Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

2013 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

Gil Sandro Gómez 07/04/2013

``Sistemas de Ecuaciones Diferenciales` Diferenciales```

Tabla de contenido

5.1 Introducción ......................... ....................................... ........................... .......................... .......................... ........................... ........................... ..................... ........2 5.2 Sistema de primer orden .......................... ........................................ ........................... .......................... .......................... .......................... .............2 5.3 Método de eliminación ......................... ....................................... ........................... .......................... .......................... .......................... ................. 2 5.4 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales aplicando transformada de Laplace .......................... ........................................ ........................... ........................... ........................... .......................... ........................... ........................... ............... 5 5.5 Sistemas autónomos ........................... ........................................ .......................... ........................... ........................... .......................... ................... ...... 8

...................................... .......................... ........................ ...........10 5.6 Puntos críticos y soluciones de equilibrio ......................... 5. 7 Métodos matriciales para resolver sistemas lineales ......................... ....................................... ................. ...11 5.8 Existencia y unicidad ......................... ...................................... .......................... ........................... ........................... .......................... ................. ....12 5.9 Conjunto fundamental de soluciones ......................... ....................................... ........................... ........................... ................ 13 5.10 Método para resolver sistemas normales .......................... ........................................ ........................... ................... ......15 5.11 Sistemas de ecuaciones no homogéneos .......................... ....................................... .......................... ................. ....25 5.12 Métodos para resolver sistemas de d e ecuaciones no homogéneos ................ ................26

....................................... ........................... .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ................. 32 Bibliografía ......................... Webgrafía .......................... ........................................ ........................... .......................... ........................... ........................... .......................... .......................... ................. 32

Prof. Gil Sandro Gómez 1

``Sistemas de Ecuaciones Diferenciales` Diferenciales```

5.1 Introducción

Las ecuaciones diferenciales tienen una gran utilidad en ingeniería y en la ciencia. La mayoría de los problemas no dependen de una ecuación, sino de un sistema de ecuaciones, que casi siempre, éstas son diferenciales. De ahí la necesidad que nos adentremos en el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales. Definición. Un Un conjunto conjunto de

ecuaciones diferenciales diferenciales con con varias varias funciones incógnitas, se llama sistema de ecuaciones ecuaciones diferenciales. Solución de un sistema. sistema. Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciales x  1 ( x), y   2 ( x), z   3 ( x) , etcétera, que satisface cada ecuación del sistema en algún intervalo común I . 5.2 Sistema de primer orden

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden es: x '1  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  f1(t ) 

              x 'n  an1x1  an 2 x2  ...  ann xn  f n (t )  x '2  a21x1  a22 x2  ...  a2n xn  f 2 (t )

donde t es la variable independiente y x  xi (t ), 1  i  n , son n funciones de t (variables dependientes). 5.3 Método de eliminación

La eliminación de una incógnita en un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se agiliza al escribir una vez más cada ecuación del sistema en notación de operador diferencial. 5.3.1 Procedimiento diferenciales 2x2

de

eliminación

para

sistema

de

ecuaciones

Paso 1. Se escribe el sistema en términos de operadores diferenciales diferenciales lineales. Paso 2. Se elimina la variable x , multiplicando la ecuación (1) del sistema por el coeficiente de x la ecuación (2) del sistema y multiplicando la ecuación (2) por el coeficiente de x de la ecuación (1), tratando que al multiplicarse ambas ecuaciones queden con signos diferentes y así poder eliminarlos realizando la suma. Paso 3. La ecuación factorizada obtenida en el paso (3) se resuelve utilizando la ecuación característica para hallar las raíces.


``Sistemas de Ecuaciones Diferenciales``

Paso 4. Observando el tipo de raíces obtenidas en el paso anterior se decide la solución complementaria y(t ) que se tendrá. Paso 5. Al realizar de nuevo los pasos (2), (3) y (4) se elimina la variable y y se obtiene x(t ) . Paso 6. Se eliminan las constantes adicionales sustituyendo las expresiones para x(t ) y y (t ) en una o ambas ecuaciones del sistema. Paso 7. Se encuentra la solución del sistema original en función de las demás constantes. Si el determinante del sistema es cero, se dice que el sistema es degenerado. Un sistema degenerado puede no tener soluciones, o si posee soluciones, éstas pueden implicar cualquier cantidad de constantes arbitrarias. Ejemplo 1. Mediante el método de eliminación halle la solución del sistema de

ecuaciones dado, donde la derivación es con relación a la variable t .

  x  4 y   dt  ~ (1) dy  x  y   dt dx

Primero escribimos el sistema (1) en forma de operadores: Dx  x  4 y  0 Dy  x  y  0

 D  1 x  4 y  0  x   D  1 y  0

Ahora eliminamos la variable x :

Multiplicamos la ec. del sistema por (D -1) :

 D  1 x  4 y  0 -( D -1) x  (D -1)  D  1 y  0 ( D -1)  D  1 y  4 y  0 ( D -1)  D  1 y  4 y  0  ( D 2  2 D  1) y  4 y  0 ( D 2  2 D  5) y  0 ~ (3)

