FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversa debido a que son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa RECORDAR LA FUNCION SENO La funcion y=sen x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO
−π π , ] es creciente y por lo tanto inyectiva es 2 2 −π π , ] y el recorrido es [-1, 1] su grafica su dominio[ 2 2
F(X)=sen x en el intervalo decir existe la inversa es de azul
[
FUNCION ARCOSENO INVERSA DE LA FUNCION SENO Si y=senx
y = sen −1 x
entonces la inversa se nota y=arcsen x
−π π ≤ y≤ 2 2 de inversa y = sen −1 x No se debe confundir
o tambien se nota
y = sen −1 x ⇔ x = seny La notacion
La funcion inversa de y=senx restringido es :
con
1 senx
−π π , ] esta grafica 2 2 − 1 es creciente , es una funcion impar porque sen (− x) = −sen −1( x)
y = sen −1 x dominio es [-1, 1] y el recorrido es [
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL SENO Evalue
y = sen −1(
3 ) 2 3 −π π , ] para el cual senθ = ( ) 2 2 2 π −π π ∈[ , ] por lo tanto 3 2 2
Se busca el ángulo θ en el intervalo[
3 π sen( ) = ( ) 3 2 3 π sen −1( ) = 2 3
lo tanto
y
y = sen −1 x sen(sen −1( x)) = x
La compuesta entre
y y=sen x es la identidad
sen −1(sen( x)) = x El Arco seno de x es un ángulo cuyo seno es x
por
Valores comunes de
x
3 2 2 2 1 2 − 3 2 − 2 2 −1 2
y = sen −1 x
sen −1( x)
π 3
sen−1(
π
3 π )= 2 3
4
π 6 −π 3 −π 4 −π 6
2 −π sen−1(− )= 2 4
-------------------------------------------------------------LA FUNCION COSENO La funcion y=cos x no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION COSENO CON DOMINIO RESTRINGIDO
[0,π ] es decreciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa , su dominio[0,π ] y el recorrido es [-1, 1] su grafica es
F(X)=cos x en el intervalo la azul
FUNCION ARCOCOSENO INVERSA DE LA FUNCION COSENO y=cosx
entonces la inversa se nota y=arccos x
y = cos −1 x
o tambien se nota
y = cos −1 x ⇔ x = cos y 0 ≤ y ≤ π La notacion de inversa y = cos −1 x No se debe confundir con
1 cos x
La funcion inversa de y=cosx restringido es :
y = cos −1 x
dominio es [-1, 1] y el recorrido es [0,π ] esta grafica
También es decreciente , es una funcion par
cos −1(− x) = cos −1( x)
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL COSENO Evalue
y = cos −1(
3 ) 2
Se busca el ángulo θ en el intervalo
[0,π ] para el cual cosθ = (
3 π π cos( ) = ( ) y ∈[0,π ] por lo tanto 6 2 6 3 π cos −1( ) = 2 6 La compuesta entre y = cos −1 x y y=cosx es la identidad cos(cos −1( x)) = x cos −1(cos( x)) = x tanto
3 ) 2
por lo
Valores comunes de
x
3 2 2 2 1 2 − 3 2 − 2 2 −1 2
y = cos −1 x
cos −1( x)
π 6
π
cos−1(
3 π )= 2 6
4
π 3 5π 6 3π 4 2π 3
2 3π cos−1(− )= 2 4
El Arco coseno de x es un ángulo cuyo coseno es x IDENTIDADES RELACIONADAS CON EL ARCO SENO Y ARCO COSENO
cos −1 x + sen −1 x = Si A = sen −1 x y entonces
π
2 B = cos −1 x
sen −1 x + cos −1 x =
π 2
cos −1 x + cos −1(− x) = π
Porque la suma de los 2 angulos es igual a 180 grados cos −1 x + cos −1(− x) = π ---------------------------------------------------------------------------------LA FUNCION TANGENTE
La funcion y=tan x no es uno a uno en su dominio El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION TANGENTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=tanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio (
−π π , ) 2 2
y el recorrido es los reales su grafica es de azul
FUNCION ARCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION TANGENTE y=tanx
entonces la inversa se nota y=arctan x
y = tan −1 x
