METODOS NUMERICOS 100401
Tarea 1 Error y Ecuaciones no Lineales
Presentado a: CARLOS ALBERTO ALVAREZ
Entregado por: Herick Gerardo Pérez Código: 1049621794
UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA FEBRERO 2019 BOGOTA
Índice Introduccion ................................................ ...................................................................................................... .......................................................................... .................... 2 Actividad ............................................................................................................................... 6 Desarrollo de actividad ........................................................................................................ 6 Resolucion de preguntas ...................................................................................................... 6 Evidencia instalacion inst alacion ..................................................... ......................................................................................................... ....................................................... ... 6 Conclusiones ................................................ ............................................................................ ............................ Error! Bookmark not defined. Bibliografia .................................................. ............................................................................ .......................... Error! Bookmark not defined.0
1
Introducción El presente trabajo se desarrolla a partir de la necesidad de conocer sobre los diferentes métodos numéricos que pueden usarse para hallarse una raíz y aprender los conceptos básicos y procesos prácticos para resolver diferentes sistemas de ecuaciones, obteniendo no solamente el resultado, sino el porcentaje de error del mismo, todo esto logrado a partir de los contenidos del entorno de conocimiento y las explicaciones de la webconfernce con el fin de abstraer los conocimientos para la solución de ejercicios del entorno entorno colaborativo.
2
Actividad Para estudiantes cuyo documento de identidad termine en los dígitos, k: 1, 4 o 7 Dada la siguiente función
( ( ) = − − 5 − 3 = 0
Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [-5.0, 3.0] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.5 o menor, que le permita observar adecuadamente los cambios de signo). Determine los subintervalos en donde posiblemente se encu entran las raíces.
Ejercicio 2. Seleccione un intervalo de los encontrados (especifique claramente cuál) y para cada uno de los siguientes métodos realice (k+5) iteraciones: a) Bisección b) Regula Falsi (En algunos textos se encuentra también como Falsa Posición o Regla Falsa) c) Punto Fijo (Determine un esquema que cumpla con el Teorema de Punto Fijo. Debe demostrarlo, no solo copiarlo) d) Newton – Raphson Raphson e) Secante Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, (), y el error relativo, (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de () se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos.
3
Desarrollo de actividad Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [-5.0, 3.0] y grafique la función en ese intervalo x
F(x) -5
-3,033689735
-4,5
-0,799990484
-4
0,926737444
-3,5
2,144309158
-3
2,850638795
-2,5
3,044787503
-2
2,729329434
-1,5
1,91530476
-1
0,632120559
-0,5
-1,05326533
0
-3
0,5
-4,925639365
1
-6,281718172
1,5
-6,027466394
2
-2,221887802
2,5
8,706234902
3
33,25661077
F(X) 40.0000 35.0000 30.0000 25.0000 20.0000 15.0000 10.0000 5.0000 0.0000 -6
-5
-4
-3
-2
-1
-5.0000
-10.0000
4
0
1
2
3
4
Ejercicio 2. a) Regla bisección Se aplica la siguiente fórmula para hallar la raíz en los valores [-1.5,-0,25]
xr =
( (a) + () 2
Se remplazan los valores y se obtiene iter
a
b
Xr
F(Xr)
F(Xa)
F(a) *F(Xr)
1
-1,5000
-0,2500
-0,8750
1,9153
0,2446
0,4685
2
-0,8750
-0,2500
-0,5625
0,2446
-0,8244
-0,2017
55,5556
3
-0,8750
-0,5625
-0,7188
0,2446
