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Everaldo Moraes
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Formulas Geometria Espacial
Geometria Espacial
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291_EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA ESPACIAL
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Artefacto espacial
Control de artefacto espacialFull description
Arquitectura Espacial
arquitectura espacial.
dicasd ov es ti bular
www.energia.com.br
matematica: geometria espacial
Elaborado pe pelo pr professor Ba Baiano do do
1) Poliedros dePlatão
2) C álc álcul ulo do doss vé vért rtic ices es,fa ,face cess eare earest stas as deum po poliliedro e dro
3) Ân Ângu gulo loss in inte tern rnos os,dia ,diago gona nais is,ár ,áreaev eaev olu olumedeu medeum m po poliliedro e dro
Tetraedro= 4 Hexaedro= 6 Octaedro= 8 Dodecae odecaedro= dro= 12 Icosaedr cosaedro= o= 20
Somadosângulosinternosdasfaces
l
· Áreatota Áreatotal:l: At = l² . 3
l
l³. 2 · Volume: V= –––––– 12
Pl atão.
Cauc hy.
Todopoliedroregularéde aréde Pla Platão,mas tão,mas nemtodopoliedrodePlatãoé nemtodopoliedrodePlatã oé regular. ar. Emsentidohorário:tetraedro,hexa o:tetraedro,hexaedro,octaedro,icosaedroe oe dodecaedro.
Teoremad eEuler
Emtoda superfíciepoliédrica convexaaberta: V+ F= A+ 1 Emque:V–númerodevértices F–númerodefaces A–númerodearestas
Emtodasuperfíciepoliédricaconvexafechada: V+ F= A+ 2 Onúmerodeladoséigualao dobrodasarestas. nl = 2A
5) Prismas especiais
prismaéumpoliedrolimitadopor opor umasuperfícieprismá ícieprismática Definição: prismaéumpoliedrolimitad
prismacujasfacessãoparalelogr ssãoparalelogramos. amos. Cubo: éo prismacujasface prismacujasfacessãoquadrados. ssãoquadrados. Paralelepípedo: éo prismacujasface
fechadae fecha dae doisplanosparalelosqueinterceptamtodasasaresta elosqueinterceptamtodasasarestas. s. Prismaregular: éo prismaretocujasbase prismaretocujasbasessãopolígonosregula ssãopolígonosregulares. Ortoedro: éo prismacujasface prismacujasfacessãoretângulo ssãoretângulos. s.
a
vértice
Equaçõesparaprismasregulares
· Áreatotal: At = A l+ 2.A b
d ia g o n a l
arestas dasbases
b
· Volume: V= Ab.h
At = 6.a²
Equações
V= a.b.c
V= a³
D²= a²+ b²+ c²
D= a 3
· Ár Árealat ealateral: eral: Al = 2. p .r. h · Ár Áreat eatot otal al: A t = 2. p.r.h + 2. p.r²
D
D
c b Paralelepípedo.
Cubo.
ecônicaeum plano Definição: éumsólidolimitadoporumasuperfíciecônicaeum
· Merid Meridiana:dete iana:determina rminadaporum daporum planoqueconten planoquecontenhaoeixo haoeixo dosólido.
queintercepta todasas geriatrizes.
· Transversal:paralela àbase. h ² Ab ––– = ––– H AB h ³ v ––– = ––– H V h r ––– = ––– H R ³ Ab v ² ––– = ––– AB V
( ( ( (
Coneequilátero:g= 2.r
· Árealate alateral ral: A l= g. p .r a
g
2pr g
g
h
h r
r
r
)( )( )( )(
Equações
h b
H
h
R
Sec çã ção trtrans versal de de um um co cone.
Definição: éaporçãodapirâmideouconecompreen-
cieesférica. Definição: éumsólidolimitadoporumasuperfícieesférica.
· Áreadofusoesfér Áreadofusoesférico ico
didaentreabaseeum planoparar planoparareloàbase. eloàbase.
