FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH Tim Pengajar Kalkulus II
Deskripsi
Sistem koordinat: koordinat kutub, tabung dan bola, kalkulus fungsi dari R ke Rn: lengkungan di R2 dan R3 limit, kekontinuan, turunan, integral, kinetika partikel, geometri lengkungan (garis singgung, normal, binomial dan bidang oskulasi). Kalkulus fungsi Rm, limit, kekontinuan, turunan parsial, turunan total, turunan berarah, gradient, persamaan bidang singgung dan turunan fungsi komposisi. Kalkulus fungsi Rm ke Rn: limit, kekontinuan, turunan, turunan fungsi komposisi dan matriks Jacobi. Integral ganda: integral ganda dua dan tiga, integral berulang, transformasi, perubahan urutan integrasi serta integral ganda 3.
Tujuan
Mahasiswa mampu menjelaskan konsep kalkulus peubah banyak serta mampu menganalisa dan menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan fungsi peubah banyak
Pokok Bahasan
Limit dan kekontinuan fungsi peubah banyak Turunan fungsi peubah banyak Integral fungsi peubah banyak Koordinat bola dan koordinat tabung Transformasi Jacobian dan transformasi koordinat Optimasi fungsi dan pengali Lagrange Deret Fourier Persamaan Diferensial Parsial
Komposisi Penilaian Tugas dan Quis
20 %
Ujian tengah semester
30 %
Ujian akhir semester
50 %
Praktikum
0%
Buku Referensi Purcell, Edwin J., Kalkulus, Jakarta: Penerbit Erlangga, 2004 Howard Anton, Calculus with Analytic Geometry, New York: John Wiley & Sons, 1988 Earl W Swokowsky, Calculus with Analytic Geometry, Boston: PWS-Kent, 1988 Murray R Spiegel, Advanced Calculus, Schaum’s Outline Series: McGraw-Hill International Book Company Singapore, 1981
Fungsi Secara Umum
Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, dan dapat dituliskan:
f:AB artinya f memetakan A ke B. A daerah asal (domain) dari f B daerah hasil (codomain) dari f.
Fungsi Secara Umum
Jika f(a) = b, maka b dinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b. A
B f
a
b
Fungsi Secara Umum
Definisi fungsi real f dari dua variabel
Fungsi real f dari dua variabel x dan y adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan real yang unik f(x,y) ke setiap titik pasangan berurut (x,y) dalam himpunan domain D pada bidang xy. Contoh 1 Misalkan z f ( x, y ) 1 ( x 2 y 2 ) Tentukan domain dari f.
1 2 Jika f ( x, y ) x 2 xy 3 y . Tentukan f(-2,3), f ( , ) x y 3
2
A
B f
(a,b)
x
(a,b) (c,d)
y
(e,f)
z
f : (a,b) x
Definisi fungsi real f dari tiga variabel
Fungsi real f dari tiga variabel x, y dan z adalah suatu aturan yang menghubungkan suatu bilangan real yang unik f(x,y,z) ke setiap titik pasangan berurut (x,y,z) dalam himpunan domain D pada ruang tiga dimensi. Contoh 2 : Tentukan nilai f(1,-2, 2) , f(x+1,y - 1, z2) dan domain dari fungsi
f ( x, y, z ) x 2 yz 3xy
Fungsi Tiga Variabel
Tentuka domain dan gambarkan domain dari fungsi
x y z 1 f ( x, y , z ) 2 2 2 x y z 1 A (a,b,c) (d,e,f) (a,b) (g,h,i)
f : (a,b,c) x
B
f x y z
Grafik Fungsi
Grafik fungsi satu variabel f(x) dinyatakan sebagai suatu grafik dari persamaan y=f(x). Jika f fungsi dua variabel, grafik f(x,y) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan z=f(x,y), yang merupakan suatu permukaan di ruang dimensi tiga.
Grafik Fungsi
Contoh Gambarkan domain dari fungsi f ( x, y) ln( x 2 y)
Contoh Gambarkan grafik dari fungsi a. f ( x, y ) x 2 y 2 b. f ( x, y ) 4 x 2 y 2
Lengkungan Ketinggian Fungsi (Peta Kontur)
Jika suatu bidang z=k sejajar bidang xy memotong permukaan z=f(x,y), dan lengkungan perpotongannya diproyeksikan ke bidang xy, maka tiap titik pada lengkungan proyeksi akan berpadanan dengan suatu titik unik pada permukaan tersebut yang k satuan di atasnya (atau di bawahnya).
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Jika sekumpulan n bidang serupa itu, z=ki (i= 1, 2, 3,..n) semuanya sejajar bidang xy memotong suatu permukaan z=f(x,y) dan semua lengkungan perpotongannya diproyeksikan pada bidang xy maka proyeksinya merupakan pemetaan lengkungan-lengkungan perpotongan tadi pada bidang xy. Tiap lengkungan proyeksi pada bidang xy dinamakan lengkungan ketinggian (level curves)
Contoh: Gambarlah kurva tingkat z=k untuk nilai-nilai k yang diberikan:
z x2 y2 k 0,1, 2, 3, 4
Grafik 3-D dari z x 2 y 2
k 0,1, 2, 3, 4
Contoh: Permukaan paraboloid z g ( x, y) x 2 y 2 dan peta konturnya
Lengkungan Ketinggian Fungsi
Contoh Tentukan lengkungan ketinggian fungsi 1 z f ( x, y) 36 9 x 2 4 y 2 3
Grafik Fungsi
Jika f fungsi tiga variabel, grafik f(x,y,z) dinyatakan sebagai grafik dari persamaan w=f(x,y,z), yang hasilnya sudah berbicara pada ruang dimensi empat. Sehingga untuk fungsi tiga variabel hanya mungkin menggambarkan untuk daerah domainnya saja.
Contoh Gambarkan beberapa tingkat permukaan dari persamaan 2 2 2
f ( x, y , z ) x y z
