TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS DAN PERSAMAAN CAUCHY RIEMANN
3.1. Turunan Fungsi Kompleks Turunan dari fungsi kompleks f pada titik z0 di tuliskan f’(z0) di nyatakan f ( z) − f ( z0 ) z − z0
dengan : f’(z0)= zlim →z 0
Atau dapat di tuliskan : f(z0)= lim
∆z →0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆z
fungsi f’(z) di sebut diferensial ( dapat di turunkan ) di z0 bila limit di atas ada. Contoh soal: Tentukan turunan dari fungsi berikut : 1. f(z) = c Jawab : f’(z)= ∆lim z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) c −c = lim =0 ∆ z → 0 ∆z ∆z
2. f(z) = z2 Jawab :
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z + ∆z ) 2 − z 2 2 z∆z + (∆z ) 2 = lim = lim ∆z →0 ∆z → 0 ∆z →0 ∆z ∆z ∆z Atau = lim ( 2 z + ∆z ) = 2 z f ' ( z ) = lim ∆z →0
•
gunakan sifat-sifat turunan : f(z)=z2 maka f’(z)= 2z2-1 f’(z) = 2z
1
3. f(z) =
2 z +3
Jawab :
lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) f’(x) = ∆z →0 ∆z 2
2
lim ( z + ∆z ) + 3 − ( z + 3 = ∆z →0 ∆z
2( z + 3) − 2{ ( z + ∆z ) + 3} lim = ∆z { ( z + ∆z ) + 3} ( z + 3) →0 ∆z − 2∆z lim = ∆z →0 { ( z + ∆z ) + 3} ( z + ∆z ) ∆z
lim = ∆z →0
−2 { ( z + ∆z ) + 3} ( z + 3)
lim = ∆z →0
−2 ( x + 3) 2
3.2. Persamaan Cauchy Riemann A. Fungsi Analitik •
Suatu fungsi f(z) di katakan analitik di suatu domain D jika f(z) terdefinisi dan dapat di turunkan pada setiap titik dari D.
•
Fungsi f(z) analitik pada z=z0 di D, jika f(z) analitik di dalam lingkungan dari z0.
•
Jadi keanalitikan f(z) di z0 berarti bawa f(z) mempunyai turunan pada setiap titik di dalam suatu lingkaran dari z0 ( termasuk z0 sendiri)
2
B. Persamaan Cauchy Riemann Andaikan suatu fungsi kompleks f(z) = u(x,y)+iv(x,y) mempunyai turunan pada titik z0 = (a,b) atau fungsi analitik, maka f’(z)=ux+ivx terhadap x f’(z)=vy-ivy terhadap y Jadi :
ux = vy dan vx = -uy
Atau dapat di tulis : Persamaan Cauchy Riemann
Contoh soal: Tunjukkan bahwa f(z) = z2+5i z+3-i analitik ! Jawab : Misal : z = x + iy f(z) = (x+iy)2 + 5i (x+iy)+ 3 – i f(z) = ( x 2 − y 2 − 5 y + 3) + ( 2 xy + 5 x − 1) i u
U (x,y)=x2 – y2 – 5y + 3 ∂u ∂u = −2 y − 5 = 2 x dan ∂y ∂x
v
V (x,y)=2xy + 5x -1
∂u ∂v = terpenuhi ∂x ∂y
∂u ∂v =− terpenuhi ∂y ∂x
ℑv ∂v = 2x = 2 y + 5 dan ∂y ∂x
3
Jadi, f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann
C. Turunan Fungsi Elementer •
Turunan Eksponensial (ez)’ = e
•
Fungsi Trigonometri dan hiperbolik 1. (cos z)’ = - sin z 2. (sin z)’ = coz z 3. (tan z)’ = sec2 z 4. (cosh z)’ = sinh z 5. (sinh z)’ = cosh z 6. (tanh z)’ = sech2 z
Contoh soal: Diferensialkan fungsi-fungsi berikut : −1 −2 1. sin = sin ( z ) maka; sin ' = −1z cos = −
1 z
1 z
1 z
1 1 cos 2 z z
2. sinh (z2) maka; (sinh z2)’=2z cosh z D. Persamaan Laplace dan Fungsi Harmonik Andaikan suatu fungsi kompleks f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) yang analitik dalam domain D, maka memenihi persamaan Laplace jika :
∂2 u ∂2 u ∇2 u 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
Atau
∂2 v ∂2 v ∇2 v 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
Bila mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu dalam D. Maka fungsi kompleks tersebut merupakan fungsi harmonik.
