Teoría de sistemas de Ecuaciones No lineales • La forma general de un sistema de ecuaciones no lineales es: f1(x1, x2 x3, …, xn) = 0 f2(x1, x2 x3, …, xn) = 0 f3(x1, x2 x3, …, xn) = 0 .................................... fn(x1, x2 x3, …, xn) = 0 Definiendo una función F F(x1, x2 x3, …, xn) = [f1(x1, x2 x3, …, xn),f2(x1, x2 x3, …, xn), f3(x1, x2 x3, …, xn) , fn(x1, x2 x3, …, xn)] Usando una notacion vectorial para representar las variables X1,X2,…,Xn ). El sistema puede representarse por F(x)=0 La solución a este sistema es el vector X=[x1, x2 x3, …, xn] que hace que simultaneamente todas las ecuaciones sean igual a 0.
Teoría de sistemas de Ecuaciones No lineales Métodos de Solución : • Método de Iteración de Punto Fijo para sistemas de ecuaciones no lineales (Método de punto fijo multivariable). • Método de Newton para sistemas de ecuaciones no lineales.
Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales Anteriormente se desarrollo el método de iteración de punto fijo para resolver la ecuación f(x)=0 transformando esta ecuación en una ecuación de la forma x= g(x), usando el criterio de convergencia |g’(x)|<1 en el intervalo [x1,x2] donde g(x) pertenece [x1,x2] para x que pertenece a [x1,x2]
Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales Para el caso de un conjunto de ecuaciones No lineales utilizaremos un procedimiento similar extendiéndolo a todas las ecuaciones, usando un criterio de convergencia: Una condición suficiente aunque no necesaria, para asegurar la convergencia es que
g1 g 2 g1 g 2 | | | | M 1; | | | | M 1; x1 x1 x2 x2 Para todos los puntos (x1,x2) de la región del plano que contiene todos los valores (x1k, x2k ) y la raíz buscada.
Método de Iteración de Punto fijo para sistemas de Ecuaciones no Lineales Ejemplo 1 Encuentre una solución del sistema de ecuaciones no lineales
f 1( x1, x 2) x12 10 x1 x 2 2 8 0 2 f 2( x1, x 2) x1 x 2 x1 10 x 2 8 0 Solución Con el despeje de X1 del termino (-10X1) en la primera ecuación y de X2 del termino de (-10X2) en la segunda ecuación resulta.
X1=(X12+X22 + 8 )/ 10 X2=(X1X22+X1 + 8 ) / 10
Por medio de Iteración por desplazamientos simultáneos
x1k+1 = g1(x1k , x2k ) x2k+1 = g2(x1k , x2k ) Con los valores iniciales x10 = 0, x20 = 0 se inicia proceso Primera iteración X11=(02+02 + 8 )/ 10 = 0.8 X21=(0(0)2 + 0 + 8 ) / 10 = 0.8
el
Segunda iteración X12=((0.8)2+(0.8)2 + 8)/ 10 = 0.928 X22=(0.8(0.8)2 + 0.8 + 8 ) / 10 = 0.9312
Al continuar el proceso iterativo, se encuentra la siguiente sucesión de valores k X1k
X2k
0
0.00000
0.00000
1
0.80000
0.80000
2
0.92800
0.93120
k X1k
X2k
3
0.97283
0.97327
4
0.98937
0.98944
5
0.99578
0.99579
6
0.99832
0.99832
7
0.99933
0.99933
8
0.99973
0.99973
9
0.99989
0.99989
10
0.99996
0.99996
11
0.99998
0.99998
12
0.99999
0.99999
13
1.00000
1.00000
• Cualquiera que sea el sistema que se va a resolver con este método, puede aumentarse la velocidad de convergencia usando desplazamientos sucesivos en lugar de los desplazamientos simultáneos es decir se itera mediante x1k+1 = g1(x1k , x2k ) x2k+1 = g2(x1k+1 , x2k ) Como en el caso lineal (jacobi y Gauss-Seidel), si la iteración por desplazamientos simultáneos diverge generalmente el metodo por desplazamientos sucesivos divergiría mas rápido; es decir se detecta mas rapido la divergencia, por lo que se recomienda en general el uso de desplazamientos sucesivos en lugar de desplazamientos simultáneos .
• Resuelva el sistema del ejemplo anterior utilizando el metodo de punto fijo para sistemas no lineales con desplazamientos sucesivos. f 1( x1, x 2) x12 10 x1 x 2 2 8 0 2 f 2( x1, x 2) x1 x 2 x1 10 x 2 8 0
Resolución del sistema de ecuaciones no lineales Utilizando Newton-Raphson. Este cálculo se basa en la expansión de la serie de Taylor de primer orden y con ella se obtiene la ecuación para este método.
f ( xi 1 ) f ( xi ) ( xi 1 xi ) f ' ( xi )
f ( xi ) xi 1 xi ' f ( xi )
La serie de Taylor de primer orden para el caso de dos variables u y v.
ui ui ui 1 ui ( xi 1 xi ) ( yi 1 yi ) x y vi vi vi 1 vi ( xi 1 xi ) ( yi 1 yi ) x y
Se busca que.
ui u ( yi 1 yi ) i x y vi vi 0 vi ( xi 1 xi ) ( yi 1 yi ) x y 0 ui ( xi 1 xi )
ui ui ui dx dy x y v v vi dx i dy i x y
ui x vi x
dx ( xi 1 xi ) dy ( yi 1 yi )
ui y dx ui vi v dy i y
J(x)
=
f1,i f1,i x1 x2
..........
f 2,i f 2,i x1 x2
..........
f1,i xn f 2,i xn
.....................................................
f n ,i f n ,i x1 x2
..........
f n ,i xn
u ( x, y ) x 2 xy 10 0 v( x, y ) y 3xy 2 57 0
Solución.
u0 x u0 y v0 x v0 y
2x y x 3y2 1 6 xy
x dx ( x 2 xy 10) 2 x y 3y2 2 1 6 xy dy ( y 3xy 57)
