apostila geometria analitica

GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA PROF. FERNANDO HENRIQUE

y

B(0,b) a

A’(-a,0) F’(-c,0)

M(x,y)

a b

A(a,0) c

F(c,0)

x

y B’(0,-b)

2010

Direitos Autorais Reservados É proibida a reprodução total ou parcial desta apostila sem autorização do autor

GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

Ao Aluno,

Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar o acompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação desta fantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica.

“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para o estudo desta disciplina.”

Bons estudos.

Belo Horizonte, julho de 2009. 2


Ao Aluno,

Caro aluno. Esta apostila foi elaborada com o propósito de otimizar e facilitar o acompanhamento da primeira parte do programa da disciplina Geometria Analítica ministrada nos cursos de engenharia da FEA-FUMEC. Por se tratar de um assunto extenso e complexo, foram aqui omitidas algumas formalidades matemáticas com o intuito de tornar o texto mais amigável possível, sem perder a lógica e o rigor necessários. Contudo é desejável que você tenha acesso a outras bibliografias relacionadas ao assunto, algumas das quais serão indicadas em sala de aula. Espero que este texto o ajude no entendimento e assimilação desta fantástica ferramenta matemática que é a Geometria Analítica.

“Um conhecimento básico em matemática e boa vontade são pré-requisitos para o estudo desta disciplina.”

Bons estudos.

Belo Horizonte, julho de 2009. 2


Introdução Capítulo 1 1.1 1.2 1.3 Capítulo 2 2.1 2.2 2.3 Capítulo 3 3.1 3.2 3.2.1 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 Capítulo 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Capítulo 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 5.1.5 5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.3 Capítulo 6 6.1 6.2 6.3 Capítulo 7 7.1 7.2 7.3 Apêndice I Apêndice II Apêndice III Apêndice IV Descartes Bibliografia

O que é Geometria Analítica....................................................................... Espaços dimensionais; Sistemas de referência; Sistema de coordenadas retangulares.......................................................................... Espaços dimensionais................................................................................... Sistemas de referência para R²..................................................................... O sistema de coordenadas retangulares....................................................... Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio................... Distância entre dois pontos............................................................................ Coordenadas do ponto médio........................................................................ Exercícios propostos...................................................................................... Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre ponto e reta........................................................................ Retas em R²................................................................................................... Coeficiente angular........................................................................................ Coeficiente angular através de dois pontos................................................... Equações da reta........................................................................................... Equação da reta em função de dois pontos.................................................. Equação da reta em função do coeficiente angular....................................... Equação reduzida.......................................................................................... Equação segmentária.................................................................................... Equação geral................................................................................................ Interseção de retas......................................................................................... Paralelismo..................................................................................................... Perpendicularismo.......................................................................................... Ângulo entre duas retas................................................................................. Distância entre ponto e reta........................................................................... Exercícios propostos...................................................................................... Circunferência.............................................................................................. Definição........................................................................................................ Equação da circunferência............................................................................ Equação geral da circunferência................................................................... Identificando o centro e o raio na equação geral da circunferência............... Exercícios propostos...................................................................................... As Seções Cônicas...................................................................................... Elipse.............................................................................................................. Elementos da elipse....................................................................................... Equação reduzida da elipse........................................................................... Equações reduzidas genéricas da elipse....................................................... Excentricidade................................................................................................ Exercícios propostos...................................................................................... Hipérbole........................................................................................................ Elementos da hipérbole.................................................................................. Equações reduzidas genéricas da hipérbole................................................. Excentricidade................................................................................................ Exercícios propostos...................................................................................... Parábola......................................................................................................... Elementos da parábola.................................................................................. Equações reduzidas genéricas da parábola.................................................. Exercícios propostos...................................................................................... Translação de eixos coordenados............................................................. Objetivo.......................................................................................................... Relação entre os sistemas XoY e X’o’Y’........................................................ Exercícios propostos...................................................................................... Noções do sistema de coordenadas polares............................................ Introdução...................................................................................................... Elementos...................................................................................................... Relação entre os sistemas cartesiano e polar............................................... Álgebra.......................................................................................................... Fórmulas Trigonométricas.......................................................................... Geometria...................................................................................................... Seções Cônicas............................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................

4 4 4 5 6 8 8 10 13 15 15 15 18 21 21 22 23 23 24 26 27 27 29 30 32 35 35 36 37 38 40 42 43 43 45 46 48 50 52 53 54 56 59 61 62 63 66 68 68 71 74 76 76 77 78 81 82 83 85 88 89 3

Introdução O que é Geometria Analítica? O estudo da geometria é um assunto que fascina os matemáticos desde a antiguidade. É provável que a própria matemática tenha surgido impulsionada pela necessidade do entendimento de problemas cotidianos, de povos antigos, relacionados à geometria. Existem vários ramos de estudo da geometria como a geometria projetiva, geometria descritiva e geometria analítica. A Geometria Analítica é considerada por muitos autores como sendo um método de estudo de geometria. A Álgebra é a ferramenta utilizada no estudo de geometria através da Geometria Analítica. Na essência, a Geometria Analítica consiste na transformação de problemas geométricos em problemas algébricos correspondentes. Para a Geometria Analítica um ponto é uma combinação de números reais e uma curva é uma equação.

Capítulo 1 Espaços Dimensionais; Sistemas de Referência; Sistema de Coordenadas Retangulares. 1.1 Espaços Dimensionais. Quando iniciamos um estudo em Geometria Analítica precisamos definir em qual espaço dimensional estão baseadas nossas informações para a correta interpretação e solução dos problemas. Podemos trabalhar em R, R 2 , R3 e R n O sistema dimensional R é composto pela reta real (uma dimensão). Uma reta onde representamos infinitos pontos que são associados aos números reais, de modo que cada ponto corresponde a apenas um número real.

−

-3

-2

2

3

π

3

-1

0

1

2

3


O Sistema dimensional R 2 é o plano, (duas dimensões) onde os pontos são representados por um par de números reais e as equações das curvas têm duas variáveis. Já R 3 , é o que chamamos de espaço, (três dimensões) onde os pontos são definidos por um terno de números reais e as equações das curvas têm três variáveis. Podemos trabalhar, teoricamente, em uma dimensão qualquer, texto nos concentraremos principalmente em

R n ,

mas neste

R 2 .

1.2 Sistemas de Referência para R 2 . Para utilizar o fantástico poder da geometria analítica no estudo de questões geométricas, precisamos, antes de mais nada, saber localizar com precisão, os pontos em um plano. Podemos definir precisamente a posição de um ponto num plano por meio de um par de números reais (coordenadas do ponto). Para isso precisamos de um sistema de referência. Um sistema de referência é composto de um referencial e de uma regra que define como os pontos serão localizados em relação a este referencial. Existem vários sistemas de referência que são regularmente utilizados na Geometria Analítica. Como exemplo, podemos citar o sistema de coordenadas retangulares (chamado também de Plano Cartesiano) e o sistema de coordenadas polares. Estes sistemas são os mais usados, mas existem outros. Na verdade, podemos criar sistemas de referência de acordo com nossa necessidade, bastando para isso, definir um referencial e uma regra para a localização dos pontos no plano. Podemos estudar as curvas planas por meio de equações descritas em relação a um sistema de referência. Uma curva plana é um conjunto de pontos que obedecem a uma determinada regra e sua equação é uma expressão matemática que define tal regra. Por exemplo, para que um conjunto de pontos seja

5


considerado uma reta, eles precisam estar alinhados e obedecer a uma regra do tipo ax + by + c = 0 que é uma equação em relação ao sistema de coordenadas retangulares. Cada curva tem uma equação bem definida em relação a um sistema de referência. Ao mudarmos o sistema de referência mudamos também a equação da curva. Às vezes uma curva possui uma equação mais simples, ou mais apropriada, em relação a um determinado sistema de referência. Por isso existem vários, e são utilizados de maneira conveniente.

1.3 O Sistema de Coordenadas Retangulares. O sistema de coordenadas retangulares tem como referencial um par de retas, chamados de eixos coordenados, infinitos e perpendiculares entre si. Para cada eixo é definida uma escala (normalmente a mesma para os dois) cuja origem é a interseção. Os números reais são representados nestes eixos, sendo que a distância entre dois números inteiros, é uma unidade da escala definida. O número zero está na interseção dos eixos e é chamado de origem do sistema. O eixo horizontal é o eixo das abscissas que são representadas pela letra x. O eixo vertical é o eixo das ordenadas, representadas pela letra y. y 3 2 1 -3

-2

-1

0

1

2

3

x

-1 -2 -3

Figura 1.1

A figura 1.1 mostra o sistema de coordenadas retangulares como um sistema de referência de um plano. Com isso, qualquer ponto pertencente ao plano pode ser

6


perfeitamente localizado. Esta localização será feita medindo-se a distância orientada (considerando o sinal negativo) de um ponto aos eixos coordenados. A distância do ponto ao eixo y será sua abscissa e a distância do ponto ao eixo x será sua ordenada. Isto irá conferir ao ponto um par ordenado de números reais do tipo P( x, y ) . Esta é a regra para a localização de pontos em um plano em relação ao sistema de coordenadas retangulares. É importante observar que, a distância do ponto em relação a um eixo coordenado é o valor absoluto de uma de suas coordenadas, ou seja, se o ponto estiver localizado à esquerda do eixo y, sua abscissa terá sinal negativo, bem como sua ordenada terá sinal negativo se ele estiver localizado abaixo do eixo x. Cada ponto do plano será então identificado por um, e apenas um, par ordenado de números reais e, cada par ordenado de números reais representará apenas um ponto do plano. É o que chamamos de característica biunívoca do sistema de coordenadas retangulares. Em homenagem a René Descartes (1596 – 1650), cujo nome em Latim era Renatus Cartesius , filósofo e matemático francês, considerado o pai da Geometria Analítica (vide texto página 85), o sistema de coordenadas retangulares desenvolvido por ele, é também denominado de Sistema Cartesiano ou Plano Cartesiano. Assim o chamaremos daqui em diante. y 3 B(−1, 2)

2 1

-3

-2

-1

0

A(2,1)

1

2

3

x

-1 -2 C (−2,−2)

-3

Figura 1.2

D(2,−3)

A figura 1.2 acima mostra, representados no Sistema Cartesiano, os pontos A( 2,1); B ( −1,2); C ( −2,−2) e D ( 2,−3).

7


Capítulo 2 Distância entre dois pontos; Coordenadas do ponto médio.

2.1 Distância Entre Dois Pontos. Como foi dito anteriormente, a Geometria Analítica utiliza a álgebra como ferramenta. Então, se quisermos saber qual é a menor distância entre dois pontos do plano teremos que calcular, e não medir com uma régua. Vamos para tanto, desenvolver uma técnica, ou fórmula, para calcular a distância entre dois pontos quaisquer de um plano. Devemos utilizar, contudo, pontos de coordenadas genéricas, ou seja, pontos que estarão representando qualquer um dos infinitos pontos de um plano. Com isso a técnica, ou fórmula, desenvolvida para calcular a distância entre estes pontos genéricos, servirá para calcular a distância entre dois pontos específicos quaisquer do plano. Obviamente precisaremos também do nosso já conhecido Plano Cartesiano, pois já sabemos que, sem um sistema de referência não é possível localizar pontos num plano por meio de coordenadas e, muito menos, calcular distâncias.

y

Q (x 2 , y 2 )

Q" (y 2 )

P " ( y1 )

0

R( x 2 , y1 ) P( x1 , y1 ) P ' ( x1 )

'

Q ( x2)

“A menor distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une” r x

Figura 2.1

8


A figura 2.1 mostra dois pontos de coordenadas genéricas

P( x1 , y1 )

e

Q( x2 , y2 )

representados em algum lugar do Plano Cartesiano. Nosso objetivo é definir uma fórmula para calcular a distância entre estes dois pontos. Faremos isso passo a passo.

