Formulario de trigonometría para curso preuniversitarioDescripción completa
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REPASO ESPECIAL SAN MARCOS 2015Descripción completa
LUMBRERAS
Ejemplos de problemas de trigonometria
CICLO ADMISIÓN 2015 – I
FORMULARIO
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Definición: son igualdades en donde intervienen las razones trigonométricas, las cuales se verifican para todo valor admisible de la variable angular. Es decir las razones trigonométricas estén definidas. Si asen x b cos x
I. Identidades fundamentales
sen
I.1 Identidades reciprocas
x . csc x 1 cos x . sec x 1 tan x . cot x 1
sen
csc x 1 / sen x
sec x
cot x
I.5
1 / cos x
I.2 Identidades por cociente tan
x
x cos x
cot
x
x sen x
cos
I.3 Identidades Pitagóricas 2
x cos 2 x 1
sen
csc
2
x
sec
cot
2
2
x tan2 x 1
x
1
x cos 4 x 1 2sen2 x . cos 2 x
6
x cos 6 x 1 3sen2 x . cos 2 x
8
x cos8 x
sen
sen
2
1 4 sen
I.6
sen
x
x
cot
sec
2
x
csc
2
x
sec
2
x
csc
2
2
n
1
tan
x
sen
sen
2 1 sen x 1 cos x
x, a, b
1 cos x cos x 1 sen x x 1 cos x 1 sen x cos x sen x
Si csc x cot x q
CEPRE-UNI
x
x
cot cos x
2
2
4
2
x
,
n m
:
x
sen
Si sec x tan x p
c
(x) cos 2n( x ) 1
sen(x) cos( x ) 1 sen x cos x
b
:
2n
1
2n
2
2
Algunas desigualdades importantes
2
2
x
n
sec x csc x
c
cos x
x . cos 2 x 2sen4 x . cos 4 x
2
4
x
tan x cot x
b
se n
tan
4
Identidades adicionales
I.4 Identidades auxiliares sen
c
2
cos x
sen
a
a
x cos 2 x 1 se n2(x) cos 2( x) 4 2 2 2 cos x sen x 1 se n (x) cos (x ) 2 2 sen x tan2 (x).sen2(x ) tan x 2 2 2 2 cot x cos x cot ( x). cos ( x ) 4 4 2 2 sec x tan x 1 2 sec (x) tan (x ) 6 6 2 2 sec x tan x 1 3 sec (x) tan (x ) 4 4 2 2 csc x cot x 1 2 csc ( x) cot ( x ) 6 6 2 2 csc x cot x 1 3 csc ( x) cot ( x )
1 / tan x
x
c
sec x tan x csc x cot x
p
q
1
1
2
a b
x
2
2m
n
n
m
m
n m
n m
:
2
asen(x) b cos( x)
n / n a, b 2
a b
:
a tan(x) b cot(x) 2 ab
TRIGONOMETRÍA
-1-
2
CICLO ADMISIÓN 2015 – I
FORMULARIO
Algunas aplicaciones de esta identidad son:
II. Identidades de los ángulos compuestos
Si
II.1 Para la suma de dos ángulos
sen x cos
y
sen x cos y sen y cos x
Si
x y cos x cos y sen x sen y tan x
y
x y 45
x y 30
( 3 tan( x))
cos
y
1 tan x tan y
sen(x y z) cos( x)cos(y)cos(z) cos( x)cos(y)cos(z)
tan x tan y
tan( x y z)
1 tan x tan y
cos x
y sen x
y cos x
y y
cos
2
4
2
a.sen x b.cos x
S1 S3
1 S2
S1 S3 1 S2
….(*)
x
S3 : tan(x)tan(y)tan(z)
2
sen y
A partir de la identidad (*) se presentan estos casos particulares.