4
Contoh Soal : 1. Selidiki bahwa f (u ) = 2 x (1 − y ) harmonik! Jawab : f (u ) = 2 x − 2 xy ∂u ∂ 2u = 2 − 2y ⇒ 2 = 0 ∂x ∂x 2 ∂u ∂ u = −2 x ⇒ 2 = 0 ∂y ∂y 2 Persamaan Laplace : ∇ u :
∴ fungsi
∂2u ∂2u + =0 +0 = 0 ∂x 2 ∂y 2
f (u ) = 2 x (1 − y ) harmonik.
2. Selidiki apakah f (u ) = x 2 − y 2 − 2 xy − 2 x + 3 y harmonik atau tidak? Kemudian tentukan f (z ) ! Jawab : f (u ) = x 2 − y 2 − 2 xy − 2 x + 3 y ∂u ∂2u = 2x − 2 y − 2 ⇒ 2 = 2 ∂x ∂x ∂u ∂2u = −2 y − 2 x + 3 ⇒ 2 = −2 ∂y ∂y ∇2 u =
∂2u ∂2u + = 2 −2 = 0 ∂x 2 ∂y 2
Jadi f (u ) merupakan fungsi harmonik. Persamaan Cauchy Riemann; ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂y ∂v = ( 2 x −2 y − 2)∂y 2 x −2 y −2 =
v = ∫( 2 x − 2 y − 2)∂y v = 2 xy − y 2 − 2 y + c
5
SOAL-SOAL LATIHAN 1. Carilah f (z ) dengan menggunakan definisi : a. f ( z ) = z 2 + 3 z b. f ( z ) = 2 z −1 2. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan berikut : a. f ( z ) = iz 2 − 4 z + 3i b.
f ( z ) = 3z 2 + 4iz − 5 + i
6
c. f ( z ) = z 2 + 5iz + 3 − i 3. Selidikilah apakah fungsi f (u ) = x 2 − y 2 + 2 xy − 3x + 2 y merupakan fungsi harmonik, lalu cari f ( z ) nya! 4. Tentukan fungsi analitik f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) apabila diketahui : a. u = x 2 − y 2 − y b. u = x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 5. deferensialkan fungsi berikut : a.
d sin z = cos z dz
b.
d tan z = sec 2 z dz
Penyelesaian Soal – Soal Latihan
1.
a. f(z) = z2 + 3z f(z + ∆z ) = (z + ∆z ) (z + ∆z)+3(z + ∆z )-(z2+3z) = z2 + 2z ∆z + ∆z 2+3z+3 ∆z -z2-3z = 2z ∆z+ ∆z 2 +3 ∆z = lim
∆z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
2 z∆z + ∆z 2 + 3∆z ∆z →0 ∆z
= lim
7
lim 2z+ ∆z +3 = ∆z →0 = 2z+3 b. f(z) = 2z – 1 f(z + ∆z ) = 2(z + ∆z ) -1 = 2z + 2 ∆z -1 = ∆lim z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
= ∆lim z →o
2 z + 2∆z − 1 − (2 z − 1) ∆z
= ∆lim z →0
2 z + 2∆z − 1 − 2 z + 1 ∆z
=0 2. a. f ( z ) = iz 2 − 4 z + 3i Misal : z = x + iy f ( z ) = i ( x + iy )( x + iy ) − 4( x + iy ) + 3i = i ( x 2 + 2 xiy + i 2 y 2 ) − 4 x − 4iy + 3i = ix 2 + 2 xi 2 y + i 2 y 2 i − 4 x − 4iy + 3i = ix 2 − 2 xy − y 2 i − 4 x − 4iy + 3i
= (−2 xy − 4 x ) + ( x 2 − y 2 − 4 y + 3)i
u
v
u ( x, y ) = −2 xy − 4 x
