4 cm. A área da esfera (S) é dada por: 2 2

4


02. Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro? Solução: Volume da esfera metálica de raio r:

olu e da esfera

et lica de raio r

Somar os volumes das esferas

Volume do cilindro será igual ao volume das esferas. olu e do cilindro = π.r².h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro. π. R².3r = 1 .π.r³ R² = 12. r³ / 3r R² = 4r² R = 2r Temos que o raio do cilindro é 2r.

5


03. Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons. Volume de cada bombom:

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20.000 unidades é de: 4,18 x 20.000 = 83.600 cm³ Sabemos que 1 cm³ = 1 ml, então 83.600 cm³ corresponde a 83.600 ml de chocolate ou 83,6 quilos. Portanto, a fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³. 04. A esfera da figura está inscrita em um cilindro. Se o volume da esfera é:

.

Qual é o volume do cilindro? (a) 8 π c ³ (b) 1 π c ³ (c) 16 π cm³ (d) 3 π c ³ (e) 64 π c ³ Solução: Igualamos a fórmula do volume de uma esfera, com o valor dado, isso permitirá saber o raio da esfera, que é o raio da circunferência do 6


cilindro... Além disso, duas vezes o raio é a altura do cilindro, vejamos:

𝜋 𝑟3

𝑟3

𝜋

𝑟3

𝒓

𝟐

Volume do cilindro: 𝑉

𝜋𝑟 2 ℎ

𝑉

𝜋𝑥

𝑽

𝟏𝟔𝝅 (Resposta: letra c).

2

𝑥

05. A área de uma superfície esférica é “S”. Calcule o raio “R” da esfera em função de “S” e dê o valor de “R” quando S = 36 π cm². Solução: 𝑆

𝜋 𝑅2

𝑹

𝑺𝝅 𝟐𝝅

Quando S

𝑹

𝜋𝑅2

𝑆

𝑅2

= 36 π cm²  𝑹

𝑺𝝅 𝟐𝝅

𝑆 𝜋

𝑹

𝑅

𝟑𝟔𝝅𝒙𝝅 𝟐𝝅

𝑆 𝜋

𝑹

𝑆

𝑅

𝜋

𝟑𝟔𝝅𝟐 𝟐𝝅

𝟑 𝒄𝒎

06. O diâmetro de uma esfera é igual ao raio de outra esfera. Qual é a razão entre as áreas das superfícies esféricas? Solução:

7


Sejam d1 e r2 o diâmetro da esfera 1 e o raio da esfera 2, respectivamente: ESFERA 1 d1 = r2  2 r1 = r2 

𝒓𝟏

𝒓𝟐 𝟐

Razão entre as áreas: Sejam S1 e S2 as áreas das esferas 1 e 2, respectivamente. Logo: 𝑺𝟏 𝑺𝟐

𝟒𝝅𝒓𝟐𝟏 𝟒𝝅𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟏 𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐 𝟐 𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟐 𝟒 𝒓𝟐𝟐

𝒓𝟐𝟐 𝟏 𝒙 𝟒 𝒓𝟐𝟐

𝑺𝟏 𝑺𝟐

𝟏 𝟒

07. A figura abaixo representa um hemisfério. Qual é a área da superfície desse hemisfério? Dados: Diâmetro = 20 m e π= 3,14. Solução: A área do hemisfério equivale à metade da área de uma esfera de raio r= 10 m:

𝑺

20 m

𝜋𝑟 2 2

𝑆 𝑆 𝑺

𝟔𝟐𝟖 𝒎

08. Um plano secciona uma esfera a 4 cm do centro 0, determinando uma secção plana de raio 3 cm. Calcule o volume dessa esfera e a área de superfície.

8


Solução: R² = 3²+4² R²= 16+9 R²=25 R= 5 cm R

4 cm

3 cm

𝑽

𝑆

𝟒𝝅𝑹𝟑 𝟑

𝑽

𝜋𝑅

𝟒𝝅𝟓𝟑 𝟑

𝑆

𝑽

𝜋5

𝟒 𝟏𝟐𝟓𝝅 𝟑

𝑺

𝑽

𝟓𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑 𝟑

𝟏𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

09. Na figura a seguir, o raio da esfera mede 10 cm, e a distância do centro desta ao plano β é igual a 8 cm. Calcule a área da secção plana determinada pela intersecção do plano b com a esfera.

Solução: Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo da figura ao lado, temos: d²+8²=10²d²=100-64 d=6 cm

d 8

10

Assim, a área de secção, determinada pela intersecção do plano e a esfera, é igual a: 𝑆 𝜋𝑟 𝑆 𝜋 𝑺 𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎

10- Duas esferas maciças, cujos raios medem 4 cm e 8 cm, são fundidas para moldar uma única esfera. Calcule a medida do raio dessa nova esfera.