•

As projeções dos pontos P e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos P’ e Q’ no eixo x, e P’’ e Q’’ no eixo y;

•

Pelo ponto P passa uma reta paralela ao eixo x, onde marcamos o ponto R;

•

O triângulo PQR é retângulo;

Então, baseado no teorema de Pitágoras, temos:

(dPQ) 2

= ( dPR)

2

dPR = dP' Q' = ( x 2

+

( dRQ) 2

mas,

− x1 )

dRQ = dP' ' Q' ' = ( y 2

− y1 )

então, (dPQ) 2

= ( x 2 − x1 )

d = ( x 2

− x1 )

2

+

2

+

( y 2

( y 2

− y1 )

− y1 )

2

2

Distância entre dois pontos

Como P e Q são pontos genéricos, podemos utilizar a fórmula acima para calcular a distância entre dois pontos quaisquer do plano, por isso substituímos dPQ por d .

9


Exercício resolvido: Prove que o triângulo ABC é isósceles. A (-7,2) d AB =

(3 + 7) 2

d AC =

(1 + 7) 2 + ( 4 − 2) 2

d BC =

(1 − 3) 2

+ ( −4 − 2 )

+ (4 +

4) 2

2

= =

=

+

100 64 + 4

4 + 64

=

36

= =

136

68 68

C (1,4)

B (3,-4)

R: Como dAC = dBC podemos concluir que o triângulo é isósceles.

2.2 Coordenadas do Ponto Médio. Um segmento de reta é definido por dois pontos, que são suas extremidades. O Ponto Médio de um segmento de reta qualquer, é o ponto que o divide em duas partes congruentes (de mesma medida). Podemos determinar as coordenadas de tal ponto. Vamos então deduzir uma fórmula para este fim, utilizando para isso pontos genéricos representados no Plano Cartesiano. Veja a figura 2.2.

y Q( x2 , y2 )

Q' ' ( y2 )

β

M " ( y)

M ( x ; y )

s

S ( x2 , y )

α

P ' ' ( y1 )

P( x1 , y1 )

P' ( x1 )

R( x ; y1 )

M ' ( x)

Q ' ( x2 )

x

Figura 2.2

10


•

O ponto P( x1 , y1 )

é o ponto médio do segmento definido pelos pontos

M ( x, y )

e

Q ( x2 , y2 ) ;

•

As projeções dos pontos P, M e Q nos eixos coordenados nos dão os pontos P’, M’ e Q’ no eixo x, e P’’, M’’ e Q’’ no eixo y;

•

Pelo ponto P, traçamos uma reta r, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto R( x, y1 ) ;

•

Pelo ponto M, traçamos uma reta s, também paralela ao eixo x, e obtemos o ponto

•

S ( x2 , y ) ;

Podemos identificar então, dois triângulos retângulos PRM e MSQ, que são congruentes, pois:

∆ P R M ≅

 α ≅ β (correspond entes )  ∆ M SQ  PM ≅ MQ ( M é ponto médio )  ˆ ˆ  R ≅ S (retos )

•

Sendo congruentes os triângulos, podemos concluir que seus respectivos catetos PR e MS têm a mesma medida;

•

O cateto PR, tem a mesma medida do segmento P’M’ que por sua vez mede

( x − x1 ).

O cateto MS, tem a mesma medida do segmento M’Q’ que

por sua vez mede

( x2

x

− x1 = x2 − x

x

+ x = x1 + x2

2 x

x

−

x) , então:

= x1 + x2

=

x1

+ x2

2

analogamente :

y

=

y1

+

y2

2

11


Concluindo: A abscissa do ponto médio de um segmento de reta será a metade da soma das abscissas das extremidades do segmento, e, a ordenada do ponto médio será a metade da soma das ordenadas das extremidades.

 x + x2 y1 + y2  , M  1  2 2  

Ponto médio

Exercícios resolvidos: 1) A mediana de um triângulo é um segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Ache o comprimento das medianas do triângulo cujos vértices são: A(2,3) ; B(3,-3) e C(-1,-1) A (2, 3) AA’, BB’ e CC’ são as medianas do

 1  B '  ,1  2 

 5  C '  , 0   2 

B (3, -3)

yA

`

=

=

3 −1

=

2 − 3 −1

=

2

xB

`

yB

`

=

2 −1 2

=

3 −1 2

`

xC

`

yC

=

2+3

=

=

2

   A` (1, − 2) − 2 

Cálculo do comprimento das medianas

=

=

 0 

`

 1  ,1 2 

B  `

5

 2

mAA` =

mBB

1  2

 =1  

2 3−3

1

ABC.

C (-1, -1)

A ' (1,−2)

Cálculo dos pontos A’, B’, C’ xA `

∆

 1   2 25

=

=

 5   2 49 4

+ ( −2 − 3)

 − 3  +

4

mCC

 5  ,0   2 

=

=

`

C ' 

(1 − 2) 2

=

1 + 25

2

+ (1 + 3)

16

=

 + 1 

2

+

=

1

2

89

2

=

4

+ (0 + 1)

53 4

 − 5     2 

=

1

=

1 2

26

2

+

42

89

2

2

=

=

 7     2 

2

+

1

53 12


2) Determinar B, sabendo que M(7,-3) é o ponto médio de AB, dado A(1,2). M (7,-3) A (1, 2)

B (x, y)

x + 1

−3 =

y + 2

7

=

x

+ 1 = 14

y

+

x

= 13

y

= −8

2

2=

2 −6

B (13, − 8)

2.3 Exercícios propostos: 1) Calcular a distância entre os pontos A(a − 3, b + 4) e B(a + 1, b + 1) . 2) Se M(4,2), N(2,8) e P(-2,6) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA respectivamente de um triângulo ABC , determinar A, B e C. 3) Determinar os pontos que dividem o segmento congruentes, sendo dados: A(-3,11) e B(5,-21).

−−

AB

em quatro partes

4) Num triângulo ABC são dados: A(2,0) e M(-1,4) ponto médio de

−−

AB .

obter o

vértice C do triângulo, sabendo que os lados AC e BC medem 10 e 10

2

respectivamente. 5) Ache as abscissas dos pontos tendo ordenada 4 e que estão a uma distância de

117

do ponto P(5,-2).

6) Prove que o quadrilátero com vértices consecutivos em (1,2), (5,-1), (11,7) e (7,10) é um retângulo. 7) Prove que os pontos (2,4), (1,-4) e (5,-2) são vértices de um triângulo retângulo e ache sua área. 8) Prove que os pontos (1,-1), (3,2), (7,8) são colineares, usando a fórmula da distância entre dois pontos. 9) Os vértices opostos de um quadrado estão em (3,-4) e (9,-4). Ache os outros dois vértices. 13


10) Um triângulo ABC é retângulo em A, que pertence ao eixo das ordenadas. Tendo os pontos B(2,3) e C(-4,1) determinar A. 11) Dados A(-3,1) e B(3,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos quadrantes ímpares. 12) Dados A(5,7) e B(-6,5) obter o ponto em que a reta AB corta a bissetriz dos quadrantes pares.

Respostas: 1) 5 2) A(0,0), B(8,4) e C(-4,12) 3) (-1,3), (1,-5) e (3,-13) 4) C1(-6,-6) e C2(10,6) 5)

x

= −4

ou x

= 14

9) (6,-7) e (6,-1) 10) A1(0,-1) e A2(0,5) 11) (9,9) 67 67  12)  − , 

 13 13 

14


Capítulo 3 Retas em R²; Coeficiente angular; Equações da reta; Interseção de retas; Paralelismo; Perpendicularismo; Ângulo entre duas retas; Distância entre ponto e reta. 3.1 Retas em R². Começaremos agora o estudo das equações de algumas curvas planas. Neste capítulo vamos discutir as particularidades e estudar a equação de uma curva simples, porém de extrema importância. A reta. Sim, a reta também é chamada de curva, numa generalização deste termo. Uma curva plana é formada por um conjunto de pontos num plano que obedecem a uma determinada regra, que é sua equação. A reta, como sugere o próprio nome, é um conjunto de pontos alinhados. Para que tenhamos uma reta bem definida num plano, basta conhecer dois de seus infinitos pontos, ou seja, conhecendo apenas dois pontos de uma reta podemos determinar sua equação. Mas também podemos determinar a equação de uma reta conhecendo um de seus pontos e seu coeficiente angular. Então, o que é o coeficiente angular de uma reta? 3.2 Coeficiente Angular. y r Q P

“O coeficiente angular também é chamado de inclinação ou declividade”

∆ y

α ∆ x

α

x

Figura 3.1 15


Imagine uma partícula se movendo do ponto P ao ponto Q ao longo da reta r. Ao fazer este movimento a partícula se deslocou horizontalmente ∆ x e verticalmente ∆ y

. O coeficiente angular da reta r, denotado pela letra m, por definição é a razão

entre o deslocamento vertical e o deslocamento horizontal.

m

=

var iação vertical var iação horizontal

=

∆ y ∆ x

Observando a figura 3.1 podemos identificar um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o segmento PQ e os catetos são ∆ y e ∆ x . O ângulo α é o ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo x, que é correspondente ao ângulo agudo adjacente ao cateto ∆ x do triângulo retângulo.

A tangente do ângulo α é calculada por:

tgα =

∆ y ∆ x

.

Então o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado através da expressão:

“ O coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo entre a reta e o sentido positivo do eixo x.”

m = tgα

Através do coeficiente angular de uma reta podemos saber se ela é crescente, decrescente, constante ou vertical. Ora, se retas são crescentes, o ângulo entre elas e o sentido positivo do eixo x pode variar no intervalo

0 < α <

π 2

. Os ângulos neste intervalo possuem

tangentes positivas e consequentemente as retas terão coeficientes angulares positivos (m > 0) . Lembre-se: m = tgα .

16


π

Se retas são decrescentes, o ângulo α estará no intervalo

2

< α < π

. Os

ângulos neste intervalo possuem tangentes negativas, logo, essas retas terão coeficientes angulares negativos (m < 0) . As retas constantes são aquelas paralelas ao eixo x, cujo ângulo α é igual a zero. Estas retas têm coeficiente angular igual a zero (m = 0) , pois tg 0 = 0 .

As retas verticais, por sua vez, são perpendiculares ao eixo x. Então α = Essas retas não possuem coeficiente angular, pois não existe

tg

π

π 2

.

.

2

y

y m>0

r

m<0

α

α

x

x s

y

y m=0

u m não é definido

t

α = α = 0

x

π 2

x

Figura 3.2

A figura 3.2 mostra um exemplo de cada tipo de reta, em relação à inclinação.

