TRIGONOMETRÍA
ÍNDICE Pág. Cap. 1
Ángulo Ángulo trigonométr trigonométrico ico ................................................................................................. 5
Cap. 2
Miscelán Miscelánea ea I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........ ... 15
Cap. 3
Sistemas Sistemas de medición angular angular I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ....... 21
Cap. 4
Sistemas Sistemas de medición medición angular II ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 29
Cap. 5
Sistemas Sistemas de medición medición angular angular III ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 37
Cap. 6
Cálculo Cálculo de longitud longitud de un arco ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........ ... 43
Cap. 7
Cálculo Cálculo de la superficie superficie de un sector circular circular ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ....... .. 51
Cap. 8
Repaso Repaso I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........ ... 59
Cap. 9
Razones Razones trigonométr trigonométricas icas de ángulos ángulos agudos I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 67
Cap. 10
Razones Razones trigonométr trigonométricas icas de ángulos ángulos agudos I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 75
Cap. 11
Razones Razones trigonométr trigonométricas icas de ángulos ángulos notables ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 83
Cap. 12
Propieda Propiedades des de razones razones trigonomé trigonométric tricas as ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ....... 91
Cap. 13
Ángulos Ángulos verticales verticales ....................................................................................................... 97
Cap. 14
Misce Miscelán lánea ea II................. II....................... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ......... .... 103 103
Cap. 15
Calculo Calculo de lados en un triángulo triángulo rectángu rectángulo lo ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........ ... 109 109
Cap. 16
Repa Repaso so II................. II....................... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ........ ... 117 117
TRIGONOMETRÍA Ó 2008 - TRILCE Departamento de Publicaciones Lima - Perú
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4to año de secundaria
Pág. Cap. 17
Sistema Sistema cartesian cartesianoo ...... ............ ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 123 123
Cap. 18
Razones Razones trigonomét trigonométrica ricass de un ángulo ángulo de cualquier cualquier medid medidaa I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 131 131
Cap. 19
Razones Razones trigonomét trigonométrica ricass de un ángulo de cualqui cualquier er medida medida II ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ 139 139
Cap. 20
Misce Miscelan lanea ea III................ III...................... ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 147 147
Cap. 21
Reducción Reducción al primer primer cuadrant cuadrantee I ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 153 153
Cap. 22
Reducció Reducciónn al primer primer cuadran cuadrante te II ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........... ..... 161 161
Cap. 23
Circunf Circunferen erencia cia trigonomé trigonométric tricaa I ..... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ .. 169 169
Cap. 24
Miscelán Miscelánea ea IV ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........ 179 179
Cap. 25
Circunf Circunfere erencia ncia trigono trigonomét métric ricaa II ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 185 185
Cap. 26
Identi Identidad dades es trigon trigonomé ométric tricas as I ..... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .......... .... 191 191
Cap. 27
Ident Identida idade dess trigon trigonomé ométri trica cass II ..... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... 197 197
Cap. 28
Misceláne Misceláneaa V ...... ............ ............ ............ ........... ........... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... 205 205
Cap. 29
Identida Identidades des trigonométr trigonométricas icas de la suma y diferencia diferencia de ángulos................ ángulos...................... ............ ............ ............ ........ 209 209
Cap. 30
Identida Identidades des trigono trigonométr métricas icas del ángulo ángulo dob doble le ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ...... 217 217
Cap. 31
Resoluci Resolución ón de triángu triángulos los oblicuán oblicuángul gulos os ...... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ......... ... 225 225
1
Ángulo trigonométrico trigonométrico
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos: - Reconoc Reconocer er el ángul ánguloo trigon trigonomét ométric ricoo y los sentido sentidoss en que estos pueden estar generados: horario y antihorario. - Dibuja Dibujarr el ángulo ángulo trigon trigonomét ométric ricoo en cualq cualquie uiera ra de los sentidos ya mencionados. - Operar Operar correct correctamen amente te los ángul ángulos os trigono trigonométr métricos. icos.
Conocimientos previos
3. Alguno Algunoss ángulo ángulos: s: - Ángulo nulo: lo: A
Medida = 0°
B
C
- Ángulo llllano:
(Elementos de geometría) 1. Áng Ángulo Es la figura formada por dos rayos que tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ángulo y el origen común es el vértice. En el gráfico: AB y AC : lados A: vértice vértice
C Medida = 180°
A
B
- Ángulo re recto:
C
Medida = 90° A
B
- Ángu ngulo agudo gudo::
CAB ó C AˆB
C
Si los lados de un ángulo son dos rayos opuestos, el ángulo se llama ángulo llano y cuando estos lados coinciden, el ángulo se llama l lama de una vuelta. A C
A
Ángulo Ángulo llano
B
B
0° < Medida < 90° - Ángu ngulo ob obtuso: so:
A
B C Ángulo de una vuelta
2. Medición Medición de ángulos ángulos En geometría, la medición de ángulos está referida a la magnitud asociada a la abertura entre los lados de un ángulo. Se usa el sistema ssexagesimal, exagesimal, cuya unidad es un grado sexagesimal (1°), tal que 360 de ellos equivale al ángulo de una vuelta, además presenta dos subunidades llamadas: minuto sexagesimal (1') y segundo sexagesimal (1''): cumpliéndose: 1 vuelta = 360° 1° = 60' 1' = 60'' 1° = 3600''
C
A
B
90° < Medida < 180° - Ángulo gulo de 1 vue vuellta A
Medida = 360°
B
C
Á n g u l o
t ri g o no métric o
4. Bisectriz de un ángulo: La bisectriz de un ángulo es el rayo que lo divide en dos de igual medida. En el gráfico diremos que OM es bisectriz del ángulo AOˆ B , ya que: ˆB mAO m AOM = m MOB = 2 M B
A
Obviamente cuando no hay rotación; el ángulo es nulo.
Observaciones: - La medida de un ángulo trigonométrico, hecha la indicación de los tipos de rotación; es: - sentido horario: medida negativa - sentido antihorario: medida positiva. - La medida de un ángulo trigonométrico no puede limitarse, pues este depende de la magnitud de la rotación y a su vez estas pueden hacerse indefinidamente en cualquiera de los dos sentidos conocidos.
a a O
Ángulo trigonométrico Es aquel que se genera por la rotación de un rayo, en un solo plano, alrededor de un punto fijo llamado vértice; desde una posición inicial (inicio del giro) hasta otra posición final (final del giro). En el gráfico: B
- Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación, así:
A
® O
a
ìïOA : inicio del giro (lado inicial) ˆB AO í ïîOB : final del giro (lado final)
-a
Por ejemplo:
O 10º - a P Q
ìïOP : inicio del giro (lado inicial) POQ í ïîOQ : final del giro (lado final)
a - 10º
Obs.: Se recomienda colocar todos los ángulos en sentido antihorario.
ˆ
De esta manera se puede reconocer dos tipos de rotación: A
O
Sentido horario
O
B
B
A
Sentido antihorario
6
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Test de apr endi zaje pr evio 1. Complete en cada recuadro el sentido de la rotación en que fue generado cada ángulo.