Solução: 9


O volume da nova esfera é igual à soma dos volumes das outras duas. Sendo R a medida do raio da nova esfera, temos:

𝜋 𝑅13

𝜋 𝑅3 𝜋 𝑅3 𝑅

𝜋 𝑅23

5 𝜋 𝜋

𝜋 𝑅3

𝜋

𝑅

𝜋

𝜋 𝑅3

57

𝑅

3

57

𝜋

3

𝜋 𝑅

𝜋

3

𝜋𝑅3 3

6

2

𝜋 𝑹

𝟑

𝟒 𝟗 𝒄𝒎

11- Uma esfera tem raio de medida 13 cm. A intersecção dessa esfera com um plano é um círculo cujo diâmetro mede 10 cm. A distância desse plano ao centro da esfera é: 5 cm d

13 cm

a) 6 cm b) 9 cm c) 11 cm d) 10 cm e) 12 cm

d² + 5² = 13² d²= 169-25d²= 144  d= 12 cm

12. Uma esfera de centro O e raio 15 cm é seccionada por um plano a 12 cm de O. Calcule: a) a área da secção plana, b) a área da superfície esférica, c) o volume da esfera.

10


Solução: b) A área da superfície esférica é dada por: r

12 cm

𝜋𝑅 2

𝑆

𝑆

𝜋 52

𝑆

𝜋

5

𝑺

𝟗𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐

15 cm c) O volume da esfera é dado por:

O

r²+12² = 15² r²=225-144r=9 cm

𝜋𝑅

𝑉

𝑉

𝜋 5

𝑽

𝟒 𝟓𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

a) A área da secção plana é dada por: 𝑆

𝜋𝑟

𝑆

𝜋

𝑆

𝟖𝟏𝝅 𝒄𝒎

13. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesfera. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio 3 cm.

Solução: (1) Cálculo do Volume da semiesfera:

𝑉

𝜋𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

𝜋 7

𝑽

𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎

14. Uma fundição transformou uma esfera maciça de ferro em oito esferas maciças de raio 5 cm. Qual é a medida do raio da esfera original? 11


Solução: Sendo R a medida em cm, do raio da esfera original, temos: 𝜋𝑅

𝜋5

𝜋𝑅

𝜋

𝑅

3

𝑹

𝟏𝟎 𝒄𝒎

15. Um ourives banhou em ouro 40 peças esféricas de 5 mm de raio. O custo de cada milímetro quadrado desse banho foi R$ 0,05. Qual foi o custo total (Adote: π=3,14) Solução: A área de cada superfície esférica é:

𝑆

𝜋𝑟

𝑆

5

𝑺

𝟑𝟏𝟒 𝒎𝒎

A área total banhada em ouro é: St=40.SSt = 40.314St= 12.560 mm² O custo total foi: C= 0,05.12560 C = R$ 628,00

16. Ao cair em uma cavidade em forma de cone circular reto de altura 16 cm e raio da base 12 cm, uma esfera estacionou com seu centro a 2 cm do vértice do cone, conforme mostra a figura.

2 cm

12


a) A figura abaixo representa uma secção meridiana desse cone, em que a geratriz AB tangencia a esfera no ponto T. Prove que os triângulos ABC e AOT são semelhantes. 12 cm

C

B

12 cm

O T

2 cm

A

b) Calcule o volume da esfera. Solução: a) Note que o raio da esfera é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência. Assim: O ângulo C é congruente ao ângulo T (I) O ângulo A é comum aos triângulos ATO e ACB. Assim: Os ângulos OAT ≅ CAB (II) As condições de (I) e (II) caracterizam o caso ângulo-ângulo de semelhança de triângulos, portanto: ∆𝑶𝑨𝑻 ~ ∆𝑪𝑨𝑩 b) Sendo R a medida, em cm, do raio da esfera, temos, pela semelhança de triângulos demonstrada no item “a” e pelo Teorema de Pitágoras:

𝑅

𝑅

(AB)²= 400

O Volume da esfera é dado por:

𝐴𝐵

𝐴𝐵 (AB)² = 12²+16²

𝑅

V= 𝑅

𝑹

𝟏 𝟐 𝒄𝒎

4𝜋 1 2 3 3

𝑉

4𝜋 1 728 3

𝑉

6 912𝜋 3

V= 2,304π cm³

AB = 20 13


17. Enche-se um tubo cilíndrico de altura h = 20 cm e raio de base r = 2 cm com determinado número de esferas tangentes ao mesmo e tangentes entre si. Quanto vale o volume interior ao cilindro e exterior às esferas?

