FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH Tim Pengajar Kalkulus II
Fungsi Secara Umum
Misalkan A dan B himpunan.
Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan: f : A
B
artinya f memetakan A ke B. A daerah asal (domain) dari f B daerah hasil (codomain) dari f .
Fungsi Secara Umum
Jika f (a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. A
B f
a
b
Fungsi Secara Umum
Definisi fungsi real f dari dua variabel
Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada bidang xy. Contoh 1 Misalkan
f ( x, y )
3 x 2 y 1
Tentukan f(1,4), f(0,9),f(t2,t) dan tentukan domain dari f.
Fungsi Dua Variabel A
B f
(a,b)
x
(a,b) (c,d)
y
(e,f)
z
f : (a,b) x
Definisi fungsi real f dari tiga variabel
Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada ruang tiga dimensi. Contoh 2 : Tentukan nilai f(0,1/2,-1/2) dan domain dari fungsi f ( x, y, z )
1 x 2 y 2 z 2
Fungsi Tiga Variabel A
B f
(a,b,c)
x
(a,b) (d,e,f)
y
(g,h,i)
z
f : (a,b,c) x
Grafik Fungsi
Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai suatu grafik dari persamaan y=f(x). Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.
Grafik Fungsi
Contoh
Gambarkan domain dari fungsi f ( x, y)
ln( x 2
y)
Contoh Gambarkan grafik dari fungsi z
f ( x, y )
1
3
36 9 x 2
4y2
Lengkungan Ketinggian Fungsi (Peta Kontur)
Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong permukaan z=f(x,y), dan lengkungan perpotongannya diproyeksikan ke bidang xy, maka tiap titik pada lengkungan proyeksi akan berpadanan dengan suatu titik unik pada permukaan tersebut yang k satuan di atasnya (atau di bawahnya).
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2, 3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy maka proyeksinya merupakan pemetaan lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada bidang xy.
Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)
Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k yang diberikan: z x
2
y
2
k 0,1, 2, 3, 4
Grafik 3-D dari z x 2 y 2
k 0,1, 2, 3, 4
Contoh: Permukaan paraboloid dan peta konturnya
z g ( x, y ) x
2
y
2
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Contoh
Tentukan lengkungan ketinggian fungsi z f ( x, y )
1
3
36 9 x 2
4y2
Grafik Fungsi
Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat. Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.
Contoh Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 2 2 2
f ( x, y, z ) x
y
z