∂u ∂u = −2 y − 4 = −2 x ∂v ∂v = terpenuhi ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 v( x, y ) = ( x − y − 4 y + 3)i ∂v ∂v ∂v ∂v = − terpenuhi = 2x = −2 y − 4 ∂y ∂x ∂x ∂y
Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann b. f(z) = 3z 2 +4iz-5+i maka : f(z) = 3(x+iy)(x+iy)+4i(x+iy)-5+i
8
= 3(x 2 +2 xiy + i 2 y 2 ) + 4ix + 4i 2 y − 5 + i = 3x 2 +6 xiy + i 2 y 2 ) + 4ix + 4i 2 y − 5 + i = 3x 2 +6 xiy − y 2 + 4ix − 4 y − 5 + i = (3x 2 − y 2 − 4 y − 5) + (6 xy + 4 x + 1)i u
v
u ( x, y ) = 3x 2 −y 2 − 4 y − 5
∂u ∂u = 6x = −2 y − 4 ∂v ∂v = terpenuhi ∂x ∂y ∂x ∂y v( x, y ) = 6 xy + 4 x + 1 ∂v ∂v ∂v ∂v = − terpenuhi = 6y + 4 = 6 y ∂y ∂x ∂x ∂y
Jadi f(z) analitik memenuhi persamaan Cauchy Riemann c. f(z) = z 2 +5iz +3 - i misal : z = x + iy f(z) = ( x + iy ) 2 + 5i ( x + iy ) + 3 − i f(z) = (x 2 − y 2 − 5 y + 3) + ( 2 xy + 5 x −1)i • u(x,y) = x 2 −y 2 − 5 y + 3 ∂u ∂u = 2x = −2 y − 5 ∂v ∂v = terpenuhi ∂x ∂y ∂x ∂y v( x, y ) = 2 xy + 5 x + 1 ∂v ∂v ∂v ∂v = − terpenuhi = 2y +5 = 2 y ∂y ∂x ∂x ∂y
Jadi, f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Rieman. 3. f (u ) = x 2 − y 2 + 2 xy − 3x + 2 y Maka: f(u) = x 2 −y 2 + 2 xy − 3 x + 2 y ∂2 u ∂u = 2x + 2 y − 3 ⇒ 2 = 2 ∂y ∂x ∂u ∂2 u = −2 y + 2 x + 2 ⇒ 2 = −2 ∂y ∂y
9
∆2 u =
∂2 u ∂ 2 u + ∂x 2 ∂y 2
=2+(-2) =0 Jadi, fungsi f(x) fungsi harmonic •
Persamaan Cauchy Riemen ∂u ∂v = ∂x ∂y
⇒ 2x + 2y – 3 =
∂ v ∂ y
∂v = (2 x + 2 y − 3)∂y
v=
∫(2 x +2 y −3)∂y
v = 2xy + y 2 - 3y + jadi, f(z) = u + iv = (x 2 − y 2 + 2 xy − 3x + 2 y ) + (2 xy + y 2 − 3 y + c)
4. a. u = x 2 −y 2 − y ∂u = 2x ∂x
∂u = −2 y −1 ∂y ∂u
∂v
∂u
∂v
Konjugat harus memenuhi ∂x = ∂y dan ∂y = −∂x , Sehingga; ∂u = 2x ∂x
∂v = 2 y +1 ∂x
Jadi, v = 2xy + 1 = 2xy + x + c Fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv (x,y) = x 2 − y 2 − y + i (2 xy + x + c) = z 2 +iz + ic
10
b. u = x 4 −6 x 2 y 2 + y 2 ∂u = 4 x 3 −12 xy 2 ∂x ∂u = −12 x 2 y + 4 y 3 ∂y ∂u
∂v
∂u
∂v
Konjugat harus memenuhi ∂x = ∂y dan ∂y = −∂x , Sehingga; ∂v = 4 x 3 −12 xy 2 ∂y
v=
12 2 x y − 4 xy 3 + h( y ) , h(y) = o 3
maka; v = 4x 3 y − 4 xy 3 + c fungsi analitik : f(z) = u (x,y) + iv(x,y) f(z) = x 4 − 6 x 2 y 2 + y 4 + i (4 x 3 y − 4 xy 3 + c) = z 4 + ic
5. a.
d sin z = cos z dz
Sin z = cos z
b.