5. Del gráfico, hallar "x"
q
a
x
b q
6. Hallar "x", si: 3x+10º
2. De acuerdo al gráfico, señale la relación que verifican “a” , “b” y “q” . b
a
2x-10º
0
7. Hallar "x", si:
q
0
1º-3x 20º
3. Asocie mediante flechas: 8. Hallar "x", si: 20º - 4x Sentido
x+10º
0
horario Sentido Antihorario
9. Hallar "x", si:
3x+20º 2x - 20º
4. Del gráfico, hallar "x". 10.Hallar "x", si:
x
b a
15º - 9x 2x - 5º 0
Organización Educativa
TRILCE
7
Á n g u l o
t ri g o no métric o
Pr act iquemos 1. Si un ángulo que es llano mide (10x + 20)°, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 11 d) 8
b) 12 e) 10
8. Si OM es bisectriz, calcular “x” .
c) 16
M B
(8x - 26)º
2. Si un ángulo recto mide (7x+ 6)°, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
3. Si un ángulo agudo mide 3x°, ¿cuál es el máximo valor entero que toma “x” ? a) 17 d) 29
b) 27 e) 89
c) 28
(5x + 10)º O
a) 6 d) 14
b) 7 e) 16
4. Si un ángulo obtuso mide (5x + 10)°, ¿cuál es el máximo valor entero que toma “x” ? b) 32 e) 35
c) 12
9. En geometría es común decir que los ángulos cuyos lados son rayos opuestos se denominen opuestos por el vértice y son de igual medida. En el gráfico, por ˆ D son opuestos por el vértice y se ˆ B y CO ejemplo AO cumple: A
C
a) 31 d) 34
A
a
b
O
D
c) 33
B
ˆD ˆ B = m CO m AO ó a = b
Según lo anterior, en el gráfico calcular “x” . 5. Si un ángulo obtuso mide (3x - 18)°, ¿cuál es la suma del máximo y mínimo valor entero que toma “x” ? a) 112 d) 104
b) 102 e) 96
B
c) 114
C
(7x - 1)º
(5x + 9)º
O
A
6. Si un ángulo agudo mide (6x - 12)°, ¿cuál es la suma del máximo y mínimo valor entero que toma “x” ? a) 8 d) 17
b) 10 e) 19
c) 12
a) 2 d) 5
D
b) 3 e) 6
c) 4
10.En el gráfico, calcular “y” . (6x + 10)º
C
7. En el gráfico, OM es bisectriz, calcular “x” .
O
B (10x - 6)º
A
(7x - 4)º
D
(8y + 6)º B
M (7x + 3)º O
a) 1 d) 4
8
b) 2 e) 6
A
a) 6 d) 12
b) 14 e) 16
c) 10
c) 3
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 11.En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP , dibuje un ángulo en sentido: a. Horario:
14.En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo OP , dibuje un ángulo que mida: (use transportador) a. 100°
P
P
O
O
b. Antihorario:
b. -50° O
P
O
P
12.En cada caso, tomando como inicio de giro el rayo OP , dibuje un ángulo en sentido:
c. -160° O
a. Horario: P
O
P
15.Del gráfico, señalar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
b. Antihorario:
C P
O
x
q
13.En cada caso, tomando como inicio de giro al rayo OP , dibuje un ángulo que mida: (use transportador) a. 140°
a
O
a) a + q d) - a - q
P
B A
b) a - q e) F.D.
c) q - a
16.Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos.
O
b. -70° A O
B x C
P
a b
c. -120° P
a) a + b + q d) q - b + a
q
O
D
b) a - b - q e) a - q + b
c) q - a - b
O
Organización Educativa
TRILCE
9
Á n g u l o
t ri g o no métric o
17. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
19.Del gráfico, calcular “x” . C (12 - 11x)º
C
5xº A
B
a
a) 2 d) 12
x O
a) 90° - a d) 90° + a
A
b) a - 90° e) -90° - a
c) 180° + a
O
b) 4 e) 10
B
B
(9 - 9x)º C x
a) q - 90° d) -90° - q
10
c) 8
20.Del gráfico, calcular “x” .
18.En el gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
A
B
(5x + 1)º
q O
b) 90° - q e) -180° + q
O
A
D
c) 90° + q
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. Hallar “x” en función de “a” .
4. Halle “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
C
a
x
C
B
x
a
B
b D
O
A D
a) a - 180° d) a - 270°
b) a + 180° e) 270° - a
c) a + 270°
2. Halle “x” en función de “a” . A
C
a) 180° + a - b c) 270° + a - b e) 180° + a + b
A
b) 180° - a + b d) 270° - a + b
5. Halle “x” en función de “a” , si OM es bisectriz del ángulo BOC.
O
a
M
x C
B
a) 450° - a d) a - 360°
O
x
a
b) a - 450° e) a - 270°
B
c) 360° - a D
3. Halle “x” en función de los otros ángulos trigonométricos mostrados.
a) 135° + a d) 225° - a
O
b) 135° - a e) 225° + a
A
c) a - 135°
D C x
b
B
a O
A
a) b - a - 90° b) b + a - 90° c) b - a + 90° d) a - b + 90° e) a - b - 90°
Organización Educativa
TRILCE
11
Á n g u l o
t ri g o no métric o
Tar ea domiciliar ia 1. Si un ángulo llano mide (3x - 24)°, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 17 d) 38
b) 56 e) 54
6.
H
a l l a r
“
x
”
,
e n
f u n
c i ó n
d e
“
q” y “b” .
c) 68 x
b q
2. Si un ángulo recto mide (5x + 20)°, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 12 d) 30
b) 14 e) 32
c) 26
3. Si un ángulo agudo mide (3x - 12)°, ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x” ? a) 30 d) 33 4. En el gráfico, valor de “x” ?
b) 31 e) 34 OM es
a) q + b d) - q - b
b) q - b e) 2q - b
c) b - q
7. Halle “x” en función de “a” , “b” y “q” .
c) 32 q b
ˆ . ¿Cuál es el bisectriz del AOB
B
(7x-1)°
a) b + q + a d) q - b + a M
a x
b) b - q - a e) a - q - b
c) b - q + a
8. Del gráfico, se cumple:
(6x+2)°
a) 1 d) 4
O
A
b) 2 e) 5
c) 3
5. Tomando como inicio de giro (lado inicial) el rayo indicado, dibuje un ángulo que mida: a. q = 140°
A
a
b
a) a + b = 12 vuelta
b) b - a = 1vuelta
c) b- a = 12 vuelta e) b- a = 14 vuelta
d) a - b = 12 vuelta
9. Hallar “x” del gráfico.
O
q
b. q = -120°
x
A O
12
a) 12 vuelta - q - b c) 12 vuelta + b - q e) 14 vuelta + q - b
b
b) 12 vuelta - b + q d) 12 vuelta + b + q
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 10.Hallar “x” del gráfico mostrado. A
15.Hallar “x” . L1
B x
x
q
q
a
O
a) q + a
b) q - a c) a - q e) 12 vuelta + q - a
d) - q - a
L2
C
a) q d) 180° - q
b) -q e) 90° - q
c) -2q
16.Hallar “x” , además OF es bisectriz.
A
11.Hallar “x” del gráfico mostrado. B
B
q
a
a) 32º d) 70º
C
a) a - q d) - a - q
F
x
o A
3x + 40º 30º - 5x
O
b) q - a c) q + a e) 1 vuelta + a - q
b) 35º e) 50º
c) 34º
17.Calcular: “q + a”
12.Hallar “x” del gráfico mostrado.
q
A
a
B
x a
a) a + q
a) 90º d) 135º
q
O
C
b) a - q c) q - a e) 14 vuelta + a - q
d) - a - q
b) 180º e) 150º
c) 270º
18.Hallar “x” en función de los ángulos mostrados. x
13.Hallar “x” del gráfico mostrado.
b q
x
a
a) b - q = 90º - x c) b - q - 360º = x e) b - q + 180º = x a) 90º + a d) 180º - a
b) a - 90º e) - a - 90º
c) 90º - a
b) b + q + 270º = x d) b - q - 270º = x
19.Hallar “x” .