Primeiro, vamos calcular o volume de cada esfera (Note que o raio do cilindro é igual ao raio de cada esfera). Assim:

Solução: r= 2 cm

𝜋𝑟

𝑉

h=20 cm

𝑉

𝜋

𝜋

𝑉

𝑽

𝟑𝟐𝝅 𝒄𝒎 𝟑

Como as esferas são tangentes entre si, o diâmetro de cada uma vale 2.2 = 4 cm, logo, cabem 5 esferas (altura do cilindro = 20 cm) dentro do cilindro. Portanto, o volume total ocupado pelas esferas vale: 𝑉

5

𝜋

𝑽

𝟏𝟔𝟎𝝅 𝒄𝒎 𝟑

Vamos calcular o volume do cilindro: V= Sb.h V=𝜋

2

𝑽

𝟖𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟑

Logo, o volume interior ao cilindro e exterior às esferas vale: V= 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎𝑠

𝑉

𝜋−

160𝜋 3

𝑉

240𝜋−160𝜋 3

𝑽

𝟖𝟎𝝅 𝟑

𝒄𝒎

14


18. Calcule o volume de uma cunha esférica de raio 3 cm cujo ângulo diedro mede 40°.

3 cm

40°

Solução: A razão entre o volume de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre o volume de uma cunha qualquer dessa esfera e a medida de seu ângulo diedro. Assim, o volume V da cunha em questão pode ser calculado através de uma regra de três simples:

Ângulo (em graus)

Volume (em cm³)

360°------------------------------------

4𝜋 33 3

40°------------------------------------V

𝑉

𝜋

𝑉

𝜋

𝑽

𝟒𝝅 𝒄𝒎

15


19. Calcule a área de um fuso esférico de raio 10 m cujo ângulo diedro mede

𝜋 5

rad

Solução: A razão entre a área da superfície de uma esfera e a medida do ângulo diedro de uma volta completa (360° ou 2π rad) é igual à razão entre a área de um fuso qualquer dessa superfície e a medida de seu ângulo diedro. Assim, a área “S” do fuso esférico em questão pode ser calculada pela regra de três simples: Ângulo (rad)

Área (m²)

2π------------------------------------4π.10² 𝜋 5

−−−−−−−−−−−− S

𝑆

𝜋 5

𝜋 𝜋

𝑆

𝜋 𝜋

𝑺

𝟒𝟎𝝅 𝒎

20. No jogo de bola disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura a seguir. Qual é a distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão?

16


A

B

Solução: Podemos representar a situação acima apresentada da seguinte maneira:

O

8

4

O’

C

A

x

B

Observe que a distância “x” entre os pontos A e B é igual à distância entre os pontos C e O’. Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo OCO’. Assim: x²+4² = 12² x² = 144-16 x²= 128 x=

𝒙

𝟖 𝟐

21. De uma melancia com o formato de uma esfera de raio 15 cm retirou-se um pedaço em forma de cunha esférica com ângulo diedro de 30°. a) Calcule o volume desse pedaço, b) Calcule a área do fuso esférico referente a esse pedaço, c) Calcule a área desse pedaço.

17


30°

15 cm

Solução: a) Ângulo (em graus)

𝑉

°

Volume (cm³)

360°----------------------------------------

4𝜋 15 3 3

30°----------------------------------------

V

𝜋

75 𝑉

°

5

b) Ângulo (em graus)

𝜋

𝑽

𝟑𝟕𝟓 𝒄𝒎

Área (cm²)

360------------------------------------4π(15)² 30------------------------------------S 𝑆

4𝜋 225 30 360

𝑆

900𝜋 30 360

𝑆

900𝜋 12

𝑺

𝟕𝟓𝝅 𝒄𝒎

c) A área total (S) da superfície da cunha é a soma da área do fuso com as áreas de dois semicírculos de raio 15 cm, isto é: 𝑆 𝑺

75𝜋

5𝜋

𝟑𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

22. Os raios de duas esferas concêntricas medem, 15 cm e 9 cm. Calcule a área feita na esfera maior por um plano tangente à outra esfera.

18


M d O

s

r

Solução: Observação: Toda secção plana de uma esfera é um CÍRCULO. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera. Sendo “r” o raio da esfera, “d” a distância do centro da esfera ao plano secante e “s” o raio da secção, temos: d² + s² = r². Na figura acima, temos: r=15 o raio da esfera maior; d=9 o raio da esfera menor e s o raio da secção, logo: 𝑑2

𝑠2

𝑟2

2

𝑠2

52

𝑠2

5−

𝒔𝟐

𝟏𝟒𝟒 𝒐𝒖 𝒔

𝟏𝟐

A área da secção é a área do círculo de raio 12. S= πs² S=π.144 S= 144π cm².

23. Supondo que a circunferência máxima do globo terrestre tenha 40.000 km de comprimento, qual é a área de cada fuso horário, em km²?

