FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus lados ,aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales Sin embargo ninguna de las 6 funciones trigonomètricas básicas tiene inversa debido a que son funciones funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los dominios se puede hallar la inversa RECORDAR LA FUNCION SENO La funcion funcion y=sen x
no es uno a uno en su dominio dominio natural natural porque al trazar trazar
cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION SENO CONDOMINIO RESTRINGIDO F(X)=sen x en el intervalo
[
−π
π
, ] 2 2
decir existe la inversa su dominio dominio [ es de azul
es creciente y por lo tanto inyectiva es
−π
π
, ] 2 2
y el recorrido es [-1, 1] su grafica
FUNCION ARCOSENO INVERSA DE LA FUNCION SENO Si y=senx entonces la inversa se nota y=arcsen x y = sen −1 x
y = sen −1 x ⇔ x = seny
−π 2
≤ y≤
o tambien se nota
π
2
La notacion de inversa y = sen −1 x No se debe confundir con La funcion inversa de y=senx restringido es :
y = sen −1 x
es creciente , es una funcion impar porque La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
−π
π
, ] esta grafica 2 2 sen −1(− x) = −sen −1( x)
dominio es [-1, 1] y el recorrido es
[
1 senx
EVALUACION DE LA INVERSA DEL SENO Evalue y = sen −1 (
Se busca el ángulo
3 2
θ en
)
el intervalo [
π 3 sen( ) = ( ) 3 2 3 π sen −1( ) = 2 3
lo tanto
y
π
3
∈[
−π
π 3 , ] para el cual senθ = ( ) 2 2 2
−π
π
, ] por lo tanto 2 2
La compuesta entre y = sen −1 x y y=sen x es la identidad sen(sen −1( x)) = x
sen −1(sen( x)) = x El Arco seno de x es un ángulo cuyo seno es x
por
Valores comunes de
y = sen −1 x
sen −1( x)
x
3
π
2 2
3
sen−1(
π
2 1
4
2
6
− 3
−π
2
3
− 2
−π
3 2
)=
π
3
π
2 −1
−π
2
6
2 − sen−1(− )= 2 4
4
-------------------------------------------------------------LA FUNCION COSENO La funcion y=cos x
no es uno a uno en su dominio natural porque al trazar
cualquier recta horizontal corta la grafica en mas de un punto El codominio es [-1, 1],su grafica es
LA FUNCION COSENO CON DOMINIO RESTRINGIDO
[0,π ] es decreciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa , su dominio [0,π ] y el recorrido es [-1, 1] su grafica es
F(X)=cos x en el intervalo la azul
FUNCION ARCOCOSENO INVERSA DE LA FUNCION COSENO y=cosx
entonces la inversa se nota y=arccos x
o tambien se nota
y = cos −1 x y = cos −1 x ⇔ x = cos y
0 ≤ y ≤ π
La notacion de inversa y = cos −1 x No se debe confundir con
1 cos x
La funcion inversa de y=cosx restringido es :
y = cos −1 x
[0,π ] esta grafica cos −1(− x) = cos −1( x)
dominio es [-1, 1] y el recorrido es
También es decreciente , es una funcion par
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL COSENO Evalue y = cos −1(
Se busca el ángulo
3 2
θ en
) el intervalo
[0,π ] para el cual cosθ = (
3 π π cos( ) = ( ) y ∈[0,π ] por lo tanto 6 2 6 3 π cos−1( ) = 2 6 La compuesta entre y = cos −1 x y y=cosx es la identidad cos(cos −1( x)) = x cos −1(cos( x)) = x tanto
3 2
)
por lo
Valores comunes de
y = cos −1 x
cos−1( x)
x
3
π
2 2
6
cos−1(
π
2 1
4
2
3 5π
− 3 2
3 2
)=
π
6
π
− 2
6 3π
2 −1
4 2π
2
3
2 3 cos−1(− )= 2 4
El Arco coseno de x es un ángulo cuyo coseno es x IDENTIDADES RELACIONADAS CON EL ARCO SENO Y ARCO COSENO
cos −1 x + sen −1 x = Si A = sen −1 x y entonces
π
2 B = cos−1 x
sen −1 x + cos−1 x =
π
2
cos −1 x + cos −1(− x) = π
Porque la suma de los 2 angulos es igual a 180 grados cos −1 x + cos −1(− x) = π ---------------------------------------------------------------------------------LA FUNCION TANGENTE
La funcion y=tan x no es uno a uno en su dominio El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION TANGENTE CON DOMINIO RESTRINGIDO F(X)=tanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio (
−π
π
, ) 2 2