14.Hallar “x” del gráfico mostrado. B
7x - 35º
C
25º + x
-x A
a) 90° - 2q d) 180° + 2q
q
x O
b) 90° + 2q e) 45° + 2q
Organización Educativa
TRILCE
D
a) -10º d) -40º
b) -20º e) -50º
c) -30º
c) 180° - 2q
13
Á n g u l o
t ri g o no métric o
20.Hallar “x”
24.Del gráfico, lo correcto es:
(9 - 2x)º
a) 31º d) 60º
a
(x + 3)º
b) 51º e) 36º
b
c) 62º a) a + b = 360° c) a + b = 450° e) a - b = 120°
21.Hallar "x".
b) a - b = 360° d) a - b = 450°
ˆ . 25.Del gráfico, hallar “x” , si OM es bisectriz del AOC
4x+10º 40º - x
M D
a) -18º d) 45º
b) -24º e) -50º
c) -30º
q
A
22.Hallar "x". C B
q a x
a) a + q d) - a - q
C
x
A
b) a - q e) 2a - q
a) q - 180° c) 2q - 180° e) - 2q - 90°
O
B
b) - q - 180° d) - 2q - 180°
c) q - a
23.Halle “x” del gráfico mostrado.
q
a) 90° + q d) 180° + q
14
b) 90° - q e) 180° - q
x
c) q - 90°
Cuarto Año de Secundaria
2
Miscelánea I
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Pr act iquemos 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
5. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
a
q
a) a + q = 180° c) q - a = 180° e) a + q = 90°
x
b) a - q = 180° d) a + q = -180°
2. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
y
a) x + y = 180° c) x - y = 360° e) x - y = 270°
b) x + y = 360° d) x - y = 180°
6. Del gráfico, señale lo correcto:
q a -120º
x
a) a + q = 240° c) a - q = 240° e) q - a = 240°
b) a + q = 120° d) a - q = 120°
3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
y
a) x - y = 180° c) x - y = 300° e) x - y = 450°
b) x + y = 180° d) x + y = 300°
7. Si un ángulo “q” agudo, mide: (6x° + 18°), ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x” ? a
a) 10 d) 13
b
a) a + b = 90° c) a - b = 90° e) a + b = 180°
b) a + b = -90° d) b + a = 270°
4. Del gráfico, señale lo correcto:
b) 11 e) 14
c) 12
8. Si un ángulo obtuso mide: (6x° + 120°), ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “x” ? a) 7 d) 10
b) 8 e) 11
c) 9
9. Si un ángulo obtuso mide: 4n° + 60°, ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “n” ? x
a) 27 d) 30
y
a) x + y = 300° c) x + y = 270° e) x - y = 180°
b) x - y = 300° d) x - y = 270°
b) 28 e) 31
c) 29
10.Si un ángulo agudo mide: 3n° + 24°, ¿cuál es el máximo valor entero que puede tomar “n” ? a) 20 d) 23
b) 21 e) 24
c) 22
Miscelánea I 11.Si en el gráfico OP es bisectriz del AOˆ B ; calcular el complemento de “x” .
ˆ B ; calcular 15.Si en el gráfico, OP es bisectriz del AO “x/y” .
A
A
P
3x + 2y x + 10º
P
x-y
2x - 10º
O
O
B
B
a) 20° d) 70°
b) 30° e) 80°
a) 4
c) 60°
ˆ B , calcular el 12.Si en el gráfico OQ es bisectriz del AO suplemento de “x” .
A
d) -
b) - 4 1 4
e) -
1 4
c)
1 2
ˆ B , calcular 16.Si en el gráfico, OP es bisectriz de AO “x/y” .
Q
A
x + 40º
P
3x - 2y 2x - 20º O
a) 60° d) 120°
B
b) 80° e) 140°
2x - 3y
c) 100°
ˆ B es agudo y “x” toma su máximo 13.Si en el gráfico AO ˆC . valor entero posible, calcular m AO
O
a) 1 d) -
A
B
B
b) - 1 1 2
e) - 2
17. Del gráfico señale lo correcto, si: OQ es bisectriz del ˆB . AO
3x + 24º
A
2x + 10º
Q
C
b) 134° e) 164°
a
c) 144°
14.Si en el gráfico AOˆ B es obtuso y “x” toma su mayor ˆC ? valor entero posible, ¿cuál es la medida de AO C B
B
q
O
a) 124° d) 154°
O
C
a) 2q - a = 90° c) 2q + a = 90° e) 2q + a = 45°
b) 2q - a = 180° d) 2q + a = - 90°
18.Del gráfico señale lo correcto, si: OP es bisectriz del ˆB . AO
2x + 20º
B
x + 40º A
O
a) 69° d) 56°
b) 79° e) 76°
P
a
c) 89° C
a) 2q - a = 360° c) 2q + a = 180° e) 2a + q = 360° 16
1 2
c)
q O
A
b) 2a - q = 180° d) 2q + a = 360° Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 19.Del gráfico, señale lo correcto:
20.Del gráfico, señale lo correcto: B
D
A
D
-60º
-40º
b
q
C
a O
O
a
C
A
B
a) b + a = 50° c) b + a = 40° e) b + a = 90°
b) b - a = 130° d) b - a = 140°
E
a) q + a = 30° c) q - a = 150° e) a - q = 30°
b) q + a = - 30° d) q - a = 30°
Tar ea domiciliar ia 1. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
4. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto: a q
b
a) a + b = 180° c) b - a = 180° e) a - b = 90°
a
b) a - b = 180° d) a + b = -180°
2. De acuerdo al gráfico señale lo correcto:
a) a + q = 270° c) a - q = 270° e) a - q = 180°
b) a + q = 360° d) q - a = 270°
5. Del gráfico, señale lo correcto: x
x
y
a) x + y = 90° c) x - y = 90° e) x + y = 0°
b) x + y = -90° d) y - x = 90°
3. De acuerdo al gráfico, señale lo correcto:
x
a) x + y = 180° c) y - x = 180° e) x - y = 90°
y
y
a) x + y = 90° c) x - y = 90° e) y - x = 180°
6. Del gráfico, hallar “x” en función de “q” .
b) x + y = 90° d) y - x = 90°
x
q
a) 90° - q d) 90° + q Organización Educativa
b) x + y = 180° d) x - y = 180°
TRILCE
b) q - 90° e) -90° - q
c) 180° - q 17
Miscelánea I 7. Del gráfico, hallar “x” en función de “q” . q
a) 180° - q d) -180° - q
x-a
x
x-q O
c) 180° + q
8. Del gráfico, hallar “x” en función de “a” y “b” .
b
a) 90° - a - b b) a - 90° - b d) b + a - 90° e) b + 90° - a
b) q - a
d) a2- q
e) a 2+q
c) b - a - 90°
a x
b) a + q - 90° d) q - a - 90°
M 2x + 3y B
O
b) - 13 e) - 32
A
3x + 2y
O
b) 90° - a - b d) 180° + a + b
b) - 0,4 e) - 0,8
C
M
a
A
x +a
18
M B
c)
O
a) a + q = 90° c) a + 2q = 180° e) 2a - q = 180°
x-b
a- b 2
q
B
A
e) a + b
c) - 0,6
ˆ , hallar la 15.Si en el gráfico OM es bisectriz del AOB relación correcta.
ˆ . 11.Del gráfico, hallar “x” si OM es bisectriz del AOB
b- a d) 2
B
b
a
b) b - a
M 2x + y
a) 0,4 d) 0,6
x
c) 23
ˆ , calcular: x/y. 14.Si en el gráfico OM es bisectriz del AOB .
10.Del gráfico mostrado, hallar “x” en función de los otros ángulos.
a) a - b
2
4x + y
a) 13 d) - 23
q
O
c) q- a
a) a + q
9. Del gráfico, hallar “x” en función de los otros ángulos.
a) 180° - a + b c) 90° - a + b e) 90° + a + b
B
ˆ , calcular: x/y 13.Si en el gráfico OM es bisectriz del AOB A
x
a) a - q - 90° c) a + q + 90° e) q - a + 90°
M
A
b) q - 180° e) 90° + q
a
ˆ . 12.Del gráfico, hallar “x” si OM es bisectriz del AOB
b) a - q = 90° d) a - 2q = 180°
16.Si un ángulo agudo mide: 3x + 18°, ¿cuál es el máximo valor entero de “x” ? a) 20° d) 23°
b) 21° e) 24°
c) 22°
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 17. Si un ángulo obtuso mide: 5x + 30°, ¿cuál es el máximo valor entero de “x” ? a) 27° d) 30°
b) 28° e) 31°
ˆ es obtuso y “x” toma su 23.Señale el valor de “q” si AOB máximo valor entero posible.
