MATEMÁTICA GEOMETRIA (3os anos) ASSUNTO: GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO Prof. Edvaldo Benjamim
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO 1. Introdução A Matemática é a Ciência que estuda os movimentos quantitativos e das formas do Universo. Para os movimentos quantitativos se desenvolveu a linguage m numérica. Para as formas do Universo, criou-se a linguagem geométrica. A Geometria surgiu quando o homem tentou lidar com as formas da natureza, buscando representá-las simbolicamente. Já a Geometria Ge ometria Espacial começa quando o homem produz o tijolo (ou os blocos de pedra) usados em construções. construções. É quando ele descobre aspectos da natureza que até aquele momento não tinha percebido, como o espaço e a sua grandeza, o volume. Foi na Grécia Antiga (do século V ao século II a.C.) que grandes pensadores, entre eles Pitágoras (570 a.C. a 480 a.C.), iniciaram iniciaram a grande sistematização e o desenvolvimento lógico da linguagem geométrica.
2. Postulados Existem dois tipos de proposições matemáticas: Os POSTULADOS, POSTULADOS, que aceitamos como verdadeiros sem demonstração; Os TEOREMAS, TEOREMAS, que aceitamos como verdadeiros após demonstração. demonstração. a, d et ermi nação, Os postulados iniciais são divididos em quatro grupos: exi stênc stênc i ia, nação, i nclusão nclusão e separação. Postulados da existência P1. Existe ponto, existe reta e existe plano.
.A Ponto A
r Reta r
E
Plano E
P2. Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.
.A .B .C r D
E
F
G
P3. Num plano e fora dele existem infinitos pontos.
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.A .B .C .D
.E
E
.F .G .H
Postulados da determinação P4. Se dois pontos são distintos, então existe uma e uma só reta que passa por eles.
A
B r
P5. Se três pontos são não-colineares (pontos que não estão numa mesma reta), então exi ste um e um só plano que passa por eles.
.A .B
.C E
Postulado da inclusão P6. Se uma reta tem dois de seus pontos distintos num plano, então essa reta está contida nesse plano.
r
B A
E
OBSERVAÇÕES 1. ESPAÇO p é o conjunto de todos os pontos. 2. FIGURA GEOMÉTRICA p é todo conjunto não-vazi o de pontos. 3. Duas ou mais figuras geométricas são COPLANARES, COPLANARES, se estão contidas num mesmo plano. plano. Postulados da separação P7. Postulado da separação de plano
Toda reta r separa um plano E que a contém em duas regiões convexas (convexa quer dizer que: se ligarmos dois pontos dessa região por um segmento de reta, o mesmo permanecerá na parte limitada por essa região) E1 e E2, em cada uma das quais ela está contida, de forma que para cada X pertencente a uma dessas regiões e para cada Y intercepta r em um único ponto. pertencente à outra, X r e Y r, o segmento de reta
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E1
E2
X
r
Y
E1 e E2 são denominados SEMIPLANOS e r é a origem desses semiplanos, que são opostos um ao outro. P8. Postulado da separação do espaço Todo plano E separa o espaço E em duas regiões convexas, E1 e E2, em cada uma das quais está contido, de forma que para cada X pertencente a uma dessas regiões e para cada Y pertencente à outra, X ponto.
E e
Y
intercepta E, o segmento de reta
E1
E em um único
X
E Y
E2
E1 e E2 são denominados semi -es paços e E é a origem desses semi-espaços, que são opostos um ao outro.
3. Posi çõ ções r elat i ivas v as entr e duas r etas POSTULADO DE EUCLIDES Por um ponto P fora de uma reta r existe uma e uma só reta paral ela à reta r.
.P
P r
b // r r
RETAS REVERSAS
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Duas retas r e s são REVERSAS entre si m não existe plano que as contenha. contenha. r s
r
E
s
E
E
DETERMINAÇÃO DE PLANOS
a) A EXISTÊNCIA e a UNICIDADE (ser único) de um plano estarão garantidas quando tivermos: 1º) três pontos NÃO-COLINEARES ou
.A .B
.C
2º) uma RETA e um PONTO fora dessa reta ou r
.A 3º) duas RETAS distintas PARALELAS entre si ou r s
4º) duas retas CONCORRENTES (duas retas são concorrentes quando se cruzam em um só ponto) entre si. r s
P
r
s = {P}
b) Se um ponto A não pertence a uma reta r, então existe um único plano que passa por eles. Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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.A
.A r
E
r B
C
c) Se duas retas distintas são paralelas entre si, então existe um único plano que passa por elas. r
r
s
s
r // s
E
d) Se duas retas são concorrentes entre si, então existe um único plano que passa por elas. r
r P
s
s A
P B
r
s = {P}
E
4. Posi çõ ções r elat i ivas v as entr e r eta e plano
RETA CONTIDA EM PLANO Uma reta r está contida em um plano E se r tem todos os pontos em E.
r
r
E
E
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RETA E PLANO PARALELOS Uma reta r e uma plano E são paralelos entre si m
comum. r e E não têm ponto comum. r
r
E=
E
RETA E PLANO CONCORRENTES Uma reta r e um plano E são concorrentes (ou secantes) secantes) entre si m comum. comum. O ponto comum chama-se TRAÇO da reta no plano. r
r e E têm um único ponto
E P
r
P é o TRAÇO de r em r em E . E = {P} e P é
ções r elat i ivas v as entr e doi s planos 5. Posi çõ PLANOS PARALELOS Os planos E e F são paralelos entre si m E e F coincidem ou E e F não têm ponto comum. comum.
