Universida Universidad d Nacional Nacional de Colombia Colombia Sede Medellín - Escuela Escuela de Matemáticas Matemáticas Cálculo Cálculo Diferencial Diferencial - Taller 4 - Semestre Semestre 01-2016 INSTRUCCIONES: Antes
de intentar resolver los ejercicios del taller, repase un poco la teoría y ejemplos vistos en clase. Realice este taller individualmente o en grupos. Si tiene alguna pregunta, asista a las asesorías con monitores o profesores.
0
Tiempo (millones de años) 10 20 30 40
20 ) 40 m ( d 60 a d i d 80 n u100 f o r P 120
Clasificación de problemas: básico, medio, reto.
1. Repase las las definiciones definiciones y explique en sus propias palabras el el
140
significado de los siguientes conceptos matemáticos:
160
a) Función unción uno a uno. b) Función inversa. inversa. Cuál es la definición de f de f −1 y cuál es su dominio. c) Función unción loga logaritm ritmo o en base b base b..
a) ¿Es f ¿Es f invertible? b) ¿Cuánto ¿Cuánto vale vale y qué significa significa f f −1 (40)? (40)? −1 c) Trace la gráfica de f .
2. Respond Responda a si el enunci enunciado ado es verdad verdadero ero o falso. falso. Si es ver- 5. Producir q q camisetas cuesta C (q ) = 6000 + 22000q 22000 q . Halle
dadero, explique por qué, y si es falso escriba el enunciado correcto o muestre un ejemplo donde el enunciado dado no se cumpla. Suponga que f y g son funciones:
una fórmula para la inversa de C y C y explique su significado.
6. La temperatura T temperatura T (en (en grados centígrados) de un pan, t mi-
− loga (a)
nutos después de salir del horno, está dada por: a) a · a = 1. 1. b) Si f Si f es es una función invertible, entonces 50 50eet Ran( Ran(f −1 ) = Dom( Dom(f ) f ). T = f ( f (t) = t 2e − 1 c) Una función función periódica puede puede ser uno a uno. Halle f −1 (30) y (30) y explique su significado. d) Una función función par puede puede ser uno a uno. e) Si f Si f es es impar entonces es invertible. 7. Una población de bacterias tiene inicialmente inicialmente 20 individuos, individuos, f) La inve inversa rsa de f de f es es igual a 1 a 1/f /f .. y tres horas después ha aumentado a 50 individuos. g) Si f f es invertible y creciente, entonces f −1 también es a) Asumiendo un modelo de crecimiento exponencial, excreciente. prese el número de bacterias B como función del tiempo ◦ g también h) Si f Si f y g son funciones uno a uno, entonces f ◦ t. lo es. b) Si B Si B = f = f ((t), calcule f calcule f −1 y exprese su significado. i) Toda función exponencial es invertible. invertible. j) Dada una función logarítmica f ( f (x) = logb (x) y cualquier 8. Halle la inversa inversa de las las siguientes siguientes funciones: a > 0, 0 , podemos encontrar un número c tal c tal que f que f se se puede √ a) f ( f (u) = 2 − 5u 5u, escribir como f ( f (x) = c loga (x). − 3 − 4r 4r b) f ( f (r ) = 2 + 3r 3r 3. Cuál de las las siguiente siguientess funciones funciones son inver invertible tibless y por qué. (10 ) c) f ( f (y ) = 2 a) P ( P (x) es el precio de x gaseosas en una cafetería. d) f ( f (v ) = ln(v ln(v ) − ln(v ln(v − 1). 1). b) T ( T (r) es el precio que marca un taximétro cuando el taxi e) f ( f (x) = log x (2) ha recorrido r recorrido r Km sin detenerse. y
c) f ( f (s) es la cantidad de galones de gasolina en el tanque de un carro como función del tiempo desde la última tanqueada. d) E (t) es el número de estudiantes al interior de la biblioteca en el instante t. t . 9. e) y (x) es la altura de la calzada de la calle que sube a un cerro como función de la distancia distancia x desde la entrada. f) f ( f (n) es el número estudiantes en una clase que cumplen 10. años en el n el n-ésimo -ésimo día del año.
f)
2s + 2,2, f ( f (s) = e s + 2,2, , −(s+1) 2
s < −1 −1 s 0 0 < s.
¿Cuánto ¿Cuánto tarda tarda en duplicarse duplicarse una canti cantidad dad de dinero dinero que crece crece a una tasa de interés interés anual anual del 6 %? Halle Halle la vida media media de una sustanc sustancia ia radioacti radioactiva va que que tarda 20 horas en reducirs reducirsee en un 30 %.
4. En una excavación excavación submarina, se define a f ( f (t) como la pro- 11. La población población humana humana es una funció función n del tiempo tiempo P = f ( f (t)
fundidad por debajo del fondo del mar, a la cual se encuentran rocas de edad t edad t millones de años. La función f tiene f tiene la gráfica gráfica mostrada mostrada en la figura. figura.
y la concentración de gases invernadero en la atmósfera, en partes por millón (ppm), es una función de la población G = g(P ) P ). Como resultado, la temperatura media del aire
está cambiando con el tiempo según, T = h(t). Sabemos que infortunadamente f, g y h son funciones crecientes, y por tanto invertibles. ¿Qué significado tienen las siguientes funciones?, ¿Cuáles son sus correspondientes variables independientes y dependientes?
g 1
x
-2
f ◦ h−1 ,
f −1 ◦ g −1 ,
h ◦ f −1 ,
-1
0
(h ◦ (g ◦ f )−1 ).
