TRABAJO COLABORATIVO 1 UNIDAD 1: PASO 1 - ERROR Y ECUACIONES NO LINEALES
GRUPO 100401
TUTOR
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD MÉTODOS NUMÉRICOS FEBRERO DEL 2018
EJERCICIO 1:
Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos.
Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como
exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.
Ejemplo: Se realiza un experimento que consiste en medir el tiempo en el que tarda
en llegar al suelo una bola que se deja caer desde una de terminada altura. Para ello se utiliza un cronómetro cuya precisión es de 0.1 s. Las medidas obtenidas tras repetir el experimento son: 3.1, 3.2, 3.7, 3.4, 3.5, 3.4, 3.1, 3.4, 3.5, 3.9. Determina científicamente el resultado obtenido. 1. Si únicamente realizamos una sola medición con el instrumento de medida, el resultado final será el valor leído ± la precisión del instrumento de medida. 2. Si realizamos n medidas en las mismas condiciones, tomaremos como valor la media aritmética (X) ± el menor valor entre la imprecisión absoluta y la precisión del instrumento de medida.
Dado que se realizan n = 10 medidas del mismo experimento tenemos que basarnos en el punto 2. Para comenzar calcularemos la Imprecisión absoluta de la medición:
̅
Tiempo (ti)
Frecuencia (f i)
ti·f i
εa= −ti
3.1 s
2
6.2 s
0.32 s
3.2 s
1
3.2 s
0.22 s
3.4 s
3
10.2 s
0.02 s
3.5 s
2
7s
-0.08 s
3.7 g
1
3.7 s
-0.28 s
3.9 g
1
3.9 s
-0.48 s
TOTAL
10
34.2 s
1.4
̅ ∗ . . = =|| . ∑ , Ejemplo No. 2
Al medir la longitud de una varilla para construcción se obtiene el resultado aproximado de 19,999 cm. mientras que al medir la longitud de un clavo, se obtiene el resultado de 9 cm. Suponiendo que los valores verdaderos de la varilla y el clavo son de 20,000 cm. y 10 cm. respectivamente, calcular el error absoluto en ambos casos. Solución. Tenemos los siguientes resultados: Para el caso de la varilla, el error absoluto se calcula como:
=20.00019.999 1
Para el caso del clavo, el error absoluto se calcula como:
= 109 1 En ambos casos, el error absoluto es igual, pero obviamente tiene mayor trascendencia el error en el caso del clavo que en el caso de la varilla, es decir, necesitamos comparar el error absoluto contra el valor verdadero. Por ejemplo, en el caso de la varilla el error relativo porcentual es:
= 20.1000 100% 0.005% Mientras que en el caso del clavo, el error relativo porcentual es:
= 101 100% 10%
Podemos observar, que el error relativo porcentual refleja mejor la gravedad o no gravedad del error que se está cometiendo. Es claro, que en el caso de la varilla no es trascendente ya que representa solamente un 0.005% con respecto al valor verdadero, mientras que en el caso del clavo, el error si es representativo ya que es del 10% del valor verdadero.
Error por truncamiento y redondeo
Si en el ejemplo anterior uno de los resultados hubiese sido por ejemplo: 1.6949 Error por truncamiento seria 1.6 Error por redondeo seria 1.7
EJERCICIO 2:
Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de
, comenzando con
xo=0, con 5 iteraciones.
Gráficamente se nota que no existen raíces entonces:
Definimos que
5 0 5 5 () 5 0
() 5
ITERACCIONES
VALOR
1 1 1 1
(0) 0,3 (0,3) 0,5022411788 (0,5022411788) 0,6348888983 (0,6348888983) 0,7632988049
EJERICIO 3:
1. Determine la raíz de la función
− usando el Método de ,
Newton-Raphson con xo= -2. Realice 3 iteraciones. Calcule el error
relativo porcentual en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es 0,70346742250.
