2 Solución de Ecuaciones No Lineales

Universidad Nacional Agraria La Molina Maestría en Recursos Hídricos Facultad de Ingeniería Agrícola Departamento de Recursos Hídricos

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA DE RECURSOS HIDRICOS

SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES Ejemplo Nº 1: Aplicando la fórmula de Manning y el Algoritmo de Newton Raphson, determinar el tirante normal “yn”, para el canal de sección trapezoidal con ancho de base es b= 5 m, Talud lateral de la sección z= 1.5, coeficiente de rugosidad n=0.015, Pendiente de fondo So=0. 35 por mil si el canal conduce un gasto de Q= 20 m 3/s. para los cálculos utilizar la Hoja de Cálculo Excel y para verificar usar el programa Hcanales. CALCULO DE TIRANTE NORMAL - SECCION TRAPEZOIDAL TRAPEZOIDAL METODO DE NEWTON - RAPHSON Q= B= Z= N= S= C= L= I T E RA

1 2 3 4

20 5 1.5 0.015 0.00035 4123.46 1.80

3

m /seg m m s/u m /m

y n 1  y n 

f ( y n ) f ' ( y n )

s/u

Y

A

1.75 13.34375 1.82703016 14.1422096 1.8201231 14.0698876 1.82006028 14.0692305

A  (b  z y ) y P  b  2 y

1  z

T  b  2 zy

P

T

F

D

11.31 11.59 11.56 11.56

10.25 10.4810905 10.4603693 10.4601808

-816.06 89.73 0.80

10594.0749 12990.4531 12758.9332 12756.8432

F  2

D

A

5

2

P

A

0.00

 Q n       S 

3

1 2

4

2 PT T  4 A 1 Z ) (5 P 3

P

VERIFICACION CON HCANALES HCANALES

Solución de ecuaciones No Lineales por los métodos de Newton Raphson y Secante Aplicado a la Hidráulica Hidráulica de Canales. Canales.

1



Ejemplo Nº 2: Elaborar un programa en MATLAB utilizando el Diagrama de Flujo del Algoritmo de Newton Rapnson, para el cálculo del tirante normal “yn” en canales de sección trapezoidal. Para comprobar la correcta ejecución del mismo, utilizar los datos, cálculos preliminares y resultados mostrados en la Hoja de Cálculo Excel y en programa Hcanales del Ejemplo de Aplicación Nº 1.

DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL CÁLCULO DEL TIRANTE NORMAL, SECCION TRAPEZOIDAL, POR EL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON INICIO

Tirante Normal Sección Trapezoidal

Leer: Q,B,Z,Y,N,S,Err

C=(Q*N/sqrt(S))^3 L=sqrt(1+Z^2)

A=(B+Z*Y)*Y P=B+2*Y*L T=B+2*Z*Y F=A^5/P^2-C

abs(F)>=Err

V D=(A^4*(5*P*T-4*A*L))/P^3 Y1=Y-F/D Y=Y1

F V=Q/A DH=A/T NF=V/sqrt(9.81*DH) EN=Y+V^2/(9.81*2)

Escriba: Y,V,NF,EN A=(B+Z*Y)*Y P=B+2*Y*L T=B+2*Z*Y F=A^5/P^2-C

FIN

Solución de ecuaciones No Lineales por los métodos de Newton Raphson y Secante Aplicado a la Hidráulica de Canales.

2



Q=20; B=5; Z=1.5; N=0.015; S=0.00035; C=(Q*N/S^0.5)^3; L=sqrt(1+Z^2); Y=1.75; Err=0.001; A=(B+Z*Y)*Y; P=B+2*Y*L; T=B+2*Z*Y; F=A^5/P^2-C; while abs(F)>=Err D=(A^4*(5*P*T-4*A*L))/(P^3); Y=Y-F/D; A=(B+Z*Y)*Y; P=B+2*Y*L; T=B+2*Z*Y; F=A^5/P^2-C; end V=Q/A; DH=A/T; NF=V/sqrt(9.81*DH); EN=Y+V^2/(2*9.81); Y,V,NF,EN

Ejecutando el código en ventana de comandos de MatLab

>> tiranteyn Y = 1.8201 V = 1.4215 NF = 0.3913 EN = 1.9231


3



Ejemplo Nº 3: Elaborar un programa en MATLAB utilizando el Algoritmo de la Secante, para el cálculo del tirante normal “yn” en canales de sección trapezoidal. Para comprobar la correcta ejecución del mismo, utilizar los datos y resultados del Ejemplo de Aplicación Nº 1. CALCULO DE TIRANTE NORMAL - SECCION TRAPEZOIDAL METODO DE LA SECANTE Q= B= Z= N= S= C= L=

20 5 1.5 0.015 0.00035 4123.459 1.803

ITERA

Y0

1 2 3 4 5

1.75 1.7501 1.82702 1.819402 1.820054

3

m /seg m m s/u m /m

y i 1  y i 

f ( y i )( y i 1  y i ) f ( y i 1 )  f ( y i )

s/u Y1

A0

1.7501 13.34375 1.82702 13.34478 1.819402 14.1421 1.820054 14.06234 1.82006 14.06917

P0

A1

P1

F0

F1

11.31 11.31 11.59 11.56 11.56

13.34478 14.1421 14.06234 14.06917 14.06923

11.31 11.59 11.56 11.56 11.56

-816.06 -815.00 89.59 -8.39 -0.08

-815.00 89.59 -8.39 -0.08 0.00

A  (b  z y ) y P  b  2 y

1  z 2

F 

A

5

2

P

T  b  2 zy

 Q n       S 

3

1

2

VERIFICACION CON HCANALES


4



Ejemplo Nº 4 Elaborar un programa en MATLAB utilizando el Algoritmo de la Secante, para el cálculo del tirante normal “yn” en canales de sección trapezoidal. Para comprobar la correcta ejecución del mismo, utilizar los datos, cálculos preliminares y resultados mostrados en la Hoja de Cálculo Excel y en programa Hcanales del Ejemplo de Aplicación Nº 3.