y = tan −1 x ⇔ x = tan y No se debe confundir
o tambien se nota
−π π < y< 2 2
y = tan −1 x
con
1 tanx
La funcion inversa de y=tanx restringido es :
y = tan −1 x
dominio es
También es creciente ,
(∞,−∞) y el recorrido es (
−π π , ) 2 2
esta funcion
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL TANGENTE Evalue
y = tan −1(
3 ) 3
Se busca el ángulo θ en el intervalo
lo tanto
3 π tan( ) = ( ) 6 3
y
π 6
∈(
(∞,−∞) para el cual tanθ = ( −π π , ) por lo tanto 2 2
3 ) 3
por
tan −1(
3 π )= 3 6
y = tan −1 x tan(tan −1( x)) = x
La compuesta entre
y y=tanx es la identidad
tan −1(tan( x)) = x El Arco tangente de x es un ángulo cuyo tangente es x
Valores comunes de
y = tan −1 x
tan −1( x)
x 3 3 3 1 − 3 3 −1 − 3
π 6
π
3
π
4 −π 6 −π 4 −π 3
--------------------------------------------------------------------------------------
LA FUNCION COTANGENTE
La funcion y=cotan x no es uno a uno en su dominio natural y El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION COTANGENTE CONDOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=cotanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio ( azul
−π π , ) 2 2
y el recorrido es los reales su grafica es de
FUNCION ARCOCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION COTANGENTE
y=cotanx
entonces la inversa se nota y=arcctan x
y = cot −1 x
o tambien se nota
y = cot −1 x ⇔ x = cot y 0 < y < π No se debe confundir
y = cot −1 x
con
1 cotx
La funcion inversa de y=cotanx restringido es :
y = cot −1 x
dominio es También es decreciente , La grafica es:
(∞,−∞) y el recorrido es (0,π ) esta funcion
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DE COTANGENTE Evalue
y = cot −1(1) =
π
4
Se busca el ángulo θ en el intervalo tanto
π
π
(0,π ) para
el cual
cotθ = (1)
cot( ) = 1 y ∈ (0,π ) por lo tanto 4 4
cot −1(1) =
π
4
La compuesta entre
y = cot −1 x
y y=cotanx es la identidad
cot(cot −1( x)) = x cot −1(cot( x)) = x El Arco cotangente de x es un ángulo cuyo cotangente es x
por lo
LA FUNCION SECANTE La funcion y=sec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto [-1, 1] su grafica es
LA FUNCION SECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=sec x en el intervalo por
lo
tanto
dominio[0,
π
2
de color azul
es
) U [π ,
π
[0, ) 2
inyectiva
es creciente y en[π ,
es
decir
existe
la
3π ) 2
es decreciente
inversa
,en
el
3π ) y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es la 2
FUNCION ARCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION SECANTE y=secx
entonces la inversa se nota y=arcsec x
y = sec −1 x y = sec −1 x
⇔ x = sec y 0 ≤ y < No se debe confundir
π
si x ≥ 1 π ≤ y <
2 y = sec −1 x
con
3π 2
o tambien se nota
si x ≤ −1
1 sec x
La funcion inversa de y=secx restringido es :
y = sec −1 x
dominio
es
π 3π [0, ) U [π , ) y la grafica 2 2
[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
1]
y
el
recorrido
EVALUACION DE LA INVERSA DE LA SECANTE Evalue
y = sec −1(
−2 ) 3
Se busca el ángulo θ en el intervalo
5π −2 )=( ) 6 3 − 2 5π cos −1( ) = 6 3
tanto
sec(
[0,π ] para el cual secθ = (
por lo tanto
y = sec −1 x sec(sec−1( x)) = x
La compuesta entre
y y=secx es la identidad
sec −1(sec( x)) = x El Arco secante de x es un ángulo cuya secante es x NOTA Como
sec x =
1 cos x
Valores comunes de
se sigue que
y = sec −1 x
1 sec −1 y = cos −1( ) y
−2 ) 3
por lo
sec−1( x)
x 2 − 2
2 3 −2 3 −2
π 4
3π 4
π
5π 6
6
2π 3
LA FUNCION COSECANTE La funcion y=cosec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto (-1, 1) su grafica es
