Capítulo 1: Ecuaciones Lineales y Matrices 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.
Sistemas lineales Matrices Producto entre un escalar y una matriz, multiplicación de matrices Propiedades de las operaciones con matrices matrices Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales La inversa de una matriz.
Una recta en el plano ecuación de la forma
puede representarse algebraicamente por una a1 x a2 y
b
en las variables y .
Una ecuación de este tipo se denomina
De manera más general, una ecuación lineal en las variables , , … , se define como una ecuación que se puede expresar en la forma a1 x1
a2 x2
.... an xn a3 x3
b
Si considera un sistema de la forma a11 x a12 y
b1
a21 x a22 y
b2
1. Sia=byc=d,entoncesa+c=c+d 2. Sia=bycescualquiernumeroreal,entoncesca =cb
2 x 3 y 1 x 5 y 7
los coeficientes de y dos ecuaciones NO son proporcionales
de las
2 x 3 y 1 4 x 6 y 7
Los coeficientes de e de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son
2 x 3 y 1 4 x 6 y 2
Los coeficientes de x e y , y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra
2 x 3 y 1 x 5 y 7
2 x 3 y 1 4 x 6 y 7
Sistema Inconsistente
2 x 3 y 1 4 x 6 y 2
Problemas 1.1 (Pág 6) (Soluciones de sistemas de ecuaciones de 2x2) Nº: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 Graficar las soluciones GROSSMAN STANLEY; Algebra Lineal, Editorial Mc Graw Hill, 7ma Edición México, 2012 ISBN: 9786071507600
De manera más general, un , , … , al que podemos llamar simplemente , es un conjunto de ecuaciones lineales, cada una con incógnitas. Un sistema lineal puede denotarse sin mediante: a11 x1
a12 x2
a1n xn
a21 x1
a22 x2
a2 n xn
am1 x1
am 2 x2
b1
amn xn
b2
bm
Si considera un sistema de la forma + 2 + 3 = 6 2 − 3 + 2 = 14 3 + − = −2
Determinar la solución del sistema x y
2 z 9
2 x 4 y 3 z 1 3 x 6 y 5 z 0
3 + 2 + = 2 4 + 2 + 2 = 8 −+ =4
Una matriz de mx nes un arreglo rectangular de verticales. (renglones) horizontales y
a a A ai am
11
a12
a1 j
21
a22
a2 j
1
ai 2
aij
1
am 2
amj
a1n
an ain amn
números dispuestos en
La
de A es
a
2
i1
ai 2
ain
La
1 i m
de A es ai a i ain 1
2
1 j n
Diremos que A es que A es una
(que se escribe
× ). Si m = n, decimos , y que los números , , … , forman la de A. Nos referimos al número , que está en la i-ésima fila (renglón) y la j-ésima columna de A, como el , de A, o la , de A, y escribe como
= [ ]
Sean
A=
1 −1
2 0
3 1
B=
1 2
4 −3
1 C= −1 2
1 D= 2 3
1 0 −1
0 1 2
E= 3
F= −1 0 2
es una matriz de 2 × 3 con = , = , = y = ; es una matriz de 2 × 2, con = , = , = y = −; es una matriz de 3 × 1, con = , = − y = ; es una matriz de 3 × 3; es una matriz de 1 × 1, es una matriz de 1 × 3. En D, los elementos = , = y = forman la .
Las matrices de 1 x n; o n x 1 de denominan minúscula
Un vector de ncomponentes se define como un conjunto ordenado de nnúmeros escritos de la siguiente manera:
y se denotan con letra
Un es un conjunto ordenado de nnúmeros escritos de la siguiente manera:
x x v x
1 2
u
x
1
, x2 , , x
n
n
2 1 A 6 8 2 8 1 I 0 0
7 4
0
0
1
0
1
1 B 0 0
5
0
Matriz cuadrada
a12
5
Matriz identidad
8
a23
0
1 C a21 a31
a13
0 5
a32
Matriz Triangular Superior
0 Matriz Triangular Inferior 8 0
Una matriz cuadrada A= [ ], en donde cada término diagonal principal es igual a cero, es decir, =0 para ≠ ,es una 3 0 H 0 2 0 0
0
4 0
4
K
0
2 0
de la .
], de n x m, es la Si A= [ ], de m x n, la matriz = [
de A. En consecuencia, las entradas de cada fila de son las enyradas correspondientes en la columna de A 4 2 3 A 0 5 2 6 2 4 B 3 1 2 0 4 3
D
3
5
1
T
A
B
T
D
4 0 2 5 3 2 6 3 2 1 4 2
T
3 5 1
0
3 4
Si las matrices A=(aij) y B=(bij) tienen la misma dimensión, la matriz suma de A+B es ma matriz m x n, dada por: a b a b A B aij bij am bm 11 21
11
a12 b12
a1n b1n
21
a22 b22
a2 n b2 n
1
1
am 2 bm2
EJEMPLO −1 = 4 1
3 0 2
6 = −3 4
4 5 1
= + ?
amn bmn
Ejemplo 1
Ejemplo 2
3 A= 0 7
A=
1 5 0
2 −3 4
−1 B= 2 0
−1
2
4
2
7
6
B=
2 5 1
3
4 8 −2
2 0
0 −3 −1
Encontrar: A+B+C A-B+C
Encontrar: A+ =C A-B=D
C=
5
−1 3
1 1 2
Sea A una matriz de m x n; y si α es un escalar cualquiera, el producto αA está dado por la multiplicación del escalar por cada uno de los elementos de la matriz
a a A a ij am
11 21
1
∝= 5
−1 B= 2 0
2 5 1
a a
12 22
am
4 8 −2
2
a n a n a mn
1
2
−5 B= 10 0
10 25 5
20 40 −10
Sean A y B dos matrices cuyas longitudes son (
y (
respectivamente,
son multiplicables si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda; el tamaño de la matriz resultante del producto está determinado por el número de filas de la primera matriz y el número de columnas de la segunda. #Columnas 1era = #Filas 2da
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
#Columnas 1era = #Filas 2da
Primero con Primero Segundo con Segundo Tercero con Tercero
3 1 0
2 1 2
1
1 3
2 1 3
3 * 2 1* 2 0 * 2
2 *1 1*1 2 *1
1* 3
1* 3 3* 3
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
#Columnas 1era = #Filas 2da
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES = 4 = 0 2
1 2
2 6 1 −1 7
4 0 4 3 3 1 5 2
#Columnas 1era = #Filas 2da
=
1 ∗4 +2 ∗0 +4 ∗2
1 ∗ 1 + 2 ∗ −1 + 4 ∗ 7
1 ∗4 +2 ∗3 +4 ∗5
1 ∗3 +2 ∗1 +4 ∗2
2 ∗4 +6 ∗0 +0 ∗2
2 ∗ 1 + 6 ∗ −1 + 0 ∗ 7
2 ∗4 +6 ∗3 +0 ∗5
2 ∗3 +6 ∗1 +0 ∗2
C=
=
4+8 8
1−2+28 2−6
4+6+20 8+18
3+2+8 6+6
=
12 27 30 13 8 −4 26 12
Ejemplo 2 A= 3 5
0 0 1
1 0 1
= − 1.
1 B= 1 1
=
0 2 1
−
X=(3B*C) - D
2. Z=2Y-5A donde Y=C*B
1 1 0
Encontrar C=A*B
=
= −
−
UN
•
Página 59 - Problemas 2.1: # 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53
(Suma
y resta de matrices) •
Página 80,81 - Problemas 2.2: # 11,13, 25, 29, 31, 34, 35, 36 (multiplicación de matrices)