E | F
E F
E
F = E = F
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E
F =
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PLANOS CONCORRENTES Dois planos distintos são concorrentes (ou secantes) secantes) entre si m a INTERSECÇÃO deles é não-vazia. não-vazia.
Postulado Se dois planos distintos têm intersecção não não--vazia, vazia, então a intersecção é uma RETA. RETA.
E
F = r
E
r
F
6. Retas P er pend i i cular cular es e r etas
Ortogona i s
Retas P er pend i i cular cular es Duas retas r e s são perpendiculares entre si m r e s são concorrentes entre si e formam ângulos adjacentes (Ângulos Adjacentes p dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns) comuns) congruentes (Ângulos Congruentes p p dois ou mais ângulos são congruentes quando possuem a mesma medida) medida) entre si.
Ângulos Adjacentes
Ângulos Congruentes s
s D E
A
E = 45o
F
O
B
E e F são ângulos CONSECUTIVOS
r
F = 45o
O
r
E e F são ângulos CONGRUENTES.
e ADJACENTES.
Veja a seguir a figura de duas retas perpendiculares entre si.
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r
s
rBs
Retas Ortogonai s Duas retas r e s são ortogonais entre si m r e s são reversas entre si e a reta paralela a uma delas, conduzida por um ponto da outra, outra, é perpendicular a esta. esta. t // s
s
P
r
t B r s é ORTOGONAL a r
cular i i smo smo entr e r eta e plano 7 . P er pend i i cular Reta e plano per pend i i cular cular es
r e um plano E são perpendiculares entre si se r é concorrente com E e é perpendicular a todas as retas de E que passam pelo TRAÇO de r em E. Uma reta
r
E
rBE
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Consequênc i i a Se a reta
si , então r forma ângulo reto com r e o plano E são perpendiculares entre si,
qualquer reta contida em E. i ent e Cond i i ção ção suf i i c cie
Se uma reta r é perpendicular a duas retas distintas de um plano E que passam por r
E,
então r é perpendicular a E. 8 . P e r pe nd i i cular cular i i smo smo entr e planos
Planos P er pend i icular c ular es Os planos E e F são perpendiculares entre si m E é concorrente com F e um deles (dos planos) contém uma reta perpendicular ao outro.
F
s
r
r F rBE
E
9. T eor e mas fundam enta i s
Int ersecção d e planos T eor ema Se três planos distintos são dois a dois SECANTES segundo três retas distintas, distintas, então essas retas são concorrentes num só ponto ou são paralelas duas a duas. duas.
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T eor ema As intersecções não-vazias de dois planos paralelos entre si com um terceiro plano são paralelos entre si.
r jE
E
S
// F
jE
K=r
j F
K=s
j r // s
F
K
Paral el i i smo smo T eor ema Se uma reta plano.
r é paralela a um plano E , então ela é paralela a uma reta (reta s) desse r
s
r // E r //s
E T eor ema Se uma reta r não está contida num plano E e é paralela a uma reta s do plano E, então essa reta r é paralela a esse plano E.
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r
s
r // s r // E
E SINTETIZANDO Uma condição necessária e suficiente para que uma reta r e um plano E sejam paralelos entre si é que r não esteja contida contida em E e seja paralela a uma reta contida em E.
T eor ema Se um plano E é determinado por duas retas concorrentes entre si, ambas paralelas a um plano F, então E e F são paralelos entre si.
s
r P
E
r
s = {P}
r // F, s // F E = plano (r, s) E // F F
P er pend i i cular cular i i smo smo T eor ema Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes s e t de um plano E, então ela é perpendicular a esse plano r E s rBE t
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T eor ema Se uma reta r forma ângulo reto com duas retas s e t concorrentes entre si de um plano
E, então ela é perpendicular a esse plano. r
E s
rBE t
Cond i i ção ção suf i i c cie i ent e
r seja perpendicular a um plano E é que ela forme ângulo reto (ângulo de medida 90o) com duas retas s e t Uma condição necessária e suficiente para que uma reta
concorrentes entre si contidas nesse plano.
T eor ema das três pe r pend i i cular cular es Se uma reta r é perpendicular a um plano E em P (P é ponto do plano E), s é uma reta qualquer de E que passa por P,
t é uma reta de E perpendicular a s em Y, Y { P, e X um ponto qualquer de r, então então é perpendicular a s. r X
t s P
Y
E
r B E, P
E, P
r, s
E, P
s, t
E, t B s, Y
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seY
t, X
r B s.
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T eor ema Se dois planos E e F são perpendiculares entre si e uma reta
r de um deles é
perpendicular à intersecção desses planos, então essa reta r é perpendicular ao outro plano que não contém essa reta r.
S r
E B F r B F .
r B s P
E
F
i ent e Cond i i ção ção suf i i c cie
Uma condição necessária e suficiente para que dois planos concorrentes sejam perpendiculares entre si é que toda reta de um deles, perpendicular à intersecção, intersecção, seja perpendicular ao outro.
REFORÇANDO... Postulados d e d i iv v i i são são P1. Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas partes. partes. C B p Esse ponto divide em duas partes. A
: semi -r : semi -r -r eta e -r eta
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P2. Uma reta qualquer de um plano divide-o divide-o em duas partes. partes.
r
E1
rE1 : semiplano rE2 : semiplano
E2 E P3. Um plano qualquer divide o espaço em duas partes. partes.