A
c) 29°
3x + 24º
x + 10º
18.Si un ángulo llano mide: 3x + y, y un ángulo recto mide: 2x - y. Calcular: x/y a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
19.Si un ángulo llano mide: 5x - 10°, ¿cuál es el complemento de “x” ? a) 42° d) 72°
b) 52° e) 76°
b) 46° e) 76°
c) 62°
b) 12° e) 20°
c) 16°
22.Si un ángulo obtuso mide: 5x + 30°, además “x” toma su máximo valor entero posible, ¿cuál es el suplemento de “4x” ? a) 44° d) 74°
b) 54° e) 84°
Organización Educativa
c) 122°
A 2x + 20º B O D
3x
q
C
c) 56°
21.Si un ángulo agudo mide: 3x -18°, además “x” toma su máximo valor entero posible, determine el complemento de “2x” . a) 10° d) 18°
b) 82° e) 132°
ˆ es agudo y “x” toma su 24.Señale el valor de “q” si AOB máximo valor entero posible.
20.Si un ángulo recto mide: 3x + 18°, ¿cuál es el suplemento de “x” ? a) 36° d) 66°
B
q
C
a) 102° d) 112°
O
a) 40° d) 78°
b) 60° e) 58°
c) 80°
25.Si un ángulo mide: [x(4 - x)]°, y dicha medida es máxima, ¿cuál es el complemento de: a = (xx + x2x + x3x)°? a) 2° d) 5°
b) 3° e) 6°
c) 4°
c) 64°
TRILCE
19
Sistemas de medición angular I
3
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos: •
•
•
Así: P
Reconocer los sistemas de medición angular: sexagesimal, centesimal y radial; así como sus unidades de medición. Operar convenientemente medidas de ángulos expresadas en unidades diferentes, convirtiéndolos correctamente a una unidad común. Operar las sub-unidades existentes en sistemas sexagesimal y centesimal.
r O
O: centro r: distancia de “O” a “P” (radio) 2pr: longitud de la circunferencia A
Sistemas de medición angular
arco O
Dado que los ángulos pueden medirse y compararse entre ellos; se crean diferentes formas de medirlos y diferentes sistemas de medición angular, entre los que destacan: sexagesimal, centesimal y radial; los cuales se definen de la siguiente manera:
B
AB: arco A
1. Sistema sexagesimal (o inglés) Unidad: 1° =
O
1 vuelta ® 1 vuelta = 360° 360
Además: 1° = 60’ 1’ = 60’’ 1° = 3600’’ Observación: a = a°b’ c’’ = a° + b’ + c’’
q B
ˆ B : ángulo central AO
Se define el radián como la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que subtiende tiene la misma longitud que el radio de la circunferencia.
2. Sistema centesimal (o francés)
A r
Unidad: 1g = Además:
1 vuelta ® 1 vuelta = 400g 400
1g =
100m
1m =
100s
O r
1g = 10000s
3. Sistema radial o circular (o internacional) Unidad: 1 rad ® 1 vuelta = 2prad Comentario: Se sabe que la reunión de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, determina una circunferencia y cualquier porción de ella se llama arco.
q r B
Si: AB = r ® q = 1 radián
Equivalencias fundamentales 1. Como: 360° = 400g = 2p rad ® 180° = 200g = p rad ...... (1) 2. Como: 180° = 200g ® 9° = 10g ...... (2)
Sistemas de medición angular I
Conversión entre sistemas
3. 72° a centesimales
Es el procedimiento mediante el cual la medida de un ángulo pasa de un sistema a otro, es decir, cambiamos su unidad. Para convertir un ángulo “a” en un sistema dado a otro sistema, se tiene que multiplicar por un factor de la forma:
a = 72°; el factor sería: xg ® sistema que quiero yº ® sistema que no quiero
de (2): x ® sistema que quiero y ® sistema que no quiero
luego: 10 g a = 72°. ® a = 80g 9°
donde “x” e “y” son cantidades equivalentes. Por ejemplo, convertir: 1. 60° a radianes a = 60°; el factor sería: x rad ® sistema que quiero yº ® sistema que no quiero
De (1): xrad prad = y° 180°
2.
Consideración: Cuando se operan (suma o resta) ángulos expresados en grados, minutos o segundos en un mismo sistema; se operan independientemente; primero grados, luego minutos y después segundos, para finalmente simplificar. Por ejemplo, reducir: q = 2° 17’ 43’’ + 18° 32’ 14’’ + 25° 43’ 42’’
luego: prad p ® a = rad 180° 3
a = 60°.
10 g xg = 9° y°
Aquí, primero operamos independientemente: q =
2° 18° 25° q = 45°
40g a radianes a = 40g; el factor sería: x rad ® sistema que quiero yg ® sistema que no quiero
luego:
q = 45° + 92' + 99''
a = 40g.
200
g
® a =
p
5
rad
1'
43’’ 14’’ 42’’ 99’’
+
® q = 45º + 93' + 39’’
60'' + 39''
prad
17’ 32’ 43’ 92’
60' + 33' 1º
q = 46° + 33’ + 39’’ ® q = 46° 33 ’ 39’’
Test de apr endi zaje pr evio 3. Exprese: Q = 140g - 2 5p rad; en el sistema sexagesimal.
1. Complete: "En el sistema sexagesimal su unidad es un grado sexagesimal, que se denota por ........................ y en el sistema radial su unidad es un radián denotado por .........................". 2. Asocie mediante flechas: a = 2p rad
circular
7
b = 20° 15 30 ’
”
q = 10 g 12m 75 s
22
4. Expresa: Q = 2º20' + 3º17' + 5º46' + 6º37'; en radianes.
centesimal sexagesimal
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 5. Calcular:
8. Del gráfico, calcular "x". K = 2º3' 3'
B
A 60
g
(10x + 4)°
C
6. Señale el valor de: p rad 20 E= 20 g
9. Si: px rad = (7x - 1)g ¿cuál es el valor de "x"? 30
7. Señale el valor de: p rad P= 9 10°
10.Exprese 2p rad en el sistema centesimal. 5
Pr act iquemos 1. Expresar 40° en el sistema circular. a) d)
p
10
rad
2p 9
b) e)
p
c)
40
4. Exprese 40g en el sistema internacional. p
9
p
d)
18
2. Exprese 50° en el sistema circular. 5p 2p 2p a) rad b) c) 18 9 5 d)
p
e)
5
3. Exprese 5p a) rad 18
p
d)
p
6
e)
p
3
rad
p
e)
6
5. Exprese
b)
p
6
a) 18° d) 36°
p
4
c)
p
5
p
9
rad en el sistema sexagesimal. b) 24° e) 42°
c) 30°
3
6. Exprese
30g en el sistema radial. b)
a)
3p 20
c)
2p 17
p
9
a) 10° d) 20°
rad en el sistema sexagesimal. b) 12° e) 40°
c) 18°
p
9
7. Exprese a) 40g d) 50g
Organización Educativa
TRILCE
p
4
rad en el sistema centesimal. b) 36g e) 70g
c) 45g 23
Sistemas de medición angular I 8. Exprese
p
10
rad en el sistema centesimal.