y el recorrido es los reales su grafica es de azul
FUNCION ARCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION TANGENTE
y=tanx
entonces la inversa se nota y=arctan x
o tambien se nota
y = tan −1 x y = tan −1 x ⇔ x = tan y No se debe confundir
−π 2
y = tan −1 x
< y< con
π
2
1 tan x
La funcion inversa de y=tanx restringido es :
y = tan −1 x
dominio es
También es creciente ,
(∞,−∞) y el recorrido es (
−π
π
, ) 2 2
esta funcion
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DEL TANGENTE Evalue y = tan −1(
Se busca el ángulo
lo tanto
3 3
θ en
)
el intervalo
3 π tan( ) = ( ) 6 3
y
π
6
∈(
(∞,−∞) para el cual tanθ = (
−π
π
, ) por lo tanto 2 2
3 3
)
por
tan −1(
3 3
)=
π
6
La compuesta entre y = tan −1 x y y=tanx es la identidad tan(tan −1( x)) = x
tan −1(tan( x)) = x El Arco tangente de x es un ángulo cuyo tangente es x
Valores comunes de
y = tan −1 x
tan −1( x)
x
3 3 3
π
6 π
3 π
1
4
− 3
−π
3
6
−1 − 3
−π 4
−π 3
--------------------------------------------------------------------------------------
LA FUNCION COTANGENTE
La funcion y=cotan x no es uno a uno en su dominio natural y El codominio es el conjunto de los numeros reales su grafica es
LA FUNCION COTANGENTE CONDOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=cotanx en el intervalo es creciente y por lo tanto inyectiva es decir existe la inversa su dominio ( azul
−π
π
, ) 2 2
y el recorrido es los reales su grafica es de
FUNCION ARCOCOTANGENTE INVERSA DE LA FUNCION COTANGENTE
y=cotanx entonces la inversa se nota y=arcctan x y = cot −1 x
y = cot −1 x ⇔ x = cot y No se debe confundir
o tambien se nota
0 < y < π
y = cot −1 x
con
1 cot x
La funcion inversa de y=cotanx restringido es :
y = cot −1 x
dominio es También es decreciente , La grafica es:
(∞,−∞) y el recorrido es (0,π )
esta funcion
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DE COTANGENTE Evalue y = cot −1(1) =
Se busca el ángulo tanto
π
π
θ en
4 el intervalo
(0,π ) para
el cual
cotθ = (1)
π
cot( ) = 1 y ∈ (0,π ) por lo tanto 4 4
cot −1(1) =
π
4
La compuesta entre y = cot −1 x y y=cotanx es la identidad cot(cot−1( x)) = x
cot −1(cot( x)) = x El Arco cotangente de x es un ángulo cuyo cotangente es x
por lo
LA FUNCION SECANTE La funcion y=sec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto [-1, 1] su grafica es
LA FUNCION SECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=sec x en el intervalo por
lo
tanto
dominio[0,
π
2
de color azul
es
) U [π ,
π
[0, ) 2
inyectiva
3π 2
)
es creciente y en [π ,
es
decir
existe
la
3π 2
)
es decreciente
inversa
,en
el
y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es la
FUNCION ARCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION SECANTE y=secx
entonces la inversa se nota y=arcsec x
o tambien se nota
y = sec−1 x y = sec−1 x
⇔ x = sec y 0 ≤ y < No se debe confundir
π
2
si x ≥ 1 π ≤ y <
y = sec−1 x
con
3π 2
si x ≤ −1
1 sec x
La funcion inversa de y=secx restringido es :
y = sec−1 x
dominio
es
[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,
π 3π [0, ) U [π , ) y la grafica 2 2
La grafica es:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
1]
y
el
recorrido
EVALUACION DE LA INVERSA DE LA SECANTE Evalue y = sec−1(
Se busca el ángulo
tanto
sec(
cos −1(
5π
−2 3
6
)=(
)=
−2 3
)
θ en
−2 3
)
[0,π ] para el cual secθ = (
el intervalo
por lo tanto
5π 6
La compuesta entre y = sec −1 x y y=secx es la identidad sec(sec−1( x)) = x
sec −1(sec( x)) = x El Arco secante de x es un ángulo cuya secante es x NOTA Como
sec x =
1 cos x
Valores comunes de
se sigue que
y = sec −1 x
1 sec−1 y = cos −1( ) y
−2 3
)
por lo
sec−1( x)
x
2
− 2
π
4 3π 4
2
π
3 −2
6
3
−2
5π 6 2π 3
LA FUNCION COSECANTE La funcion y=cosec x no es uno a uno en su dominio natural El codominio es los reales excepto (-1, 1) su grafica es