EI1 : semi-espaço EI2 : semi-espaço
I1
I2
E
OBSERVAÇÕES: Retas coplanares p São aquelas que estão contidas num mesmo plano.
r
r
E
r e s são s
s
E
COPLANARES.
E Retas Oblíquas p são aquelas que não são perpendiculares. perpendiculares. O
r U
U {
00 e
U {
900.
s Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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Duas retas reversas não têm ponto comum. comum. Se uma reta r é paralela a um plano E, então ela será PARALELA ou REVERSA a qualquer reta do plano, pois, para uma reta s
E, temos r
s=
.
Se uma reta r é perpendicular a um plano, ela será PERPENDICULAR ou ORTOGONAL a qualquer reta desse plano. r
rBs
t s
rBt
P
E
QUADRILÁTERO REVERSO
Um quadrilátero é chamado QUADRILÁTERO REVERSO m não existe plano contendo seus quatro vértices. A
B
Os vértices A vértices A,, B, C e C e D não estão contidos num mesmo plano. C
D
Uma FIGURA é PLANA quando seus pontos pertencem a um mesmo plano; caso contrário, a figura é chamada FIGURA REVERSA. REVERSA.
PLANOS SECANTES Dois planos distintos que se interceptam (ou se cortam) são chamados PLANOS SECANTES (ou concorrentes). concorrentes). A reta comum é a intersecção desses planos ou o traço de um deles no outro.
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P1. Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F): (F): a) Existem i nf nf i i ni tas tas retas no espaço. ( ) b) Por uma reta passa um úni co co plano. ( ) c) Um plano tem i nf nf i i ni tos tos pontos. ( ) d) Três pontos são sempre co planar es. ( ) e) Dados três pontos, existe um úni co co plano que os contém. ( ) f) Dois pontos determinam um úni co co plano. ( ) g) Três pontos al i i nhados nhados pertencem a uma única reta. ( ) h) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está cont i i da da no plano. ( ) i) Todo ponto de uma reta divide essa reta em duas part es iguais. ( ) j) No espaço existem i nf nf i i ni tos tos pontos. ( ) k) Três pontos não-col i i near es determinam um único plano. ( ) l) Dois semiplanos são sempre co planar es. ( )
P2. (Unicamp SP) É comum encontrarmos mesas com quatro pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, porque isso não acontece com uma mesa de três pernas. pernas.
P3. Qual o número máximo de retas determinadas por seis pontos distintos (diferentes) e nãocol i i near es ?
P4. Vamos considerar o cubo ABCDEFGH cubo ABCDEFGH . Com base na figura, classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes afirmativas: E
A
F
B
H
D
G
C
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e são co planar es. a) As retas ( ) são concorr ent es b) As retas e no ponto D. ( ) e são r ev ersas. c) As retas rsas. ( ) e são ortogonai s. d) As retas ( ). e) A i nt nt ersecção entre os planos BFCG .( ) e ABFE é ABFE é a reta e são paral elas. f) As retas las. ( ) e g) As retas são per pend i i culacular es. ( ) são oblí quas. h) As retas e uas. ( ) e i) Os planos que contêm as retas têm i nt nt ersecção vazi a. ( )
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P5. Classifique como certo (C) ou errado (E) cada afirmação: a) Duas retas reversas nunca são co planar es. ( ) b) A condição r s = é suficiente para que as retas r e s sejam r ev ersas. rsas. ( c) Se r
s = r, r, então r e s são retas coi nc nc i i d d ent es. (
)
)
d) Se r e s são co planar es e r s = , então r e s são retas paral elas. las. ( e) Duas retas que não têm ponto em comum são paral elas. las. ( ) f) Duas retas que formam ângulo reto são per pend i i cular cular es. ( ) g) Duas retas que têm um ponto comum sãoconcorr são concorr ent es. ( ) h) Duas retas concorr ent es têm um único ponto comum. ( )
)
P6. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação: a) Sempre que três retas têm um ponto comum, elas são co planar es. ( ) b) Uma r eta e um ponto determinam um úni co co plano. ( ) p e c) Quatro pontos não-co lanar s determinam quatro planos. ( ) d) Uma r eta e um ponto fora dela determinam um úni co co plano. ( ) e) Duas r etas distintas determinam um úni co co plano. ( ) f) Se duas retas são r ev ersas e uma t erc ei ra reta é concorr ent e com as duas, então elas ei ra determinam doi s planos distintos. ( ) g) Três pontos d i i st st i i ntos ntos determinam um úni co co plano. ( ) h) Três pontos d i i st st i i ntos ntos não-col i i near es determinam um úni co co plano. ( )
P7. Calcule o número má xi mo mo de planos determinados por c i i nco nco pontos d i i st st i i ntos ntos e nãocol i i near es.