Equações
360º 36 0º –– –––– –––– ––– 4. p.R²
· Área: A= 4. p .R²
h h/3
B
g
g R
a
4. p–––– .R³³ .R · Volume: V= –––– 3
r
R
h
· Áreadacalotaesfé aesférica rica:: A c= 2. p.R.h · Áreadazonaes adazonaesfér férica ica:: A z= 2. p.R.h · Áreadasecçãoesfé Áreadasecçãoesférica: rica: As = p .r²
ab
A M l
Pirâm d i eq equadrangul ar.
12) Fuso e Cunha
r
ap
B
11) Esfera
b
al
O
r
Sec çã ção me merid iana de de um um co co ne.
a
r
Ab .h · Volume: V= ––––– 3
10) Tronco
· Áreatotal: At = AB+ A b+ A l h.(AB + Ab + A B.A b) · Volume: V = –––––––––––––– ––––– 3
r
r
Daesquerdaparaadireita:cilindroe secçãomeridiana.
Secção
V
2Pb .a p · Árealateral: A l= –––––––– 2 · Áreatotal: At = A l+ A b
B
Equações
r
éumpoliedrolimitadoporumângulopoliédricoe oe umplanoqueinterce umplanoqueinterceptatodasasarestas. ptatodasasarestas. Definição: éumpoliedrolimitadoporumângulopoliédric
) ) ) )
desenvolvida) Coneeângulocentral.
r
9) Pirâmide
Asecção = r .h .h
Equações
h
· Meridiana:determina diana:determinadaporum daporum planoquecontenhaoeixodo sólido. Asecção = 2 .r.r .h .h Cilindroequilátero:g= 2.r · Transversal:paralela àbase. Asecção = p . r²
a
8) Secções do cone
r
l
Secções
bases
Prisma pentagonal ep epartes de de um pr prisma qu quadrangular.
r
l
adoporumasuperfíciecilíndricaedoisplanosparalel ciecilíndricaedoisplanosparalelosqueinterceptamtodasasgeriat osqueinterceptamtodasasgeriatrizes. rizes. Definição: éumsólido limitadoporumasuperfí
At = 2.(ab+ ac+ bc)
7) Cone
g
l
h l
6) Cilindro
a
p.r²
Sãosegmentosderetaqueunemdois · Áreatota Áreatotal:l: At = 2l². 3 vérticesnãosituadosnamesmaface icesnãosituadosnamesmaface. l³. 2 · Volume: V= –––––– D= C2v –A–d f 3 Emque:C 2v– combina combinaçãodosvérticestomado çãodosvérticestomadosdoisa sdoisa dois A–númerodearestas df –totaldonúmerodediagonaisdetodasasfaces
· Volu olume: me: V= p .r².h
aresta lateral
· Árealateral: Al = 2Pb .h
l
Octaedroregul ar
Diagonaisde poliedros
Euler.
LemadeCauchy
4) Prismas
p .r².h · Volume: V= –––– –––– 3 2. p–––– .r · Ângulocentral: a = –––– g (superfícielateral
Tetraedro regular
Si = 360.(v–2)
Dica
· Áreatota atotal:l: At= g. p.r+
Sistemade Sist emade Ens EnsinoEnergia inoEnergia.
–––– –––– –––
fA
· Transversal:paralela àbase. h ² Ab ––– = ––– a C' H AB B' h ³ v ––– = ––– H V C b h l ––– = ––– H L B Ab ³ v ² ––– = ––– AB V
( ( ( (
)( )( )( )(
) ) ) )
R
O
R
O
O R
· Volumedacunhaesférica 4. p .R .R³ 360º ––––––– –––– ––³ 3 a –––– –––– –––– cV
O
h
a
H A
Sec çã ção trtrans vers al de de um uma pi pi râmi de tr tri ang ular.
h
O
h A'
a
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