16.Calcular: p
a) 10g d) 18g
b) 20g e) 36g
a) 1 d) 7
9. Exprese 54° en el sistema francés. a) 54g d) 70g
K= 3
c) 30g
b) 60g e) 72g
c) 63g
11.Reducir:
b) 81° e) 96°
K=
c) 72°
q = 2° 40' 32'' + 3° 31' 52''
a) 6° 12’ 34’’ c) 6° 12’ 24’’ e) 5° 12’ 24’’
q = 4° 17' 51'' + 8° 24' 17'' + 5° 32' 20''
b) 2 e) 5
c) 3
a) 1 d) 4
b) 61 e) 72
b) 2 e) 5
c) 3
c) 62
b) 20,5 e) 33,5
c) 22,5
19.Sabiendo que: p
18
rad = (3n + 1)°
p rad = (7m + 5)g n+2
Calcular: E = (m + n)m - n a) 27 d) 49
b) 81 e) 64
c) 729
20.Sabiendo que: p
12
14.Siendo: 18° 32' 41'' + 21° 14' 22'' + 3° 26' 12'' = a° b' c'' Calcular: a-b K= c
1°2' 2°3' + 2' 3'
1g10 m 2 g30 m K= + 10 m 20 m
b) 18° 14’ 26’’ d) 18° 14’ 28’’
13.Siendo: 23° 41' 17'' + 17° 32' 56'' = a° b ’ c’’ Calcular: a-b K= c-4
c) 5
18.Calcular:
a) 21 d) 21,5
12.Reducir:
a) 1 d) 4
a) 23 d) 71
b) 6° 12’ 16’’ d) 5° 24’ 12’’
a) 18° 16’ 32’’ c) 18° 16’ 28’’ e) 18° 16’ 26’’
b) 3 e) 9
6°
17. Calcular:
10.Exprese 90g en el sistema inglés. a) 100° d) 86°
rad - 20 g
rad = (7n + 1)°
p rad = (7m - 1)g 2n + 6
Calcular: a) 5 d) 49
E = (m + n)2n - m b) 7 e) 125
c) 25
15.Calcular: p
K = 12
24
a)
1 3
b)
1 9
d)
2 5
e)
3 5
rad + 5° 100 g c)
2 9
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. Se sabe que en todo triángulo, la suma de medidas de sus ángulos interiores es igual a 180°.
Según esto, en el gráfico calcular el valor de “x” . ( “O” centro) A
b a + b + q = 180° a
q
Si tuviéramos un triángulo donde sus ángulos interiores miden: px (20x)g; (17x)° y rad 18 Calcular el valor de: E = x + 5 - 1 a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
O (8x-2)º
C
B
a) 1 d) 7
b) 3 e) 9
c) 5
ˆ B es una porción de círculo 4. Del gráfico calcular “x” , si AO de centro “O” , llamado sector circular.
c) 3
A
2. En un triángulo sus ángulos interiores miden: O
g
px æ 160 x ö çç ÷÷ ; (14x)° y rad 6 è 9 ø
(10x)g
3xº
Calcular:
B
2
E= a) 161 d) 211
(x )°x' x'
b) 151 e) 231
a) 16 d) 21 c) 181
A
P 2a
a
O
B
Organización Educativa
c) 20
5. Del gráfico, calcular: K=
3. En geometría se define al ángulo inscrito como aquel que tiene su vértice sobre una circunferencia (ver figura), cumpliéndose que el arco que subtiende mide el doble del ángulo; mientras que un ángulo central subtiende un arco de medida igual al ángulo, esto debido a que los arcos van a tener dos tipos de medición: angular y lineal.
O
b) 18 e) 15
a
a
3y - 2x 6 B
C
3xº
5yg D
a) 20 d) 15
O
b) 10 e) 40
A
c) 30
Q
TRILCE
25
Sistemas de medición angular I
Tar ea domiciliar ia 1. Señale el equivalente de 54° en el sistema centesimal. a )
d)
g 40g 1 0
b) 20g e) 60g
c) 30g
2. Señale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal. a) 18° d) 45°
b) 27° e) 54°
c) 36°
3. Señale el equivalente de 15° en el sistema internacional. p rad a) 12 d) 4p
p b) 10 e) p3
c) 6p
4. Señale el equivalente de 50g en el sistema circular. a) 6p rad
b) 5p
d) p3
e) p2
c) 4p
b) 29p e) 59p
c) 27p
b) 27º e) 30º
c) 28º
7. Convertir p rad al sistema centesimal. 10 a) 20g d) 10g
b) 30g e) 15g
26
p b) 10 e) 25p
c) 45p
10.Convertir 100 g al sistema sexagesimal. a) 190º d) 90º
b) 130º e) 100º
c) 140º
11.Reducir: q = 6° 23 ’ 46’’ + 8° 57 ’ 32’’ a) 16° 21’ 17’’ c) 14° 20’ 18’’ e) 16° 21’ 18’’
b) 17° 51’ 16’’ d) 15° 21’ 18’’
12.Si: 5° 37 ’ 54’’ + 8° 42 ’ 26’’ = a° b’ c’’ ; calcular: E = a + cb + 1 b) 74 e) 75
c) 49
13.Hallar:
c) 18g
a) 41 d) 71
b) 51 e) 81
c) 61
14.Calcular: P = 5º5' 5'
a) 60 d) 71
b) 61 e) 51
c) 62
15.Hallar: p rad + 40g
8. Convertir 18° al sistema circular. a) p9 rad p d) 20
b) 49p e) 35p
°3' C = 33'
6. Convertir 320p rad al sistema sexagesimal. a) 25º d) 26º
a 43p rad d) 25p
a) 73 d) 58
5. Convierte 40º al sistema radial. a) 5p rad d) 9p
9. Convertir 80g al sistema radial.
E= 3 c) 7p
a) 10 d) 14
b) 12 e) 16
8°
c) 13
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 16.Hallar:
22.En un triángulo dos de sus ángulos miden 70g y 100°. ¿Cuánto mide el tercero?
50° + p rad 6 K= 10 °
a) 4 d) 10
b) 6 e) 12
c) 8
17.Calcular:
p rad a) 17 180 27p d) 180
p b) 19 180 p e) 300
23.Sabiendo que: p rad + 60º 2 V = 10g
3 a) 10 d) 20 3
b) 53 e) 40 3
Además: c) 50 3
Calcular:
a + b + c = 63
x°y'z'' = a°b'c'' + b°c'a'' + c°a'b'' J = z +1 x y
a) 1 d) 2
18.Calcular: p rad + 110g + 9º 20g + p rad
P= 6
23p c) 180
b) 2 e) 3 2
c) 3
24.Del gráfico, calcular “x” . A
2
23 a) 18 d) 13 9
b) 18 23 e) 23 9
c) 1
g (7x+1)º 16x O B
19.Calcular “x” , si: p rad (3x - 2)° = 18
a) 1 d) 4
P
b) 2 e) 5
c) 3
a) 3 d) 9
b) 5 e) 10
c) 7
25.Del gráfico, calcular: 3y-2x E = 10
20.Siendo: p
C o
n v
i e r t a
a
p rad a) 20 d) 4p
30 rad = (2x - 4)° g".
r a d i a n e s
3xº g 5y
" x
p b) 40 p e) 10
p c) 80
a) 6 d) -3
b) -6 e) 5
c) 3
21.En un triángulo dos de sus ángulos miden p /18 rad y 100g. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo? a) 43p rad d) 49p
b) 45p 4p e) 11
Organización Educativa
c) 47p
TRILCE
27
Sistemas de medición angular II
4
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos: - Reconocer la fórmula general de conversión y usarla convenientemente en los problemas que involucran número de grados sexagesimales (S), número de grados centesimales (C) y número de radianes (R) que contiene un ángulo. - Interpretar correctamente los problemas de enunciado literal, para su posterior resolución.
am.an = am+n am = am - n an
m
m ab
2. Productos notables: (a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Conceptos previos I (Elementos de aritmética)
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
1. Proporción geométrica
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
Es la igualdad entre dos razones geométricas, siendo una razón geométrica la comparación mediante la división de dos magnitudes.