P8. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das seguintes proposições: a) Se uma reta é paral ela a um plano, ela é paral ela a qual quer reta r reta do plano. ( ) b) Se uma reta é paral ela a um plano, ela não é paral ela a todas as retas do plano. ( ) c) Se uma reta é paral ela a um plano, ela é paral ela ou r ev ersa a qual quer reta r reta do plano. ( ) d) Por um ponto não pert enc ent e a um plano, pode-se traçar a penas uma r eta paral ela a esse plano. ( ) e) Se uma reta r está cont i i da da em um plano, então toda reta paral ela a r também está cont i i da da nesse plano. ( ) f) Se uma reta r é secant e a um plano , então exi st st em i nf nf i i ni tas tas retas de concorr ent es com
r. ( ) g) Se a reta r fura o fura o plano E no ponto P, então r é concorr ent e ao plano. ( h) Se r
E=
, então r fura E em um úni co co ponto. (
)
)
P9. Classifique como verdadeira (V) ou (F) cada afirmação: a) Se doi s planos têm uma r eta em comum, comum, eles são secant es. ( ) b) Se uma reta é paral ela a i nt nt ersecção de doi s planos, então ela não é concorr ent e a r dos dois. ( ) qual quer dos c) A i nt nt ersecção entre doi s planos secant es é sem pr e uma reta. ( ) d) Se uma reta é paral ela a doi s planos secant es, então ela é p aral ela à i nt nt ersecção dos planos. ( ). e) Se doi s planos têm um ponto em comum, comum, então eles são secant es. ( ) Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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f) Se dois planos são p aral elos, los, toda reta paral ela a um deles é paral ela ou está cont i i da da no outro. ( ) g) Se dois planos são paral elos, los, toda reta de um é paral ela a qual quer reta r reta do outro. ( ) h) Se dois planos são paral elos, los, toda reta de um plano é paral ela a uma reta do outro. ( )
P10. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação: a) Por uma reta per pend i i cular a cular a um plano passa um ú ni co co plano per pend i i cular ao cular ao plano dado. ( ) b) Se uma reta é per pend i i cular a cular a um plano, ela é per pend i i cular ou cular ou ortogonal a ortogonal a qual quer reta r reta do plano. ( ) c) Sem pr e que doi s planos são paral elos a uma mesma reta, eles são paral elos entre si. ( ) d) Qual quer reta r reta que seja paral ela a um plano é paral ela a i nf nf i i ni tas tas retas desse plano. ( ) e) Se duas retas são paral elas a um mesmo plano, então é nec essár i i o que elas sejam paral elas entre si. ( ) ei ro f) A i nt nt ersecção de dois planos per pend i i cular cular es a um t erc ei ro plano é uma reta per pend i i cular cular ei ro a esse t erc ei ro plano. ( ) g) Três pontos d i i st st i i ntos ntos não são col i i near es. ( ) h) Três pontos não-col i i near es são d i i st st i i ntos. ntos. ( ) i) Duas retas ou são coi nc nc i i d d ent es ou são d i i st st i i ntas. ntas. ( ) j) Para obter uma reta é suf i i c cie st i i ntos ntos da reta. ( ) i ent e obter doi s pontos d i i st k) Doi s pontos determinam uma úni ca ca reta. ( ) l) Duas retas d i i st st i i ntas ntas determinam um úni co co plano. ( )
ura Côncava e F i igura ura Conv ex ex a 10. F i igura g g Uma figura geométrica F é CÔNCAVA se existe um segmento de reta , com A B F e A B, NÃO CONTIDO em F.
F,
Exemplos: B A B
A
F: Quadrilátero
F: Circunferência
Uma figura geométrica F é CONVEX A se, quaisquer que sejam os pontos distintos A e B pertencentes a F, o segmento de reta ESTÁ CONTIDO em F.
Exemplos: B A A
B
F: Círculo F: Triângulo Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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P11. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F): (F): a) Existem i nf nf i i ni tas tas retas. ( ) b) Num plano existem i nf nf i i ni tas tas retas. ( ) c) Fora de um plano existem i nf nf i i ni tas tas retas. ( ) d) Por doi s pontos passam i nf nf i i ni tos tos planos. ( ) e) Três pontos determinam um úni co co plano. ( ) f) Por três pontos d i i st st i i ntos ntos podem passar i nf nf i i ni tos tos planos. ( ex o. ( ) g) Um segmento de r eta, ta, não-nulo, não-nulo , é conv ex ex o. ( ) h) Um plano é conv ex
)
P12. Quais são os planos determinados pelos pontos A, B, C e D não-coplanares ? P13. Na figura temos um bloco r etangular . Das retas que passam pelas suas ARESTAS, ARESTAS, citar as que são: E
H
; a) paral elas a
D
C
; b) concorr ent es com
F
. c) r ev ersas com
G
A
B
P14. Classificar cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F): (F): eptam são paral elas entre si. ( ) a) Duas retas que não se i nt nt erc ep eptam são r ev ersas entre si. ( ) b) Duas retas que não se i nt nt erc ep c) Duas retas que têm ponto comum são concorr ent es entre si. ( ) d) Três retas d i i st st i i ntas, ntas, concorr ent es duas a duas, duas, são co planar es. ( ) e) Se três retas d i i st st i i ntas ntas são co planar es, então elas são paral elas duas a duas ou são concorr ent es duas a duas em três pontos d i i st st i i ntos, ntos, ou concorr em num mesmo ponto. ( )
P15. Classificar cada asserção em verdadeira (V) ou falsa (F): (F): a) Três pontos determinam um úni co co plano. ( ) b) Um ponto e uma reta determinam um úni co co plano. ( ) c) Duas retas paral elas entre si determinam um úni co co plano. ( ) d) Duas retas que têm ponto comum determinam um úni co co plano. (
)
P16. Na figura temos um bloco r etangular . Das retas que passam pelas suas ARESTAS, ARESTAS, citar as que: H
G
a) são paral elas ao plano ( A, A, B, C, D); D); E
F
b) são concorr ent es com o plano (B, (B, C, H, G); G ); C c) estão cont i i das das no plano (C, (C, D, E, H ). ). Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
D
B A Página 19
P17. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): (F): r e s são r ev ersas. a) r s = rsas. ( ) b) r e s são r ev ersas r s = . ( ) r e s são paral elas. c) r s = las. ( ) d) r // s, r { s r s = . ( ) e) A condição r s = é n ec essár i i a para que r e s sejam r ev ersas. rsas. ( ) i ent e para que r e s sejam r ev ersas. f) A condição r s = é suf i i c cie rsas. ( ) g) A condição r s = é nec essár i i a para que duas retas d i i st st i i ntas ntas r e s sejam paral elas. las. ( h) A condição r s = é suf i i c cie las. ( ) i ent e para que duas retas r e s sejam paral elas.