Escribimos la ecuación auxiliar de (3): m2  2m  5  0 ~ (4)

La solución de (4) es: Prof. Gil Sandro Gómez 3


m

2  (2)2  4(5)(1) 2

 1  2i  m1  1  2i, m2  1  2i

De ahí que la solución de (3) viene dada por: y (t )  c1et cos 2t  c2et sen2t ~ (2)

Retornamos al sistema de ecuaciones (1) para eliminar la variable y : Multiplicamos la ec.(1) del sistema por (D -1) y la ecuacion (1) del sist. por -4:

 D  1 D  1 x  4  D  1 y  0 4 x  4  D  1 y  0 ( D 2  2 D  1) x  4 x  0  ( D 2  2 D  5) x  0 ~ (5)

La ecuación auxiliar de (5) es: m2  2m  5  0 ~ (6)

Resolviendo (6): m

2  4  20



2  16

2 2 m1  1  2i, m2  1  2i



2  4i

 1  2i

2

Entonces, x(t )  c3et cos 2t  c4et s en2t ~ (3) Ya determinada la solución ( x(t ), y(t )) , buscamos la solución definitiva expresando c3 y c4 en función de c1 y c2 . Derivamos (3): dx dt

(4)  2c3et cos 2t  c3et sen2t  2c4 et cos 2t  c4 et sen2t ~

Sustituimos (2), (3) y (4) en la primera ecuación del sistema: 2c3et cos 2t  c3et sen 2t  2c4e t cos 2t





t

c4e sen 2t



t

c 3e co s 2t



t

c 4e sen 2t

Comparando términos semejantes en (5), tenemos que:

2c3  c4  c4  4c2   ~ (6) c3  2c4  c3  4c1  Resolviendo el sistema (6) Prof. Gil Sandro Gómez 4



4c1e tco s 2t



4c 2e tsen 2t ~ (5)


c3  2cc2 y c4  2c1

Sustituyendo los valores de c3 y c4 en (3), la solución de (1) es: x(t )  (2c2 cos 2t  2c1sen 2t )et y (t )  (c1 cos 2t  c2sen2t )et

5.4 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales aplicando transformada de Laplace En algunas ocasiones tenemos que hallar la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, para esto es más conveniente auxiliarse de la transformada de Laplace que como lo hicimos en el tema anterior. La ventaja que nos ofrece este método, es que un sistema de ecuaciones diferenciales lo convertimos en un sistema de ecuaciones algebraicas, lo que es más fácil de encontrar su solución. 5.5.1 Procedimiento

1. Aplicamos transformada en cada una de las ecuaciones del sistema. 2. Sustituimos las condiciones iniciales dadas. 3. Reorganizamos el sistema de ecuaciones obtenido en el paso 2 con las nuevas incógnitas que son las transformadas de cada función. 4. Usando transformada inversa de Laplace encontramos la solución del sistema. Ejemplo. Usando transformada de Laplace encuentre la solución del siguiente

sistema de ecuaciones diferenciales.

4 32   == 0 = 0, 0 = 0 4′32  ==  ⟩ ~2 1  1  ~3    3 0    2  = 4    0   =   1

1. Procedemos aplicar transformada de Laplace en ambos lados de cada ecuación del sistema

2. Buscamos la transformada de Laplace de cada función de (2):

3. Sustituimos las condiciones iniciales en (3) y reorganizamos:



4  00 2  ==  1 1~4   1 2     =  1 1~5 4     :  =   1  1    2  =  1 1~6 4    1   =   1

De (4) nos queda lo siguiente:

4. Sacamos factor común a

y

Como podemos observar (6) el sistema de ecuaciones diferenciales ha sido transformado en un sistema de ecuaciones algebraicas, lo cual es más sencillo resolver.

∆=1 142 1 =   7   11 21 3 1   =   73 1=   7  1  =  1 7  1 ~7   1   1   = 4  7 1 = 4  74  1  =   7  1 ~8 −  = −   371  1 ,  = −   371  1~9

5. Encontramos la solución de (6):

6. Aplicamos transformada inversa de Laplace a (7) y (8) para encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales.

En la expresión (9) notamos que el lado derecho no se encuentra directamente en la tabla de transformadas de Laplace, por tanto es necesario ajustarla a la misma. Esto podemos hacerlo aplicando fracciones parciales, tal como hacíamos cuando vimos el tema de transformada inversa de Laplace.

−   371  7 = −   7    1 ~10 Prof. Gil Sandro Gómez 6


Desarrollamos a (10) y nos queda que:

      3 1 =      1       7     3 1 =            7 7~11 , ,   .   == 00 ~12  77 == 31  =  12 ,  =  16 ,  = 12 ,  = 16

De (11) formamos el siguiente sistema de ecuaciones para hallar los valores de

Resolviendo a (12) tenemos los siguientes valores para cada variable:

Sustituimos los valores en (10) y luego vamos a la tabla de transformadas de Laplace.