LA FUNCION COSECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=csc x en el intervalo por
lo
tanto
dominio (−π ,
es
(−π ,
−π ) 2
inyectiva
es decreciente y en (0,
es
decir
existe
la
π 2
] es creciente
inversa
,en
el
−π π ] U (0, ] y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es 2 2
la de color gris
LA FUNCION ARCOCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION COSECANTE y=cscx
entonces la inversa se nota y=arccosec x
y = csc −1 x
y = csc −1 x ⇔ x = csc y No se debe confundir
y si x ≥ 1
y = csc −1 x
con
o tambien se nota
π ≤ y<
3π 2
si x ≤ −1
1 csc x
La funcion inversa de y=cosecx restringido es :
y = csc −1 x
dominio
es
π −π (0, ] U (−π , ) y la grafica 2 2
[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,
1]
y
el
recorrido
:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DE LA COSECANTE Evalue
y = csc −1(2) =
π
6
Se busca el ángulo θ en el intervalo
5π −2 )=( ) 6 3 − 2 5π cos −1( ) = 6 3
tanto
sec(
el cual
por lo tanto
y = sec −1 x sec(sec−1( x)) = x
La compuesta entre
[0,π ] para
y y=secx es la identidad
sec −1(sec( x)) = x El Arco cosecante de x es un ángulo cuya cosecante es x
cscθ = (2)
por lo
Valores comunes de
x 2 −2 2 3 −2 3 −2
y = csc −1 x
csc−1( x)
π 6
−5π 6
π
5π 6
6
2π 3
DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS TRIGONOMETRICCAS INVERSAS DERIVADA DE LA FUNCION ARCO SENO
y = sen−1x entonces y ' =
1 1−x2
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = sen−1u(x) entonces
u(x)
y'=
diferenciable se usa la regla
1 du 1−u2 dx
EJEMPLO 2 d ( x ) y = sen−1(x2) entonces y '= 1−(x2 )2 dx
1
y = sen−1(x2) entoncesy '=
1 1−(x2 )2
(2x) =
2x 1−x4
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco seno
∫ ∫
1 1−x2 1 1−u2
dx= sen−1x +C dx= sen−1u +C
EJEMPLO
1
1 −1 dx sen 4x +C con u = 4 x = ∫ 2 4 1−16x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COSENO
DERIVADAS DE ARCO COSENO
y =cos−1 x entonces y ' =
−1 1−x2
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y =cos−1u(x) entonces y ' =
u(x)
diferenciable se usa la regla
−1 du 1−u2 dx
EJEMPLOS
−1
3 d ( 4 x ) y =cos−1(4x3) entonces y ' = 1−(4x3 )2 dx
d (4 x3 ) −1 = y'= 12 x 2 1−(4 x3 ) 2 dx 1−16 x 6 1
y = cos−1( 5x+3) entonces y '= y' =
−1
5x 1−( 5x+3)2 2 5x+3
5x 1 −5 x =' = 1−(5x +3) 2 5x +3 1−( 5x +3 ) 2 2 5x +3 −1
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arcocoseno
∫ ∫
−1 1−x2 −1 1−u2
dx= cos−1 x +C dx= cos−1u +C
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO TANGENTE
DERIVADAS DE ARCO TANGENTE
y = tan−1 x entonces y '=
1 1+x2
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = tan−1 u( x) entonces
y '=
EJEMPLO
y = tan −1(2 x3 − 4 x)
y '=
1 (6 x 2 − 4) 3 2 1+ (2 x − 4 x)
u(x)
diferenciable se usa la regla
1 du ( ) 2 1+u dx
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco tangente
1 dx = tan −1 x + C ∫ 2 1+ x ∫
1 dx = tan −1 u + C 2 1+u
1 dx = 1 tan −1 3x + C ∫ 1+ 9x 2 3
con
1 dx = 1 tan −1 5 x + C ∫ 2 5 1+ 25 x
u = 3x
con
u = 5x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COTANGENTE DERIVADAS DE ARCO COTANGENTE
−1 y =cot−1 x entonces y '= 2 1+x
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = cot −1 u( x) entonces EJEMPLO
y '=
u(x)
diferenciable se usa la regla
−1 du ( ) 2 1+u dx
y = cot −1(6 x + 2) entonces
y '=
−1 (6) 2 1+ (6 x + 2)
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
∫
−1 dx = cot −1 x + C 2 1+ x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO SECANTE DERIVADAS DE ARCO SECANTE
y = sec−1 x entonces
y '=
y = sec−1 u( x) entonces
1 x x 2 −1
y '=
1
du ) 2 u( x) u( x) −1 dx (