)
(F): P18. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): a) Uma r eta e um plano que têm um ponto comum são concorr ent es. ( ) b) Uma reta e um plano secant es têm um úni co co ponto comum. comum. ( ) c) Uma reta e um plano paral elos não têm ponto comum. comum. ( ) d) Um plano e uma u ma reta secant es têm um ponto comum. comum. ( ) e) Se uma reta está cont i i da da num plano, eles tem um ponto comum. comum. ( ) f) Se uma reta é paral ela a um plano, ela é paral ela a qual quer reta r reta do plano. ( ) g) Se um plano é paral elo a uma reta, qual quer reta r reta do plano é r ev ersa a reta dada. ( ) h) Se uma reta é p aral ela a um plano, exi st st e no plano uma reta concorr ent e com a reta dada. ( ). i) Se uma reta e um plano são concorr ent es, então a reta é concorr ent e com qual quer reta r reta do plano. ( ) j) Se uma reta é paral ela a um plano, ela é paral ela a i nf nf i i ni tas tas retas desse plano. ( ) k) Se duas retas d i i st st i i ntas ntas são paral elas a um plano, então elas são paral elas entre si. ( ) l) Uma condição nec essár i i a e suf i i c c ie ient e para uma reta ser paral ela a um plano é ser paral ela a uma r eta do plano e não estar nele. ( ) m) Por um ponto fora ponto fora d e um plano passam i nf nf i i ni tas tas retas paral elas ao plano. ( ) n) Por um ponto fora d e uma r eta passa um úni co co plano paral elo à reta. ( )
P19. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): (F): a) Duas retas per pend i i cular cular es são sempre concorr ent es. ( ) b) Se duas retas formam ângulo r eto, to, então elas são per pend i i cular cular es. ( ) c) Se duas retas são per pend i i cular cular es, então elas forma ângulo r eto. to. ( ) d) Se duas retas são ortogonai s, então elas formam ângulo r eto. to. ( ) e) Duas retas que forma ângulo r eto podem ser r ev ersas. rsas. ( ) f) Duas retas per pend i i cular cular es a uma t erc ei ra são per pend i i cular cular es entre si. ( ) ei ra g) Duas retas per pend i i cular cular es a uma t erc ei ra são paral elas entre si. ( ) ei ra h) Se duas retas formam ângulo r eto, to, toda paral ela a uma delas forma ângulo r eto com a outra. ( )
P20. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): (F): a) Para que uma r eta e um plano sejam per pend i i cular cular es é nec essár i i o que eles sejam secant es. ( ) b) Uma reta per pend i i cular a cular a um plano é per pend i i cular a cular a todas as retas do plano. ( ) c) Uma reta per pend i i cular a cular a um plano forma ângulo r eto com qual quer reta r reta do plano. ( Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
)
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d) Se uma reta é per pend i i cular a cular a duas retas d i i st st i i ntas ntas de um plano, então ela é per pend i i cular cular ao plano. ( ) e) Se uma reta é per pend i i cular a cular a duas retas p aral elas e d i i st st i i ntas ntas de um plano, então ela está cont i i da da no plano. ( ) f) Se uma reta é ortogonal a duas retas d i i st st i i ntas ntas de um plano, então ela é per pend i i cular ao cular ao plano. ( ) g) Uma reta ortogonal a ortogonal a duas retas paral elas e d i i st st i i ntas ntas de um plano pode ser p aral ela ao plano. ( ) h) Dadas duas retas d i i st st i i ntas ntas de um plano, se uma outra reta é per pend i i cular cular à primeira e ortogonal à ortogonal à segunda, então ela é per pend i i cular ao cular ao plano. ( ) i) Se uma reta forma ângulo r eto com duas retas de um plano, d i i st st i i ntas ntas e que têm um ponto comum, comum, então ela é per pend i i cular ao cular ao plano. ( ) j) Duas retas r ev ersas são paral elas a um plano. Toda reta ortogonal a ortogonal a ambas é per pend i i cular cular ao plano. ( ) k) Duas retas não paral elas entre si são paral elas a um plano. Se uma reta forma ângulo r eto com as duas, duas, então ela é per pend i i cular ao cular ao plano. plano . ( ) p e l) Uma reta e um plano são aral los. los. Toda reta per pend i i cular à cular à reta dada é per pend i i cular ao cular ao plano. ( ) m) Uma r eta e um plano são per pend i i cular cular es. Toda reta per pend i i cular à cular à reta dada é paral ela ao plano ou está cont i i da da nele. ( ) n) Uma r eta e um plano, lano, per pend i i cular cular es a uma outra reta em pontos d i i st st i i ntos, ntos, são paral elos. los. ( )