 =  12 −   76√ √ 177−√ √ 77712 −  1 16 −  1 1  =  2  6√ 7  2  6 ~13 −  = −  7 4  1 = −   7     1~14   7  1:      4 =     1     7~15

Multiplicamos a (14) por

Desarrollamos la expresión (15) para obtener los valores de las variables y luego conseguir la solución.

   4 =           7 7~16 ==10 ~17  77 == 14

Aplicando la teoría de la igualdad de polinomios en (16):

De la solución de (17) obtenemos que:

 =   ,  =   ,  =  ,  = .

Sustituyendo cada variable por su valor en (14) obtenemos la segunda solución.



 =  16 −   7 6√ 117 − √ 7 7 16 −   1 56 −  1 1~18  =  16 √ 7  611√ 7 √ 7   56 ~19

Usando la tabla de transformadas de Laplace en (18):

Las expresiones (13) y (19) son las soluciones del sistema dado. 5.5 Sistemas autónomos Definición. Un sistema de ecuaciones diferenciales es autónomo si no depende

explícitamente de la variable independiente, su forma general (para el caso de dos ecuaciones de primer orden) será por tanto:

  f ( x, y )   dt  ~ (7) dy  g ( x, y)   dt  dx

Para los sistemas autónomos es siempre posible aplicar una estrategia de resolución que consiste en obtener en primer lugar la ecuación implícita de las órbitas solución, de la siguiente manera: Las ecuaciones pueden escribirse de forma diferencial:

  dt  f ( x, y )   ~ (8) dy  dt   g ( x, y )  dx

así, se puede eliminar la variable independiente, igualando los primeros miembros y obtenemos la ecuación diferencial ordinaria: dx f ( x, y )



dy g ( x, y )

~ (9)

cuyas curvas solución son las órbitas del sistema de ecuaciones. Si en la solución general es posible despejar una de las incógnitas, entonces su sustitución en el sistema original nos proporciona una ecuación ordinaria y, en definitiva, las soluciones del sistema. Si despejamos a

/

de la ecuación (9), tenemos que:



dy dx



g ( x, y ) f ( x, y )

~ (10)



 

Cuando nos referimos a (10), hablamos de la ecuación en el plano fase. Si en lugar de graficar o en función del tiempo, graficamos a contra obtenemos el llamado plano de fase o retraso o diagrama de fase como se muestra en gráfica 1.



5.6 Puntos críticos y soluciones de equilibrio Definición. Un punto ( x0 , y0 ) donde f ( x0 , y0 )  0 y g ( x0 , y0 )  0 es un punto crítico

dx

 f ( x, y),

dy

 g ( x, y) y la solución dt dt constante correspondiente x(t )  x0 , y(t )  y0 es una solución de equilibrio. El conjunto de todos los puntos críticos es el conjunto de puntos críticos. o punto de equilibrio del sistema

5.6.1 Clasificación de los puntos críticos

Los puntos críticos de acuerdo a su comportamiento se clasifican en: a. Estable. Sea x1 un punto crítico de un sistema autónomo y sea x  x(t ) la solución que satisface la condición inicial x(0)  x0 , donde x0  x1 . Se dice x1 que es un punto crítico estable cuando para cada   0 existe un valor   0 (posiblemente dependiente de) tal que la condición inicial satisface x0  x1    x (t )  x1   , t  0. Si, además, lim x(t )  x1 siempre que t 0

x0  x1   , se llama a x1 un punto crítico asintóticamente estable .

b. Inestable. Sea x1 un punto crítico de un sistema autónomo y sea x  x(t ) la solución que satisface la condición inicial x(0)  x0 , donde x0  x1 . Se dice x1 que es un punto crítico inestable si existe un disco abierto de radio   0 con la propiedad de que, para cualquier   0 , hay una posición inicial x0 que satisface x0  x1   , pero la solución correspondiente x(t ) satisface x(t )  x1   para al menos un t  0 .



Fig. 4. Punto estable 5. 7 Métodos matriciales para resolver sistemas lineales

Todo proceso está basado en el aprendizaje significativo, que es quien sustenta la solución de problemas. El factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. La experiencia sobre la cual queremos trabajar es retomar lo que ya se sabe del Álgebra Lineal y aplicarlo a la solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales y así notarán la utilidad de estos conceptos. A continuación expondremos la metodología e ideas básicas de cómo resolver estos S.E.D. Si

,   

denotan, respectivamente, las matrices

 x1 (t )   f1 (t )   a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t )       a (t ) a (t ) ... a (t )  x2 (t ) f ( t ) 22 2n  , A(t )   21  , f (t )   2  X (t )                          x (t )     an1 (t ) an 2 (t ) ... ann (t )   n   f n (t ) 

Entonces, el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden dx1  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2  ...  a1n (t ) xn  f1 (t ) dt dx2  a21 (t ) x1  a22 (t ) x 2  ...  a2 n (t ) xn  f 2 (t ) dt dxn  an1 (t ) x1  an 2 (t ) x 2  ...  ann (t ) xn  f n (t ) dt

Puede ser escrito como,


~ (11)


 x1 (t )   a11 (t ) a12 (t ) ... a1n (t )  x1(t )   f1 (t )      x (t )   f (t )  x ( t ) a ( t ) a ( t ) ... a ( t ) 22 2n  2   21  2   2        d        ~ (12),    dt                      f (t )  a ( t ) a ( t ) ... a ( t ) x ( t ) x ( t ) n2 nn  n   n   n   n1 o simplemente se convierte en

dX dt dX dt

 A(t ) X (t )  f (t ) ~ (13) , si el sistema (13) es homogéneo, (13)  A(t ) X (t ) ~ (14) .