17


3.2.1 Coeficiente Angular através de dois pontos. Podemos também, determinar o coeficiente angular de uma reta, através das coordenadas de dois pontos pertencentes à reta. Observe a figura 3.3 onde estão representados, uma reta e dois de seus pontos com coordenadas genéricas.

y r

B' ' ( y2 ) B( x2 , y2 )

s

A' ' ( y1 ) A( x1 , y1 )

R

α A' ( x1 )

B' ( x2 )

x

Figura 3.3

•

As projeções dos pontos A e B nos eixos coordenados nos dão os pontos A’ e B’ no eixo x, e A’’ e B’’ no eixo y;

•

Pelo ponto A, traçamos uma reta s, paralela ao eixo x, e obtemos o ponto R;

•

O triângulo ARB é retângulo, então:

tgα =

RB AR

ou

tgα =

y2 − y1 x2 − x1

18


Portanto, o coeficiente angular de uma reta pode ser calculado usando a fórmula:

m

=

y2 − y1 x2 − x1

Exercício resolvido: 1) Determinar o coeficiente angular das retas e esboçar os gráficos:

r 1

A1 (2;1)

r 4

r 2

B1 (5; 3) A4 ( −3; 4) B4 ( 2;4 )

r 5

A2 (0; 0) B2 ( 2; 2)

r 3

A3 (1; − 1) B3 ( −2; 2)

A5 ( 2; − 3) B5 ( 2; 4)

y r 1 ) m

=

m

=

=

m

y2

− y1

x2

− x1

3 −1

=

5−2 2

B1

2 3

A1

α

3

x

y B2

r 2 ) m m

=

=

y2

− y1

x2

− x1

2−0 2−0

=1

A2

α

x 19


y r 3 ) m= m=

y2

− y1

x2

− x1

2 +1

B3 =

− 2 −1

3 −3

α

= −1

A3

r 4 )

x

y

m= m=

y2

− y1

x2

− x1

4−4

=

2+3

A4

0

B4

m = 0 , para todas as retas paralelas ao eixo x. Retas constantes.

x

y r 5 ) m= m

=

y2

− y1

x2

− x1

4+3 0

=

B5

7

∃ /

x

0 m , não é definido para todas

as retas perpendiculares ao eixo x. Retas verticais.

A5

Obs: Logicamente o coeficiente angular de uma reta pode ser obtido tomandose quaisquer pares de pontos pertencentes à mesma.

20


3.3 Equações da Reta. Como vimos uma reta fica bem determinada num plano, se conhecemos dois de seus pontos ou se conhecemos um de seus pontos e seu coeficiente angular. A partir desses elementos podemos definir uma equação matemática, ou seja, uma regra que nos fornece ou representa todo o infinito conjunto de pontos que pertencem a uma reta. Para isso precisamos, como já sabemos, de um sistema de referência que irá nos possibilitar identificar os pontos por meio de coordenadas. Se utilizarmos o plano cartesiano, teremos para as retas, equações do 1º grau com duas variáveis.

3.3.1 Equação da reta em função de dois pontos.

y

r

M ( x, y ) B( x2 , y2 ) A( x1 , y1 ) x

Figura 3.4

Os pontos A e B são pontos conhecidos da reta e estão representados no plano cartesiano, com coordenadas genéricas, pois a equação obtida servirá como um modelo para se obter a equação de uma reta específica qualquer. O ponto M é um ponto qualquer da reta, ou um ponto genérico, e suas coordenadas serão as variáveis da equação.

21


Podemos calcular o coeficiente angular da reta acima utilizando ou os pontos A e M ou os pontos A e B. Então:

=

m AM

m AB

y − y1

=

x − x1

y − y1

y2 − y1 x2 − x1

=

y2 − y1 x2 − x1

( x − x1 )

A equação de qualquer reta no plano, pode ser obtida substituindo as coordenadas de dois de seus pontos na fórmula, ou modelo, acima.

3.3.2 Equação da reta em função do coeficiente angular.

Uma simples alteração na fórmula nos possibilita determinar facilmente a equação de uma reta no plano quando conhecemos apenas um de seus pontos e seu coeficiente angular. temos : y − y1

=

y 2

− y1

x 2

− x1

( x − x1 )

mas : y 2

− y1

x 2

− x1

=

m

então : y − y1

=

m( x − x1 )

22


3.3.3 Equação Reduzida. É interessante trabalhar com a equação reduzida de uma reta, pois deste modo podemos visualizar facilmente seu coeficiente angular e seu coeficiente linear (intercepto do eixo y). A equação reduzida tem um formato característico como veremos a seguir: y temos : y − y1

=

m( x − x1 ) B (0, b)

x

Se o ponto conhecido for B(0, b), então: y − b

y

=

=

Figura 3.5

m( x − 0)

mx + b

Coeficiente linear (onde corta o eixo-y) Coeficiente angular

3.3.4 Equação Segmentária.

A equação de uma reta na forma segmentária é muito interessante, pois temos a informação imediata dos interceptos da reta nos eixos coordenados. y B (0,b)

A (a,0) x Figura 3.6

23


Substituindo os pontos A e B na fórmula da equação da reta, temos:

y

− y1 =

y

−

y

= −

y

= −

y

+

y b y

0

=

b a b a

+

+

y2

− y1

x2

− x1

b

−

0

0

−

a

− a)

x

+

x = b a bx b

− x1 )

−

a)

( x

( x

b

( x

b →

dividindo tudo por b

=

ab x

b

onde

a

b =1

x

⇒

a

+

y b

=

1

a e b≠ 0

a é o intercepto eixo-x b é o intercepto eixo-y

3.3.5 Equação Geral.

É a equação da reta na forma:

ax + by + c

=

0

a e b não b não são nulos simultaneamente. onde a e

24


Para relembrar:

Seja y

=

mx + b

m > 0 ⇒ reta crescente m < 0 ⇒ reta decrescent e m = 0 ⇒ reta cons tan te m

⇒ reta vertical

∃

Exercício resolvido: 1) Ache a equação da reta que passa pelos pontos A(8,-8) e B(12,-16) nas formas reduzida, geral e segmentária: Sol: Cálculo de m

m

=

y

− y1 =

y

+

8=

y2

− y1

x2

− x

m

=

− 16 +

8

12 − 8

=

8 4

⇒

m=

m ( x − x1 )

− 2 ( x − 8)

2 x

y + 8 = −2 x + 16

2 x

y

−2

= −2 x + 8

Eq. reduzida

Eq. geral

+

8

x 2 x + y − 8 = 0

+ y =

4

y 8

+

y 8

8

=

8 8

=

1

Eq. segmentária

25


3.4 Interseção de retas. y

I

x

Figura 3.7

O ponto de interseção de duas retas deve satisfazer à equação de ambas, portanto, para determiná-lo, basta resolver um sistema formado por tais equações. Em geral a solução de um sistema de equações, é, ou são, os pontos de interseção de seus gráficos.

Ex: Obter o ponto I de interseção das retas 3x + 4y - 12 = 0 e 2x – 4y + 7 = 0

sol:

3 x + 4 y − 12 = 0  2 x − 4 y + 7 = 0 somando as equações temos : 5 x − 5 = 0 x

=1

levando o valor de x na primeira equação , temos : 3 × 1 + 4 y − 12 = 0 4 y y

= 12 − 3

=

9 4

⇒

 9  I 1,   4 

26


3.5 Condição de Paralelismo.

Duas retas são consideradas paralelas se possuem o mesmo coeficiente angular e coeficientes lineares distintos. y r s

α r = α s (corresp.) tg α r = tg α s

α r

⇓

α s

mr = ms

x

Figura 3.8

3.6 Condição de Perpendicularismo. Os coeficientes angulares de duas retas distintas também podem nos dizer se elas são perpendiculares. Vejamos a figura 3.9 abaixo.

y r

s

α r

α s

t

α s

α r x

Figura 3.9

27


Pelo ponto de interseção das retas, traçamos uma reta t, paralela ao eixo-x. Com isso podemos identificar os ângulos correspondentes de α s e α r entre as retas r e s e a reta t. Podemos relacionar os ângulos α s e α r da seguinte maneira: α r = α s

+

α r − α s

=

π

ou,

2

π

segue,

2

t g (α r − α s)

=

tg

tg α r − tg α s

=

1 + tgα r . tgα s

∃

tg

π

1 + tgα r .tgα s 1 + mr . ms

=

= −1

=

usando a identidade : tg (a

2

tg

π 2

− b) =

tga

−

tgb

1 + tga ⋅ tgb

mas :

1 + tgα r .tgα s

então :

2

mr . ms

π

=

0

0

0

⇒

mr =

−

1 ms

Concluindo: Duas retas r e s distintas são perpendiculares, se e somente se,

mr =

−

1 ms

,

o que equivale a dizer que, se duas retas são perpendiculares, o coeficiente angular de uma é igual ao da outra invertido e com o sinal oposto. Por exemplo, se o coeficiente angular de uma reta é igual a 3, então o coeficiente angular de qualquer reta perpendicular a ela é

−

1 3

.

28


3.7 Ângulo entre Duas Retas. Com a ajuda da figura 3.10, podemos deduzir uma fórmula para o cálculo do ângulo entre duas retas quaisquer, também utilizando seus coeficientes angulares. y

r

θ

s

α r α s α r

α s

x

Figura 3.10 θ = α r −α s tgθ = tg (α r − α s)

tgθ =

tgα r − tgα s 1 + tgα r × tgα s

⇒

tg θ =

mr − ms 1 + mr ⋅ ms

Exercício resolvido: 1) Obter o ponto P, simétrico de Q(-1,8) em relação à reta r de equação x − y − 3 = 0

Q(-1, 8)

r: x – y – 3 = 0 M P(x, y) M é o ponto médio de PQ.

29


Cálculo da inclinação da reta r x − y − 3 = 0 y

Concluindo:

⇒ mr = 1

= x − 3

então : m PQ

= −1

x

=

− y1 =

m ( x

y

−

8 = − 1( x + 1)

y

−

8=

x

+ y −

5=

− x1 )

− x − 1

7

=

+ x2

y

2

Equação da reta PQ y

x1

− 1 + x

=

2=

2

y1

2 8 + y

− 1 + x = 10

8 + y

x

y

= 11

+ y2

2 =

4

= −4

0

Determinação do ponto M ⇒ r ∩ PQ

 x − y − 3 = 0   x + y − 7 = 0 ⇓ 2 x

− 10 =

2 x

= 10

0 P (11, − 4)

x

=

5

− y − 3 =

y

=

5

y

=

2

5

−

0

3

⇒

M (5,2)

3.8 Distância Entre Ponto e Reta.

A menor distância de um ponto

P ( x0 , y0 )

a uma reta

r : ax + by + c

=

0

é o

comprimento do segmento que vai do ponto à reta e é perpendicular à mesma, como vemos na figura 3.11.

30


P ( x0 , y0 ) r : ax + by + c = 0

Figura: 3.11

Podemos calcular a menor distância do ponto P à reta r utilizando a fórmula:

d Pr

=

ax 0

+ by 0 + c

a2

+b

2

Exercício resolvido: 1) Calcular a medida da altura AH do triângulo cujos vértices são: A(1,1), B(-1,-3) e C(2,-7). A(1, 1)

H

B(-1,-3)

C(2,-7)

utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta, temos: A (1,1) reta BC : 4 x

dpr = dpr =

+

3 y

+

13

=

0

4.1 + 3.1 + 13 16 + 9 20 20 =

25

5

=

4

Então a altura AH mede 4 unidades.

