Geometria espacial de posição Francisco Ferreira Paulo Hálisson Barreto Vieira Luiz Vicente Ferreira Neto Carlos Henrique de Sousa
1. Conceitos primitivos São os primeiros conceitos. Não possuem antecedentes, portanto não podem ser definidos. São esses: o ponto, a reta e o plano.
▪ Ponto:
▪ Reta:
▪ Plano:
Indicado por letras maiúsculas: A, B, C, … Indicado por letras minúsculas: a, b, c, …
Indicado por letras gregas minúsculas: α, β, γ, …
2. Postulados sobre pontos e retas ▪ Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. ▪ Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
▪ Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas.
▪ Por um ponto passam infinitas retas.
3. Postulados sobre o plano e o espaço ▪ Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
▪ Se dois pontos pertencem a uma reta e a um plano, então esta reta está contida no plano.
▪ O plano é infinito, isto é, ilimitado. ▪ Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos.
4. Classificação ▪ Por três pontos não-colineares passa um plano.
▪ Por uma reta passam infinitos planos.
▪ Qualquer plano divide o espaço em duas regiões denominadas semiespaços.
5. Posições relativas de duas retas No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
Temos que considerar, então, dois casos particulares:
Lembretes!
Falando em retas ortogonais, essas são assim denominadas por serem reversas que formam entre si um ângulo de 90º; ▪
▪ Retas perpendiculares são concorrentes que formam entre
si um ângulo de 90º; ▪ O Postulado de Euclides (ou das retas paralelas) diz que dados uma reta r e um ponto P não pertencente a essa reta, existe uma única reta s traçada por P, tal que r e s são paralelas.
6. Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado cinco, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:
7. Posições relativas entre reta e plano
Postulado:
Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma reta que passa por esse ponto.
8. Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta e é perpendicular a um plano se, e somente se, essa reta é perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo ponto de intersecção de r e o plano.
Note que:
9. Posições relativas de dois planos Considere, para tanto, as seguintes situações:
Se tomarmos a ideia do perpendicularismo entre planos, sabe-se:
10. Projeção ortogonal, distâncias e ângulos ▪ Projeção ortogonal
▪ Distâncias
▪ Ângulos
Ainda sobre ângulos, vale lembrar que