FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPUESTOS Y DOBLES

TRIGONOMETRÍA Karen De’ Osambela Adrian Fonseca PROF. PROF JJulio ulio V alenzue ale nzuela la PROF.. Julio Valenzuela  

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS Karen De’ Osambela

Las identidades Trigonométricas de ángulos compuestos son aquellos que se forman de la suma o resta de dos ángulos.

Sen (α±β) Sen (α+β) = Sen α · Cos β + Sen β · Cos α Sen (α – β) = Sen α · Cos β - Sen β · Cos α

E  jemplo Ejemplo Calcular Sen 69° Sen 69° = Sen (16° + 53°) = Sen 16° Cos 53° + Sen 53° Cos 16° 16°

= (7/25) (3/5) + (4/5) (24/25) = (21/125) + (96/ 125) =

117 125

Cos (α±β) Cos (α+β) = Cos α · Cos β - Sen β · Sen α Cos (α – β) = Cos α · Cos β + Sen β · Sen α

E  jemplo Ejemplo Calcular Cos 75° Cos 75° = Cos (45° +30°) = Cos45° Cos30° - Sen45° Sen30°

= ( 2 /2) ( 3 /2) – ( 2 /2) (1/2) = ( 6 /4) - (2/4) =

6 -2 4

Tg (α±β) Tg (α+β) = Tg α + Tg β 1 - Tgβ · Tg α Tg (α – β) = Tg α - Tg β 1 + Tgβ · Tg α

E  jemplo Ejemplo Calcular Tg 111° Tg 111° = Tg (74°+37°)

= Tg 74 – Tg37 1 – Tg74 Tg37 = (24/6)- (3/4) 1– (24/6) (3/4) =

- 39 24

Tg 111° está ubicado en el Segundo Cuadrante ( II C)

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE Adrian Fonseca

Fórmulas Sen 2α = 2·Sen α·Cos α Cos2α - Sen2α Cos 2α = 1 - 2·Sen2α 2·Cos2α - 1

Tg 2α = 2·T 2·Tg gα 1-Tg2α Ctg 2α = Ctg2α-1 2·Ctgα

Observación

1+Tg2α 2·Tg α 2α

1-Tg2α

• Sen 2α= 2·Tg α 1-Tg2 α • Cos 2α= 1-Tg2α – 1 2·Ctg α

E  jemplos Ejemplos 1. Sabiendo que: Sen α= 12/13, calcular: “Sen 2α” Resolución:

- A partir del dato: Sen α=12/13 → Cos α=5/13

13 12

12² + x² = 13² 144 + x² = 169 x² = 25

X

X=5

- Nos piden:

Sen 2α = 2·Sen α · Cos α Sen 2α = 2 · 12/13 · 5/13

Sen 2α = 120/169

2. Siendo Cos β = 15/17, calcular “Cos 2β”. Resolución:

- Aplicamos la siguiente relación: Cos 2β = 2 Cos²β - 1 Cos 2β = 2 (15/17)² - 1 Cos 2β = 450/289 - 1 →

Cos 2β = 161 289

3. De la figura, hallar “x ”.

- Analizando el gráfico: ▪ Tg α = 3/x ▪ Tg 2α = 10/x

A

- Además: Tg 2α = 2·Tg α 1 - Tg²α 3

D

α C

7 α

- Reemplazando: 2·3 10 = x . x 1 – 3² x² 10 = 6x . x x² - 9 10x² - 90 = 6x²

X

B

4x² = 90

X = 3 10 2