Como
(),() <
entonces en dicho intervalo existe una raíz Método:
)−( ) Donde [ ,] [,] ( ( )()−( ) =
Primera Interacción
(−)= 0,2468153060 () ()−() () (0,2468153060) (1) -
+ La raíz está en el intervalo
+
⟦0,0.2468153060⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧
Segunda Interacción
24681530600) 2 0,2468153060 (0,2468153060) (0, (0,2468153060)(0) 2 0,1098595370 () (0,1098595370) (0,2468153060) -
+ La raíz está en el intervalo
-
⟦0,0.1098595370⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧
Tercera Interacción
10985953700) 3 0,1098595370 (0,1098595370) (0, (0,1098595370)(0) 3 0,09629402134 () (0,09629402134) (0,1098595370) -
+ La raíz está en el intervalo
+
⟦0,0.09629402134⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧
Cuarta Interacción
(0,096294021340) 4 0,09629402134 (0,09629402134) (0,09629402134)(0) 4 0,09507156042 () (0,09507156042) (0,09629402134) -
+
+
La raíz está en el intervalo
⟦0,0.09507156042⟧ ⟦(Xa), (Xb)⟧
Quinta Interacción
(0,095071560420) 5 0,09507156042 (0,09507156042) (0,09507156042)(0) 5 0,09496239993 (,) , ⟦⟧ (,)− (,) Raíz: , Error:
EJERICICO 4:
, ,()
Aproxime con 10-4 de precisión la raíz de la ecuación en el intervalo [0,1/2ϖ] utilizando el método de la secante.
Formula
() + ′( )
1 8 2,308 (()) 1 0,30,4657 (()) 2,308 1,1,17765 166 1,6229 (()) 1,6229 0,1,20400 674 1,3981 (()) 1,3981 0,0,09177 134 1,3787 (()) 1,3787 0,0,09011 011 1,3775
La aproximación a la raíz es de 1,3775 EJERCICO 5
Determine las raíces reales de
,
() , ,
-
usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el
intervalo [0.5 , 1] con ξa = 0,1%
Intervalos A
B
f(A)
0
1
2,71828
Iteracion
A
0
Evaluar
Verificar
Intervalos
Raíz f(B)
f(A)*f(B)
Raíz
0,115130524
-0,312957
SI
B
f(A)
f(B)
Xr
0
1
2,71828
0,115130524 0,959366805 0,028195777
1
0
0,959366805
2,71828
0,959366805
1,482635757
2
1,482635757
0,959366805
1,482635757
0,959366805
0
2,71828
3
1,482635757
0
1,482635757
0
0
2,71828
4
1,482635757
0
1,482635757
0
0
2,71828
5
1,482635757
0
1,482635757
0
0
2,71828
-
f(Xr)
-
1,846024692
EJERCICO 6
Demostrar que f(x) = x3 + 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4.
X
Y
i
a
b
Xr
f(a)
f(b)
f(Xr)
f(a)*f(Xr)
-10
-608
0
1
2
1,5
-3
16
4,375
-13,125
-9
-413
1
1
1,5
1,25
-3
4,375
0,203125
-0,609375
20
-8
-264
2
1
1,25
1,125
-3
0,203125
-1,513671875
4,541015625
11,11111111
-7
-155
3
1,125
1,25
1,1875
-1,513671875
0,203125
-0,684814453
1,036584377
5,263157895
-6
-80
4
1,1875
1,25
1,21875
-0,684814453
0,203125
-0,248321533
0,170054175
2,564102564
-5
-33
5
1,21875
1,25
1,234375
-0,248321533
0,203125
-0,024478912
0,006078641
1,265822785
-4
-8
6
1,234375
1,25
1,2421875
-0,024478912
0,203125
0,088851452
-0,002174987
0,628930818
-3
1
7
1,234375
1,2421875
1,23828125
-0,024478912
0,088851452 0,032068551
-0,000785003
0,315457413
-2
0
8
1,234375
1,23828125
1,236328125
-0,024478912
0,032068551 0,003765412
-9,21732E-05
0,157977883
-1
-5
9
1,234375
1,236328125 1,235351563
-0,024478912
0,003765412 -0,010364099
0,000253702
0,079051383
0
-8
10 1,235351563 1,236328125 1,235839844
-0,010364099
0,003765412 -0,003301181
3,42138E-05
0,039510075
1
-3
11 1,235839844 1,236328125 1,236083984
-0,003301181
0,003765412 0,000231656
-7,64737E-07
0,019751136
2
16
12 1,235839844 1,236083984 1,235961914
-0,003301181
0,000231656 -0,001534878
5,06691E-06
0,009876543
3
55
13 1,235961914 1,236083984 1,236022949
-0,001534878
0,000231656 -0,00065164
1,00019E-06
0,004938028
4
120
14 1,236022949 1,236083984 1,236053467
-0,00065164
0,000231656 -0,000209999
1,36844E-07
0,002468953
5
217
15 1,236053467 1,236083984 1,236068726
-0,000209999
0,000231656 1,08264E-05
-2,27354E-09
0,001234461
6
352
16 1,236053467 1,236068726 1,236061096
-0,000209999
1,08264E-05
-9,95869E-05
2,09132E-08
0,000617234
7
531
17 1,236061096 1,236068726 1,236064911