Ejemplo. Dado el siguiente sistema de ecuaciones no homogéneo, escríbalo en

forma matricial.

 = 2 5   2  = 4 3 10  = 24 35   10  2   = 24 35  10  210,   =      = ⋮       = ,,. ,,  =               =    , … ,    ,  ,  

En su forma matricial puede ser escrito como:

Definición. Un vector solución en un intervalo es cualquier matriz columna

cuyos elementos son diferenciables, y tal que satisface el sistema

(13) en el intervalo.

El problema con valores iniciales para el sistema normal (11) es el problema de determinar una función vectorial diferenciable que satisfaga el sistema en el intervalo y que además, satisfaga la condición inicial , donde es un punto dado de y es un vector dado. 5.8 Existencia y unicidad Teorema 1. Sean y

continuas en un intervalo abierto que contiene al punto . Entonces, cualquier elección del vector , existe una única solución en todo el intervalo del problema con valores iniciales



 =    ,  =  , , … ,     , … ,   ,         ⋯  = 0  .

Más adelante veremos un conjunto de vectores soluciones linealmente dependiente e independiente de un sistema homogéneo. Definición. Sea

un conjunto de vectores solución del sistema homogéneo (14) en el intervalo . Decimos que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes , no todas nulas, tales que para todo del intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. Wronskiano

     =  (,, … , ,),…, = ,, … , ,  ,, ,, …… ,, [,, … , ] = ,⋮  ⋮ , … ,⋮. , , … ,  =       , , … ,    Definición.

El

Wronskiano

de

funciones vectoriales se define como la función con valores

reales.

Si son soluciones linealmente independientes en para el sistema homogéneo , donde es una matriz de funciones continuas, entonces el Wronskiano nunca se anula en . En caso que éste sea igual a cero, las soluciones son linealmente dependientes. 5.9 Conjunto fundamental de soluciones

Definición. Si es un conjunto cualquiera de soluciones de vectores solución linealmente independiente del sistema homogéneo (14) en el intervalo , entonces es un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo. 5.9.1 Representación de soluciones

5.9.1.1 Caso homogéneo

, , … ,    =  ~14          =     ⋯~15 , … ,  

Teorema 2. Sean sistema homogéneo

soluciones linealmente independientes del



en el intervalo , donde es una función matricial , continuas en . Entonces, toda solución de (14) en se puede expresar en la forma: ,

donde

son constantes.

Considerando los vectores de un conjunto fundamental de soluciones y formamos las columnas de una matriz la siguiente manera, Prof. Gil Sandro Gómez 13


 ,, ,, …… ,,  = ,⋮ ,⋮ …… ,⋮~16        =    ~ 1 7  = ,… ,        −    = , 3−  = 23 12~   −  −  −  =  3− =  3    = 31 = 2 

,

entonces denomina matriz fundamental de (14). La podemos utilizar para expresar la solución general (15) como ,

donde determinante las matrices que

es un vector constante arbitrario. Dado que el nunca se anula en , esto implica de acuerdo a la teoría de tiene inversa para cada en .

Ejemplo. Determine si el conjunto

es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema dado. Si la respuesta es afirmativa, halle la solución general. ,

Primero analicemos si

en (∞,-∞)

es un conjunto linealmente independiente

Como el determinante es diferente de cero, decimos que linealmente independiente.

es un conjunto

Comprobemos si cada vector columna es una solución del sistema dado.

12 = 3 2  2 = ~2 −−~3    = 23 123 −− = 23−−  36−− = 3  = 23

Hagamos el análisis para el segundo vector columna, también.

Si observamos los resultados (2) y (3), podemos decir que estos vectores satisfacen el sistema. La matriz fundamental para el sistema es:

 −    =  3−~4  −    =  =    3−

La solución de (1) viene expresada por



x =  ~18

5.9.1.2 Caso no homogéneo

Teorema 3. Sea

una solución particular del sistema no homogéneo

 , … ,  =  

en el intervalo y sea para el sistema homogéneo puede expresar en la forma



un conjunto fundamental de soluciones en . Entonces toda solución de (18) en se

 , …, =   ⋯~19  

,

donde

son constantes.

 =      

La expresión (19) es la solución general de (18). Esta solución general puede expresarse también como , donde es una matriz fundamental para el sistema homogéneo y es un vector constante arbitrario.

