Tarea 1 - Error y Ecuaciones no Lineales. CURSO 100401_68
Rafael Monroy, cc 1072650988 Lenin Saiz Elsa Yaneth González Wilfredo Arnulfo Fernández Angela Roció silva Alvarado 1.049.628.084
Actividad Grupal
METODOS NUMERICOS
FRANCISCO JAVIER CASTELLANOS
Universidad Nacional y Abierta a Distancia Facultad de ingenierías Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería - ECBTI Programa: Ingeniería de Sistemas CEAD-Tunja 2019
ACTIVIDAD INDIVIDUAL FASE 1 DIGITO TERMINADO EN 4.
Función: Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [-5.0, 3.0] y grafique la func ión en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.5 o menor, que le permita observar adecuadamente los cambios de signo). Determine los subintervalos en donde posiblemente se encuentran las raíces. Solución
= =
x
f(x)
-5 -5.0
-4.5
-3.033 -3.0337 7 -0.8000 -0.8000
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
0.9267 0.9267
2.1443 2.1443
2.8506 2.8506
3.0448 3.0448
2.7293 2.7293
1.9153 1.9153
0.6321 0.6321
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
-1.053 -1.0533 3 -3.000 -3.0000 0 -4.9256 -4.9256 -6.2817 -6.2817 -6.027 -6.0275 5 -2.221 -2.2219 9
2.5
3.0
8.7062 8.7062 33.256 33.2566 6
40 35 30 25 20 ) x ( f
15 10 5 0 -5.0
-4.5
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
-5 -10
x
De acuerdo a la anterior gráfica, las posibles raíces de la función se encuentran en los siguientes subintervalos de x: [-4.0 a -4.5] [-0.5 a -1.0] [2.0 a 2.5]
Ejercicio 2. Seleccione un intervalo de los encontrados (especifique claramente cuál) y para cada uno de los siguientes métodos realice (k+5) iteraciones:
Bisección Regula Falsi (En algunos textos se encuentra también como Falsa Posición o Regla Falsa) Punto Fijo (Determine un esquema que cumpla con el Teorema de Punto Fijo. Debe demostrarlo, no solo copiarlo) Newton – Raphson Secante
Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe con tener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, ( ), y el error relativo, (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de ( ) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos. Solución El intervalo seleccionado es el [2.0 a 2.5] Método de bisección. Se emplea para aplicar este método la siguiente expresión matemática
= Iteración 1 = 2.5 = 2.0 = +. = 2.25 2.25 = .. . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 2
= 2.25 = 2.0 = +. = 2.125 2.125 = .. . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 3
= 2.25 = 2.125 = .+. = 2.1875 2.1875 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 4
= 2.1875 = 2.125
= .+. = 2.1563 2.1563 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 5
= 2.1563 = 2.125 = .+. = 2.1407 2.1407 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 6
= 2.1563 = 2.1407 = .+. = 2.1485 2.1485 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 7
= 2.1485 = 2.1407 = .+. = 2.1446 2.1446 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 8
= 2.1485 = 2.1446 = .+. = 2.1466 2.1466 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 9
= 2.1466 = 2.1446 = .+. = 2.1456 2.1456 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 10
= 2.1456 = 2.1446 = .+. = 2.1451
2.1451 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 11
= 2.1456 = 2.1451 = .+. = 2.1454 2.1454 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 12
= 2.1454 = 2.1451 = .+. = 2.1453 2.1453 = . . . ∗ . = . Como es >0, se remplaza el valor de con el de Iteración 13
= 2.1453 = 2.1451 = .+. = 2.1452 2.1452 = . . . ∗ . = . Como es ≈ 0, se finaliza con las iteraciones y se asume que el valor de la raíz para la función es 2.1452.