31


2) Calcular a distância entre as retas paralelas r: 7x + 24y – 1 = 0 e s: 7x + 24y + 49 = 0

Tomamos um ponto P de r, atribuindo um valor qualquer a x e calculando y

r

P(7,-2)

s x

=

7 ⇒ 7 .7

+

24 y y

24 y =

−

1= 0

1 − 49

= −

48

⇒ y

24

= −2

então, P(7,−2) ∈ r

logo: drs = dPs =

7.7 + 24.(−2) + 49 49 + 576

=

50 25

=

2 , ou seja: a distância entre r e s é de 2 unidades

3.9 Exercícios propostos: 1) Em cada caso determine a equação geral da reta: a) que passa pelo ponto A(-1,6) e tem inclinação 3; b) que passa pelos pontos P(2,-1) e Q(0,5); c) bissetriz do 1º e 3º quadrantes; d) que passa pela origem e tem coeficiente angular 2) Verifique se a afirmação está correta: a) a reta r : 2 x − 4 y + 10 = 0 é perpendicular à reta b) a reta

t : 3 x − y + 2 = 0

é paralela à reta

m

= −

2 3

.

s : 2 x + y + 6 = 0 ;

u : 6 x − 2 y − 5 = 0 .

3) Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P(-1,2) e é paralela à reta r : 2 x − 3 y + 1 = 0 . 4) Determinar a equação da reta que passa por Q(2,-3) e é perpendicular à reta s : x − 2 y + 7 = 0 . 5) Determinar os vértices A, B e C do triângulo cujos lados têm as equações AB : x − y + 1 = 0 , BC : x + 7 y + 17 = 0 e CA : 5 x + 3 y − 11 = 0 . 6) Achar o ponto B simétrico de A(3,-1) em relação à reta

r : 2 x + 3 y − 10 = 0 .

32


7) Provar que são perpendiculares as diagonais do quadrilátero de vértices consecutivos A(2,-1), B(6,-1), C(4,5) e D(0,1). 8) Determinar o valor de k de modo que a reta r : 3 x + ky + 7 = 0 passe pelo ponto A(3,-2). 9) Calcular a distância do ponto A(3,4) à reta

s : 3 x + 4 y − 10 = 0 .

10) Determinar a distância do ponto P à origem do sistema cartesiano onde P é a interseção das retas r : x − 2 = 0 e s : y − 3 = 0 . 11) Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A(3,2) e que forma com os eixos coordenados, no 1º quadrante, um triângulo de área igual a 12. 12) Calcular a interseção da reta r : 2 x − y + 1 = 0 com a reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(1,1). 13) Determinar o ponto da reta

r : 3 x + y + 4 = 0

que é eqüidistante dos pontos

P(-5,6) e Q(3,2). 14) Ache a equação da reta suporte da altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices A(2/3,1), B(-3,0) e C(6,1). 15) Obter o ponto de interseção das diagonais AC e BD do quadrilátero ABCD, sendo dados A(0,0), B(4,1), C(7,7) e D(-1,6). 16) Obter a equação da mediatriz do segmento AB , dados A(1,-7) e B(6,-12). 17) Dadas as retas r :3 x − 4 y + 3 = 0 e s : y = 2 x + 2 , determine o ponto P da reta s, que dista 6 unidades da reta r. 18) O baricentro de um triângulo ABC é G(4,-2). Obter C , sabendo que A(5,-7) e B(8,-3). Obs.: baricentro: G  xA + xB + xC , yA + yB + yC  

3

3



19) Obter os vértices B e C do triângulo ABC sendo dados o vértice A(0,0), o ponto M(1,2) médio do lado AB e o baricentro G(0,5). 20) Verificar se os pontos A`(−a, b + 1), B(a + 2, b + 3) e C (1, b + 2) são colineares. 21) Existe alguma reta passando por A`(a, a + 1), B(a + 1, a + 2) e C (a + 3, a + 4) ? 22) Determinar x de modo que A`( x,−2), B(2,3) e C (−1,−12) sejam colineares. 23) Obter o baricentro do triângulo MNP, dados

M ` ( a − b, d − e), N (b − c, e − f ) e

P(c − a, f − d ) .

33


24) Calcular a altura relativa ao vértice A do triângulo de vértices A(0,−3), B( 2,1) e C (5,−2).

Respostas: 1) a)

3 x − y + 9

b)

3 x + y − 5 = 0

=

0

c) x − y = 0

14)

9 x + y − 7

=

0

5 5  15)   , 

 2 2 

d)

2 x + 3 y

=

0

16) x − y − 13 = 0

2) a) sim b) sim 3)

2 x − 3 y + 8 = 0

4)

2 x + y − 1 = 0

5) A(1,2), B(-3,-2) e C(4,-3) 6) B 

67 29  ,   13 13 

8) k=8 9)

13) (-2,2)

17)

P1 ( −7,−12) e P2 (5,12)

18) C(-1,4) 19) B(2,4) e C(-2,11) 20) sim 21) sim 22) x = 1 23) G(0,0) 24)

3 2

3

10) 11)

13 2 x + 3 y − 12 = 0

1  12)   ,2 

 2 

34


Capítulo 4 Circunferência. 4.1 Definição. A circunferência é uma curva plana que, como a reta, também é formada por um conjunto de infinitos pontos de R 2 . Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma circunferência é a seguinte: Circunferência é o conjunto de pontos em um plano, que são eqüidistantes de um ponto fixo deste plano. Este ponto fixo é chamado de centro da circunferência, e a distância constante é seu raio. O centro e o raio são os principais elementos de uma circunferência. π

Mn

M1

Q

r P

c M3

M2 Figura 4.1

Na figura 4.1, temos uma circunferência de centro c e raio r, representada em um plano π . Os pontos

M 1 , M 2 , M 3 , M n

pertencem à circunferência, se e somente se, a

distância de cada um deles ao centro da circunferência for igual ao raio. dcM 1

=

dcM 2

=

dcM 3

=

dcMn

=

r

35


A distância do ponto Q ao centro é maior que o raio e portanto ele não pertence à circunferência, (Q é um ponto exterior), assim como o ponto P também não pertence à circunferência pois sua distância ao centro é menor que o raio, (P é um ponto interior). dcQ

>

r e dcP < r

4.2 Equação da Circunferência. Para determinar a equação de uma circunferência, é necessário conhecer seu centro e seu raio. Na figura 4.2 abaixo, está representada no plano cartesiano uma circunferência de centro c(h, k ) e raio r. Sabemos pela definição de circunferência que a distância de um ponto qualquer M ( x, y ) ao centro

c( h, k )

é igual ao raio r .

y

M(x,y) r c(h,k)

x Figura 4.2

Definição matemática : dcM = r então :

(

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

=

r

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

)

=

( x − h) 2 + ( y − k ) 2

=

2

r 2

r 2

Eq. da circunferência na forma centro-raio

36


Quando a equação de uma circunferência se apresenta na forma centro-raio é relativamente fácil identificar seus principais elementos, ou seja, centro e raio. Por exemplo, a equação de centro  

2  3 ,−  5  

2   3) +  y +  5   2

( x −

e raio

2

= 17

representa uma circunferência

17 .

Exercício resolvido: Determinar a equação da circunferência cujo centro é o ponto C(-3,4) e o raio r=6. sol: equação centro − raio ( x − h) 2

+ ( y − k ) =

2

r 2

( x + 3) 2

+ ( y − 4) =

2

36

É a equação pedida, através da qual podemos identificar facilmente o centro e o raio.

4.3 Equação Geral da Circunferência. A equação de uma circunferência também pode ser representada de forma geral, como o desenvolvimento da equação centro-raio. Vejamos: Seja a equação de centro C (h, k ) e raio r ( x − h) 2

2

+ ( y − k ) =

r 2

de sen volvendo temos : x 2

− 2hx +

h 2 + y 2

− 2ky +

k 2

=

r 2

colocando em ordem : x

2

2

+ y − 2hx − 2ky +

h

2

+

2

k

2

− r =

0

37


fazendo :

 − 2h = D  − 2k = E  h 2 + k 2 − r 2  x 2

=

2

F , temos :

+ y + Dx + Ey +

Esta é a Equação Geral da circunferência

F = 0

É importante observar que toda equação geral de circunferência possui os dois termos do 2º grau e seus coeficientes devem ser obrigatoriamente iguais. Vamos desenvolver a equação do exercício anterior temos : ( x + 3) 2 x

2

2

+ ( y − 4) =

36

2

+ 6 x + 9 + y − 8 y + 16 − 36 =

x 2 + y 2

+ 6 x − 8 y − 11 =

0

Esta equação está na forma Geral. Não podemos identificar facilmente o centro e o raio ao olhar.

0

4.4 Identificando o Centro e o Raio na Equação Geral da Circunferência. Se não podemos identificar facilmente o centro e o raio, então teremos de calcular, pois são os principais elementos da circunferência. Faremos o seguinte: Seja a equação geral:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0

Para identificar o centro e o raio na equação acima utilizaremos os coeficientes D , E e F . centro : c( h, k ) D = −2h

⇒

E = −2k

⇒

h=−

D

k = −

2 E 2

∴

 D E  ,−  2 2  

C  −

38


raio : r F = h 2

+

k 2

 D  r =  −   2 

2

− r 2

2

2

r

4

2

r

=

D 2

=

+

 E  + −   2 

E 2

−

4

D 2 + E 2

−

2

−

F

F

4 F

D 2 + E 2

r =

∴

4

− 4 F

2

Obs : 2 2 se ( D + E

− 4 F ) <

0

⇒

∃

se ( D 2 + E 2

− 4 F ) =

0

⇒

a circunferê ncia é apenas um ponto

se ( D 2 + E 2

− 4 F ) >

0

⇒

a circunferê ncia é real

circunferê ncia (conjunto vazio)

Exercício resolvido: 1) Dada a equação da circunferência, x 2 + y 2 − 3 x + 6 y − 7 = 0 , identificar o centro e o raio.

 D E  ,−  2 2  

C  −

 

C  −

6  ,−  2 2 

−3

r = r = r =

 3  C  ,−3   2 

r =

D

2

2

+ E − 4 F

2 9 + 36 − 4 × ( −7) 2 9 + 36 + 28 2 73 2

39


4.5 Exercícios propostos: 1) Determine o centro e o raio, caso a circunferência exista: a) x 2 + y 2 − 2 x − 4 y + 1 = 0 b)

3 x 2

2

+ 3 y − 3 x − 18 y + 9 =

0

c) x 2 + y 2 + 7 x − 10 y + 31 = 0 d) x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 0 e) f)

3 x 2

2

− 2 y +

2

− x −

y2

2 x − 4 y + 3 = 0

+9 =

0

g) x 2 + y 2 + 4 = 0 h) x 2 + y 2 + x − 2 y + 8 = 0 2) Determine a equação geral da circunferência cujo centro é o ponto C(3,-5) e é tangente à reta r : 3 x − 4 y + 1 = 0 . 3) Determinar a equação da reta tangente à circunf.

x 2 + y 2

+

2 x − 2 y − 39 = 0

no

ponto A(4,5). 4) Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A(0,1) e tangencia a reta 4 x − y + 3 = 0 no ponto B(0,3). 5) Achar a equação cartesiana da circunferência que passa pelo ponto A(4;8) e tangencia as retas y = 10 e y = 0. 6) Determinar os pontos de interseção da reta x + y − 5 = 0 com a circunferência x 2 + y 2

− 2 x − 4 y + 1 =

0

e fazer um esboço do gráfico das duas curvas.

7) Determinar as equações das circunferências de raio r = x + y − 1 = 0

8) A reta

2e

tangentes à reta

e centro sobre o eixo x.

y + 1 = 0

é tangente à circunferência de centro (-1,m) e raio 2 . Ache

uma equação de cada circunferência que tem essa propriedade. 9) Dada a circunferência x 2 + y 2 − 2 y − 3 = 0 e os pontos M (− 1,1 −

3

) e N (2,1) que

pertencem a mesma. Calcular o comprimento da corda MP , sabendo que N e P são os extremos de um diâmetro.

