FUNCIONES INVERSAS DEFINICIÓN.- Consideremos, la función: f = {( x, f (x)) / x e D f } con dominio D f y rango R f
entonces diremos diremos que existe la función función inversa
de f. si y sólo si. f es inyectíva. A la función inversa de f denotaremos por f * ó f -1, la cuál es definida en la forma Siguiente: * = { ( f ( f * f ( x) , x) / x є D f }
Dónde: D f*
= R f y R f*. = D f
Ejemplo.- Consideremos una función inyectiva f = {(1,3),(2,5),(4,7),(6,9),(8,11)} Entonces la función inversa de f es: f * = {(3,1), (5,2), (7,4), (9,6), (11,8)} donde D f * = {3,5,7,9,11} = R f y Rf , = {1,2,4,6,8} = D f
GRÁFICO DE LA FUNCIÓN INVERSA Consideremos una función f y su inversa f *, el gráfico de la función inversa f *es simétrica a la función f con respecto i la función identidad I(x) = x por tal motivo dicho gráfico se obtiene por reflexión con respecto a la recta I(x) = x.
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSAS Dada una función inyectiva f tenemos que F = { (x , y) / y = f(x) , x є Dom f }
→
f -1 = { (y : x )/ y = f(x) , x є Dom F } → x = f
y = f(x) -1
(y)
pues (y,x) є f -1 ↔ x = f -1 (y) es decir ,
Y = f (x) ↔ x = f
-1
, Ɏ є Dom … (α)
(y)
Así obtenemos la siguiente propiedad fundamental de las funciones inversas a) f -1 (f(x)) = x , Ɏ x є Dom f b) f(f -1 (y) / y , Ɏ y є Ran f = Dom f -1
La prueba de esta propiedad se sigue de (α): Ɏ x є Dom F
,
Ɏ y є Ran f = Dom f -1
,
f -1 (f(x)) = f -1 (y) = x f(f -1(y)) = y
Recordemos que la notación 1 representa a la función IDENTIDAD; y que IS o I│S o Id│S representa la función restricción de la función identidad sobre el subconjunto S C R. Entonces, las propiedades (a) y (b) que acabamos de enunciar, se pueden expresar como: f -1 o f = Id│dom f = identidad sobre Dom f f o f -1 = identidad sobre Ran f Por lo tanto m también se cumple que i)
Dom ( f -1 o f ) = Dom f
ii)
Dom ( f o f -1) = Ran f = Dom F -1 Y = f (x) ↔
x = f -1
De la existencia de la función f -1 resulta que esta función inversa f -1 también es UNIVALENTE, y por lo tanto también tiene su función inversa ( f -1 )-1 , descrita por:
( f -1 )-1 = { ( x , f ( x ) ) / x є Dom f }
De donde vemos que
( f -1 )-1 = f
[La función inversa de la inversa de f es la misma función f] Asimismo de la definición (α ), tenemos que
Dom f -1 = Ran(f)
Ran f -1 = Dom (f)
1. Una función f = { x , f (x) / x є Dom f } tiene función inversa f -1 si y solo si f es inyectiva. 2. Una función f: a → b (aplicación) ; tiene función inversa f -1 : b → a , si y solamente si f es biyectiva. 3. Una función f: a → b ( aplicación) , tiene su función inversa f -1 : Ran (f) → a , ( aplicación ) , si y solamente f es biyectiva. 4. Toda función de la forma f : a → b ,( aplicación) que es biyectiva , tiene función inversa f -1 : Ran (f) → f. 5. Toda función inyectiva f : a → ran (f) tiene función inversa f -1 : Ran (f) → a , la cual resulta ser biyectiva , así como f
CALCULO DE LA FUNCIÓN INVERSA La relación
Y = f (x) ↔ x = f
-1
(y)
Indica el camino a seguir para hallar la regla de correspondencia de f -1 (y) en términos de la variable (símbolo) “y”:
1) Se parte de la regla de correspondencia de: y = f(x). 2) Se despeja la variable x en términos de la variable “y” ; y al resultado lo etiq uetamos : X = expresión en términos de la variable “y” = f -1 (y)
3) Se calcula el rango (f) , el cual será igual al Dom F -1 Así, obtenemos tanto el dominio como la regla de correspondencia de f -1
FUNCIÓN INVERSA DE UNA COMPOSICIÓN Si dos funciones f y g son ambas universales, y si existe la función compuesta f o g , entonces esta también es univalente existiendo así una función inversa = f -1 (y) En tal caso, se siguiente:
f -1 (y) = g-1 o f -1
El orden es aquí muy importante
Una o ambas de las funciones f y g pueden no ser universales y sin embargo existir la función: (f o g)-1 Lo que ocurre en este caso es que ya no se aplica la relación (f o g)-1 = g-1 o f -1 Debido a que la composición g-1 o f -1de la derecha no tiene sentido; pues al menos una de la funciones f -1, g-1 (o ambas) no existe. En cambio, si ambas inversas g-1 y f -1 existen, así como la composición g-1 o f -1, entonces si es válida la fórmula: (f o g)-1 = g-1 o f -1