P21. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): (F): a) Se doi s planos são secant es, então eles são per pend i i cular cular es. ( ) b) Se doi s planos são per pend i i cular cular es, então eles são secant es. ( ) c) Se doi s planos são per pend i i cular cular es, então toda reta de um deles é per pend i i cular ao cular ao outro. ( ) d) Se uma reta é per pend i i cular a cular a um plano, por ela passa um úni co co plano, per pend i i cular ao cular ao plano dado. ( ) e) Doi s planos per pend i i cular cular es a um t erc ei ro são per pend i i cular cular es entre si. ( ) ei ro ei ro, f) Se doi s planos são per pend i i cular cular es a um t erc ei ro, então eles são paral elos. los. ( ) g) Se doi s planos são per pend i i cular cular es, então toda reta per pend i i cular a cular a um deles é paral ela ao outro ou está cont i i da da neste outro. ( ) h) Se doi s planos são paral elos, los, todo plano per pend i i cular cular a um deles é per pend i i cular cular ao outro. ( ) i) Uma r eta e um plano são paral elos. los. Se um plano é per pend i i cular ao cular ao plano dado, dado, então ele é per pend i i cular à cular à reta. ( ) j) Por uma r eta passa um plano per pend i i cular a cular a um plano dado. dado. ( ) k) Se doi s planos são per pend i i cular cular es, então toda reta de um deles forma ângulo r eto com r reta do outro. ( ) qual quer reta
P22. Determine a posi ção ção de uma r eta r e um plano E nos casos a seguir: a) r
E = {P} (P é um ponto do plano E)
b) r
E=
c) r
E=r
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T1. Indique a alternativa alternativa falsa: falsa: a) Reta é um conceito conc eito primitivo. primitivo. b) A reta é ilimitada nos dois d ois sentidos. c) A reta tem infinitos pontos. d) Dois pontos distintos determinam uma única reta. e) A reta tem origem e não tem extremidade. T2. Sejam quatro pontos A pontos A,, B, C e C e D, não-co planar es. O número de planos determinados por i p p do s desses ontos e pelo onto méd i i o do segmento que l i i ga ga os outros doi s é: a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) n.d.a.
T3. Indique a preposição corr eta: ta: a) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas. b) Duas retas que não n ão têm ponto em comum são reversas. c) Duas retas reversas são coplanares. d) Duas retas paralelas podem ser reversas. e) n.d.a. T4. Observe o cubo representado na figura: A
B
H
Considerando as retas que contêm as ar estas desse cubo, podemos formar quantos par es de r etas r ev ersas ?
E
Ar esta a) 12 C
D
G
b) 48
c) 24
d) 36
e) n.d.a
F
ei ra: T5. Indique a proposição v erdad ei ra:
a) r // s r s = b) r s = r // s c) r s = r e s são reversas
d) r // s r e) n.d.a.
s = {P}
T6. (PUC SP) São dadas três retas de um plano, sendo duas paral elas e a t erc ei ra transv ersal . ei ra e p eq i i i ú Qual é o n m ro de ontos desse plano que u d d stam stam das três retas ? a) 0
b) 1
c) 2
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d) 3
e) 4
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ei ra T7. Se duas retas (r e s) no espaço são per pend i i cular cular es a uma t erc ei ra (t), então:
a) r e s são paralelas
d) r e s são ortogonais
b) r e s são perpendiculares
e) r e s podem ser reversas
c) r e s são coplanares T8. (FEI SP) Na d et ermi nação nação de um plano são suf i i c cie i ent es os seguintes elementos: a) duas retas distintas b) uma reta e um ponto c) duas retas reversas
d) duas retas concorrentes e) n.d.a.
T9. Indique a alternativa alternativa falsa: falsa: a) Dados dois pontos pon tos distintos A e B, existe um plano que os contém. b) Por um ponto fora de uma reta existe uma única reta paralela à reta dada. c) Existe um, e somente um, plano que contém um triângulo dado. d) Duas retas não-coplanares são reversas. e) Três pontos distintos e não-colineares determinam um, e u m só, plano. T10. Duas r etas paral elas a um plano: a) são paralelas. b) são ortogonais. c) são reversas.
d) são concorrentes e) nada podemos afirmar
T11. Se r é uma r eta paral ela a um plano E, então: a) todas as retas de E são paralelas a r. b) a reta r não pode pod e ser coplanar com nenhuma reta de E. c) existe em E retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. d) existe em E retas paralelas a r e também existem em E retas reversas em relação a r. e) n.d.a. T12. (Mackenzie SP) Sendo r e
rsas, o número de planos paral elos a r, e que pod em r r ev ersas,
passar por assar por r, é:
a) 2
b) 1
c) infinito
d) 0
e) n.d.a.
eptado por um t erc ei ei ro T13. Doi s planos são paral elos e um deles é i nt nt erc ep ro plano. As i nt nt ersecções são:
a) retas paralelas b) retas perpendiculares c) retas reversas
d) retas concorrentes e) n.d.a.