tan x tan y cos x cos y sen y x cot x cot y sen x sen y
tan()
S2 :tan(x)tan(y) tan(y) tan(z) tan(z)tan(x)
sen2 x sen2y sen x y
Donde
Donde: S1 : tan( x) tan(y) tan(z)
II.3 Identidades auxiliares sen x
cos( x y z)
x y cos x cos y sen x sen y
3 tan(y)
II.4 Identidades para tres ángulos
sen x cos y sen y cos x
tan x y
tan x tan y
II.2 Para la diferencia de dos ángulos sen x
(1 tan( x )) 1 tan(y) 2
a b
2
Si x y z
2n 1
2
;n
Entonces tan x tan y tan y tan z tan z tan x 1
.sen x
cot x cot y cot z cot x cot y cot z
b a
Si x y z n ; n
Con frecuencia identidades
se
utiliza
las
siguientes
Entonces cot x cot y cot y cot z cot z cot x 1
sen x cos x 2.sen x 45 3. sen x cos x 2.sen x 30 sen x 3. cos x 2.sen x 60
tan x tan y tan z tan x tan y tan z
Identidades adicionales Si x y z
0
tan y tan x tan y tan x y tan x y
cos 2 x cos 2 y cos2 z 2 cos x cos y cos z 1
x sen y sen2 z 2sen x sen y sen z
Si x y z
Si x y entonces
1
1
x cos 2 y cos 2 z 2 cos x cos y cos z TRIGONOMETRÍA
-2-
CICLO ADMISIÓN 2015 – I
FORMULARIO
III. Identidades de los ángulos múltiples
III.1 Identidades del ángulo doble sen
sen
2x
2x
tan 2 x
2sen x cos x
tan
2
8 sen4 (x) 3 4 cos(2x) cos(4 x )
8 cos4 ( x) 3 4 cos(2x) cos(4 x )
x
2cos
2
x 1 cos 2 x
También sen
2x
1 tan
2
cos 2x
x
2
x 2 1 tan x 1 tan
1 cos x
x
2
1 cos x
1 cos x
También x
2 tan x
1
Nota: El signo que se considerara, dependerá del cuadrante al cual pertenezca x/2 y de la razón trigonométrica.
Identidades para degradar
x 1 cos 2 x
cos( ) 2
x
tan( ) 2
cos 2 x 1 2sen2 x 2 cos 2 x 2 cos x 1
2
sec 2 x
2
Otras formas del cos(2x)
2 sen
1 cos x
x
( ) 2
sen
2tan x 1
tan 2 x tan x
III.2 Identidades del ángulo mitad
2sen x cos x
x
tan( ) csc x cot x cot( ) csc x cot x 2 2
III.3 Identidades del ángulo triple sen
Una forma práctica de recordar estas dos identidades, es utilizando la siguiente figura
3x
cos 3 x
3sen x
tan 3 x
4 cos
3
3
x
3 tan x 1
4 sen
x
3 cos x 3
x 2 3 tan x
tan
Identidades para degradar 3
x 3sen x sen 3x
3
x 3cos x cos 3x
4 sen 4 cos
Identidades auxiliares
Identidades auxiliares sen
cot x tan x 2csc 2 x
cot x
sen
sen
4
6
tan x
x cos6 x
1 sen 2 x
3 4
1
5 8
sen x
4 3
8
cos 4 x
tan 3 x tan x (
2cos 2 x 1 ) 2cos 2 x 1
cos x 2 cos 2 x 1
cos 4 x
cos
x
sec 2 x csc 2 x 4 csc 2 2x
tan 2 x cot x sec 2 x 1
CEPRE-UNI
cos 3 x
2cot 2x
x cos4 x
3 x sen x 2 cos 2 x 1
3 x 4 sen x sen 60 x sen 60 x cos 3 x 4 cos x cos 60 x cos 60 x tan 3 x tan x tan 60 x tan 60 x
sen
TRIGONOMETRÍA
-3-
CICLO ADMISIÓN 2015 – I
FORMULARIO
Identidades adicionales
Determinamos las identidades condicionales
sen3 ( x) cos 3 (y) Si x y 30 sen(x) cos(y)