d tan z = sec 2 z dz d sin z 2 = sec z dz cos z
Missal: u = sin z
v = cos z
u’= cos z
v’= - sin z
maka: u ' v − v' u (cos z )(cos z ) − (− sin z )(sin z ) = v2 cos 2 z
11
2 2 ⇒ cos z +2 sin z = sec 2 z
cos z
1 cos 2 z
= sec 2 z
⇒ sec 2 z
= sec 2 z
⇒
PERTANYAAN-PERTANYAAN SAAT DISKUSI 1. Pertanyaan dari Riyani (2008121311) a. Tunjukkan keanalitikan dari persamaan f(z) = (1 + i )z2 Jawab : Misal : z = x + iy f ( z ) = (1 + i ) z 2 f ( z ) = (1 + i )( x + iy ) 2 f ( z ) = (1 + i )( x 2 + 2 xyi − y 2 ) f ( z ) = x 2 + 2 xyi − y 2 + ix 2 − 2 xy − iy 2 f ( z ) = ( x 2 − y 2 − 2 xy ) + ( 2 xy + x 2 − y 2 )i
Misal : u = x 2 − y 2 − 2 xy v = 2 xy + x 2 − y 2
Untuk u = x 2 − y 2 − 2 xy
12
u ( x, y ) = x 2 − y 2 − 2 xy ∂u ∂u = 2 x − 2 ydan = −2 y − 2 x ∂x ∂y ∂u ∂v ∂u ∂v v ( x, y ) = x 2 − y 2 − 2 xy = (terpenuhi) dan = − (terpenuhi ) ∂y ∂y ∂x ∂x ∂v ∂v = 2 x − 2 ydan = −2 y − 2 x ∂x ∂y
Jadi f(z) analitik karena memenuhi persamaan Cauchy Riemann b. Tentukan fungsi analitik f(z) = u(x,y) + v(x,y) apabila diketahui u = y2 - x2 Jawab : f (u ) = y 2 − x 2
∂u ∂2u = −2 x ⇒ 2 = −2 ∂x ∂x ∂u ∂2u = 2y ⇒ 2 = 2 ∂y ∂y ∇2 u =
∂2u ∂ 2u + = −2 + 2 = 0 ∂x 2 ∂y 2
Jadi f(u) merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann ∂u ∂u = ∂x ∂y ∂u −2x = ∂y ∂v = ( −2 x )∂y v = ∫ (−2 x)∂y v = −2 xy + c
f ( z ) = u + iv f ( z ) = ( y 2 − x 2 ) + i ( −2 xy + c)
2. Pertanyaan dari Siti Asiah (2008121372)
13
Diketahui f(z) = cos z. Tentukan turunan dari fungsi tersebut dengan menggunakan rumus f ' ( z ) = ∆lim z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Jawab : f ( z + ∆z ) = cos( z + ∆z ) f ( z + ∆z ) = cos z. cos ∆z − sin z. sin ∆z f ' ( z ) = lim
∆z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
(cos z. cos ∆z − sin z. sin ∆z ) − cos z ∆z − cos z (1 − cos ∆z ) − sin z. sin ∆z = lim ∆z →0 ∆z 1 − cos ∆z sin ∆z = lim ( − cos z − sin z ∆z →0 ∆z ∆z = ( − cos z ).0 − (sin z ).1 = −sin z = lim
∆z →0
3. pertanyaan dari Nurlena (2008121310) Carilah f’(z) dengan menggunakan definisi : a. f ( z ) =
2z − i z + 2i
b. f ( z ) = z 3 − 2 z Jawab : a. f ( z + ∆z ) = = f ' ( z ) = lim
∆z →0
2( z + ∆z ) − i ( z + ∆z ) + 2i 2 z + 2∆z − i z + ∆z + 2i
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
14
2 z + 2∆z − i 2 z − i − = lim z + ∆z + 2i z + 2i ∆z →0 ∆z 2 2 z + 2 z∆z − zi + 4 zi + 4i∆z − (2 z 2 + 2 z∆z + 4 zi − zi − i∆z − 2i 2 ( z + ∆z + 2i )( z + 2i ) = lim ∆z →0 ∆z 2 2 2 z + 2 z∆z − zi + 4 zi + 2i − 2 z 2 − 2 z∆z − 4 zi + zi + i∆z − 2 ( z + ∆z + 2i )( z + 2i ) = lim ∆z →0 ∆z 5i∆z ( z + ∆z + 2i )( z + 2i ) = lim ∆z →0 ∆z 5i = lim ∆z →0 ( z + ∆z + 2i )( z + 2i ) 5i = ( z + 2i ) 2