-0,2731
-0,0668
21,7391
4
-0,8750
-0,7188
-0,7969
0,2446
-0,0098
-0,0024
9,8039
5
-0,8750
-0,7969
-0,8359
0,2446
0,1185
0,0290
4,6729
6
-0,8359
-0,7969
-0,8164
0,1185
0,0546
0,0065
2,3923
5
% Ea
7
-0,8164
-0,7969
-0,8066
0,0546
0,0225
0,0012
1,2107
8
-0,8066
-0,7969
-0,8018
0,0225
0,0064
0,0001
0,6090
9
-0,8018
-0,7969
-0,7993
0,0064
-0,0017
0,0000
0,3054
10
-0,8018
-0,7993
-0,8005
0,0064
0,0023
0,0000
0,1525
11
-0,8005
-0,7993
-0,7999
0,0023
0,0003
0,0000
0,0763
12
-0,7999
-0,7993
-0,7996
0,0003
-0,0007
0,0000
0,0382
13
-0,7999
-0,7996
-0,7998
0,0003
-0,0002
0,0000
0,0191
14
-0,7999
-0,7998
-0,7999
0,0003
0,0000
0,0000
0,0095
15
-0,7999
-0,7998
-0,7998
0,0000
-0,0001
0,0000
0,0048
16
-0,7999
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0024
17
-0,7999
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0012
18
-0,7998
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0006
19
-0,7998
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0003
20
-0,7998
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
21
-0,7998
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
22
-0,7998
-0,7998
-0,7998
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Con la tabla anterior se infiere que según el error porcentual la raíz en el intervalo [-1.5,0,25], es aproximadamente -0,7998 b) Método Regla Falsa Se aplica la siguiente fórmula para hallar la raíz en los valores de las iteraciones en el intervalo [-1, -0.95]
xr = b −
f (b)( − ) f (b) − f (a)
Se remplazan los valores y se obtiene Proceso en Excel i te r
a
b
f(a)
f(b)
Xr
f(Xr)
F(a) *F(Xr)
% error
1
-1
- 0,9500
0,632121
0, 4801
- 0,7921
- 0,0257
- 0,0162
2
- 1, 0000
- 0,7921
0,632121
- 0, 0257
- 0,8002
0,0012
0,0008
1,0136
3
- 1, 0000
- 0,8002
0,632121
0, 0012
- 0,7998
- 0,0001
0,0000
0,0488
4
- 0, 7998
- 0,8002
- 0,000059
0, 0012
- 0,7998
0,0000
0,0000
0,0022
5
- 0, 7998
- 0,7998
- 0,000059
0, 0000
- 0,7998
0,0000
0,0000
-
6
- 0, 7998
- 0,7998
- 0,000059
0, 0000
- 0,7998
0,0000
0,0000
-
7
- 0, 7998
- 0,7998
- 0,000059
0, 0000
- 0,7998
0,0000
0,0000
-
c) Punto Fijo La función se puede escribir de la forma g(x) para hallar las iteraciones.
6
Se tiene la siguiente función
( ) = − − 5 − 3 = 0 Se despeja x, para hallar g(x)
− − 5 − 3 = 0 − − 3 = 5 =
− − 3 5
() =
− − 3 5
Se requiere un valor de inicio, para sustituirlo en la función g(x), para por medio de sustituciones del Xi, para obtener la raíz Xi+1 Proceso en Excel Iter
Xi
f(x)
g(X)
Ea(%)
0
-1
0,63212
-0,87358
1
-0,87358
0,24007
-0,82556
-14,47202
2
-0,82556
0,08467
-0,80863
-5,81579
3
-0,80863
0,02904
-0,80282
-2,09425
4
-0,80282
0,00986
-0,80085
-0,72352
5
-0,80085
0,00334
-0,80018
-0,24635
6
-0,80018
0,00113
-0,79995
-0,08346
7
-0,79995
0,00038
-0,79988
-0,02823
8
-0,79988
0,00013
-0,79985
-0,00954
9
-0,79985
0,00004
-0,79984
-0,00322
10
-0,79984
0,00001
-0,79984
-0,00109
11
-0,79984
0,00000
-0,79984
-0,00037
12
-0,79984
0,00000
-0,79984
-0,00012
13
-0,79984
0,00000
-0,79984
-0,00004
14
-0,79984
0,00000
-0,79984
-0,00001
15
-0,79984
0,00000
-0,79984
0,00000
16
-0,79984
0,00000
-0,79984
0,00000
7
Con la tabla anterior se infiere que según el error porcentual si se toma el punto fijo -1, se halla el valor aproximado de la raíz -0,7998
Bibliografía
Exactitud, Precisión y Redondeo, José Pascual (2004)
http://www.educarchile.cl/eduteca/estadistica/exactitud.htm.
Definición de error: error absoluto y relativo., Filósofos ( consultado 2018)
https://sites.google.com/site/khriztn/1-3/1-3-1
Método de bisección para encontrar raíces (Muy básico), cctmexico (junio 2017) https://www.youtube.com/watch?v=m6uahP62olo
Método de la regla falsa (o metodo de la falsa posición) MN, Tensor (junio 2014) https://www.slideshare.net/Tensor/m https://www.slidesh are.net/Tensor/mtodo-de-la-regla-falsa-o-meto todo-de-la-regla-falsa-o-metodo-de-la-falsado-de-la-falsaposicin-mn
Método de Newton Raphson usando excel, ejemplo 1, IQ. Ab (Marzo 2017) https://www.youtube.com/watch?v=fN4xED20LdU
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