40


10) Obter as equações das circunferências de raio 3, tangentes à reta tangentes exteriormente à circunferência x 2 + y 2

=

y − 7 = 0

e

4.

11) Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M ( 2,−3), N (5,0) e P (−1,−4).

Respostas: 1) a) r=2, c(1,2) b) r= , c   5

2

1  ,3   2 

c) r= , c  − 5

2

7  ,5   2 

d) r= 2 , c (0,1) e) não é circunferência f) r= 3 , c (0,0) g) conjunto vazio h) conjunto vazio 2) x 2 + y 2 − 6 x + 10 y − 2 = 0 3)

5 x + 4 y − 40 = 0

4) ( x − 4)2 + ( y − 2)2 5) x 2 + ( y − 5)2 6)

=

25

=

2

e ( x − 8)2 + ( y − 5)2

=

25

e ( x + 1)2 + ( y + 3)2

=

(3,2) e (1,4)

7) ( x + 1)2 + y 2

8) ( x + 1)2 + ( y − 1)2 9)

= 17

d MP

=

e ( x − 3)2 + y 2 =

4

=

2 4

2

10) ( x + 3)2 + ( y − 4)2

=

9

e ( x − 3)2 + ( y − 4)2

=

9

11) x 2 + y 2 + 4 x − 8 y − 45 = 0 41


Capítulo 5 O Estudo das Cônicas. Seções Cônicas. Circunferências, elipses, hipérboles e parábolas: todas essas curvas são encontradas a partir de seções de um plano em uma superfície cônica. (ver apêndice IV). Muitas descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estão relacionadas às seções cônicas. Os gregos clássicos - Arquimedes, Apolônio e outros - estudavam essas belas curvas por puro prazer, como forma de desafio, sem qualquer pensamento em possíveis aplicações. As primeiras aplicações apareceram quase 2.000 anos depois, no início do século XVII. Em 1604, Galileu descobriu que, lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que a única força atuante fosse a gravidade - isto é, a resistência do ar e outros fatores complicadores são desconsiderados -, sua trajetória será uma parábola. Um dos grandes eventos da história da Astronomia ocorreu alguns anos mais tarde, apenas em 1609, quando Kepler publicou sua descoberta de que a órbita de Marte era uma elipse, lançando a hipótese de que todos os planetas se moveriam em órbitas elípticas. Cerca de 60 anos depois disso, Newton provou matematicamente que a órbita planetária elíptica é causa e conseqüência de uma lei de atração gravitacional, baseada no inverso do quadrado da distância. Isso levou Newton a formular e publicar (em 1687) sua famosa Teoria de Gravitação Universal, para explicar o mecanismo do sistema solar, teoria esta considerada como sendo a maior contribuição feita a ciência por um só homem. Esses desenvolvimentos ocorreram centenas de anos atrás, mas o estudo das seções cônicas não é, ainda hoje, nem um pouco anacrônico. De fato, essas curvas são instrumentos importantes nas explorações espaciais dos dias de hoje, e também nas pesquisas do comportamento de partículas atômicas: os satélites artificiais movem-se em torno da terra em órbitas elípticas e a trajetória de uma partícula alfa movendo-se no campo elétrico de um núcleo atômico é uma hipérbole. Esses exemplos e muitos outros mostram que a importância das seções cônicas, tanto antigamente como atualmente, não pode ser desprezada.

42


5.1 A Elipse. A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de R 2 . Sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano para que descrevam uma elipse é a seguinte: Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k). Cada elipse tem a sua constante k. π

M2

M1

F

F’

Mn

Figura 5.1

Mn

∈

elipse

⇒ dM n F ' + dM n F = k

5.1.1 Elementos da Elipse. A figura 5.2 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano. y B(0,b)

B(0; 2c

A(-a,0) F(-c,0)

2a

A(a,0) F(c,0)

x

B(0,-b)

Figura 5.2 43


Seus principais elementos são: •

Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a ;

•

Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b ;

•

Vértices: são os pontos A' (−a,0)

•

Focos: são os pontos fixos

e A( a,0) ;

F ' ( −c,0) e F (c,0) , a distância focal (entre focos)

mede 2 c; •

Os pontos B' (0,−b)

e B(0, b)

são as extremidades do eixo menor.

Importante: 1. A constante k, característica de cada elipse, é igual ao comprimento de seu eixo maior 2a. Então: k = 2a Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto

A' ( −a,0)

que pertence à elipse e por

isso deve satisfazer à condição: dA' F '+ dA' F = k

Definição matemática y

de fato: B(0,b) dA' F ' = a − c

a

dA' F = a + c a−c+a+c

=

k

K = 2a

=

b2

F(-c,0)

A(a,0) c

F(c,0)

x

y

2. Relação entre a , b e c . a2

a b

A(-a,0)

então,

M(x,y)

+c

B(0,-b)

2

44


5.1.2 Equação Reduzida da Elipse. Primeiramente estudaremos as cônicas tomando como referência um sistema de eixos coordenados, as elipses e hipérboles estarão posicionadas tal que seus vértices e focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem como na figura 5.2. No caso das parábolas, seu foco deverá estar sobre um dos eixos e seu vértice posicionado na origem. Com isso vamos obter as equações reduzidas destas curvas. Vamos agora determinar a equação de uma elipse específica, cujos focos são F ' ( −3,0) e F (3,0) e cujo eixo maior 2a mede 10 unidades. Lembrando que 2a = k . Esta elipse está representada na figura 5.3 y M(x, y) A(-5,0)

A(5,0) F(-3,0)

F(3,0)

x

2a = 10

Figura 5.3

Seja o ponto genérico M ( x, y ) ∈ elipse

Definição matemática :

dMF ' + dMF = 2a

então:

45


( x

(

+

3)

+

( x

2

3) 2

2

+

6 x

6 x

=

100

x

+ y

+

2

+ y

2

)

2

=

3)

3) 2

( x

−

3) 2

+ y

2

( x

−

3) 2

+ y

2

+ y

(3 x

−

9 x 2

− 150 x +

625

=

25 ( x 2

9 x 2

− 150 x +

625

=

25 x 2

625

−

225

16 x 2

+

25 y 2

400

=

16 x 2

400

=

400 1=

x

(

=

+

16 x 2 400

2

25

+

y

+

25 y 2

=

2

−

−

+ y

3) 2

2

)

2

+ y

2

+ x

2

−

6 x

+

9

+ y

2

6 x

−

6 x

−

10

3) 2

−

−

− 100 = − 20 = −5

y2

+

20 ( x

12 x

25) 2

2

( x

= 100 −

20 ( x

−

−

(10 −

2

+ y

9

( x

+

( ÷4)

)

2

+

150 x

9

+ y

+

225

y

2

2

+

25 y 2

( ÷400)

25 y 2 400

2

ou

16

x

2

25

+

16

=1

Equação reduzida da elipse na sua forma característica após simplificação.

5.1.3 Equações Reduzidas Genéricas da Elipse. Podemos determinar uma equação genérica reduzida para todas as elipses com focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à origem. A figura 5.4 mostra uma elipse cujos elementos estão com coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação aplicando a definição matemática. y

M(x,y) A(-a,0)

A(a,0) F(-c,0)

F(c,0)

x

y

Para lembrar: Figura 5.4

a2

=

b2

+c

2

46


dMF ' + dMF = 2a c) 2 + y 2

+

( x

(

( x

x/ 2

+

+

c)

2

+ y

+

2

) = (2a −

+ y

2

=

2

2

2cx

c) 2

−

( x

+ c / + y /

2cx

=

4a 2

−

4cx

−

4a 2

= − 4a

(cx

−

a 2 )2

= −a

2

=

4a 2

−

−

c)2

+ y

4a ( x

(

−

( x

c) 2

−

( x

−

( x

c) 2

c)

4a ( x 2

−

+ y

2

+ y

2

a 2 ( x 2

−

c 2 x 2

−

2a 2cx + a 4

=

a 2 x 2

2a 2cx

2 2

a c

a 2 (a 2

−

ab

2

2

2

2

ab

x 2 a2

=

+

a x

2

2

−

c x

c 2 ) = x 2 ( a 2

fazendo a 2b 2

2

=

a2

b 2 x 2

=

−

+

b x

2

2

2

2

ab

y 2 b2

c2

=

−

2

+

c2 )

2

2cx + c 2

a y +

+ y

2

+ x /

2

−

2cx + c/ 2

+ y /

2

2

=

−

c) 2

)

2a 2cx + a 4

4

−

)

2

( ÷4 )

−

a

+ y

2

2cx

c 2 x 2

−

2

2a

+

+ y

a 2c 2

2

+

) a 2 y 2

2

a 2 y 2

b2

a 2 y 2 (÷a 2b 2 ) +

2

2

2

2

a y ab

Eq. genérica reduzida de uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem

=1

Analogamente, temos: y A(0,a)

F(0,c)

x 2 B(-b,0)

B(b,0)

F(0,-c)

Figura 5.5

x

b2

+

y 2 a2

=1

Eq. genérica reduzida de uma elipse com focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.

A (0, -a)

47


Importante: Notemos que no caso da elipse,

a

>

b então a 2

>

b2

sendo a, b > 0 , ou seja:

o a 2 que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maior denominador na equação reduzida.

5.1.4 Excentricidade.

Excentricidade é a razão Como

a

>

e

=

c

que nos informa o quão achatada é uma elipse.

a

c ⇒ 0 < e <1

Outra fórmula para o cálculo da excentricidade:

a2

−c

c2

=

c e e

= =

2

=

a2

b2

−b

2

2

−b

a2

−b

a

2 2

a =

a

2

−b

2

a2

∴

e = 1−

b

2

a2

Observações: Note que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido no intervalo aberto (0,1). Uma elipse com uma excentricidade próxima de zero, é uma elipse menos achatada, ou mais arredondada, quanto menor a excentricidade mais arredondada será a elipse. No caso limite onde c = 0 e, portanto e = 0 teremos uma circunferência de raio a .

48


Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique próximo de a. Exercício resolvido: 1) Determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos:

2a = 12 I.   2c = 8 sol: =

a c2

6

=

e

a2

c

−b

=

4

2

16 = 36 − b 2 b

2

b

2

=

36 − 16

=

∴

20

x 2 36

+

y 2 20

=1

2b = 6 1 II.  e=  2 sol: b=3

9

e = 1−

b

2

a

2

=

a2

4

3a 2

 1     2  1 4

2

 9   =  1− 2   a  

=1−

9 a2

3

=

36

2

a

2

= 12

∴

x 2 12

+

y 2 9

=1

9 a2

=1−

1 4

49


5.1.5 Exercícios propostos: 1) Determinar a equação reduzida da elipse nos seguintes casos: a) 2a = 10; 2c = 8 , com focos no eixo x b) 2b = 24; 2c = 10 , com focos no eixo y c) 2b = 12 ; e =

5

, com focos no eixo x

4

2) Determinar os elementos da elipse: a) b)

x 2

+

1 2 x 2

y2 4

=1 2

+ 10 y − 5 =

3) Determinar na elipse

0

x

2

25

+

y

2

4

=1

4) Determinar os pontos da elipse

os pontos cujas abscissas são iguais a -3 . x

2

100

+

y

2

36

=1

cujas distâncias ao foco direito

medem 14 . 5) Determinar os pontos de interseção da reta x + 2 y − 7 = 0 com a elipse x 2

+

4y2

− 25 =

0.