19


Solução: Sendo R a medida, em km, do raio da Terra, temos: C= 2πR 2πR=40.000 πR=20.000 R= Cada ângulo diedro de cada fuso mede:

𝟐𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝝅 𝟑𝟔𝟎° 𝟐𝟒

𝟏𝟓°

A área do fuso é dada por: 𝟑𝟔𝟎° − − − − − −𝟒𝝅𝑹𝟐 𝜶° − − − − − − − 𝑺𝒇𝒖𝒔𝒐

𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜

𝛼° 𝜋 𝑅 2 ° 8

𝑆

𝜋

𝑺

𝑆

5𝜋

2

𝜋

𝑆

5𝜋

𝜋2

𝑆

8

5 𝜋

𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝒌𝒎 𝟑𝝅

24. Um círculo máximo de uma esfera separa-a em dois sólidos chamados de hemisférios ou semiesferas. Calcule o volume e a área de um hemisfério de raio R= 3 cm.

3 cm

20


Solução: (1) O volume do hemisfério é dado por: 𝜋𝑅 𝑉

𝑉

𝜋

𝜋 7

𝑉

𝜋

𝑉

𝑽

𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎

𝜋

𝑺

(2) A área do hemisfério é dada por: 𝑆

𝜋𝑅 2

𝑆

𝜋𝑅 2

𝑆

𝜋

2

𝟏𝟖𝝅 𝒄𝒎𝟐

𝑺

(3) A área total do hemisfério é dada por: 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

Á𝑟𝑒𝑎ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜

𝑆

𝜋

𝟐𝟕𝝅 𝒄𝒎

25. Um reservatório de forma esférica (figura abaixo) tem 9 m de raio. Para encher totalmente esse reservatório são necessárias 20 horas. Nessas condições, o reservatório recebe água na razão de quantos m³/h (aproximadamente)? Dado: π=3,14.

21


Solução: (1) Volume do reservatório: 𝜋 𝑅3

𝑉

3

𝑉

𝑉

5 7

𝑉

5

𝑽

𝟑𝟎𝟓𝟐 𝟎𝟖 𝒎

(2) Vazão no reservatório: 5

𝑚 ℎ

𝟏𝟓𝟐 𝟔𝟎 𝒎 /𝒉

26. Um reservatório tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro (figura abaixo). Qual será o volume, em litros, de água que enche completamente esse reservatório? Adote: π= 3,14.

8m

8m

8m

22

GEOMETRIA ESPACIAL – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ESFERA Celso do Rosário Brasil Solução: (1) Volume do cilindro: 𝑉

𝑆𝑏 ℎ

𝑉

𝜋𝑟 ℎ

𝑉

𝜋

𝑽

𝟓𝟏𝟐𝝅 𝒎

(2) Volume do hemisfério: 𝜋𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

𝑉

5

𝜋

𝑉

5

𝜋

𝑉

:

𝟏𝟎𝟐𝟒𝝅 𝒎 𝟑

𝑽

(3) Volume do reservatório: 𝑉𝑟𝑒𝑠𝑟𝑣𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝑉

5

𝜋

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑉

𝑉ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑜

5

𝑉

𝜋

𝜋 𝑉≃

7

𝑉 7 𝑚3

5

𝜋

𝜋

𝑉 ≃ 𝟐 𝟔𝟕𝟗 𝟒𝟕𝟎 𝒍𝒊𝒕𝒓𝒐𝒔

27. Quantos mililitros cabem, aproximadamente, na vasilha abaixo? Adote π=23,14. 5 cm

8 cm

14 cm

23


Solução: A vasilha é formada por dois sólidos: 5 cm

8 cm

CILINDRO

ESFERA

14 cm

(1) Cálculo do volume do cilindro no qual r= 2,5 cm e h = 8 cm; 𝑉

𝜋𝑟 2 ℎ

𝑉

𝜋

5

2

𝑉

𝜋

5

𝑽

𝟓𝟎𝝅 𝒄𝒎

(2) Cálculo do volume da esfera de raio r= 7 cm: 𝑉

𝜋𝑟

𝜋 7

𝑉

𝜋

𝑉

𝑽

𝟏𝟑𝟕𝟐𝝅 𝒄𝒎 𝟑

(3) Cálculo do volume da vasilha: 𝑉𝑣𝑎𝑠𝑖𝑙ℎ𝑎 𝑉

5

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜

𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋

5

𝑉

𝑉

5 𝜋 𝑉

77

7 𝜋

𝑉

5 𝜋

7 𝜋

𝑽 ≃ 𝟏𝟓𝟗𝟑 𝒄𝒎𝟑

Como 1 cm³ = 1 ml, o volume da vasilha é de, aproximadamente, 1593 ml.

