Métodos Numéricos para Resolver Ecuaciones No Lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA UNIDAD CURRICULAR: CÁLCULO NUMÉRICO

UNIDAD TEMÁTICA I: SOLUCIÓN DE ECUACIONES Aplicarr los diferente diferentess métodos métodos de resoluc resolución ión de ecuaci ecuacione oness no lineal lineales es y OBJETIVO DIDACTICO: Aplica sistemas de ecuaciones lineales, a problemas matemáticos estableciendo errores que se cometen en cada aproximación

I.2.- MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER ECUACIONES NO LINEALES OBJETIVO DIDACTICO: Resolver problemas mediante la determinación de las raíces de ecuaciones algebraicas no lineales. Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, es decir el valor (o valores) de x tal que f(x) = 0, pero ninguno es general; es decir, no hay un algoritmo que funcione con todas las ecuaciones, ya que cada uno de ellos tiene sus propias limitaciones o defectos, por lo que se hace necesario el estudio de los pros y los contras de cada método. Todos estos métodos son iterativos, y se pueden usar para ecuaciones que contienen una o muchas variables, entre ellos están:

A. MÉTODOS DE INTERVALOS:

Método Gráfico  Método de Bisección  Método de Regla Falsa. Solo estudiaremos el Método de Bisección

B. MÉTODOS ABIERTOS:

Método de Newton – Raphson  Método de la Secante.  Método de Newton – Raphson Modificado, para el caso de raíces múltiples. Solo estudiaremos el Método de Newton – Raphson y el Método de la Secante





MÉTODO DE BISECCIÓN Suponga que f(x) es una función continua sobre el intervalo [a,b] tal que f(a).f(b)< 0 (es decir, f(x) cambia de signo) entonces tiene una raíz o cero sobre este intervalo. El método de Bisección consiste en dividir repetidamente el intervalo [a,b] manteniendo la mitad donde f(x) cambia de signo, y así sucesivamente hasta alcanzar una buena aproximación de la raíz.

ALGORITMO: Dado un intervalo [a, b] y un error de tolerancia ε >0, se sigue el siguiente algoritmo: Si no se conoce el intervalo, defina [a,b] donde se presuma la existencia de la raíz 2. Genere una Tabla Tabla con con los siguientes siguientes datos: 1.

3.

1

Defina: c =

ab 2

Licda. ALEXANDRA NOGUERA, MSc – Departamento de Física y Matemática UNEFM 2010

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 x ∣≤ε ), en Si  b −c ≤ ε , pare el método y acepte c como raíz (Se puede evaluar también ∣ f caso contrario, haga la siguiente evaluación: si f(c).f(b) <0 entonces haga a=c y mantenga el valor f(c).f(b) >0 haga b=c y mantenga el valor de a. Continúe de b (en la siguiente iteración), pero si f(c).f(b) llenando la tabla y estudiando la condición para parar el método.

Observación: Para ver cuántas iteraciones son necesarias utilizando el método de la Bisección se usa: ln

n≥

[ ] b− a ε

ln 2

Esta fórmula para el número de iteraciones solamente se puede utilizar en el método de Bisección.

Ejemplo: Encuentre la raíz de f(x) = cos(x) + x + 1 en el intervalo [-2,-1], aplicando el Método de Bisección. Esto es, encontrar un valor de c tal que ∣ f  c ∣≤ ε =0,01 . Solución: Determinando el número de iteraciones, se tiene: ln

n≥

[ ] [ b− a ε

ln 2

ln

=

− 1 2

ln 2

0.01

]

≃ 6.64 ≈ 7

iteraciones

Luego la raíz de la ecuación dada es c = -1.289 con una aproximación menor que

ε

.

MÉTODO DE NEWTON / RAPHSON Este método se deduce a partir de la interpretación geométrica de la derivada, se tiene que la primera  x 0− 0  f deriv derivad ada a en x es equi equiva vale lent nte e a la pend pendie ient nte: e: f  x 0 = , que que se reor reorde dena na para para obte obtener ner:: x 0− x 1 f  x0 x 1 = x 0− de manera general, la fórmula del Método de Newton-Raphson viene expresada de la f  x 0  siguiente forma:

2



x n1 = x n−

f  xn f  x n 

El método de Newton – Raphson encuentra la pendiente (la recta tangente) de la función en un punto cualquiera cualquiera (preferiblemente (preferiblemente cercano cercano a la raíz) y utiliza utiliza el cero de la recta tangente tangente como el siguiente siguiente punto de referencia, el proceso se repite hasta llegar a la aproximación de la raíz deseada. ALGORITMO: 1. Defina xn 2. Genere una tabla de datos 3. Calcule f`(xn)  x n1 ≤ε , acepte xn+1 como la raíz aproximada y pare el método, de lo contrario, en la 4. Si f siguiente iteración haga xn=xn+1 y continúe el llenado de la tabla hasta que se cumpla la condición f  x n1 ≤ε

Ejemplo: Encuentre Encuentre la raíz de f(x) = cos(x) + x + 1 en el intervalo intervalo [-2,-1], aplicando el Método de Newton-Raphson. Newton-Raphson. Esto es, encontrar un valor de c tal que ∣ f  c ∣≤ ε =0,01 . Solución: Sean x n = -1.5 (punto medio del intervalo conocido)

Por lo tanto, se asume c= -1,2851 como la raíz buscada

MÉTODO DE LA SECANTE El método de la secante consiste en aproximar la raíz de la función f(x) con el cero de una recta secante trazada entre dos puntos sobre la gráfica de f(x) y el proceso proceso se repite hasta que la raíz es encontrada. encontrada. Se pueden presentar dos casos:

C aso ( 1 )

C aso (2 )

ALGORITMO: 1. Si no se conoce el intervalo, defina [a,b] donde se presuma la existencia de la raíz 2. Genere una tabla de datos

3







b− a f b  b − f  a f

3.

Tome en cuenta que c =

4.

 c ≤ ε , acepte c como la raíz aproximada y pare el método, de lo contrario, haga la siguiente Si f evaluación: si f(c).f(b) <0 entonces haga a=c y a=b (en la siguiente iteración), pero si f(c).f(b) >0 haga b=c y y b=a. Continúe llenando la tabla y estudiando la condición para parar el método.

Ejemplo: Encuentre la raíz de f(x) = cos(x) + x + 1 en el intervalo [-2,-1], aplicando el Método de la Secante. Esto es, encontrar un valor de c tal que ∣ f  c ∣≤ ε =0,01 . Solución:

Por lo tanto, se asume c= -1,2836 como la raíz buscada

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Resuelva los ejercicios propuestos que se encuentran en la página 7, haciendo uso de los Métodos: Tome Tome en consid considerac eración ión los interva intervalos los de Bisección, Bisección, Regla Regla Falsa, Newton-Ra Newton-Rahpson hpson y y Secante. Secante. −5 presunción de existencia de raíz encontrados en el Método Gráfico. Considere ∣ f  x ∣≤ε =5x10 para

detener cada uno de los métodos. Al finalizar, establezca conclusiones en cuanto a la consecución de dicha raíz y de la convergencia de los métodos empleados. 2.- Haga uso del Graficador de Funciones de Windows trabajo manual realizado en los ejercicios propuestos.

4

Fw27.

o algún otro graficador para comparar el


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