Kalkulus Peubah Banyak
Pertemuan 1
Fungsi Dengan Beberapa Variabel
Tujuan Instruksional Khusus: Mahasiswa memahami pengertian tentang fungsi dengan beberapa variabel, mampu menentukan turunannya, dan mampu menghitung differensial total, serta mampu menyelesaikan persoalan berkaitan dengan materi tersebut
1. FUNGSI DUA VARIABEL Fungsi dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan : F(x, y, z) = 0 yang disebut persamaan implisit, atau z = f(x, y)
yang disebut persamaan eksplisit.
Definisi:
Suatu variabel z dalam persamaan z = f(x, y) yang tergantung dari dua variabel x dan y sehingga z dikatakan merupakan fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan (x, y) ada tepat satu nilai z sedemikian hingga memenuhi persamaan tersebut. z disebut variabel tidak bebas, sedangkan x dan y disebut variabel bebas.
Contoh
Selidiki apakah persamaan berikut merupakan fungsi dua variabel.
a.
b.
Jawab
a. Persamaan
dapat diubah menjadi
Untuk setiap pasangan (x, y) hanya menghasilkan satu nilai z yang memenuhi persamaan tersebut. Jadi, persamaan tersebut merupakan fungsi dua variabel.
Fungsi dengan Beberapa Variabel
1
Kalkulus Peubah Banyak
b. Persamaan
bila dieksplisitkan berubah menjadi
√
maka untuk setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Jadi, persamaan itu bukanlah fungsi dua variabel. Tetapi, persamaan
√
zadalah fungsi dua variabel karena setiap pasangan
(x, y) hanya menghasilkan satu nilai z.
2. ARTI GEOMETRI FUNGSI 2 VARIABEL DALAM
Persamaan z = f(x, y) atau F(x, y, z) = 0 bila dilukiskan pada ruang dimensi 3 dengan sistem koordinat XYZ, umumnya berbentuk permukaan.
Untuk melukiskan suatu permukaan, perlu diperhatikan 4 hal, yaitu: 1. Daerah definisi dan rentang fungsi f tersebut. 2. Sifat simetri fungsi f tersebut. 3. Kurva perpotongan dengan bidang koordinat (XOY, XOZ, dan YOZ) dengan memasukkan
nilai z = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOY
nilai y = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang XOZ
nilai x = 0 untuk mendapatkan kurva perpotongan permukaan dengan bidang YOZ
4. Perpotongan dengan bidang lainnya, misalnya dengan bidang sejajar bidang XOY pada jarak
, bidang sejajar bidang XOZ pada jarak didapat dengan memasukkan , atau bidang sejajar bidang YOZ pada jarak didapat dengan memasukkan . didapat dengan memasukkan
Kurva perpotongan biasanya disebut level kurva dan proyeksinya pada bidang koordinat disebut garis kontur.
Contoh soal: Gambarkan permukaan, dimana a, b, dan c positip, dan a = b a. 4 x2 + y2 = z b.
c.
d.
2
2
2
e. z = y2
x +y +z = r x2 a2 x2 a
2
y2 b2 y2 b
2
z2 c2 z2 c
2
2
1
1
Fungsi dengan Beberapa Variabel
f.
g.
z2 c2 x2 a2
y2 b2 y2 b2
x2 a2
1
z2 c2
2
Kalkulus Peubah Banyak
Jawab:
a. 4 x2 + y2 = z atau z = 4 x2 + y2 Dalam bentuk z = f(x, y), maka daerah definisi Df adalah bidang XOY. Berdasarkan persamaan tersebut, nilai z akan selalu positip sebab variabel x dan y dalam bentuk kuadrat. Dengan demikian rentang fungsi Rf adalah z 0. Level kurva didapat dari persamaan 4 x2 + y2 = c dimana c bilangan riil > 0, persamaan ini adalah persamaan elips pada z = c. Untuk y = 0, didapat z = 4 x2 yaitu persamaan parabola pada bidang XOZ. 2
Untuk x = 0, didapat z = y yaitu persamaan parabola pada bidang YOZ.
Bentuk lukisannya adalah sebagai berikut: Z
Pada z = c, kurva berbentuk elips 2
Pada y = 0, z = 4 x , dan 2 x = 0, z = y , kurva berbentuk parabola
Permukaan ini disebut paraboloida eliptik Y X
2
2
2
2
b. Persamaan x + y + z = r bukanlah fungsi dua variabel, karena untuk setiap pasangan (x, y) terdapat 2 nilai z yang memenuhi. Tetapi, persamaan ini jika dilukiskan merupakan
Z
suatu bola dengan pusat di (0, 0, 0) dan jari-jari r. Y
Untuk x = 0, persamaan tersebut memotong bidang YOZ 2
2
2
X
menjadi y + z = r berupa persamaan lingkaran, 2
2
(0, 0, 0)
2
Untuk y = 0 memotong bidang XOZ menjadi x + z = r berupa persamaan lingkaran, dan 2
2
Untuk z = 0 memotong bidang XOY menjadi x + y = r
2
permukaan bola berpusat di (0, 0, 0) dengan jari-jari r
berupa persamaan lingkaran. Sedangkan (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2 menyatakan persamaan bola dengan pusat di (a, b, c) dan jari-jari r.
Fungsi dengan Beberapa Variabel
3
Kalkulus Peubah Banyak
c. Persamaan
x2 a2
y2
b2
z2 c2
1 bukan fungsi dua variabel.
Z
Perpotongannya dengan bidang koordinat
XOY, dengan z = 0 adalah
x2
y2
a2
Y
b2
1 (0, 0, 0)
X
a = b, membentuk persamaan lingkaran
XOZ, dengan y = 0 adalah
YOZ, dengan x = 0 adalah
x2
z2
a2 y2 b2
c2
z2
1
c2
permukaan elipsoida berpusat di (0, 0, 0)
1
keduanya membentuk persamaan elips. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk elipsoida (elips putaran)
d.
Perpotongan persamaan
x2 a2
XOY, dengan z = 0 adalah
y2 b2
x2 a
2
z2 c2
y2 b
2
1
Y
untuk a = b, membentuk persamaan lingkaran
XOZ, dengan y = 0 adalah
YOZ, dengan x = 0 adalah
x
2
a2 y2 b2
z
Z
1 dengan bidang:
X
2
c2
z2 c2
1
permukaan hiperboloida berdaun satu
1
keduanya membentuk persamaan hiperbola. Dengan demikian persamaan tersebut dilukiskan berbentuk hiperboloida berdaun satu.
Z
2
e. Persamaan z = y tidak memiliki variabel x, artinya nilai x dapat diambil sembarang. Perpotongan dengan bidang YOZ dengan x = 0 tetap adalah z = y2 yaitu berupa parabola. Permukaannya berbentuk silinder parabolik
Y X permukaan silinder parabolik
f.
Persamaan
z2 c2
y2 b2
x2 a2
Z
1 dengan a = b
menghasilkan gambar sebagaimana tercantum di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
Y X
permukaan hiperboloida berdaun dua
Z
g. Persamaan
x2 a2
y2 b2
z2 c2
menghasilkan
gambar sebagaimana di samping. Jelaskan sendiri penyelesaiannya.
Y X
permukaaan kerucut eliptik
Fungsi dengan Beberapa Variabel
4