1
-1
12. Un automóvil realiza un recorrido de 100 kilómetros por una
carretera que comienza en Medellín. Los primeros cincuenta kilómetros de carretera son planos y a partir del kilómetro cincuenta, la carretera tiene una pendiente constante del 2 %. La elevación de Medellín es de 1500 metros sobre el nivel del mar.
Para cada uno de las siguientes funciones calcule su dominio, dibuje la gráfica, y calcule el rango. f −1 , g −1 , h−1 , (h ◦ g)−1 , (g ◦ f )−1 .
√ Sea f (x) la altura en metros sobre el nivel del mar del au 15. La gráfica de la ecuación y = 2x − 4 se desplaza hacia tomóvil cuando éste ha recorrido x kilómetros. la izquierda 4 unidades, luego se encoje horizontalmente a La distancia, en kilómetros, recorrida por el automóvil desla mitad, después se desplaza verticalmente de manera que pués de t horas está dada por g(t). La gráfica de g se muestra pase por el origen y por último se refleja respecto a la recta a continuación: y = x. Halle la ecuación de la gráfica resultante. 100
16. La tasa de inflación mide el incremento de los precios en una
g(t)
economía. Generalmente se toma como referencia la canasta familiar, y se mide cuánto incrementó el costo de la canasta familiar de un año a otro. Que un país tenga una tasa de inflación I anual, significa que cada año el precio promedio de los bienes se incrementa en I %.
50
t 0
1
2
3
Suponga que la cantidad de gasolina, en galones, que el automóvil gastó en r kilómetros recorridos fue:
r, h(r) = 5 + 1 10
0 r 50 1 5 (r
− 50),
50 r 100
Un artículo cuyo precio ha crecido de acuerdo con la inflación valía $40 en 1980 y en la actualidad vale $1700. ¿Cuál ha sido la tasa de inflación anual durante este período? Respuestas
1. 2. a)V, b)V, c)F, d)F, e)F, f )F, g)V, h)V, i)V, j)V. 3. a), e) 4. b) f 1 (40) = 5 millones de años. Es la edad de las rocas que se encuentran a 40 metros de profundidad. 6000 5. C 1 (x) = x22000 es la cantidad de camisetas que se pueden producir con x pesos. 6. f 1 (30) = 1,098 horas. Es el tiempo que se demora el pan en alcanzar los 30 C. 7. a) B(t) = 20ekt con k = 31 ln(5/2), b) f 1 (B) = k1 ln(B/20). 8. f 1 (x) = a) 51 (2 x2 ), b) 32xx+43 , c) log10(log2 (x)) d) e e 1 , e) −
−
En caso de existir, halle el significado, las unidades y la fórmula para las siguientes funciones:
−
−
◦
−
−
f , −1
g
−1
,
f ◦ h
−1
,
h ◦ f , −1
(h ◦ g)
−1
.
x−2
−
2
, f)
log(x) x 2
x
−
x−
2
1/x
13. Un lago tiene un área superficial de 1 hectárea, y se observó
−√ −
−
− 1
x < 0, 1 x 1, e x > 2.
9. 11.89 años.
cerca a una orilla que 2 cm 2 de su superficie estaban cubier- 10. 38.87 horas. tos por una planta extremadamente peligrosa que se repro- 11. x duce de manera exponencial. Tres días después, la planta 0 < x < 50, 12. b) g 1 (x) = 50 2 x 50 había incrementado su tamaño a 10 cm . ¿Cuánto tardará + 1 50 x 100. 25 la planta en invadir el lago entero? ¿Qué porcentaje del lago 1500 0 < x < 5, c) (f ◦ h 1 )(x) = estará invadido un día antes de que se complete la invasión? −
−
−
1500 + 100(x 5) 5 x 15. e) (h g) (x) = x/5. 13. La planta tarda 33.042 días en invadir todo el lago, y el día antes había invadido el 58 % del lago. 14. Dom(f 1 ) = 2, 1, 0, 2 , Ran(f 1 ) = 1, 0, 1, 3 , 1 1 Dom(g ) = ( 1, 1], Ran(g ) = ( 2, 1], Dom[h 1 ) = Ran(h 1 ) = R,
◦
14. Considere las siguientes funciones f , g , h:
−
h(x) = 1 − x,
t -1 f (t) 2
0 1
1 0
3 -2
−
1
−
−
−
−
{
−
−} −
−
−
{−
}
Dom(h g) 1 = [0, 2), Ran(h g) 1 = ( 2, 1], Dom(g f ) 1 = 0, 1 , Ran(g f ) 1 = 0, 1 , Dom(f g h) 1 = 0, 1 , Ran(f g h) 1 = 0, 1 . −
◦ ◦ ◦ ◦
−
{ } { }
−
◦ ◦
−
−
◦ ◦
− { } −
{ }
15. 41 x2 + 4x . 16. La tasa de interés es del 11.6 %.