 ×   =

5.10 Método para resolver sistemas normales



1. Para determinar una solución general del sistema homogéneo : a. Determine un conjunto fundamental de soluciones que consta de soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo. b. Forme la combinación lineal



 = == ,⋯    … ,  

, … ,   = , … , 

,

donde es cualquier vector constante y es una matriz fundamental para obtener una solución general. 2. Para determinar una solución general del sistema no homogéneo : a. Determine una solución particular del sistema homogéneo. b. Forme la solución general con la suma de la solución particular y la solución complementaria, obtenida en el paso 1.

 =    =   

x

.

5.10.1 Método de los valores propios para resolver sistemas de ecuaciones homogéneos

Antes de iniciar el desarrollo del método, debemos recordar algunos conceptos básicos del Álgebra Lineal, tales como:





 ×  = ~5 

Valor propio. Sea una matriz de tamaño de si se verifica que



es un valor propio

,



Vector propio. El vector no nulo

propio de

. El número

que satisface la ecuación (5) se llama vector asociado al valor propio .

La ecuación (5) que nos permitió definir los conceptos de valor propio y vector propio puede escribirse como Prof. Gil Sandro Gómez 15


  = 0~6   = 0~7  det  = 0~8    = det ~9 ,

con lo que los valores propios, si existen, son los vectores no nulos solución del sistema lineal homogéneo

.

Este sistema tiene una solución distinta a la trivial, si y sólo si, la matriz invertible, o equivalente si

no es

.

La ecuación (8) recibe el nombre de ecuación característica de la Matriz .

Definición. Se llama polinomio característico de una matriz cuadrada polinomio

al

.

Definición. Llamamos multiplicidad algebraica de un valor propio, a la multiplicidad como raíz del polinomio característico, es decir, el número de veces que aparece como raíz de dicho polinomio.

     =   = ℝ:   =  

Subespacio propio. Sea un valor propio de una matriz de tamaño llama subespacio propio de asociado a al subespacio vectorial



A la dimensión del subespacio propio geométrica de .

×

. Se

.

se le conoce como multiplicidad

El subespacio propio contiene a todos los vectores propios asociados a además, al vector nulo. Ejemplo. Encuentre los valores y vectores propios de la Matriz





 = 42 43       = det     = 0 0 42 53 = 2 4  5 3 =   4  3  10 =     2     2 = 0    2 =  2 1 = 0 .

Escribimos el polinomio característico:

Igualamos a cero el polinomio característico para hallar los valores propios de . , ecuación característica asociada a la matriz dada.

La solución de la ecuación la tenemos mediante factorización:


y


Los valores propios son:

 == 21   = 2 22 55 = 00 22 55 == 00  = 52    = 2,   = 5  = 2  = ()   = 10 0 5 = 52 52   = 0 → 5    2 2 0 52 52 == 00〉 = =1→=1 1  = 1 , … ,   ,, … ,      ×  = 

Calculamos los vectores propios para cada valor propio determinado.

Esto implica que el vector propio asociado a

Hallamos el vector propio para

es:

:

La solución del sistema es:

,

para

entonces el vector propio es:

Teorema 4. Independencia Lineal de Vectores propios.

Si son valores propios distintos para la matriz y es un vector propio asociado a , entonces son linealmente independientes. Matriz real simétrica. Una matriz real cumple que .

de dimensión


es simétrica si se


Ejemplo. Analice si la siguiente matriz es simétrica.

2 7 1  = 71 27 72   = 27 72 17 1 7 2 

La transpuesta de la matriz dada es:

 =    ×      , … ,   {, … , } x = Ax~8 , … ,   , … ,  ∞,∞ X = ∁Ke  … ∁Ke~9  =  2 〉~10  = 4 3  = 14 23~11 Como

, entonces es simétrica.

Nota: Si la matriz real

es simétrica, sabemos que tiene vectores propios

linealmente independientes.

Si una matriz no es simétrica, es posible que tenga un valor propio repetido pero que no tenga dos vectores propios correspondientes linealmente independientes. Valores propios distintos

Corolario 1. Si la matriz vector propio asociado a

tiene valores propios distintos , entonces

y

es un

es un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo . Teorema 5. Solución general de un sistema homogéneo

Si valores propios reales y diferentes de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo (8), y sean los vectores propios correspondientes. Entonces, la solución general de (8) en el intervalo está dada por

.

Ejemplo. Encuentre la solución general del sistema de ecuaciones dado.

1. Escribimos el sistema en forma matricial:

2. Determinemos los valores propios asociados a la matriz de coeficientes constantes. Prof. Gil Sandro Gómez 18


Para determinar los valores propios, debemos hallar el polinomio característico asociado, el cual viene dado por

 = det   = 1 4 3 2  = 1 3   42 =   4 5~12   4 5 = 0~13   = 5   = 1  = 5  =  44 22  = 00~14 44 22==00  = 2  = 1  = ()= 1 24 24 = 00~15 24 24 == 00 1=   = 1  =  1   = ∁ 12  ∁ 11−

Igualamos (12) cero:

Resolviendo la ecuación (13) tenemos que los valores de son:

3. Calculamos los vectores propios asociados a cada valor propio del paso (2). Vector propio para

Resolviendo el sistema (14):

para

, tenemos que:

Ahora calculamos el vector propio para

La solución del sistema nos dice que

:

, para

, entonces

4. Dado que tenemos calculado los vectores propios de la matriz de coeficientes constantes del sistema, podemos escribir la solución general usando la ecuación (9):



Valores propios repetidos

Vamos analizar cuando no todos los valores propios son diferentes, es decir, que algunos valores propios son repetidos.