-9,95869E-05
1,08264E-05
-4,43803E-05
4,4197E-09
0,000308616
8
760
18 1,236064911 1,236068726 1,236066818
-4,43803E-05
1,08264E-05
-1,6777E-05
7,44569E-10
0,000154308
9
1045
19 1,236066818 1,236068726 1,236067772
-1,6777E-05
1,08264E-05
-2,9753E-06
4,99166E-11
7,71539E-05
10
1392
20 1,236067772 1,236068726 1,236068249
-2,9753E-06
1,08264E-05
3,92555E-06
-1,16797E-11
3,85769E-05
X
Y
i
a
b
Xr
f(a)
f(b)
21 1,236067772 1,236068249 1,23606801
-2,9753E-06
3,92555E-06
4,75126E-07
-1,41364E-12
1,92885E-05
22 1,236067772 1,23606801
-2,9753E-06
4,75126E-07
-1,25009E-06
3,71938E-12
9,64423E-06
1,236067891
f(Xr)
f(a)*f(Xr)
Error
Error
X
Y
23 1,236067891 1,23606801
1,236067951
-1,25009E-06
4,75126E-07
-3,8748E-07
4,84384E-13
4,82212E-06
24 1,236067951 1,23606801
1,236067981
-3,8748E-07
4,75126E-07
4,38229E-08
-1,69805E-14
2,41106E-06
25 1,236067951 1,236067981 1,236067966
-3,8748E-07
4,38229E-08
-1,71829E-07
6,65803E-14
1,20553E-06
26 1,236067966 1,236067981 1,236067973
-1,71829E-07
4,38229E-08
-6,40029E-08
1,09975E-14
6,02765E-07
27 1,236067973 1,236067981 1,236067977
-6,40029E-08
4,38229E-08
-1,009E-08
6,4579E-16
3,01382E-07
28 1,236067977 1,236067981 1,236067979
-1,009E-08
4,38229E-08
1,68664E-08
-1,70183E-16
1,50691E-07
29 1,236067977 1,236067979 1,236067978
-1,009E-08
1,68664E-08
3,38822E-09
-3,41872E-17
7,53456E-08
30 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-1,009E-08
3,38822E-09
-3,35089E-09
3,38105E-17
3,76728E-08
31 1,236067977 1,236067978 1,236067978
-3,35089E-09
3,38822E-09
1,86642E-11
-6,25416E-20
1,88364E-08
32 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-3,35089E-09
1,86642E-11
-1,66611E-09
5,58296E-18
9,4182E-09
33 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-1,66611E-09
1,86642E-11
-8,23723E-10
1,37242E-18
4,7091E-09
34 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-8,23723E-10
1,86642E-11
-4,02529E-10
3,31572E-19
2,35455E-09
35 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-4,02529E-10
1,86642E-11
-1,91933E-10
7,72584E-20
1,17727E-09
36 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-1,91933E-10
1,86642E-11
-8,66338E-11
1,66279E-20
5,88637E-10
37 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-8,66338E-11
1,86642E-11
-3,39835E-11
2,94412E-21
2,94319E-10
38 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-3,39835E-11
1,86642E-11
-7,65876E-12
2,60271E-22
1,47159E-10
39 1,236067977 1,236067978 1,236067978
-7,65876E-12
1,86642E-11
5,50315E-12
-4,21473E-23
7,35797E-11
40 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-7,65876E-12
5,50315E-12
-1,07736E-12
8,25125E-24
3,67898E-11
41 1,236067977 1,236067978 1,236067977
-1,07736E-12
5,50315E-12
2,21334E-12
-2,38457E-24
1,83949E-11
42 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-1,07736E-12
2,21334E-12
5,66658E-13
-6,10495E-25
9,19746E-12
43 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-1,07736E-12
5,66658E-13
-2,55795E-13
2,75584E-25
4,59873E-12
44 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-2,55795E-13
5,66658E-13
1,56319E-13
-3,99858E-26
2,29936E-12
45 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-2,55795E-13
1,56319E-13
-4,9738E-14
1,27227E-26
1,14968E-12
46 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
1,56319E-13
5,32907E-14
-2,65057E-27
5,74841E-13
47 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
2,87421E-13
i
f(a)
a
b
Xr
f(b)
f(Xr)
f(a)*f(Xr)
Error
48 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
49 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
50 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
51 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
52 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
53 1,236067977 1,236067977 1,236067977
-4,9738E-14
5,32907E-14
0
0
0