24


28. Uma esfera está inscrita em um cubo cujo volume é igual a 64 dm³. Calcule o volume da esfera. Solução: Observando a figura ao lado, notamos que a medida da aresta “a” do cubo é o dobro da medida do raio “R”, assim: R

a = 2R a

(1) O volume do cubo vale:

V= 64 dm³

𝑎

𝑎 𝑅

(2) Como a=2R

3

𝒂

𝑹

𝟐 𝒅𝒎

𝟒 𝒅𝒎

a

(3) Cálculo do Volume da esfera de raio R=2 dm: 𝑉

𝜋𝑅

𝜋

𝑉

𝑽

𝟑𝟐𝝅 𝒅𝒎 𝟑

29. Uma esfera, cuja área da superfície mede 192π cm², circunscreve um cubo. Calcule o volume desse cubo. Solução: Observe na figura ao lado que a diagonal D do cubo equivale ao dobro do raio R da esfera: D

D = 2R Não esqueça que a diagonal do cubo vale: 𝐷

𝑎

𝑅

𝑎

𝑹

𝒂 𝟑 𝟐

25

GEOMETRIA ESPACIAL – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ESFERA Celso do Rosário Brasil (1) De acordo com o enunciado da questão a área da esfera vale: 𝑆

𝜋

𝜋𝑅

(2) Como 𝑹 𝒂 𝟑 𝟐

𝟒 𝟑

𝜋

𝑅

𝑅

𝑹

𝟒 𝟑𝒄𝒎

𝒂 𝟑 𝟐

, temos:

𝒂

𝟖 𝒄𝒎

(3) Assim, o volume do cubo vale: 𝑉

𝑎

𝑉

𝑽

𝟓𝟏𝟐 𝒄𝒎

30. Uma esfera está inscrita em um cilindro cuja altura mede 10 cm. Calcule o volume compreendido entre o cilindro e a esfera. Solução:

R H R

r

r

Note que na figura ao lado “R” é o raio da esfera, r é o raio da base do cilindro. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado em vermelho, temos:

(2R)² = (2r)² + (H)². Além disso, Como a superfície intersecta as bases do cilindro nos seus centros, e o círculo máximo da esfera é congruente às bases do cilindro, então as medidas do raio e da altura do cilindro são iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja o cilindro é equilátero.

26


Como: H = 10 H = 2r 10=2r r = 5 cm (O raio da base do cilindro e o raio da esfera vale 5 cm). O volume compreendido entre o cilindro e a esfera é dado por: 𝑉

𝑉

𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

75 𝜋 − 5

𝜋

𝑽

𝑉

𝜋 5

2

−

3

𝜋 5

𝑉

5 𝜋−

5

𝜋

𝟐𝟓𝟎𝝅 𝒄𝒎 𝟑

31. Em uma esfera, está inscrito um cilindro reto cuja altura mede 20 cm e cujo raio da base mede 8 cm. Calcule a área da superfície dessa esfera. Solução: De acordo com a figura ao lado, devemos ter: 𝑅

2

2

𝑅2 2R

20 cm

2

𝑅2

5

𝑅2

𝑅

5

𝑹

𝟐 𝟒𝟏 𝒄𝒎

Cálculo da área da superfície da esfera: 16 cm

𝑆

𝜋 𝑅2

𝑆

𝜋

𝑆

𝜋

𝑺

2

𝟔𝟓𝟔𝝅 𝒄𝒎

27


32. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a figura abaixo. Calcule o volume dessa esfera e determine a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Considere: π=3,14

a= 2 cm

r

Solução: Da figura, temos: a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r= 1 cm. (1) O volume da esfera é: 𝜋𝑟

𝑉

𝜋

𝑉

𝑽

𝟒𝝅 𝒄𝒎 𝟑

(2) A área da superfície cúbica é: 𝑆

𝑎2

2

𝑆

𝑺

𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟐

(3) A área da superfície esférica é: 𝑆

𝜋𝑟

𝑆

𝜋

2

𝑆

𝜋 𝑐𝑚

(4) A razão entre as áreas é:

𝑆𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑆𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋

𝜋

≃ 𝟏 𝟗𝟏

28


33. Uma doceira tem uma panela cilíndrica, cheia até a borda, de massa para fazer brigadeiros. Sabendo que a panela tem formato cilíndrico com 16 cm de altura e 20 cm de diâmetro, quantos brigadeiros esféricos de 2 cm de raio ela poderá fazer? Solução:

(1) Volume da panela:

𝑉𝑝=𝜋 𝑟

𝑉𝑝 =𝜋 10 2 16 𝑽𝒑 =𝟏𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒄𝒎

ℎ

(2) Volume do brigadeiro: 𝑉𝑏

𝜋𝑟

𝑉𝑏

𝜋

𝑽𝒃

𝟑𝟐𝝅 𝒄𝒎 𝟑

(3) Quantidade de brigadeiros: 𝑄𝑏

𝑉𝑝 𝑉𝑏

𝑄𝑏

𝜋 𝜋

𝑄𝑏

𝜋

𝜋

𝑸𝒃

𝟏𝟓𝟎 𝒃𝒓𝒊𝒈𝒂𝒅𝒆𝒊𝒓𝒐𝒔

34. Determine o volume do paralelepípedo abaixo sabendo que o volume de cada esfera é cm. Solução: (1) A altura e o comprimento do paralelepípedo são 4 r e a largura 2 r, sendo r o raio de cada esfera. Portanto:

r

r

𝑉𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑒𝑝í𝑝𝑒𝑑𝑜

𝑟 𝑟 𝑟

𝑽𝒑

𝟑𝟐𝒓 𝟒

(2) Como o volume de cada esfera é 𝟑 𝝅 cm, temos:

r

r

4 3

𝜋

4𝜋𝑟 3

𝑟

𝒓

𝟏 𝒄𝒎

Portanto, o volume do paralelepípedo é: 𝑉𝑝

𝑟

𝑉𝑝

𝑽𝒑

𝟑𝟐 𝒄𝒎

29


35. Se considerarmos uma laranja como uma esfera de raio r composta de 12 gomos exatamente iguais, qual será a medida da superfície total de cada gomo? Solução: Cada gomo pode ser considerado uma cunha esférica segundo um 360° ângulo de ° 12

A medida da superfície total de cada gomo é igual à área do círculo da face lateral mais a área do fuso esférico: (1) Área do fuso esférico: 𝑆𝑓𝑢𝑠𝑜

𝜋𝑟 𝛼 °


𝜋𝑟

° °


𝜋𝑟

(2) Área Lateral: 𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝜋𝑟

(3) Área total: 𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙


𝑆𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙

𝑆𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

𝜋𝑟

𝜋𝑟

𝑺𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍

𝟒𝝅𝒓 𝟑

30


36. Calcule o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura abaixo.

r= 4 cm

𝛼

°

Solução:

(1) O volume da cunha esférica é dado por:

𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎

𝜋𝑟 𝛼 7 °

𝜋


° 7 °


𝟏𝟐𝟖𝝅 𝒄𝒎 𝟐𝟕

(2) A área do fuso esférico é dada por:


𝜋𝑟 𝛼 °


𝜋

° °


𝟑𝟐𝝅 𝒄𝒎 𝟗

31


37. Uma esfera está inscrita em um cone reto cuja altura mede 8 cm e cujo raio da base mede 6 cm. Calcule o volume dessa esfera. Solução: Da mesma forma como o cubo e o cilindro, também um cone pode inscrever (ou circunscrever) uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.

Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma semelhança de triângulos, estabelecer a seguinte proporção:

h-r h

g

𝒓 𝑹

r

𝒉−𝒓 𝒈

Onde:

r

r=raio da esfera; h=altura do cone, g=geratriz do cone e R= raio da base do cone.

R

Se o cone for equilátero, não há necessidade de utilizar a proporção anterior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera é igual 1/3 da medida da altura do cone, ou seja: h = 3r. Assim por meio do Teorema de Pitágoras, temos: 𝑅

2r 2R

𝑅

2

𝑟

𝑅

𝑹

2

𝑟

2

𝑅2

𝑅2

𝑟2

𝒓 𝟑

r R

32


Agora podemos resolver à questão proposta: Sendo: h= 8 cm e R= 6 cm, a altura e o raio da base do cone. Como g é a medida da geratriz do cone, temos que: g² = 6² + 8²  g²=36+64  g=10 cm. Sendo R a medida do raio da esfera, temos, por meio de uma semelhança de triângulos, que: ℎ−

−

−

Cálculo do volume da esfera:

Agora, vamos considere uma esfera de raio R, circunscrevendo um cone de raio r e altura h.

No triângulo retângulo em destaque, podemos escrever: R² = r² +(h-r)²

33


38. Em um cone equilátero, cujo volume é igual 72π cm³ inscreve-se uma esfera. Calcule a área da superfície dessa esfera.

A

Solução: No triângulo retângulo ABC da figura ao lado, temos:

2r

h

2R

𝑅2

(2R)²=R²+h² r

R

B

ℎ

C

𝑅

ℎ

𝑅2

ℎ2

𝑅

Como o volume do cone é igual a 72𝜋 temos: 72𝜋

=

𝜋𝑅 2 ℎ 3

7 𝜋

,

𝜋𝑅 2 𝑅 3 3

𝑅3 𝑹

𝟔 𝒄𝒎

Assim, a medida da altura do cone é 6 3 cm e, como a medida do raio da esfera é igual a terça parte da medida da altura do cone, o raio da esfera mede 𝑐𝑚 A área da superfície esférica é igual a: 𝑆

𝜋𝑟

𝑆

𝜋

2

𝑆

𝜋

𝑺

𝟒𝟖𝝅 𝒄𝒎

34


39. Calcule o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de aresta 4 m.

Solução: Note que a diagonal do cubo equivale ao dobro do raio da esfera. Assim: 𝐷