 

       +  × , … ,       ≤    ∁   …∁  ~16      ==     .   ..  =  −!    −!   ⋯     =  , , … , 

Si es un entero positivo y es un factor de la ecuación característica de , mientras que no es un factor, entonces se dice que es un valor propio de multiplicidad . A continuación estudiaremos los siguientes casos: i.

ii.

Para algunas matrices es posible encontrar vectores propios linealmente independientes que corresponden a un valor propio de multiplicidad . En este caso, la solución general del sistema contiene la combinación lineal . Si sólo hay un vector propio que corresponde al valor propio de multiplicidad , entonces siempre se puede determinar soluciones linealmente independientes de la forma

donde

son vectores columnas.

Valor propio de multiplicidad dos.

Si la matriz del sistema es simétrica y tiene elementos reales, es posible determinar vectores propios linealmente independientes, . La solución general viene dada de acuerdo al teorema 5, no importa que los valores propios sean repetidos.

   =   ~17

Segunda solución. Asumamos que es un valor propio de multiplicidad dos y que sólo hay un vector propio asociado con él. Se puede determinar una segunda solución de la forma

en donde

   = ⋮  = ⋮  =  y

Si sustituimos (17) en el sistema

,

.



, encontramos que los valores de y

Deben satisfacer las siguientes relaciones: Prof. Gil Sandro Gómez 20




  == ~ ~1198  



La ecuación (18) nos dice que debe ser un vector característico de asociado . Al resolver las ecuaciones (18) y (19), encontramos respectivamente las soluciones: y , porque con la solución de (19) obtenemos el vector .

 =  

Valor propio de multiplicidad tres.

   =      ~20,      = ⋮, = ⋮  ⋮  =     λλ == ~~2212   λ = ~23  ,    



Cuando la matriz de coeficientes tiene sólo un vector propio relacionado con de multiplicidad tres, se puede encontrar una segunda solución con (17) y una tercera solución de la forma

donde

Al sustituir (20) en el sistema deben satisfacer

=

.

, se determina que los vectores columnas

, 

y

La solución de (21), (22) y (23) respectivamente nos permiten formar las soluciones de y . Ejemplo. Determine la solución del siguiente sistema de ecuaciones.

 = =3  ′ =   

a). Primero expresamos el sistema dado en forma matricial:

3 1 =1   = 11 11 11 ~2 det   = 0

b). Escribimos la ecuación característica del sistema



31 11 11  10 01 00 = 0 131 11 10 0 1  11 11 11  = 0~3  =   5  8 4~4  

C). El polinomio característico viene dado por el cálculo de (3):

d). Procedemos a determinar los valores propios de : Para encontrar los valores propios de , calculamos los ceros (4), éstos pueden ser determinado usando un programa o manualmente aplicando el teorema de Ruffini, también puedes factorizar el polinomio característico.

 = 0    1   2  = 1  = 2  = 1  21 10 11 = 00~5 1 1 0  0 2    =0 = 0⌋~6  = 0  = 1   =   = 1 1  = 1  =   = 1  = 11  = 2    = 2   = 2  11 11 11 = 00~7 1 1 1  0

Factorizando tenemos que , de ahí que los factores del polinomio son: y , el segundo valor propio es de multiplicidad dos. Calculamos el vector propio para

Escribimos (5) en su forma normal:

Resolvemos (6) para obtener el vector propio asociado a , para

, entonces

y

:

, esto implica que

De ahí que el vector

Ahora procedemos a buscar el vector asociado al valor propio , que es de multiplicidad dos. Como la matriz tiene un vector de multiplicidad dos. Tenemos que investigar si la matriz es simétrica, porque de serlo, nos garantiza que tiene vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio . La matriz del sistema no es simétrica, esto nos obliga a utilizar las ecuaciones (18) y (19). Ahora calculamos el vector propio asociado a



Expresemos (7) en su forma normal:

     == 00~8      = 0      = 0 →  =     = 1 1 = 0   = 10 11 11 11 = 11~9 1 1 1  0   =1   = 0 →  = = 1  = 0  =    1  = 01 1 1 1 1     = ∁ 11  ∁ 10  ∁ 10  01

Resolviendo (8) mediante el método de Gauss nos queda: , si

y

, pues el vector propio

es:

Usando la ecuación (19) calculamos el tercer vector propio:

Como podemos darnos cuenta, en (9) existe una combinación lineal entre los vectores de las filas 1 y 2. Analicemos el tercer reglón para determinar el último vector. , hagamos

Si

, tenemos que

, así que

.