6) Determinar a equação reduzida da elipse, cujo eixo maior está sobre o eixo y, sabendo que passa pelos pontos

P(1, 14 ) e Q( 2,−2 2 ) .

7) Determinar a equação reduzida da elipse, com eixo maior sobre o eixo x, excentricidade

1 2

e que passa pelo ponto P(2,3).

8) Determinar as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse 16 x 2

+

y2

− 16 =

0.

9) Um satélite de órbita elíptica e excentricidade

1 3

viaja ao redor de um planeta

situado num dos focos da elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 300 km , calcular a maior distância. 10) O teto de um saguão com 10m de largura na base, tem a forma de uma semielipse com 9m de altura no centro e 6m de altura nas paredes laterais. Calcule a altura do teto a 2m de cada parede.

50


Respostas: 1) a) b) c)

x 2

y2

+

25

9

x 2

9)

+

144

169

x 2 576

y2

+

10)

=1

y2

d = 600 km h

=

8,4 m

=1

=1

36

11

2)  A' (0,−2) e A(0,2)  B' (−1,0) e B(1,0)  a) F ' (0,− 3 ) e F (0, 3 )  e = 3  2   5   5  ,0  e A ,0   A'  −      2   2   1   1   B'   0,−  e B 0,  b)   2   2    F ' (− 2 ,0) e F ( 2 ,0)  2 e =  5 8  3)   − 3,− 

 8  e  − 3,  5   5 



4)

(− 5,−

) (− 5,

27 e

3  5)   4, 

 2 

6) 7)

x 2

+

y2 16

x 2

y2

+

12

8) x 2 + y 2

)

e (3,2 )

8

16

27

=1

=1 = 16

e x 2

+

y2

=1

51


5.2 A Hipérbole. Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de R 2 . Sua definição matemática é a seguinte:

Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma constante (k).

Cada hipérbole tem a sua constante k.

π

Mn

M

F

F M2

Figura 5.6

Mn

∈

hipérbole ⇒

dM n F ' − dM n F

=

k

52


5.2.1 Elementos da Hipérbole. A figura 5.7 mostra uma hipérbole com centro na origem do sistema cartesiano.

y

= −

b a

y

x

B(0,b)

=

b

Obs: Os focos estão sobre o eixo x e simétricos em relação à origem

x

a

y = b

A(a,0) F(c,0)

A’(-a,0) F’(-c,0)

x y = −b

B’(0,-b)

x = − a

x = a

Figura 5.7

Seus principais elementos são:

•

Eixo transverso (ou real): é o segmento A’A, cuja medida vale 2a;

•

Eixo conjugado (ou imaginário): é o segmento B’B, cuja medida vale 2b;

•

Vértices: são os pontos A' (−a,0)

•

Focos: são os pontos fixos

e A( a,0) ;

F ' ( −c,0) e F (c,0) , a distância focal (entre focos)

mede 2c; •

Assíntotas: são as retas

y

=−

b a

x

e

y

=

b a

x .

53


Importante: A constante k, característica de cada hipérbole, é igual ao comprimento de seu eixo transverso 2a. Então: k = 2a Podemos provar esta afirmação utilizando o ponto

A(a,0)

que pertence à

hipérbole e por isso deve satisfazer à condição: Definição matemática

dAF '−dAF = k

de fato: dAF '−dAF = k ( a + c ) − (c − a )

=

k

então, a+c−c+a

=

k

k = 2a k = 2a pois a

>

0

5.2.2 Equações Reduzidas Genéricas da Hipérbole. Vamos determinar uma equação genérica reduzida para todas as hipérboles com focos e vértices sobre um dos eixos coordenados e simétricos em relação à origem. A figura 5.8 mostra uma hipérbole cujos elementos estão com coordenadas genéricas em relação ao sistema cartesiano. Determinaremos sua equação aplicando a definição matemática.

54


y

M(x,y)

F’(-c,0)

A(-a,0)

A(a,0)

F(c,0)

x

Relação importante: c2

Figura 5.8

Seja o ponto genérico M ( x, y ) ∈

=

a2

+b

2

hipérbole

dMF ' − dMF = 2a

Definição matemática : então : ( x

+

c) 2

+ y

2

−

( x

−

c) 2

+ y

2

=

2a

Eliminando os radicais, simplificando e fazendo: c2

−a

2

=

b2

encontramos: x 2 a

2

−

y 2 b

2

=

1

Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem.

55


Analogamente: F

A

y 2

A’

a

2

−

x 2 b

2

=1

Eq. genérica de uma hipérbole com focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem.

F’

Importante: Na equação reduzida da hipérbole o a 2 também nos indicará a posição dos focos e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva. nota: se a = b temos o que chamamos de hipérbole eqüilátera.

5.2.3 Excentricidade. Também é calculada pela razão

e=

c a

que nos dá a abertura dos ramos da

hipérbole. Como

>

c

a

a excentricidade da hipérbole sempre será

>1

.

Outra fórmula para o cálculo da excentricidade: c

2

c2 c e e

−a =

= =

2

b

2

+b

2

=

a2 a2

+b

2

a2

+b

2

a =

a2

+b

a

2

2

∴

e

=

1+

b2 a2

56


Exercícios resolvidos: 1) Determinar as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles: a)

4 x 2

−

b)

y 2

x2

c)

2 x 2

−

−

9y 2

=

36

=8

y2

=

2

sol: a)

4 x 2

−

9y2

36

x

36

2

−

y

9

b)

=

9

c2

=

=1

a2

+

c

=9+

c

2

= 13

x2

−

8 −

x2

8

8

a2

=8

c2

=

c2

= 16

c=4

=

=

Focos e vértices estão sobre o eixo x.

4

b2 ∴

4

⇒ c = 13

F '

(−

13 ,0

A' (− 3,0 )

)

(

e F 13 ,0 e

)

A(3,0)

8 8

=1

e b2

a2

b2

e

2

8 y 2

36

2

4

a2

y 2

36

=

+b

=8

Focos e vértices estão sobre o eixo y.

2

∴

F ' (0,−4) e F (0,4) A' (0,− 8 )

e A(0, 8 )

57


c)

2 x 2

y2

−

2 x

=

2

2

y

−

1

2 2

2

=1

2

a2

=1

e b2

c2

=

c2

= 1+ 2

a2

+b

=

2

Focos e vértices estão sobre o eixo x.

2

c= 3

∴

F ' (− 3 ,0)

F ( 3 ,0)

e

A' (−1,0)

A(1,0)

e

2) Obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos: a)

2a = 8 e um dos focos é (5,0)

2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25

O eixo transverso está contido no eixo x.

c2 = a2 + b2 2

2

2

b =c –a

b2 = 25 – 16

x 2 a2

−

y 2 b2

=1

x 2

⇒

y2

−

16

=

9

1

b2 = 9 b)

2b = 2 e um dos focos é (-2,0)

2b = 2 ⇒ b = 1 ⇒ b2 = 1 2c = 4 ⇒ c = 2 ⇒ c2 = 4

O eixo transverso está contido no eixo x. x

2

2

2

c =a +b

2

a2

−

y

2

b2

=1

⇒

x

2

3

−

y

2

1

=

1

a2 = c2 – b2 a2 = 4 – 1 a2 = 3

58


c)

2a = 6 e um dos focos é (0,-5)

2a = 6 ⇒ a = 3 ⇒ a2 = 9 2c = 10 ⇒ c = 5 ⇒ c2 = 25 c2 = a2 + b2 2

2

O eixo transverso está contido no eixo y.

2

b =c –a

b2 = 25 – 9

y

2

a

2

−

x

2

b

2

y 2

⇒

=1

9

−

x2

=

16

1

b2 = 16

5.2.4 Exercícios propostos: 1) Determinar a equação da hipérbole cujos focos estão no eixo das ordenadas e simétricos em relação à origem. a) a = 6; b = 18 b) 2c = 10; e =

5 3

9  2) Verificar se o ponto M   − 5,  pertence à hipérbole



4 

9 x 2

− 16 y

2

− 144 =

0

.

3) Determinar a equação da hipérbole cujos focos são simétricos em relação à origem e estão no eixo x, sabendo: a) P(6,-1) e Q (-8, 2 2 ) ∈ hipérbole; b)

 9  P ,−1 ∈  2 

hipérbole e y = ±

2 x 3

são as equações das assíntotas.

4) Achar os pontos de interseção da reta x

2

20

−

y

2 x − y − 10 = 0

com a hipérbole

2

5

=1

.

5) Esboçar o gráfico da hipérbole eqüilátera x 2

−

y2

=9

.

59


Respostas: 1) a)

y 2 36

324

b)

y 2

x2

−

−

9

x2

16

=1

=1

2) Pertence 3)

4)

2

y

2

a)

x

32

8

b)

x 2

y2

18

−

−

8

=1

=1

 14 2   ,−  e (6,2)  3 3 

60


5.3 A Parábola. Uma das curvas planas mais conhecidas e com várias aplicações na matemática e na engenharia é a parábola cuja definição matemática é:

Um conjunto de infinitos pontos de um plano que são eqüidistantes de uma reta diretriz (d) e de um ponto fixo, foco (F), deste plano.

O foco não pertence à diretriz.

π

M n

F

(d) diretriz

Figura 5.9

Mn

∈

parábola

⇒ dM n F = dM n (d )

61


5.3.1 Elementos da Parábola. A figura 5.10 mostra uma parábola com vértice na origem do sistema cartesiano, concavidade voltada para a direita e foco sobre o eixo x. y

L

-p

F(p,0)

v

x

R (d) x=-p

Figura 5.10

Os elementos desta curva são: •

Foco: é o ponto fixo

F ;

•

Diretriz: é a reta fixa (d);

•

Eixo: é a reta que contém o foco e é perpendicular à diretriz;

•

Vértice: é o ponto de interseção da parábola com seu eixo;

•

Parâmetro*: chamaremos de parâmetro (P ) a distância do foco ao vértice, sendo então 2p a distância do foco à diretriz;

•

Lado reto: é o segmento cujos extremos são pontos da parábola, é perpendicular ao eixo e passa pelo foco.

* alguns autores consideram o parâmetro p como sendo a distância entre o foco e a diretriz. Neste caso a distância entre o foco e o vértice é p . 2

62


Como já foi dito, estudaremos primeiramente as equações reduzidas das parábolas. Neste caso o plano cartesiano terá a sua origem coincidindo com o vértice da parábola cujo eixo, e conseqüentemente seu foco, estará sobre um dos eixos coordenados.