T14. (U. Taubaté SP) Indique a alternativa constituída constituída por p or uma informação i ncorr ncorr eta: ta: a) Os vértices de um triângulo são coplanares. b) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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c) Duas retas não-coplanares são reversas. d) Quatro pontos distintos e não-coplanares determinam exatamente quatro planos. e) Em dois planos paralelos, p aralelos, todas as retas contidas em um deles são paralelas ao outro. T15. (Osec SP) O ponto P pert enc e aos planos E e F. Nessas condições, é corr eto afirmar que os planos E e F: d) têm como intersecção o ponto P. e) são perpendiculares
a) são coincidentes. coincidentes. b) são paralelos. c) têm uma reta comum, que passa por P. T16. (FEI SP) Indique a alternativa alternativa falsa falsa::
a) Se dois planos são paralelos distintos, então toda reta de um deles é paralela ou reversa a qualquer reta do outro. b) Se dois planos são secantes, então uma reta de um delespode ser concorrente com uma reta do outro. c) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos planos são paralelos. d) Se duas retas concorrentes de um plano são paralelas a um outro plano, então os dois planos são paralelos. e) Se dois planos são paralelos, então toda reta que é paralela a um deles é paralela ou está contida no outro. T17. (ESPM SP) I. Uma reta e um plano que têm um ponto em comum são concorr ent es. II. Se duas r etas d i i st st i i ntas ntas são paral elas a um plano, então elas são paral elas entre si. e III. Se duas r tas de um plano são, respectivamente, paral elas a duas retas concorr ent es de outro plano, então estes planos são paral elos. los. a) Apenas I é verdadeira. b) Apenas II é verdadeira. c) Apenas III é verdadeira.
d) II e III são verdadeiras e) I e III são falsas
T18. Se uma r eta r é per pend i i cular a cular a um plano E, então: a) r é concorrente com toda reta de E. b) r é paralela a toda reta de E. c) r é perpendicular a todo plano paralelo a E. d) r é perpendicular a todo todo plano perpendicular perpendicular a E. e) toda reta perpendicular a r é perpendicular a E. T19. Indique a proposição v erdad ei ra. ei ra. a) Se dois planos são perpendiculares, toda reta contida em um deles é perpendicular ao outro. b) Se dois planos são perpendiculares, toda reta contida em um deles é paralela ao outro plano. Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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c) Se a reta
r é perpendicular ao plano E, existe um único plano F contendo r e que é
perpendicular ao plano E. d) Se dois planos são perpendiculares, então existe uma reta contida em um deles e que é perpendicular ao outro. e) n.d.a. T20. (Fuvest SP) Dados um plano E e uma r eta r, podemos af i i rmar que: rmar que: a) existe um plano F que contém r e é perpendicular a E. b) existe um único plano F que contém r e é perpendicular a E. c) existe um plano F que contém r e é paralelo a E. d) existe um único plano F que contém r e é paralelo a E. e) qualquer plano F que contém r intercepta o plano E. T21. (U. Católica de Salvador BA) Sejam o plano E e a reta r, paralela a E. Nessas condições, é v erdad e que: a) toda reta paralela a r está contida em E. b) toda reta perpendicular a r é perpendicular a E. c) toda reta ortogonal a r é perpendicular a E. d) existem retas paralelas a r que são perpendiculares a E. e) existem retas contidas em E, que não são paralelas a r. T22. (UFSE) Sejam a reta r e o ponto P , não pert enc ent e a ela, cont i i dos dos em um mesmo plano
E. Nessas condições, é v erdad e que: a) toda reta que passa por P intercepta r. b) toda reta que passa por P está contida em E. c) existe uma única reta que passa por P e é concorrente com r. d) existe um único plano perpendicular a E que contém r. e) existe um único plano perpendicular a E que contém P . T23. (U. MACK 79) Considere as afirmações: I Se uma reta é paral ela a doi s planos, então estes planos são paral elos. los. II Se doi s planos são paral elos, los, toda r eta de um é paral ela a uma r eta do outro. cular comum a elas. III Se duas retas são r ev ersas, rsas, então exi st st e uma úni ca ca reta per pend i icular Então: a) todas são verdadeiras. b) somente a II é verdadeira. c) somente a III é verdad verdadeira. eira. d) somente a I é verdadeira e) somente II e III são verdadeiras. Matemática Prof. Edvaldo Benjamim
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T24. (PUC SP 80) Se r e s são retas r ev ersas, rsas, então pode-se garant i i r que: r que: a) todo plano que contém r também contém s. b) existe um plano que contém r e é perpendicular a s. c) existe um único plano que contém r e s. d) existe um plano que contém r e é paralelo a s. e) toda reta que encontra r encontra s. T25. (U. MACK 80) Considerando-se as af i i rmaçõ rmações abaixo, assinale a alternativa alternativa corr eta: ta: I Se uma reta é paral ela a doi s planos, então esses planos são paral elos. los. e e e p e exi e pói II Dadas duas retas r v rsas, rsas, s m r st st reta que se a a em ambas. ambas. III Se um plano é per pend i i cular a cular a doi s planos secant es, então é per pend i i cular à cular à i nt nt ersecção desses planos. a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) Somente a afirmação II é verdadeira. c) São verdadeiras as afirmações II e III, apenas. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Nenhuma afirmação é verdadeira ei ra: T26. (PUC SP 80) Assinale a afirmação v erdad ei ra:
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si. b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si. c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si. d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si. e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si. T27. (PUC SP 81) Dois planos F e K se cortam na reta r e são per pend i i cular cular es a um plano E. Então: a) F e K são perpendiculares.
d) todo plano perpendicular a E encontra r.
b) r é perpendicular a E
e) existe uma reta paralela a E e a r.
c) r é paralela a E T28. (U. F. BA 81) Sendo E e F dois planos e r1 e r2 duas retas, tais que E
// F, r1 B E e
r2 // F, então r1 e r2 podem ser: a) paralelas a E.
c) coincidentes
b) perpendiculares a F.
d) oblíquas
e) ortogonais
T29. (FUVEST 82) Sejam r e s duas retas d i i st st i i ntas. ntas. Podemos afirmar que sem pr e: a) existe uma reta perpendicular a r e a s. b) r e s determinam um único plano.