c = razón geométrica = q2 d
* B = a2b + ab2
a c = esta es una proporción b d
geométrica. Esta relación se entiende como: “a” es a “b” como “c” es a “d” o también se entiende como: “a” y “b” están en la relación de “c” a “d” cumpliéndose: a c ìa = bk = = k í b d îc = dk -
- Agrupamiento: * A = ax + bx
Si por ejemplo: a = razón geométrica = q1 b
Si: q1 = q2 ®
3. Factorización:
* C = ax + bx + ay + by
- Aspa simple: * A = x2 + 5x + 6
a c a + b c + d = ® = b d a-b c-d
Conceptos previos II (Elementos de álgebra)
* B = x2 - 2x - 3
1. Teoría de exponentes am =
a.a.a....a 1 4 24 3
"m" veces
(am)n = amn
m
n
n am
a
= m n
a =
mn
* C = x2 - 4x - 5
a
a = b
m
a m b
= m a . m b
Sistemas de medición angular II - Por productos notables: *
x
2 - y2 = (x + y)(x - y)
* x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y 2) * x3 - y3 = (x - y)(x2 + xy + y2)
- Convertir 40° al sistema radial. Tenemos: S = 40 ® R Como: S R 40 R = ® = p p 180 180 2p = R 9
Fórmula general de conversión Es la relación existente entre los números que representan la medida de un ángulo en los tres sistemas conocidos. Si en el gráfico adjunto, tenemos el ángulo “q” y sus medidas son:
q
® en el sistema sexagesimal Sº g ® en el sistema centesimal C R rad ® en el sistema radial
La fórmula de conversión es: S C R = = 180 200 p S C S C ® = como: = 180 200 9 10
\ 40° =
2. En problemas de simplificación: Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 3S - 2C E= C-S Como: ìS = 9k S C = = k íC = 10k 9 10 î
Luego: E=
cumpliéndose además que: -
Número de minutos sexagesimales = 60 S Número de segundos sexagesimales = 3600 S Número de minutos centesimales = 100 C Número de segundos centesimales = 10000 C
2p rad 9
3(9k ) - 2(10k ) 27k - 20k 7k = = 10k - 9k k k E= 7
3. En problemas de interpretación: Siendo “S” y “C” lo conocido para un mismo ángulo, tal que: S = n + 1 y C = n + 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo?
Uso de fórmulas
Como:
1. Para conversión:
ìS = 9k S = n + 1 y C = n + 3 ® C - S = 2 íC = 10k î Luego:
- Convertir 54° al sistema centesimal: Tenemos: S = 54 ® C Como: S C 54 C = = ® 9 10 9 10 60 = C \ 54° = 60g
30
ìS = 18 10k - 9k = 2 ® k = 2 íC = 20 î por lo tanto el ángulo mide 18°
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Test de apr endi zaje pr evio 1. Complete correctamente: S = C = R 180 si “S” , “C” y “R ” son los números de grados sexagesimales, grados centesimales y de radianes de un mismo ángulo.
6. Complete correctamente S = C = R 9
2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo; calcular: 4S - 3C L= C-S
7. Calcular: E = C + S C -S
3. Siendo "S" , "C" y "R" lo conocido para un ángulo no nulo; señale el valor de: S+C L= 19R
4. Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: 2S - C = 16 siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo.
5. Señale la medida radial de un ángulo que cumple: C-S=4 siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo.
Organización Educativa
TRILCE
8. Hallar la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: 2C - S = 22
9. Calcular: P=S+C C S
10.Reducir: 2 2 P = C -S C (C - S )
31
Sistemas de medición angular II
Pr act iquemos 1. Dos números están en la relación de 2 a 3. Si su suma es 20, ¿cuál es el mayor de los números? a) 8 d) 15
b) 12 e) 14
c) 16
2. Dos números están en la relación de 3 a 4. Si su suma es 21, ¿cuál es el menor de los números? a) 6 d) 12
b) 3 e) 8
c) 9
3. Si la suma de dos números es al mayor como 7 es a 5, ¿cuál es la relación entre el mayor y el menor de los números? a) d)
3 2
b)
7 3
e)
4 3
c)
5 2
8 5
4. Si la diferencia de dos números es al menor como 8 es a 3, ¿cuál es la relación entre el mayor y el menor de los números? a) d)
7 3
b)
11 3
e)
9 2
c)
10 3
17 6
5. Sabiendo que:
32
4 5
a)
1 2
b)
1 3
d)
1 6
e)
1 8
b) 2 1 e) 3
c) 3
e)
5 4
1 4
8. Sabiendo que: ab 2
3 = ¿cuál es el valor de “a” ?
a)
1 3
b)
2 3
d)
4 3
e)
5 3
b
27
c) 3
9. Simplificar: (3a + b) 2 + ( a - 3b) 2 E= a2 + b2
a) 2 d) 7
b) 3 e) 10
c) 5
a) 1 d) 7
b) 3 e) 10
c) 5
11.Reducir: x 2 - 3x - 4 x 2 - 4x - 5 E= x +1 x -5
(34a)3 = 275
2 b) 3
c)
(2a + b) 2 + (a - 2b) 2 E= a2 + b 2
¿cuál es el valor de “a” ?
d)
2 = 6 4 a ¿cuál es el valor de “a” ?
(23a)4 = 42
6. Sabiendo que:
1 a) 4
34
10.Simplificar:
¿cuál es el valor de “a” ? a) 1 1 d) 2
7. Sabiendo que:
3 c) 5
a) 1 d) 3
b) -1 e) -5
c) -3
12.Reducir: x 2 + 3x + 2 x 2 + 4 x - 5 E= x +1 x+5
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 13.Señale el equivalente de 40g en el sistema sexagesimal. a) 18° d) 36°
b) 20° e) 42°
c) 24°
14.Señale el equivalente de 72° en el sistema centesimal. a) 80g d) 90g
b) 70g e) 86g
20.Siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 2pS - 30R E= pC + 20R a) 1
c) 60g d)
15.Señale el equivalente de 48° en el sistema radial. a) d)
p
15
rad
4p 15
16.Señale
b)
2p 15
e)
7p 15
c)
p
7p b) 20
7p d) 12
7p e) 15
7p c) 9
17.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 4S - 3C E= C-S a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
18.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 3C - 2S E= C-S a) 6 d) 8
b) 12 e) 16
c) 18
19.Siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: pC - 20R E= pS - 20R a)
7 8
b)
7 6
d)
9 5
e)
9 8
c)
9 7
c)
2 3
4 3
21.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: C2 - S 2 E= 2 C + CS
a) 10 d)
1 20
b)
1 10
c) 20
e) 40
22.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: 4 C 2 + 10S 2 E= 2C 2 - CS
a) 3 d) 9
b) 5 e) 11
c) 7
23.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = x + 2 y C = x + 3, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
24.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, tales que: S = 3x + 1 y C = 2x + 3, ¿cuál es el valor de “x” ? 5 14 17 a) b) c) 12 13 6 d)
17 12
e)
17 15
25.Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n + 1 y C = n + 4; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 18° d) 15°
b) 9° e) 36°
c) 27°
26.Señale la medida sexagesimal de un ángulo tal que: S = n - 1 y C = n + 1; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 10° d) 36°
Organización Educativa
e)
5
el equivalente de 70g en el sistema radial.
7p a) rad 10
3 2
b) 2
TRILCE
b) 9° e) 54°
c) 18° 33
Sistemas de medición angular II 27.Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 2n + 1 y C = 3n - 16; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) g d) 40g 1 0
b) 20g e) 50g
c) 30g
28.Señale la medida centesimal de un ángulo tal que: S = 7n + 1 y C = 8n; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 10g d) 40g
b) 20g e) 50g
c) 30g
29.Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 5, como 19 es a 3, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 10° d) 21°
b) 15° e) 24°
31.Si la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la diferencia de los mismos números, como 19 veces su número de grados sexagesimales es a 6. ¿Cuál es la medida circular del ángulo? a) d)
b) 25g e) 75g
20
rad
p
b) e)
60
p
18
c)
p
30
p
180
32.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo es a la suma de los mismos números, como su número de grados centesimales es a 152. ¿Cuál es la medida radial del ángulo? a)
c) 18° d)
30.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es a 3, como 5 es a 2. ¿Cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 10g d) 45g
p
p
50
rad
p
15
b) e)
p
25
c)
p
10
p
28
c) 35g
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. Se definen las operaciones:
3. Señale la medida en radianes de un ángulo que cumple:
a b a Ä b = 2a - b
(C + S)(C3 - S3) - (C - S)(C3 + S3) = 6(SC2 - S3)
a ¨ b =
Según lo anterior, halle la medida circular del ángulo que cumple: S Ä C S ¨ C = 80 siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. 3p a) rad 20
d)
11p 20
7p b) 20
e)
9p c) 20
2p 15
(2S + C)2 + (S - 2C)2 = 181C siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.