Error absoluto = | Valor verdadero – valor aproximado | Error relativo= i
xI
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 2 2.125 2.125 2.125 2.1407 2.1407 2.1446 2.1446 2.1446 2.1451 2.1451 2.1451
| |*100 xD
xm
f(xm)
2.5 2.25 2.25 2.1875 2.1563 2.1563 2.1485 2.1485 2.1466 2.1456 2.1456 2.1454 2.1453
2.25 2.125 2.1875 2.1563 2.1407 2.1485 2.1446 2.1466 2.1456 2.1451 2.1454 2.1453 2.1452
2.0349 -0.3482 0.7743 0.1974 -0.0786 0.0584 -0.0104 0.0248 0.0072 -0.0016 0.0037 0.0019 0.0002
Error absoluto 0.1048 0.0202 0.0423 0.0111 0.0045 0.0033 0.0006 0.0014 0.0004 0.0001 0.0002 0.0001 0.0000
Error relativo (%) 4.8853 0.9416 1.9718 0.5174 0.2098 0.1538 0.0280 0.0653 0.0186 0.0047 0.0093 0.0047 0.0000
Método de regla falsa. El intervalo seleccionado es el [2.0 a 2.5] Se emplea para aplicar este método la siguiente expresión matemática
= Iteración 1 = 2.5 = 2.0 = . . . ∗ . = . = ∗ = . .−∗. = 2.5 .−−. = 2.1011 2.1011 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 2
= 2.5 = 2.1011 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . = 2.5 .−.∗. .−−. = 2.1323 2.1323 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 3
= 2.5 = 2.1323 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . .−. ∗. = 2.1415 = 2.5 .−−. 2.1415 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 4
= 2.5 = 2.1415 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . .−. ∗. = 2.1441 = 2.5 .−−. 2.1441 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de
Iteración 5
= 2.5 = 2.1441 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . = 2.5 .−.∗. .−−. = 2.1449 2.1449 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 6
= 2.5 = 2.1449 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . .−. ∗. = 2.1451 = 2.5 .−−. 2.1451 = . . . ∗ . = . Como es <0, se remplaza el valor de con el de Iteración 7
= 2.5 = 2.1451 = . . . ∗ . = . = . . . ∗ . = . .−. ∗. = 2.1452 = 2.5 .−−. 2.1452 = . . . ∗ . = . Como es ≈ 0, se termina las iteraciones y se asume que el valor de la raíz para la función es 2.1452. Error absoluto = | Valor verdadero – valor aproximado | Error relativo= i
xI
1 2 3 4 5 6 7
2 2.1011 2.1323 2.1415 2.1441 2.1449 2.1451
*100 | | xD
xm
f(xm)
2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5
2.1011 2.1323 2.1415 2.1441 2.1449 2.1451 2.1452
-0.7433 -0.2239 -0.0647 -0.0192 -0.0051 -0.0016 -0.0002
Método de punto fijo.
Error absoluto 0.0441 0.0129 0.0037 0.0011 0.0003 0.0001 0.0000
Error relativo (%) 2.0558 0.6013 0.1725 0.0513 0.0140 0.0047 0.0000
Para este método, se sabe que se está próximo a la raíz cuando las últimas iteraciones se acercan a un valor específico. En primer lugar se despeja x
= = = = 3 Iteración 1 = 2 = −− = 7.7110 Iteración 2
= .−.− = 0.0014 Iteración 3
= .−.− = 0.7500 Iteración 4
= .−−.− = 0.7941 Iteración 5
= .−−.− = 0.7992 Iteración 6
= .−−.− = 0.7998 Iteración 7
= .−−.− = 0.7998
Con el despeje realizado y aplicando el método del punto fijo, se observa que no se encontró la raíz correspondiente al subintervalo seleccionado sino se dio la convergencia hacia otro de los subintervalos, ya que esta función tiene 3 raíces de acuerdo a la gráfica. A continuación se completa la tabla para la raíz que convergió, que en este caso fue -0.7998. Error absoluto = | Valor verdadero – valor aproximado | Error relativo= i 1 2 3 4 5 6 7
*100 | | xi 2.000 7.7110 0.0014 -0.7500 -0.7941 -0.7992 -0.7998
F(xi) 7.7110 0.0014 -0.7500 -0.7941 -0.7992 -0.7998 -0.7998
Error absoluto 8.5108 0.8012 0.0498 0.0057 0.0006 0.0000 0.0000
Método de Newton-Raphson. Se emplea para este método la siguiente expresión:
Error relativo (%) 1064.12 100.18 6.23 0.71 0.08 0.00 0.00
′ = = Iteración 1 = 2 − −∗− 2.1687 = 2 + −∗− = →
Iteración 2
.
−. −∗.− = 2.1687 . +..−∗.− = 2.1457 Iteración 3
= 2.1457
. .−. −∗.− +..−∗.− = 2.1452
Iteración 4
.
−. −∗.− = 2.1452 . +..−∗.− = 2.1452
Con la cuarta iteración se observa que el valor converge a 2.1452, por lo tanto , esta es la raíz que se encuentra en el subintervalo seleccionado. Error absoluto = | Valor verdadero – valor aproximado | Error relativo= i
xi
1 2 3 4
2 2.1687 2.1457 2.1452
*100 | | xi+1
xi+1 - xi
Error absoluto
2.1687 2.1457 2.1452 2.1452
0.1687 0.0230 0.0005 0.0000
0.1452 0.0005 0.0000 0.0000
Método de Secante. Se emplea para este método la siguiente expresión:
= Para xi-1 se toma 2.0 Para xi se toma 2.5 Iteración 1
.
−. −∗.− = 2.5 (..−.. . −. −∗.−)− − −∗− = 2.1017 Iteración 2 Para xi-1 se toma 2.5
Error relativo (%) 6.77 0.02 0.00 0.00
Para xi se toma 2.1017
.
.
.−.. −. −∗.− = 2.1017 (. . −.. −∗.−)−.. −.−∗.− = 2.1327 Iteración 3 Para xi-1 se toma 2.1017 Para xi se toma 2.1327
.
.
.
.
.
.