Ya tenemos calculado los tres vectores, por tanto podemos escribir la solución del sistema.

Valores propios complejos

Hasta hace poco habíamos venido estudiando el tema de los valores y vectores propios, éstos eran reales. En algunas ocasiones cuando formamos el polinomio característico nos encontramos que la solución viene dada por valores complejos. De acuerdo a lo que aprendimos en nuestro curso de Matemática Básica las raíces complejas vienen en parejas, es decir; ella y su conjugada. Teorema 6. Soluciones con valores propios complejos

 , ∈ ℝ

̅  = =x~14  ̅

Sea una matriz real del sistema de ecuaciones homogéneo un vector propio correspondiente al valor propio complejo . Dos soluciones de (14) vienen dada por y .


,y , donde


Ejemplo. Halle la solución del sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas.

 = 6    = 5  2  = 65 12 ~2 65 12  10 01 = 0 → 6 5 21  = 0  =   8  17   8 17 = 0   = 4   = 4 

Lo primero que haremos es escribir el sistema en forma matricial:

Escribimos la ecuación característica del sistema

El polinomio característico es:

Buscamos los ceros del polinomio característico:

Los ceros son:

y

.

Los valores propios son complejos, como podemos observar. Procedemos a buscar los vectores propios complejos asociados.

2 = 4 1  0  5 2  = 0 52  2   = =00    = 2 = 4  = 1 →  = 2  = 2 1i  = 4  1   = 00 25 2 2    = 0

Buscamos el vector propio para

Escribimos el sistema en su forma normal para hallar los valores de

De la primera ecuación del sistema tenemos que: , si

El vector propio asociado a

Para

De ahí que,

es:

, tenemos que:

 


  y

.


5   2 = 0  = 2   = 1 →  = 2   = 2 1   = (− )+  (+ )−  =       ~   ==        ∞,∞    =   =  λ = 4     = (−)  =   =   = 12   = 10   = [() (−  )]  [(−  ) ()]  =  ~20 De la primera ecuación del sistema tenemos que: , para

Entonces, el vector propio

que es el conjugado de viene dado por:

La solución es:

Teorema 7. Soluciones reales que corresponden a un valor propio complejo

Sea un valor propio complejo de la matriz de coeficientes en el sistema homogéneo (14) y sean y los vectores columnas. Entonces la solución viene dada por

Son soluciones linealmente independiente de (14) en Las matrices

y

se forman por lo común por

.

y

.

Ejemplo. Escriba la solución del ejemplo anterior como una solución real que pertenece a un valor propio complejo.

Como el valor propio es y el vector propio asociado podemos construir la solución sabiendo que y

.

Ahora construimos las matrices:

Entonces la solución viene expresa como:

5.11 Sistemas de ecuaciones no homogéneos

Hasta el momento habíamos estudiado solo sistemas de ecuaciones homogéneos, ahora analizaremos sistemas no homogéneos. Un sistema de ecuaciones es no homogéneo cuando tiene la forma . No se pueden confundir los términos autónomo y no autónomo con homogéneo y no homogéneo. Un sistema puede ser autónomo y no homogéneo simultáneamente.



Las técnicas que utilizamos para resolver ecuaciones no homogéneas de orden superior pueden aplicarse para los sistemas, la única diferencia es que para los sistemas es un poco más laborioso el proceso. Esto nos dice que podemos usar coeficientes indeterminados y variación de parámetros. 5.12 Métodos para resolver sistemas de ecuaciones no homogéneos 5.12.1 Método de Coeficientes Indeterminados



Recordamos cuando estudiamos las ecuaciones diferenciales no homogéneas que este método solo podía ser usado si era un polinomio, una función exponencial, una función seno o coseno, una constante o una combinación finita de ellas. El procedimiento para ser aplicado a los sistemas sigue la misma mecánica que para las ecuaciones diferenciales no homogéneas, esto lo confirmaremos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 5. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones.

 = 13

31   25

Para hallar la solución del sistema, tenemos que hallar la solución del sistema de ecuaciones homogéneo asociado mediante el uso de los valores propios.

 = 13 31~5    = 13 31 10 01 = 00 1 3 13  = 00~3   2 8 = 0~4  =   2 8~5  4 2 = 0 →  = 4,  = 2  = 4 1 4 3 0  3 14 = 0

La ecuación característica asociada a (2) es:

Calculamos el determinante de (3):

El polinomio característico de (4) es:

Factorizando hallamos los ceros de (5):

Ya podemos calcular los valores propios de (3). Comencemos para



33 33  = 00~6  3 =34  0  3 3 = 0~7  =    = 1  = 1  = 11   = 2 33 33 = 00~8 3  3 = 0 →  =  1 = 1  = 1  = 1   =  11   11−   =    ~9       2      1 3  2 = 3 1    5~10 Tomando en consideración que la matriz independencia lineal está garantizada.

es una matriz simétrica, la

Busquemos el vector asociado a

Resolviendo (7) nos encontramos que: , hagamos

Pues el vector

, entonces

.

es:

Ahora vamos a calcular el segundo vector asociado a

:

Revolviendo (8) tenemos que:

, asumamos que

, entonces,

.