34
b) 20g e) 50g
a)
3p rad 10
b)
3p 20
d)
2p 5
e)
7p 200
c) 30g
c)
3p 200
4. Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento suman 94. ¿Cuánto mide el ángulo? a) 18° d) 36°
2. Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple:
a) 10g d) 40g
siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.
b) 60° e) 30°
c) 54°
5. Si el número de grados centesimales de un ángulo, con el número de grados sexagesimales de su suplemento; se diferencian en 48. ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 100° d) 108°
b) 90° e) 120°
c) 96°
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Tar ea domiciliar ia 1. Si la suma de dos números es 28, además los números están en la relación de 3 es a 4. Calcular el mayor número. a) 12 d) 18
b) 15 e) 20
c) 16
2. Dos números son entre sí como 3 es a 8. Si la suma de ambos es 154, dar el menor. a) 36 d) 52
b) 42 e) 68
b) 91 e) 137
c) 117
4. Si la suma de dos números es a su diferencia como 18 es a 17. ¿Cuál es la relación entre los números? (menor a mayor) 1 1 a) 25 b) 25 c) 15 1 d) 35 e) 35 5. Reducir: 2 2 2 C = (x + y) - x - y 4xy
a) 2 d) 1
c) 12
b) 4 e) 3
6. Reducir: 2
F= a+1 - a-1 a a
) (
(
a) 4 d) 1
b) 8 e) a + a-1
7. Factorizar:
8. Factorizar: a) (x - 3) (x - 7) c) (x - 7) (x + 3) e) (x + 2) (x - 2)
)
2
c) 16
I = x4 + 2x3 + 3x6
a) x3 c) x3 (3x3 + x + 2) e) x(x - 2)
2 2 Z = x - x - 6 + x + 3x - 10 x-3 x+5
a) x d) x + 4
b) x3 (x + 2) d) x2 (x + 2)
Y = x2 - 10x + 21 b) (x + 3) (x - 7) d) (x + 3) (x - 1)
Organización Educativa
TRILCE
b) 4 e) 2x + 4
c) 2x
10.Reducir: 2 2 A = x + 4x - 77 - x + x - 42 (x - 7) (x + 7)
c) 48
3. Dos números están en la relación de 5 a 13. Si una excede al otro en 72, ¿cuál es el mayor? a) 104 d) 124
9. Reducir:
a) 11 d) 2x
b) 6 e) x
c) 17
11.Usando la fórmula general de conversión, exprese 72° en el sistema centesimal. a) 70g d) 66g
b) 80g e) 92g
c) 90g
12.Usando la fórmula general de conversión, exprese 60° en el sistema radial. a) 5p rad d) p3
b) 4p e) p9
c) 6p
13.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = 3C-S C-S a) 11 d) 23
b) 17 e) 24
c) 21
14.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: E = 5S-2C C-S a) 10 d) 25
b) 15 e) 35
c) 20
15.Siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: S-20R E = ppC-40R a) 1 d) 12
b) 2 e) 13
c) 3
35
Sistemas de medición angular II 16.Siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir: C-30R E = 2ppS-80R a) 1,7 d) 3,4
b) 1,6 e) 3,7
c) 3,2
17.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo, tal que: S = 7x + 1 y C = 8x, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 3 d) 4
b) 5 e) 6
c) 7
18.Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo, tal que: S = n + 1 y C = n + 2, ¿cuál es el valor de “n” ? a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
19.Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: S = 3n + 6 y C = 4n + 2; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 18° d) 36°
b) 25° e) 30°
c) 27°
20.Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: S = 2n + 1 y C = 3n - 2; siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) 5° d) 8°
b) 6° e) 9°
c) 7°
22.Si la diferencia de los números de grados centesimales y sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 6, ¿cuál es la medida centesimal del ángulo? a) 40g d) 70g
b) 50g e) 80g
c) 60g
23.Si el triple del número de grados centesimales de un ángulo, excede al doble de su número de grados sexagesimales en 24, ¿cuál es la medida sexagesimal del ángulo? a) 16° d) 40°
b) 18° e) 48°
c) 36°
24.Si el número de grados sexagesimales de un ángulo, con el número de grados centesimales de su complemento, suman 96. ¿Cuál es la medida radial del ángulo? a) p3 rad d) 6p
b) 4p p e) 10
c) 5p
25.Señale la medida circular de un ángulo si su número de grados centesimales excede al número de grados sexagesimales de su suplemento en 48. a) 5p rad p d) 11 10
b) 35p 7p e) 10
c) 34p
21.Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo es igual a 95, ¿cuál es la medida sexagesimal de dicho ángulo? a) 30° d) 50°
36
b) 40° e) 60°
c) 45°
Cuarto Año de Secundaria
Sistemas de medición angular III
5
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivo: - Ampliar las aplicaciones de los criterios de conversión entre sistemas de medición y el uso de la fórmula general de conversión, a problemas de nuevas características y de mayor grado de dificultad.
Pr act iquemos 1. Exprese 15g en el sistema sexagesimal. a) 13°30’ d) 15°30’
b) 14°30’ e) 12°30’
c) 15°
2. Exprese 25g en el sistema sexagesimal. a) 19°30’ d) 26°30’ p
3. Exprese
48
b) 22°30’ e) 18°30’
72
b) 3°15’ e) 3°30’
5. Exprese
80
a) 15°21’ 49’’ d) 15°20’ 49’’
p
13
c) 3°45’
b) 3g15m e) 2g75m
2 3 d) 2
b)
2p rad = 5a°2b' 4c' ' 7
calcular: E=
c) 2g20m
b) 2 3 e) 2
d) 4
c) 3
2C - S = 44
c) 3g75m
c) 11°17’ 42’’
a + b c
11.Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados sexagesimales (S) y centesimales (C), cumplen:
d) b) 10°35’ 18’’ e) 11°36’ 42’’
c) 1
10.Sabiendo que:
rad en el sistema sexagesimal.
a) 10°35’ 16’’ d) 11°36’ 15’’
a + b c
4 3 e) 3
a)
a) 17
rad = 1a°b0' 4c ' '
E=
c) 2°15’
3p rad en el sistema centesimal. 160
a) 3g25m d) 3g45m 7. Exprese
c) 16°21’ 49’’
9. Sabiendo que:
a) 1 b) 2g15m e) 2g50m
p
b) 16°20’ 49’’ e) 16°30’ 46’’
rad en el sistema centesimal.
a) 2g30m d) 3g40m 6. Exprese
rad en el sistema sexagesimal.
c) 24°30’
rad en el sistema sexagesimal.