clc;clear Q=20; B=5; Z=1.5; N=0.015; S=0.00035; C=(Q*N/S^0.5)^3; L=sqrt(1+Z^2); Y=1.75;Y2=1.7501; Err=0.001; A=(B+Z*Y)*Y;A2=(B+Z*Y2)*Y2; P=B+2*Y*L;P2=B+2*Y2*L; F=A^5/P^2-C;F2=A2^5/P2^2-C; while abs(F)>=Err Y3=Y2-(F2*(Y-Y2))/(F-F2); Y=Y2;Y2=Y3; A=(B+Z*Y)*Y;A2=(B+Z*Y2)*Y2; P=B+2*Y*L;P2=B+2*Y2*L; F=A^5/P^2-C;F2=A2^5/P2^2-C; end T=B+2*Y*Z; V=Q/A; DH=A/T; NF=V/sqrt(9.81*DH); EN=Y+V^2/(2*9.81); Y,V,NF,EN Ejecutando el código en ventana de comandos de MatLab

>> ynsecante Y = 1.8201 V = 1.4215 NF = 0.3913 EN = 1.9231


5



Ejemplo Nº 5 Un canal rectangular de 2.5 m de ancho, tiene una energía específica 1.5 m, para una descarga de 6.48 m 3/s. Aplicando el método Newton Raphson determinar los tirantes alternos. Elaborar el algoritmo en MATLAB. 2

E  y 

V

2 g

 y 

Q

2 2

2 gA

clear;clc Q=6.48;B=2.5;Z=0; Y=1.0; g=9.81; Err=0.001; A=(B+Z*Y)*Y; T=B+2*Z*Y; F=A^3/T-Q^2/g; while abs(F)>=Err D=3*A^2-2*Z*A^3/T^2; Y=Y-F/D; A=(B+Z*Y)*Y; T=B+2*Z*Y; F=A^3/T-Q^2/g; end V=Q/A; DH=A/T; NF=V/sqrt(9.81*DH); EN=Y+V^2/(2*9.81); Y,V,NF,EN Ejecutando el código en ventana de comandos de MatLab >> tiranteyc Y = 0.8815 V = 2.9406 NF = 1.0000 EN = 1.3222


6



clear;clc; Q=6.48;b=2.5;z=0;g=9.81; E=1.5;y=0.5;Err=0.001; A=(b+z*y)*y; T=b+2*z*y; F=y+Q^2/(2*g*A^2)-E; while abs(F)>=Err D=1-Q^2*T/(g*A^3); y=y-F/D; A=(b+z*y)*y; T=b+2*z*y; F=y+Q^2/(2*g*A^2)-E; end y Ejecutando el código en ventana de comandos de MatLab

>> tirante_alterno y = 0.6258

>> tirante_alterno y = 1.2963

Curva Energía vs Tirante 2.5

clear;clc Q=6.48;b=2.5;z=0;g=9.81;y=1; y=0.4:0.01:2.5; n=length(y); for i=1:n A(i)=(b+z*y(i))*y(i); E(i)=y(i)+Q*Q/(2*g*A(i)*A(i)); end plot(E,y);grid; title('Curva Energía vs Tirante') xlabel('Energía E(m)'); ylabel('Tirante y (m)')

2

) m ( y e t n a r i T

1.5

1

0.5

0

1.4

1.6


1.8

2 2.2 Energía E(m)

2.4

2.6

2.8

7



PROBLEMAS ENCARGADOS

1. Elaborar y probar un programa en MATLAB utilizando el algoritmo de la secante, para el cálculo del tirante normal “yn” en canales de sección circular. Para comprobar la correcta elaboración y ejecución del mismo, utilizar los datos, cálculos preliminares y resultados mostrados a continuación en la tabla realiza en Hoja de Cálculo Excel y en programa Hcanales. CALCULO DE TIRANTE NORMAL - SECCION CIRCULAR METODO DE LA SECANTE

D=

2 2 N = 0.014 S = 0.0004 C= 1.4

Q=

m m3/seg s/u m/m

y i 1  y i 

ITERA

Y0

Y1

1 2 3 4 5 6

0.700000 0.700100 1.327657 1.240328 1.241703 1.241682

0.700100 1.327657 1.240328 1.241703 1.241682

A0

0.9799219 0.9801127 2.2141882 2.0467848 2.049454 1.241682 2.0494128

 

x  2 Arc Cos 1 

A  P

T

1  x  Sen ( x )  8 

1 2



x D

D Sen

(

x

2

)

2 y 



D 

f ( yi )( yi 1  y i ) f ( yi 1 )  f ( yi )

P0

A1

P1

F0

F1

2.5322073 2.532417 3.8092378 3.6270005 3.6298342 3.6297906

0.9801127 2.2141882 2.0467848 2.049454 2.0494128 2.0494128

2.532417 3.8092378 3.6270005 3.6298342 3.6297906 3.6297906

-0.879621 -0.879481 0.1421696 -0.002274 3.56E-05 6.853E-09

-0.879481 0.1421696 -0.002274 3.56E-05 6.853E-09 -2.09E-14

y 

D  x  1  Cos ( )  2  2  5

1 2  8 ( x  Sen( x)) Qn F x   1 2 1 3 S 2 x D  2 

VERIFICACION CON HCANALES


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2 Solución de Ecuaciones No Lineales

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