La solución del sistema homogéneo es:

Como tenemos la solución del sistema homogéneo asociado, podemos encontrar la solución particular. El

viene dado por:

Si (9) es una solución de (1), tiene que satisfacer el sistema dado.

Realizamos las operaciones indicadas en (10):



     3   3   3 2          2  = 3    3   3    5~11 3  3  3  3 3  32 5 2 = 00~12 3  3  333  3  22  25  = 00~13

Igualamos al vector nulo la ec. (11):

De (12) tenemos:

Por nuestro estudio de Álgebra Lineal sabemos que dos matrices son iguales, si cada uno de sus elementos son iguales, este concepto vamos a aplicarlo para resolver (13).

3    2==00, 3  3  22  =1 =0 0  3  3    5==00 ~14  =  14,  = 34 ,  = 14 ,  =  14 ,  = 2,  = 34 ~15 1 1   =  344  414 234  = ℎ1  1  1 1  −  =  1    1    344  414 234

Resolviendo (14) tenemos que:

Sustituyendo (15) en (9):

La solución general viene dada por:

5.11.2 El método de Variación de Parámetros

Por nuestro estudio de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, sabemos que para encontrar la solución general de la misma debemos determinar una solución particular. Ésta se puede hallarse usando variación de parámetros. La técnica de variación de parámetros puede ser usada en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneos. La aplicación de variación de parámetros para determinar la solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales es un poco más laborioso que cuando lo aplicamos a una ecuación lineal.



Para la utilización del método se debe tener un conocimiento previo de como se calcular la inversa de una matriz, multiplicar dos matrices y que es una matriz no singular. Para no tener ningún problema, vamos a decir cuando una matriz es no singular. Una matriz es no singular si el valor de su determinante es diferente de cero. Sea



una matriz fundamental para el sistema homogéneo

 = ~24,     =   ~25  = ~26 ′ =   ′~27





donde las entradas de pueden ser cualesquiera funciones continuas de . Como una solución general de (6) viene dada por , siendo un vector constante , buscamos una solución particular para el sistema no homogéneo

×1

de la forma

Aplicando la regla de la derivada de un producto a (26) tenemos:

Al derivar (26) es necesario mantener el orden de los factores, porque son matrices y en el producto de las matrices no se cumple siempre la ley conmutativa. Sustituyendo (26) y (27) en (25) obtenemos

Como

   =   ~28         = ′  ~29  = ~30     − −′ = − ~31 ′ = 1 ~32  =  1 ~33 satisface a (24), la ec. (28) se transforma en:

De ahí,

Multiplicamos por

ambos lados de (30):

Pues nos queda:

Integramos a (32), entonces



Como

 =    =  ∫ 1 ~34  =    1 ~35. , concluimos que

.

Ya que hemos calculado la solución complementaria y la particular, podemos escribir la solución general de (25):

Como advertimos cuando estudiábamos el método de variación de parámetros para ecuaciones lineales no homogéneas, que al realizar la integral en (33) no era necesario usar la constante de integración. Ejemplo. Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

dado.

 = 21 424ln−~36  = 21 42~37 21 4210 01 = 00~38 2 1 24 = 00~39 2 1 24 = 0~40  = 0~41  = 0,  = 0  = 0.  21 42 = 00~42

Primero encontramos la solución de la ecuación homogénea asociada a (36).

Buscamos los valores propios y vectores propios correspondientes a (37).

Realizando la operación indicada en (38):

Calculamos el determinante de (39) y obtenemos la ecuación característica.

El valor del determinante da como resultado la ecuación:

Buscamos los ceros de la ecuación (41, que son los valores propios del sistema:

Los valores propios son repetidos.

Calculamos el primer vector propio, el correspondiente a

Desarrollamos a (42):



2  24 = =00  ~43

Ahora buscamos la solución de (43) para obtener el valor propio asociado.

 = 2.

De la segunda ecuación de (4) obtenemos que: Hemos calculamos el primer vector propio:

 = 2  = 1, si

entonces

 = 21~44 21 42 = 21~45 2  24= =12  ~46  = =11~47  = 0.

Nos corresponde hallar el segundo vector propio.

Es importante recordar que (45) no fue igualado a cero, porque los valores propios eran repetidos y la matriz no es simétrica.

Desarrollamos a (45) y luego determinamos los valores de las variables.

De la solución de (46) se tiene que:

0

Usando a (44) y (47) podemos formar la solución de la ecuación homogénea asociada.

 =  21  21 10 ~48  = 21 2 1 ~49

La matriz fundamental del sistema es:

Para poder encontrar la solución particular es necesario saber si la matriz fundamental del sistema admite inversa. Para eso solo tenemos que determinar si el determinante de (49) es diferente de cero.

|| = 21 2  1 = 1, − = 1 22 1 ~50

como el valor del determinante es -1, la matriz fundamental admite inversa y es:


Unidad 5. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

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