LA FUNCION COSECANTE CON DOMINIO RESTRINGIDO
F(X)=csc x en el intervalo por
lo
tanto
dominio (−π ,
−π
es
(−π ,
−π 2
inyectiva
)
es decreciente y en (0,
es
decir
existe
la
π
2
]
es creciente
inversa
,en
el
π
] U (0, ] y el recorrido es [- (−∞,−1] U [1, ∞) , 1] su grafica es 2 2
la de color gris
LA FUNCION ARCOCOSECANTE INVERSA DE LA FUNCION COSECANTE y=cscx
entonces la inversa se nota y=arccosec x y = csc −1 x
y = csc −1 x ⇔ x = csc y No se debe confundir
y
y = csc −1 x
si x ≥ 1 con
o tambien se nota
π ≤ y <
3π
si x ≤ −1
2
1 csc x
La funcion inversa de y=cosecx restringido es :
y = csc −1 x π
dominio
−π
es
(0, ] U (−π , ) y la grafica 2 2
[- (−∞,−1] U [1, ∞) ,
1]
y
el
recorrido
:
Las 2 graficas se reflejan sobre la recta y=x
EVALUACION DE LA INVERSA DE LA COSECANTE Evalue y = csc −1 (2) =
π
Se busca el ángulo
el intervalo
tanto
sec(
cos −1(
5π
−2 3
6
)=(
)=
θ en
−2 3
)
6
[0,π ] para
el cual
por lo tanto
5π 6
La compuesta entre y = sec −1 x y y=secx es la identidad sec(sec−1( x)) = x
sec −1(sec( x)) = x El Arco cosecante de x es un ángulo cuya cosecante es x
cscθ = (2)
por lo
Valores comunes de x csc−1( x)
y = csc −1 x
π
2
6
−2
−5π 6
2
π
3 −2
6
3
−2
5π 6 2π 3
DERIVADAS E INTEGRALES DE LAS TRIGONOMETRICCAS INVERSAS DERIVADA DE LA FUNCION ARCO SENO
y = sen−1 x entonces y ' =
1 1− x2
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = sen−1u( x) entonces
u ( x)
y ' =
diferenciable se usa la regla
1
du
1−u2 dx
EJEMPLO
y = sen−1( x2) entonces y '=
y = sen−1( x2) entonces y '=
1
d ( x2)
1−( x2 )2 dx 1
1−( x2 )2
(2 x) =
2 x 1− x4
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco seno
∫ ∫
1 1− x 1
2
1−u
2
dx= sen−1 x +C dx= sen−1u +C
EJEMPLO
1
1 −1 dx = sen 4 x +C con u = 4 x ∫ 2 4 1−16 x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COSENO
DERIVADAS DE ARCO COSENO
y = cos−1 x entonces y ' =
−1 1− x2
Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = cos−1u( x) entonces y ' =
u ( x)
diferenciable se usa la regla
−1 du 1−u2 dx
EJEMPLOS
y = cos−1(4 x3) entonces y ' =
y ' =
1
d (4 x 3 )
1−(4 x 3 ) 2
dx
=
−1 1−16 x 6
−1
1−(4 x3 )2 dx 12x 2
y = cos−1( 5 x+3) entonces y '=
y' =
−1
5 x
1−( 5 x +3 ) 2 2 5 x +3
=' =
3
d (4 x )
−1
5 x
1−( 5 x+3)2 2 5 x+3
−5 x 1−(5 x +3) 2 5 x +3 1
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonomètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arcocoseno
∫ ∫
−1 1− x −1
2
1−u
2
dx= cos−1 x +C dx= cos−1u +C
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO TANGENTE
DERIVADAS DE ARCO TANGENTE
y = tan−1 x entonces y '=
1 1+ x2
Si la variable x se cambia por la fu ncion de la cadena para derivar es decir
y = tan−1 u( x) entonces
y '=
EJEMPLO −
y = tan 1(2 x 3 − 4 x)
y ' =
1 1+ (2 x3 − 4 x)
2 − 4) ( 6 x 2
1 1+u
u ( x)
( 2
du dx
diferenciable se usa la regla
)
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS A partir de las formulas de derivadas de las funciones trigonom ètricas inversas se obtienen algunas formulas de integración de arco tangente
∫
1
1+ x 2
∫
1
1+u
dx = tan −1 x + C
−1 u + C tan dx = 2
1 dx = 1 tan −1 3 x + C con u = 3 x ∫ 1 + 9 x 2 3 1
1 tan −1 5 x + C dx = 5 1+ 25 x 2
∫
con
u = 5 x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO COTANGENTE DERIVADAS DE ARCO COTANGENTE
−1 y = cot−1 x entonces y '= 1+ x2 Si la variable x se cambia por la funcion de la cadena para derivar es decir
y = cot −1 u( x) EJEMPLO
entonces y ' =
u( x)
diferenciable se usa la regla
−1 du ( ) 2 1+u dx
y = cot −1(6 x + 2)
entonces y ' =
−1 (6) 2 1+ (6 x + 2)
INTEGRALES QUE PRODUCEN TRIGONOMETRICAS INVERSAS
−1 −1 ∫ 2 dx = cot x + C 1+ x
DERIVADAS E INTEGRALES DE ARCO SECANTE DERIVADAS DE ARCO SECANTE
y = sec−1 x
entonces y ' =
y = sec−1 u( x)
1 2 x x −1
entonces y ' =
1
(
du
u( x) u( x) −1 dx 2
)