b. f ( z ) = z 2 − 2 z f ( z + ∆z ) = ( z + ∆z )( z + ∆z )( z + ∆z ) − 2( z + ∆z ) = ( z 2 + 2 z∆z + ∆z 2 )( z + ∆z ) − 2 z − 2∆z = z 3 + 2 z 2 ∆z + z∆z 2 + z 2 ∆z + 2 z∆z 2 + ∆z 3 − 2 z − 2∆z = z 3 + 3 z 2 ∆z + 3z∆z 2 + ∆z 3 − 2 z − 2∆z
f ' ( z ) = lim
∆z →0
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
z 3 + 3 z 2 ∆z + 3 z∆z 2 + 4 z 3 − 2 z − 2∆z − ( z 3 − 2 z ) ∆z →0 ∆z 2 2 3 3 z ∆z + 3 z∆z + ∆z − 2∆z = lim ∆z →0 ∆z 2 = lim 3 z + 3 z∆z + ∆z 2 − 2 = lim
∆z →0
= 3 z 2 + 3 z ( 0) − 2 = 3z 2 − 2
4. Pertanyaan dari Rani Tartillah (2008121313) Buktikan apakah f (u ) = e −x ( x sin y − y cos y ) merupakan fungsi harmonic? Jawab : f (u ) = e −x ( x sin y − y cos y )
15
⇒
∂u = e − x ( x sin y − y cos y ) + e − x sin y ∂x
∂ 2u = e − x ( x sin y − y cos y ) − e − x sin y − e − x sin y 2 ∂x = e −x ( x sin y − y cos y ) − 2e −x sin y = e −x ( x sin y − y cos y − 2 sin y ) ⇒
∂u = e −x ( x cos y − cos y + y sin y ) ∂y
= e − x (− x sin y + 2 sin y + y cos y ) ∂2 u ∂2 u + =0 ∂x 2 ∂y 2
⇒ harmonik
5. Pertanyaan dari Mita Parlia Sari Tunjukan apakah f ( z ) = cos 2 z analitik! Jawab : Misal : z = x + iy f ( z ) = cos(2( x + iy )) = cos( 2 x + 2iy ) = cos 2 x + cos 2iy = cos 2 x + (cos 2 y )i
Misal : u = cos 2x v = cos 2y
16
∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y
= −2 sin 2 x =0 ⇒ =0
∂u ∂v ∂u ∂v ≠ dan =− ∂x ∂y ∂y ∂x
= −2 sin 2 y
∴f ( z ) tidak analitik
6. Pertanyaan dari Indah Marta Kumala Dewi (2008121328) Selidiki bahwa f (u ) = 2 x 2 + y 2 + 4 xy + 2 x + y harmonic atau tidak dan tentukan f(z)! Jawab : ∂u ∂ 2u = 4x + 4 y + 2 ⇒ 2 = 4 ∂x ∂x ∂u ∂ 2u = 2 y + 4x + 1 ⇒ 2 = 2 ∂y ∂y ∇2 u =
∂ 2u ∂ 2u + =4+2 =6 ∂y ∂x 2
Jadi f(u) bukan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂y ∂u = 4 x + 4 y + 2∂y 4x +4 y +2 =
v = ∫ 4 x + 4 y + 2∂y
= 4 xy + 2 y 2 + 2 y + c
f(z) = u + iv f ( z ) = (2 x 2 + y 2 + 4 xy + 2 x + y ) + ( 4 xy + 2 y 2 + 2 y + c )i
7. Pertanyaan dari Yaumil Agus Akhir(2008121301) Buktikan apakah f (v) = 3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 merupakan fungsi harmonic lalu cari f(z)nya!
17
Jawab : f (v ) = 3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 ∂v ∂2v = 6 xy + 4 x ⇒ 2 = −6 y − 4 ∂x ∂y ∂v ∂2v = 3 x 2 − 3 y 2 − 4 y ⇒ 2 = −6 y − 4 ∂y ∂y ∇2 v =
∂2 v ∂2 v + = 6x − 6 y ∂x 2 ∂y 2
Jadi f(v) bukan merupakan fungsi harmonic Persamaan Cauchy Riemann 2 ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂v ∂y ∂u = 6 xy + 4 x∂y 6 xy + 4 x =
u = ∫ 6 xy + 4 x∂y u = 6 xy 2 + 4 xy + c jadif ( z ) = u + iv f ( z ) = (6 xy 2 + 4 xy + c ) + i (3 x 2 y + 2 x 2 − y 3 − 2 y 2 )
8. hhhh
18