.−.. −. −∗.− = 2.1327 (.. . . −. −∗.−)−. −..−∗.− = 2.1457 Iteración 4 Para xi-1 se toma 2.1327 Para xi se toma 2.1457
−. −∗.− = 2.1457 (...−.. . . −. −∗.−)−. −..−∗.− = 2.1452 Iteración 5 Para xi-1 se toma 2.1457 Para xi se toma 2.1452
−. −∗.− = 2.1452 (...−.. . . −. −∗.−)−. −..−∗.− = 2.1452 Se observa que el resultado en esta iteración fue el mismo obtenido en la iteración 4, por lo tanto, se llegó al valor de la raíz para ese subintervalo, el cual fue de 2.1452. Error absoluto = | Valor verdadero – valor aproximado | Error relativo= i
xi-1
*100 | | xi
xi+1
xi+1 - xi
Error absoluto 0.0435 0.0125 0.0005 0.0000 0.0000
Error relativo (%) 2.0278 0.5827 0.0233 0.0000 0.0000
1 2 2.5 2.1017 0.3983 2 2.5 2.1017 2.1327 0.031 3 2.1017 2.1327 2.1457 0.013 4 2.1327 2.1457 2.1452 0.0005 5 2.1457 2.1452 2.1452 0.0000 Ejercicio 3. Para todos los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs (%) que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones. (Ayuda: Haga la gráfica x vs log(y) para tener una mejor visualización de los resultados). Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apo yado en la teoría, cuál método alcanza un menor error dada la cantidad de iteraciones especificada. ¿Cuál es su conclusión?
Solución
Métodos solución ecuaciones no lineales 10000
1000
100 O V I T A L E R R O R R E
10
1
0.1
0.01
0.001 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
NÚMERO DE ITERACIONES
Bisección
Regla falsa
Punto fijo
Newton-Raphson
Secante
Fuente: Elaboración propia De los métodos aplicados, el de Newton-Raphson fue el que menos error dio según el número de iteraciones aplicadas. El método de la bisección es el más simple porque se basa en acercarse a la raíz de la función a través de promedios pero es el que más iteraciones requirió. Para este ejercicio el método del punto fijo no funcionó para el intervalo especificado, encontró una raíz pero en otro intervalo, lo cual a primera vista no lo hace confiable si desea buscar una raíz usando solo ese método.
Rafael Monroy 1.072.650.988
= 5 1 3 = 0
Ejercicio 1.
Realice una tabla en el intervalo [-7.0, 3.0] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.5 o menor, que le permita observar adecuadamente los cambios de signo). Determine los subintervalos en donde p osiblemente se encuentran las raíces.
Primero realizamos las gráficas teniendo en cuenta la tabla con un paso de 0.3 X
Y -7.00
39.12
-6.60
19.05
-6.20
4.60
-5.80
-3.26
-5.40
-4.99
-5.00
-2.04
-4.60
3.54
-4.20
9.67
-3.80
14.65
-3.40
17.44
-3.00
17.73
-2.60
15.87
-2.20
12.59
-1.80
8.76
-1.40
5.10
-1.00
2.05
-0.60
-0.32
-0.20
-2.18
0.20
-3.78
0.60
-5.24
1.00
-6.28
1.40
-6.13
1.80
-3.37
2.20
4.10
2.60
19.20
3.00
46.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
-8.00
-6.00
-4.00
-2.00
0.00 0.00
2.00
4.00
-10.00
Intervalos donde se pueden encontrar las raíces son:
Ejercicio 2.
Seleccione un intervalo de los encontrados (especifique claramente cuál) y para cada uno de los siguientes métodos realice (k+5 ) iteraciones: Bisección Regula Falsi (En algunos textos se encuentra también como Falsa Posición o Regla Falsa) Punto Fijo (Determine un esquema que cumpla con el Teorema de Punto Fijo. Debe demostrarlo, no solo copiarlo) Newton – Raphson Secante
Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i , valor aproximado de la raíz en esa iteración, , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración , . , y el error relativo, Note que, si el método converge, en cada iteración, i , el valor de se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos.
%
Según el método de bisección en el intervalo [-6-60, -5.40] la raíz se corta en el punto -3,82 con un error de 0.
Ejercicio 3.
Para todos los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones.
%
(Ayuda: Haga la gráfica x vs log(y) para tener una mejor visualización de los resultados). Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método alcanza un menor error dada la cantidad de iteraciones especificada. ¿Cuál es su conclusión?
Chart Title 0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 Error
10
11
Criterio
12
13
14
15
16
17
18
19
20
CONCLUSIONES
los métodos aplicados en estos ejercicios funcionan para hallar raíces, algunos convergen más rápido que otros, otros requieren muchas iteraciones o busca raíces en intervalos no especificados, pero para tener mayor seguridad en los resultados, es conveniente usar varios métodos para la solución de un problema para tener la certeza de tener una respuesta correcta.
BIBLIOGRAFÍA
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