5.3.2 Equações Reduzidas da Parábola. y

M(x,y)

F(p,0)

v

-p

x

para lembrar : d =

dpr =

(d) x

= − p

( x2 − x1 ) 2 ax0

+ ( y2 − y1 )

2

+ by0 + c

a2

+b

2

ou

x + 0 y + p

=

0

Seja o ponto genérico

M ( x, y )

Definição matemática :

dMF = dM ( d )

∈

parábola

63


 dMF = ( x − p) 2 + y 2    dM (d ) = 1. x + 0. y + p  12 + 0 

=

x + p

então ( x − p ) 2

( x

+ y

( x − p ) 2 2

2

+ y

− 2 px +

P

2

2

=

x + p

)

= x + p

2

+ y

2

= x

2

+

2

2 px + p 2

∴

y

2

=

4 px

Eq. genérica reduzida de uma parábola com a concavidade voltada para a direita.

podemos concluir por analogia que temos quatro tipos de equações reduzidas para as parábolas. y

y x=-p

x=

F(-p,0)

F(p,0)

-p

p

x

x

y

2

=

y 2

4 px

= −4 px

y y p

F(0,p)

x 2

=

4 py

=

x x 2

= −4 py

F(0,-p)

x

=-p

64


Exercícios resolvidos:

1) Esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola y 2

− 4x =

0

sol: y 2

=

4 x

vamos comparar a equação dada com a equação genérica y 2

 y 2 = 4 x  2  y = 4 px

⇒

4 p

=

p

=1

=

4 px

4

y x=-1

F(1,0)

-1

x

y 2

=

4 x

 1  2) Determine a equação da parábola cujo foco é F  − ,0  e a diretriz é a reta 2 x − 1 = 0  2  sol: a equação da diretriz pode ser escrita como x =

1 2

pela posição do foco e da diretriz podemos concluir que trata-se de uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para a esquerda cuja equação genérica é y 2 seu parâmetro p vale

1 2

= −4 px

.

então: y

2

= −4.

1 2

. x

∴

y 2

= −2 x

65


5.3.3 Exercícios propostos: 1) Para cada uma das parábolas abaixo, construir o gráfico e encontrar o foco e a equação da diretriz: a) x 2

= −4 y

b) y 2

=

c) y 2

= −8 x

6 x

d) x 2 + y = 0 e) y 2 − x = 0 f) y 2 + 3x = 0 g) x 2 − 10 y = 0 h)

2 y 2

i) y =

− 9x =

0

x 2 16

j) x = −

y 2 12

2) Determinar a equação da parábola com vértice na origem, eixo sobre o eixo y e que passa pelo ponto M(6,3). 3) Um arco parabólico tem uma altura de 2,0m e uma largura de 3,6m na base. Se o vértice da parábola está no topo do arco, a que altura sobre a base o arco tem uma largura de 1,8m? 4) Um telescópio refletor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice ao foco é 30cm. Se o diâmetro do espelho é 10cm, qual a sua profundidade? 5) Admita que a água que escoa do final de um tubo horizontal que está a 2,5m do chão descreva uma curva parabólica. O vértice da parábola está no final do tubo. Se em um ponto a 80cm abaixo da linha do tubo o fluxo d’água curvouse 1,0m além da reta vertical que passa pelo fim do tubo, a que distância desta reta a água tocará o chão? 6) A diretriz da parábola y 2

=

4 px

é tangente à circunferência que tem o foco da

parábola como centro. Ache a equação da circunferência e os pontos de interseção das duas curvas.

66


7) Prove que o comprimento do lado reto de qualquer parábola é 4p . Respostas: 1) a) F (0,−1) ;

y =1

3  3 b) F   ,0  ; x = −

 2 

c)

2

F (− 2,0) ; x = 2

1  d) F   0,−  ;



4 

y=

1 4

1  1 e) F   ,0  ; x = −

 4 

f)

4

3  3  ,0  ; x = 4  4 

F  −

5  5 g) F   0,  ; y = −

 2 

2

9  9 h) F   ,0  ; x = −

 8 

i)

F (0,4) ; y = −4

j)

F (− 3,0 ) ; x = 3

2) x 2

8

= 12 y

3)

1,5m

4)

0,208cm

5)

1,77m

6) x 2 + y 2 − 2 px − 3 p 2

=

0 ; ( p,−2 p) e ( p,2 p)

67


Capítulo 6 Translação de Eixos Coordenados.

6.1 Objetivo. Como vimos nos capítulos anteriores, podemos determinar equações para algumas curvas planas em relação a um determinado referencial. Se o referencial mudar de posição no plano em relação à curva, esta terá sua equação modificada. A figura 6.1 mostra uma curva plana qualquer e três sistemas de referência num mesmo plano. Y’ Y O’

X’

Y’’

O’’ O

X’’

X

Figura 6.1

Como temos três sistemas de referência diferentes podemos determinar três equações diferentes para a mesma curva em questão. Na verdade podemos determinar infinitas equações para uma mesma curva plana, pois podemos posicionar um sistema de referência em qualquer lugar do plano.

68


Em relação aos três sistemas da figura 6.1, nenhum deles nos dará uma equação reduzida para a curva, que é uma elipse, pois obviamente os focos e vértices da mesma não estão sobre nenhum eixo. Para obtermos uma equação reduzida para a elipse acima temos que posicionar um novo sistema de referência num local que atenda às exigências que vimos no capítulo 5. Este procedimento é o que chamamos de Translação de Eixos Coordenados. Então, o objetivo de uma translação de eixos coordenados é reduzir as equações de algumas curvas a uma forma mais simples. Numa translação de eixos não alteramos as características originais do sistema de referência, apenas mudamos de lugar, ou seja: dois sistemas cartesianos ' ' o X e o'Y '

Y

XoY e X 'o'Y '

são transladados quando os eixos

são respectivamente paralelos aos eixos

oX e oY .

Y’ existe translação

O’

O

⇔

o ' X ' // oX e

o 'Y ' // oY

X’

X

Figura 6.2

69


Para ilustrar o que acabamos de ver, vamos resolver o seguinte exercício: Determinar a equação geral da circunferência cujo centro é

c(3,4)

e o raio

r = 2.

Y

2 C(3,4)

O

X

1. Em relação ao plano XoY . ( x − h) 2

+ ( y − k ) =

( x − 3) 2

+ ( y − 4) =

x 2

2

r

2

2

22

2

− 6 x + 9 + y − 8 y + 16 − 4 =

x 2 + y 2

− 6 x − 8 y +

0

21 = 0

2. Agora vamos determinar a equação da mesma circunferência em relação ao sistema

'

'

'

X o Y

com eixos paralelos aos do sistema

XoY

e com sua

origem no centro da circunferência. Y

Y’ sol: ( x ' ) 2

2

O’

O

C(3,4)

X’

+ (y

' 2

)

=

4

pois o centro da circunferência é o ponto (0,0) do sistema X 'o'Y '

X 70


Conclusão: Podemos observar que a equação da circunferência ficou bem mais simples em relação ao novo sistema transladado, inclusive os termos do 1º grau sumiram. Para uma translação bem feita, temos que saber onde posicionar a origem do novo sistema. No caso de uma circunferência, teremos uma equação reduzida se a origem do sistema coincidir com seu centro. Veremos a seguir como identificar a melhor localização do sistema de referência para as outras curvas cônicas.

6.2 Relação Entre os Sistemas XoY

e X 'o'Y '

 Sistema XoY  dados:  Sistema X 'o'Y '  Ponto P 

Y

Y’

B’(y’)

B2(y)

P

( x ' , y ' )

A’(x’)

B1(k) o'

O

( x, y )

X’

(h, k ) (0,0)

A1(h)

A2(x)

X

Figura 6.3 os pontos o’ e P possuem dois pares de coordenadas pois existem dois sistemas de referência no plano

71


Importante:

( h, k )

é a origem do sistema transladado x' o' y ' em relação ao

sistema original xoy .

Tomando as projeções dos pontos o’ e P nos eixos coordenados, podemos dizer que: OA2

=

OA1 + A1 A2

OA2 = x  mas OA1 = h ' ' '  A A = o A = x  1 2

então : x

=

OB2

⇒

x

= x + h

OB1 + B1 B2

⇒

y

h + x =

'

'

'

= y +

k

Concluindo:  x = x ' + h as relações  serão utilizadas para determinar a origem (h, k ) do ' y y k = + 

sistema de referência transladado ( X o Y ) . ' '

'

72


Exercícios resolvidos: Dada a equação da cônica abaixo, pede-se: •

Identificá-la;

•

Determinar seus elementos;

•

Fazer um esboço do gráfico.

2 2 25 x + 16 y + 150 x − 128 y − 1119 = 0

Esta é a equação de uma elipse, pois podemos identificar dois termos do 2º grau, ambos positivos. Como sabemos, as equações reduzidas das elipses possuem dois termos do 2º grau e um termo independente. Então para obter uma equação reduzida, sem os termos do 1º grau, que represente a mesma curva acima temos que utilizar um sistema de referência transladado. Para mudar de sistema de referência utilizamos a seguinte relação:

 x = x ' + h  '  y = y + k 25( x '

+

25( x ' ) 2

h)

2

'

2

'

25h 2

+ 16( y

+ 16( y + k ) + 150( x + '

+ 50hx +

'

)2

h) − 128( y '

'

+

k ) − 1119 = 0

2

'

'

+ 32ky + 16k + 150 x + 150h − 128 y − 128k − 1119 =

0

ordenando as parcelas 25( x ' ) 2

+ 16( y

' 2

)

'

'

+ (50h + 150) x + (32k − 128) y +

25h 2

2

+ 16k + 150h − 128k − 1119 =

0

anulando os termos do 1 grau, temos o

50h + 150 = 0 ⇒ h = −3 32h − 128 = 0 ⇒ k = 4

∴

o

'

(− 3,4)

substituin do h e k na equação, fica 25( x ' ) 2

+ 16( y

' 2

)

= 1600

ou ( x ' ) 2 64

+

( y ' ) 2 100

=1

Equação reduzida de uma elipse em relação ao plano x’o’y’ com focos sobre o eixo-y’.

73


Determinando seus elementos:

Y’ a

2

= 100

b2

=

64

2

=

a

c

2

⇒ a = 10

−b

Y

Curva fora da escala

2

c = 100 − 64

O’(-3,4)

X’

c=6 ∴

A ' (0,−10) e A(0,10) F ' (0,−6) e F (0,6)

O

X

6.3 Exercícios propostos: 1) Determine a equação da elipse cujo centro está no ponto C(1,4), um foco é o ponto F(5,4) e a excentricidade é

2 3

.

2) Determine a equação da elipse com eixo maior igual a 10 e focos F’(2,-1) e F(2,5). 3) Determine a equação da elipse com centro no ponto C(-3,0), um foco em F(-1,0) e que é tangente ao eixo y. 4) Faça um esboço do gráfico das seguintes elipses: a)

9 x 2

b)

25 x 2

2

+ 16 y − 36 x + 96 y + 36 =

0

2

+ 16 y + 50 x + 64 y − 311 =

0

5) Determine a equação da hipérbole com centro no ponto C(3,2), um vértice em A(1,2) e um foco em F(-1,2). 6) Determine a equação da hipérbole com vértices em (3,-2) e (5,-2) e um foco em (-1,-2). 7) Determine a equação da hipérbole com vértices em (5,-1) e (5,5) e excentricidade 2. 8) Faça um esboço do gráfico das seguintes hipérboles: a)

9 x 2

2

− 4 y − 18 x − 16 y − 43 =

0

b) 16 x 2 − 9 y 2 − 64 x − 18 y + 199 = 0

74


9) Determine a equação da parábola cujo vértice é o ponto V(-2,3) e o foco é o ponto F(-2,1). 10) Determine a equação da parábola cujo foco é F(-7,3) e a diretriz é a reta x + 3 = 0 . 11) Determine a equação da parábola que tem seu vértice no ponto V(4,-3), seu eixo paralelo ao eixo x, e que passa pelo ponto P(2,1). 12) Faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: a) x 2 + 4 x + 8 y + 12 = 0 b) x 2 − 2 x − 20 y − 39 = 0 c) y 2 + 4 y + 16 x − 44 = 0 d) y 2 − 16 x + 2 y + 49 = 0 Respostas: 1)

5 x 2

2)

25 x 2

3)

5 x 2

4) a) b)

+ 9 y

2

− 10 x − 72 y − 31 =

+ 16 y

+

9 y 2

2

+

− 100 x −

64 y − 236 = 0

30 x = 0

O' (2,−3) O' (−1,−2)

5)

3 x 2 − y 2

− 18 x + 4 y + 11 =

6)

24 x 2

2

7) x 2

− y

− 3 y

2

− 192 x −

O' (1,−2)

b)

O' (2,−1)

9) x 2

+

0

4 y + 356 = 0

− 10 x + 12 y +

8) a)

40 = 0

4 x + 8 y − 20 = 0

10) y 2

+ 8 x − 6 y +

11) y 2

+ 8 x +

12)

0

49 = 0

6 y − 23 = 0

a)

O ' ( −2,−1)

c)

O ' (3,−2)

b)

O ' (1,−2)

d)

O' (3,−1) 75


Capítulo 7 Noções do Sistema de Coordenadas Polares. 7.1 Introdução. Veja a figura 7.1 abaixo.