𝑉

𝑅 𝜋𝑅

𝐷

𝑅

𝑉

𝑹 𝜋

𝒂 𝟑 𝟐

𝑅

𝑉

𝑹 𝜋

𝟐 𝟑𝒎

𝑽

𝟑𝟐𝝅 𝟑 𝒎

40. Um ludologista fabrica piões usando as medidas indicadas na figura abaixo. Determine o volume de cada pião. Solução:

2 cm

𝑽𝒑𝒊ã𝒐 2 cm

𝑽𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂

𝑽𝒄𝒐𝒏𝒆

𝟐

𝑽𝒑𝒊ã𝒐

𝟏 𝟒𝝅 𝟐 𝟐 𝟑

𝑽𝒑𝒊ã𝒐

𝟏𝟔𝝅 𝟑

𝑽𝒑𝒊ã𝒐

𝟑𝟐𝝅 𝒄𝒎 𝟑

4 cm

𝟑

𝟏 𝝅𝟐𝟐 𝟒 𝟑

𝟏𝟔𝝅 𝟑

35


41. Seja 36π e o volume de uma esfera circunscrita a um cubo. Então, a razão entre o volume da esfera e o volume do cubo é: (a)

3 2

(b)

8

(c)

3

A

2

(d)

3

3 4

(e)

D

O

B

a

C

Solução: Na figura aci a “a” é a aresta do cubo; o segui ento BD é a diagonal do cubo. Não esqueça que, nesse caso, a diagonal do cubo = diâmetro da esfera circunscrita ao cubo. Como a diagonal do cubo vale: Raio da esfera R =

,temos:

2

A razão entre os volumes da esfera (

é:

Resposta: letra (a)

36


42. Um copinho de sorvete, em forma de cone, possui 10 cm de profundidade, e 4 cm de diâmetro no topo, tendo aí colocadas duas conchas semiesféricas de sorvete, também de 4 cm de diâmetro. Se o sorvete derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que: (a) Não transbordará

(b) transbordará (c) Nada podemos afirmar

(d) Os dados são insuficientes

(e) As informações são falsas

Solução: Volume do cone (copinho): ℎ

Volume das duas conchas (Volume da esfera):

Observe que:

, logo, não transbordará.

Resposta: letra (a)

37


43. A área lateral de um cilindro equilátero é 36π cm². Determine o volume da esfera inscrita nesse cilindro. Solução: No cilindro equilátero temos: h = 2r, logo:

r h= 2r r r

A área lateral do cilindro é dada por: ℎ Volume da esfera:

38


44. Na figura, O é o centro de um círculo, e o volume gerado pela rotação da região assinalada em torno da reta r é 18 π. Calcule a área do triângulo ABC. C

r A

B

O

Solução: O volume V gerado pela rotação da região demarcada em torno da reta r é igual à diferença entre o volume da esfera ( ) de raio r e o dobro do volume do cone ( de raio da base r e altura também r: 3

−

2

−

(

)

Portanto, a área do triângulo ABC é:

39


Considere o texto abaixo para as questões 45, 46, 47 e 48. A razão na qual um comprimido de vitamina C começa a dissolver-se depende da área da superfície do comprimido. Uma marca de comprimido tem um forma cilíndrica, comprimento 2 cm, com hemisférios de diâmetro 0,5 cm cada extremidade, conforma figura abaixo. Uma segunda marca de comprimido vai ser em forma cilíndrica com 0,5 c de altura. 2 cm 0,5 cm

0,5 cm

45. Determine a área da superfície do primeiro comprimido em cm², sabendo que: o comprimento da circunferência é C= 2πr e a área da superfície esférica é S= 4πr². Solução: A área da superfície do primeiro comprimido 1 é igual à soma da 1 área da superfície da esfera de raio R = , com a área lateral de um cilindro reto de altura

2 3

4

e raio da base R=

1 4

1

46. Determine o diâmetro do segundo comprimido de modo que a área da sua superfície seja igual à do primeiro comprimido. Solução: Considerando a área da superfície do segundo comprimido diâmetro da sua base d, temos:

2

eo

2 2

( )

(

) 40


Condição imposta pelo problema:

47. Determine o volume do primeiro comprimido em cm³, sabendo que o volume da esfera V é igual a cilindro V é πR².h.

e o volume do

Solução: 3

( )

1

2

( )

48. Determine o diâmetro do segundo comprimido, de modo que seu volume seja igual ao do primeiro comprimido. Solução: Considerando d como diâmetro da base do segundo comprimido, então o seu volume V2 é: 2

Condição imposta pelo exercício: 2

( )

41


49. A área da superfície de uma esfera e a área total de um cone reto são iguais. Determine o raio da esfera, sabendo que o volume do cone é 12 π cm³ e o raio da base 3 cm. Solução: ℎ

ℎ

Vamos calcular a geratriz do cone: g² = h²+r² g²=4²+3² g²=25 g = 5 Considerando: Á

2

Á

2

5

2

50. Um queijo moldado na forma esférica tem 10 cm de raio. Derretido, ele cabe exatamente em uma panela cilíndrica de raio 10 cm. Determine a altura da panela. Solução: 3

ℎ

42


51. As bolas de borracha representadas na figura abaixo são esféricas e têm mesma espessura. Quantas bolas menores podem ser feitas usando a mesma quantidade de borracha para fazer 12 bolas maiores? Solução:

r 2r

r

2

2

2

Resposta: Podem-se fazer 48 bolas menores.