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c) existe um plano que contém s e não intercepta r. d) existe uma reta que é paralela p aralela a r e a s. e) existe um plano que contém r e um único ponto de s. T30. (F. SANTANA 83) Sejam E e F dois planos paral elos e seja r uma r eta de E. Assinale a ei ra: sentença v erdad ei ra: a) Toda reta de F é paralela a r. b) Toda reta perpendicular a F é perpendicular a r. c) Não existe em F uma reta paralela a r. d) Se s é uma reta de F, não paralela a r, existe em F uma reta concorrente com s e paralela a
r. e) Se s é uma reta de F, não paralela a r, existe em F uma reta paralela a s, que é paralela a r.
P1 .
a) Verdadeira, postulado p ostulado fundamental fund amental. b) falsa. c) verdadeira. d) verdadeira. e) Falsa, se os pontos forem colineares, passam infinitos planos. f) Falsa, dois pontos determinam uma reta e por ela passam infinitos planos. g) verdadeira. h) verdadeira. i) Falsa, a reta é infinita; in finita; portanto, não tem ponto médio. j) Verdadeira, postulado fundamental. k) verdadeira. l) falsa.
P2 .
Três pontos distintos, não-colineares, determinam um plano. Na mesa com q uatro perpernas, há a possibilidade de uma delas não estar apoiada no mesmo plano em que as outras três estão apoiadas, podendo fazer com que a mesa balance.
P3 .
15 retas.
P4 .
a) falsa. b) verdadeira. verdadeira. c) verdadeira. verdadeira. d) verdadeira. g) verdadeira. verdadei ra. h) falsa. i) verdadeira. verdade ira.
P5 .
a) V b) F, pois r e s podem ser paralelas.
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e) falsa.
f) verdadeira.
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c) V d) V e) F, pois duas retas reversas também não têm ponto comum. f) F, pois podem p odem também ser ortogonais. g) F, pois elas podem ser coincidentes. h) V P6 .
a) Falsa. b) Falsa, pois o ponto pode pertencer à reta. c) Verdadeira. d) Verdadeira. e) Falsa, as retas reversas também são distintas e estão em planos diferentes. diferentes. f) Verdadeira. g) Falsa, se eles forem colineares teremos infinitos planos passando por eles. h) Verdadeira.
P7 .
C5,3 = 10. 10.
P8 .
a) falsa. b) verdadeira. c) verdadeira. d) Falsa, pois dado dad o um plano e um ponto p onto fora dele, pode-se pode-se traçar infinitas retas paralelas a esse plano passando por esse ponto. e) falsa. f) verdadeira. g) verdadeira. h) Falsa, pois r pode estar contida no plano E.
P9 .
a) Falsa, pois os planos podem ser coincidentes. b) verdadeira. c) verdadeira. d) verdadeira. e) Falsa, eles podem ser coincidentes e ter t er infinitos pontos em comum. f) verdadeira.
P10 .
a) Falsa. b) verdadeira. c) Falsa, os planos podem não ser paralelos. d) verdadeira. e) Falsa, elas podem ser concorrentes ou reversas. f) verdadeira (perpendicularismo de planos). g) Falsa, podemos ter três pontos distintos e colineares. h) verdadeira. i) verdadeira. j) verdadeira. k) Falsa, os pontos podem ser coincidentes. coincident es. l) Falsa, pois elas podem ser reversas.
P11 .
a) V
P12 .
Plano (A (A, B, C), Plano (A (A, B, D), Plano (A (A, C, D), Plano (B (B, C, D).
P13 .
a)
b) V
c) V
d) V
e) F
f) V
g) V
h) V
b)
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c) Página 28
P14 .
a) F
b) F
c) F
d) F
P15 .
a) F
b) F
c) F
d) F
P16 .
a)
P17 .
a) F
P18 .
a) F b) V c) V d) V e) V f) F g) F h) F i) F j) V k) F l) V m) V n) F
P19 .
a) V
P20 .
a) V b) F c) V
P21 .
a) F
P22 .
a) concorrente.
b) V
b) F
b) V
c) F
c) V d) F
c) F
e) F
b)
d) V
d) V e) V d) F
e) V
e) V
f) F
f) F
g) V
e) F
f) F
b) paralela.
T 1. E
T16. C
T 2. B
T17. C
T 3. E
T18 . C
T 4. C
T19. D
T 5. A
T20. A
T 6. C
T21. E
T 7. E
T22 . D
T 8. D
T23. E
T 9. A
T24. D
T 10. E
T25. C
T 11. D
T26. C
T 12. B
T27. B
T 13. A
T28. E
T 14. B
T29. A
T 15. C
T30. D
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c)
f)F
g) V
g) F h) F
h) V i) V
g) V
h) F
j) V
h) V
k) V i) F
l) F m) V n) V j) V
k) F
c) contida.
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