π M

Figura 7.1

Para localizar o ponto M no plano π nós precisamos de um sistema de referência. Até agora o único que conhecemos é o Plano Cartesiano ou Sistema de Coordenadas Retangulares. Vamos ver então uma outra forma ou um outro sistema para localizar o ponto M:

•

Traçamos uma semi-reta

OX no

plano π ;

π M ρ

O

) θ X

76


•

Medimos a distância orientada do ponto O (origem da semi-reta) ao ponto M. Chamaremos esta distância de ρ (ro);

•

dOM = ρ ;

•

Medimos o ângulo θ , positivo no sentido anti-horário, formado a partir do eixo

OX

até o segmento OM;

•

O ponto M fica bem determinado no plano pelo par ordenado (θ , ρ ) ;

•

Este par ordenado faz parte do sistema de Coordenadas Polares.

7.2 Elementos. raio polar

M

ρ ângulo polar

O

pólo

θ

X

eixo polar

Figura 7.2

Vejamos: Seja o ponto A 

π  ,5   6 

O

 π  ,5   6 

A

X

77


O sistema de coordenadas polares não possui a característica biunívoca do sistema de coordenadas cartesianas, ou seja, cada ponto do plano pode ser representado por infinitos pares ordenados do tipo P(2k π + θ , ρ ) Como exemplo, vamos verificar que podemos representar o ponto

 π  ,5  de 6  

A

várias formas:  5π  − , − 5  6   11  A − π , 5   6  π   A π + , − 5  6    π  A + 2π ,5   6  π   A 2k π + ,5  6   A

7.3 Relação entre os Sistemas Cartesiano e Polar. Podemos definir uma relação entre os sistemas polar e cartesiano para transformar equações de curvas de um sistema para outro. Vamos notar que algumas curvas possuem equações mais simples em relação a um determinado sistema de referência. Por exemplo, as cônicas geralmente têm suas equações mais simplificadas no sistema polar. A figura 7.3 abaixo mostra um ponto P representado nos dois sistemas, cartesiano e polar, onde suas origens coincidem num mesmo ponto e o eixo polar se sobrepõe ao eixo cartesiano das abscissas. Y

P

p2 ( y )

ρ θ O

x

( x, y ) (θ , ρ )

OX ≡ eixo x

y

P1 ( x)

X 78


Cartesiano ∆OP1 P

∴

→

Polar

 x é retângulo ⇒   y

( x, y )

Polar

→

→

= ρ . cosθ = ρ . sen θ

( ρ cosθ , ρ senθ )

Cartesiano

y   θ = arctg x  2  ρ = x + y 2 

∴

(θ , ρ )

→

y  2 2   arctg , x + y  x  

Exercícios resolvidos: 1) Passar a equação cartesiana 2 x − 3 y + 6 = 0 para a forma polar. sol:

 x = ρ cosθ   y = ρ sen θ então : 2( ρ cosθ ) − 3( ρ sen θ ) + 6 = 0 2 ρ cosθ − 3 ρ senθ = −6

ρ (2 cosθ − 3 sen θ ) = −6

ρ =

−6

2 cosθ − 3 sen θ

79


2) Passar a equação polar ρ =

4 2 − cosθ

para a forma cartesiana.

sol: ρ = x 2 + y 2 entao : 2 ρ − ρ cosθ = 4 2 x 2 + y 2 − x

(2 x

2

+ y

2

)

2

=

=

4

(4 + x )2

4( x 2 + y 2 ) = 16 + 8 x + x 2 4 x 2

+

4 y 2

− 16 − 8 x − x

3 x 2

+

4 y 2

− 8 x − 16 =

2

=

0

0

3 3) Passar a equação polar ρ =

cosθ

para a forma cartesiana.

sol: ρ cosθ = 3 x

=

3

80


Apêndice I Álgebra 1. Lei dos Expoentes a ma n

=

a m+n ;

(ab) m a

Se a ≠ 0 :

a mb m ;

=

(a m ) n

=

a mn ;

m

an

=

a0

a m −n ;

a −m

= 1;

=

a m / n

=

n

am

1 am

2. Zero (a divisão por zero não é definida) 0

Se a ≠ 0 :

a0

= 0,

a

= 1,

0

a

=0

Para qualquer número a: a.0 = 0.a = 0

3. Frações a

+

b

c

=

ad + bc

d

bd

a c ⋅

;

ac

=

a / b

; bd

b d

c / d

=

a d ⋅

b c

;

−a

b

=−

a b

=

a −b

4. Produtos Notáveis ( a + b) 2

=

a2

( a + b) 3

=

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2

+ 2ab + b

2

+b

3

5. Diferença de Potências Inteiras Iguais a2 a

3

a4

2

− b = ( a − b )(a + b)

3

2

4

3

− b = (a − b)(a + ab + b

− b = ( a − b )(a + a

2

2

)

b + ab 2

+b

3

)

6. Fórmula Quadrática (Báskara) Se a ≠ 0 ,

x =

−b±

ax 2

b2

+ bx + c = 0

− 4 ac

2a

81


Apêndice II Trigonometria 1. Definições e Identidades Fundamentais Seno:

senθ =

Cosseno:

cosθ =

Tangente:

tgθ =

y

=

r x

y x

=

r =

y

1

P(x,y)

cos ecθ

r y

1

θ

0

secθ

x

x

1 cot gθ

2. Identidades sen( −θ ) = − senθ ;

cos( −θ ) = cosθ

sen 2θ + cos 2 θ = 1;

sec 2 θ = 1 + tg 2θ ;

sen2θ = 2 senθ cosθ ; cos 2 θ =

1 + cos 2θ 2

;

cos ec 2θ = 1 + cot g 2θ

cos 2θ = cos 2 θ − sen 2θ sen 2θ =

1 − cos 2θ 2

sen( A + B ) = senA cos B + cos A senB sen( A − B) = senA cos B − cos A senB cos( A + B) = cos A cos B − senA senB cos( A − B) = cos A cos B + senA senB

tg ( A + B) =

tg ( A − B ) =

tgA + tgB 1 − tgA tgB tgA − tgB 1 + tgA tgB

 π   π   = − cos A ; cos A −  = senA 2  2     π   π  sen A +  = cos A; cos A +  = − senA 2  2    sen A −

82


Apêndice III Geometria 1. Cevianas Ceviana é um segmento de reta, ou semi-reta, que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao do seu prolongamento. São exemplos de cevianas a Mediana , a Altura e a Bissetriz. Mediana de um triângulo é o segmento de reta que liga um vértice deste triângulo ao ponto médio do lado oposto a este vértice. As três medianas de um triângulo são concorrentes e se encontram no centro de massa, ou baricentro do triângulo.

Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro.

Bissetriz é a semi-reta que divide um ângulo em dois ângulos congruentes. As três bissetrizes internas de um triângulo se encontram no centro de uma circunferência inscrita ao triângulo, ou incentro .

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2. Mediatriz Mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro , que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo.

3. Fórmulas de Geometria Plana

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Apêndice IV – Seções Cônicas As curvas cônicas são conhecidas e estudadas há muitos séculos. Os trabalhos mais antigos sobre o assunto foram feitos por Menaechmus (380 – 320 a.C.), Aristeu e Euclides. Mas foi Apolônio, conhecido como “O Grande Geômetra” que nasceu por volta de 262a.C. em Perga, no sul da Ásia Menor e morreu por volta de 190a.C. em Alexandria, que desenvolveu um estudo mais completo e detalhado sobre as seções cônicas. Sua grande obra Seções Cônicas supera completamente os trabalhos anteriores sobre o assunto (EVES, 1997).

FIGURA 1 – Seções cônicas não degeneradas

Na FIG. 1, vê-se a obtenção das seções cônicas como cortes de um plano em uma superfície cônica de revolução. Variando o ângulo do plano em relação ao eixo da superfície cônica, obtêm-se as diferentes curvas cônicas. (FIG. 2).

FIGURA 2 – Variação do ângulo do plano de corte

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A circunferência também é considerada uma cônica, pois pode ser obtida quando um plano secciona uma superfície cônica perpendicularmente ao eixo. Existem ainda, as chamadas cônicas degeneradas que ocorrem quando o plano intercepta a superfície cônica em seu vértice e dependendo de seu ângulo surgem um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes, (FIG. 3).

FIGURA 3 – Cônicas degeneradas

a) uma reta b) um ponto c) duas retas concorrentes Winterle (2000), descreve como obter uma “superfície cônica” a partir de duas retas (FIG. 5). “Sejam duas retas e e g concorrentes em o e nãoperpendiculares. Conservemos fixa a reta e e façamos g girar 360 graus em torno de e mantendo constante o ângulo entre estas retas. Nestas condições, a reta g gera uma superfície cônica circular infinita formada por duas folhas separadas pelo vértice o .” e

g

o

FIGURA 1 – Superfície cônica

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No início os matemáticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupações com aplicações práticas. Mas ao longo do tempo inúmeras descobertas importantes em matemática pura e na ciência em geral estavam ligadas às seções cônicas. Dois exemplos clássicos são, a descoberta de Galileu Galilei que em 1604 descobriu que um projétil que era lançado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetória em forma de parábola se considerando atuante apenas a força da gravidade e a publicação de Kepler em 1609 de sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lançando a hipótese que todos os planetas se moveriam em órbitas elípticas, o que foi comprovado décadas mais tarde por Isaac Newton. (EVES, 1997).

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René Descartes (31 de Março de 1596, La Haye en Touraine, França — 11 de Fevereiro de 1650, Estocolmo, Suécia), também conhecido como Renatus Cartesius , foi um filósofo, um físico e matemático francês. Notabilizou-se sobretudo pelo seu trabalho revolucionário da Filosofia, tendo também sido famoso por ser o inventor do sistema de coordenadas cartesiano, que influenciou o desenvolvimento do Cálculo Descartes, por vezes chamado o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna , é considerado um dos pensadores mais importantes e influentes da história humana. Ele inspirou os seus contemporâneos e gerações de filósofos. Na opinião de alguns comentadores, ele iniciou a formação daquilo a que hoje se chama de Racionalismo continental (supostamente em oposição à escola que predominava nas ilhas britânicas, o Empirismo), posição filosófica dos séculos XVII e XVIII na Europa O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressara aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia. A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado “A Geometria” como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos. Fonte: Wikipédia

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apostila geometria analitica

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