52. Determine a área e o volume da esfera inscrita num cubo de aresta “a”. Solução: A esfera é inscrita no cubo. O cubo é circunscrito à esfera. A aresta do cubo é dada por a= 2R (veja questão 28)

43


Note que a aresta “a” do cubo é igual ao diâmetro da esfera (2R), logo:

R

a = 2R

a

(1) Área da esfera inscrita no cubo: 2

2

2

(2) Volume da esfera inscrita no cubo:

=

4

3

=

=

=

53. Determine a área total e o volume de um cubo inscrito a uma esfera de raio R. Solução A esfera é circunscrita ao cubo. O cubo é inscrito na esfera. Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Não esqueça que a diagonal do cubo vale: d = 𝑎 . Logo: d

𝑑

𝑅

𝑎

𝑅

𝑹

𝒂 𝟑 𝟐

44


O raio da esfera inscrita ao cubo é dado por: R =

:

(1) Área total do cubo inscrito a uma esfera: (

)

(2) Volume do cubo circunscrito a uma esfera: (

)

7

53. Qual é a razão (quociente) entre a área total de um cubo e a área da esfera nele inscrita? Solução

54. Qual é a razão entre os volumes de um cubo e da esfera nele inscrita? Solução 3 3

55. Determine a área e o volume da esfera circunscrita a um cubo de aresta “a”. Solução (1) Área da esfera circunscrita a um cubo: 45


3

Não esqueça que:

2

(

(veja a questão 29)

)

(2) Volume da esfera circunscrita a um cubo: (

)

56. Determine o volume de uma esfera inscrita em um cubo de 1 dm de aresta. Solução Sendo o raio da esfera(R) igual à metade da aresta do cubo (a): 𝑎

𝑅


𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 1 dm

𝟏 𝒅𝒎 𝟐

𝑹

𝜋𝑅

𝜋

3



𝜋

3

𝝅 𝒅𝒎 𝟔

57. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo de 12 cm de aresta.

d 46


Solução Note que a diagonal do cubo (d) é igual ao diâmetro da esfera (2R). Logo: 2R = d  𝑅

𝑎

𝑎 3

𝑅

2

Sendo a = 12 cm, temos: 𝑅

𝑹

𝟔 𝟑 𝒄𝒎

Volume da esfera: 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎

𝜋𝑅 3


4𝜋 216 3 3 3


3

𝜋

𝟖𝟔𝟒𝝅 𝟑 𝒄𝒎

58. Determine a área lateral e o volume de um cubo circunscrito a uma esfera de 25π cm² de superfície. Solução (1) Área da superfície esférica: 5

5 Sendo

5 2

2

2

(2) Área lateral do cubo: 5

5

(3) Volume do cubo 5 47


59. Determine o volume de uma esfera circunscrita a um cubo cuja área total mede 54 cm². Solução (1) Área total do cubo 5 (2) Raio da esfera circunscrita

(3) Volume da esfera 3

(

3

7

)

60. Uma firma de arquitetura apresentou a maquete de uma construção na forma de uma semiesfera. Nessa maquete, o diâmetro da semiesfera é 20 cm. Sabendo que a escala utilizada foi 1:400, responda: (Considere  = 3,14) a) Qual a área da superfície dessa construção? volume dessa construção?

b) Qual o

Solução (a) O raio R da semiesfera vale: R= 10 cm ou 40 m* (de acordo com a escala fornecida), sendo assim a área da semiesfera é dada por: 2

(b) O volume da semiesfera é dado por 3

(

3

):

( 7

):

(

5

):

(

):

7:

48


*Escala =

61. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.

Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12 partes iguais, quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é suficiente para pintar 39 m2 de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar toda a cobertura do planetário? (Use π = 3) a) 20. b) 26. c) 40. d) 52. e) 60. Solução A área da cobertura do planetário ACP é igual à metade da área da superfície da esfera ASE subtraído da área dos 12 semicírculos (que é igual à área de 6 círculos Ac). Temos o raio R da semiesfera igual a 14 m e o raio R1 do círculo igual a 3 m. Assim:

49


Como 1 lata de tinta pinta 39 m2, para pintar todo a cobertura do planetário é necessário:

Alternativa correta é a letra B.

50


51

Geometria Espacial - Estudo Da Esfera - Celso Brasil

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