a) 2°45’ d) 2°30’ p
11
rad en el sistema sexagesimal. b) 2°45’ e) 3°15’
p
p
calcular:
a) 2°30’ d) 3°30’ 4. Exprese
8. Exprese
p
2 p
6
rad
b) e)
p
4 p
9
c)
p
5
Sistemas de medición angular III 12.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 3S - C = 34 siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) d)
p
10
rad
p
b) e)
9
p
36
c)
p
20
p
45
13.Señale la medida circular de un ángulo que cumple: C - S + 20R = 4,1416 (p = 3,1416) siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para dicho ángulo. a) d)
p
10
rad
p
b) e)
60
p
20
c)
d)
p
11
rad
p
b) e)
44
40
50
p
22
p
rad
5 2p d) 5
b) e)
55
p
p
20 p d) 5
38
rad
b)
a) d)
3
c)
2p 3
9
p
10 2p e) 5
c)
p
c)
5 p e) 9
p
6
p
9
rad
p
b) e)
36
p
10
c)
p
18
p
20
p
19
rad
4p 19
b)
2p 19
e)
5p 19
c)
3p 19
20.Señale la medida radial de un ángulo, si la suma de los números que representan su medida en los tres sistemas conocidos es igual a la suma de los números que representan su complemento en los mismos sistemas. a)
p
b)
19.Señale la medida radial de un ángulo, si el número que representa su complemento en centesimales es igual a su número de grados sexagesimales.
p
16.Si la media geométrica de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo es igual a 9 10 , ¿cuál es la medida circular del ángulo? a)
a)
p
33
rad
18.Si la diferencia de los números de segundos centesimales y segundos sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 135200, ¿cuál es la medida circular del ángulo?
d)
c)
p
4 p d) 8
p
15.Si la media aritmética de los números de grados sexagesimales y centesimales que contiene un ángulo es igual a 76, ¿cuál es la medida circular del ángulo? a)
a)
p
14.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 2C - S + 22R = 13,1416 siendo “S” , “C” y “R ” lo conocido para dicho ángulo. a)
17. Si la suma de los números de minutos sexagesimales y minutos centesimales que contiene un ángulo es igual a 6160, ¿cuál es la medida circular del ángulo?
d)
p
2 p
5
rad
b) e)
p
c)
4
p
8
2p 5
3p 20
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. En Álgebra se define una función llamada logaritmo de “x” en base “b” , denotado por “logbx” y se define por:
3. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: S3 + S 2 + S = 0,9 C 3 + C2 + C
logbx = n « x = bn; b > 0, b ¹ 1 cumpliéndose además que: logbx1 + logbx2 = logb(x1.x2) según lo anterior, halle la medida radial de un ángulo que cumple: logS + logC = 1 (obs.: log10x = logx) siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo. a) d)
p
30
rad
p
540
b) e)
p
60
c)
p
180
p
150
1 öæ 1 öæ 1 ö æ 1 ö 10 æ = çç1 + S ÷÷çç1 + S + 1 ÷÷çç1 + S + 2 ÷÷...çç1 + S + 5 ÷÷ C è øè øè ø è ø
siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.
d)
p
30 p
6
rad
b) e)
p
3
a)
c)
d)
Organización Educativa
TRILCE
p
190
b) e) -
p
380
c)
p
190
p
570
p
3
rad
p
6
b) e)
p
4
c)
p
5
p
9
5. Se tienen dos ángulos complementarios tales que la suma del número de minutos sexagesimales de uno con el número de segundos centesimales del otro es igual a 104860. ¿Cuál es la medida circular del menor de los ángulos? a)
7p rad 20
b)
d)
7p 10
e)
p
45
380
rad
4. Si el número de grados sexagesimales de un ángulo es al número de grados centesimales de su suplemento como 9 es a 40, ¿cuál es la medida circular del ángulo?
p
60
p
d) -
a)
2. Señale la medida circular de un ángulo que cumple:
a)
siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.
9p 20
c)
9p 10
p
20
39
Sistemas de medición angular III
Tar ea domiciliar ia p rad en el sistema 1. Señale el equivalente de 40 sexagesimal.
a) 4° 15’ d) 3° 75’
b) 4° 30’ e) 4° 75’
c) 3° 15’
9p rad en el sistema cen2. Señale el equivalente de 400 tesimal. a) 3g 45m d) 4g 50m
b) 3g 50m e) 5g 25m
c) 4g 20m
3p rad en el sistema 3. Señale el equivalente de 11 sexagesimal. a) 49° 5’ 27’’ c) 49° 12’ 27’’ e) 52° 17’ 32’’
b) 49° 17’ 36’’ d) 51° 19’ 37’’
4. Señale el equivalente de 37p rad en el sistema sexagesimal. a) 73° 14’ 18’’ c) 77° 8’ 34’’ e) 81° 7’ 42’’
b) 76° 18’ 24’’ d) 69° 26’ 4’’
5. Siendo: 2p rad = 2a° 4b' 3c'' 13 calcular: a) 1 d) 4
E = (a + b) ÷ c b) 2 e) 5
c) 3
6. Señale la medida circular de un ángulo, si el doble de su número de grados centesimales es mayor que su número de grados sexagesimales, en 33. a) p rad 20 d) p3
b) 320p 2p e) 11
c) 5p
7. Señale la medida radial de un ángulo que verifica: C-S = 4R 2C-S 11p
40
siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) p3 rad d) 6p
b) 4p e) p8
c) 5p
8. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C + 20R = 11,1416 Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo. (p = 3,1416) p rad a) 10 p d) 40
b) 5p p e) 60
p c) 20
9. Señale la medida circular de un ángulo, sabiendo que la suma de los cuadrados de sus números de grados sexagesimales y centesimales, es al producto de dichos números como 362 veces el número de radianes es a 45p. a) 2p rad d) 6p
b) 4p p e) 12
c) p3
10.Señale la medida circular de un ángulo; sabiendo que la suma del producto de su número de grados centesimales con el cuadrado de su número de grados sexagesimales y el producto de su número de grados sexagesimales con el cuadrado de su número de grados centesimales; es igual a 38/p veces su número de radianes. p rad a) 36 p d) 3600
p b) 360 p e) 600
p c) 720
11.Señale la medida radial de un ángulo, si el doble de su número de grados sexagesimales excede a su número de grados centesimales, en 16. p rad a) 18
p b) 20
p d) 36
p e) 72
p c) 10
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 12.Señalar la medida circular de un ángulo que cumple: 3C-2S = 6R 2S-C 5p siendo "S", "C" y "R" lo conocido. a) 4p rad d) 32p
c) 34p
b) p2 e) 54p
13.Señale la medida radial de un ángulo que cumple: 3S - 2C + 35R = 7,1416 Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo. p = 3,1416)
18.Señalar la medida circular de un ángulo que verifica: S3p + C3 p + 20R 3 = S2 + C 2 + R 2 9 10 Siendo "S", "R" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) p2 rad d) 6p
p b) 20 1 e) 20
c) 5p
19.Señale la medida centesimal de un ángulo sabiendo que el cuádruple de su número de grados sexagesimales es mayor en 217 que la mitad de su número de grados centesimales.
(
a) 5p rad p d) 21
b) 7p p e) 60
p c) 35
14.Sabiendo que la diferencia de los cuadrados de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo, es al producto de dichos números; como 38 veces su número de radianes es a 135p, señale la medida radial del ángulo. a) 4p rad d) 32p
b) p2 e) 34p
c) p
15.Señale la medida radial de un ángulo sabiendo que el producto de los números que representan su medida en los tres sistemas conocidos, es igual a p /6. a) p3 rad p d) 60
b) 5p p e) 30
c) 6p
16.Sabiendo que la suma de las inversas de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, es a su diferencia; como 38 veces su número de radianes es a p. ¿Cuál es la medida circular de dicho ángulo? a) p2 rad d) 6p
b) p3 e) 5p
c) 4p
b) 5m e) 27m
Organización Educativa
b) 40g e) 70g
c) 50g
20.Sabiendo que el número de grados centesimales que contiene un ángulo excede a su número de grados sexagesimales en 8, ¿cuánto mide el ángulo en radianes? a) 4p rad d) 25p
b) p3 p e) 10
c) 5p
21.Señale la medida circular de un ángulo que satisface la siguiente condición: S + C + 20R = 1 9 10 p p rad a) 100
p b) 150
p d) 200
p e) 250
p c) 180
22.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: 1 - 1 = 1 S C 400 a) 29p rad d) 76p
b) 34p e) 92p
c) 53p
23.Señale la medida circular de un ángulo que verifique:
17. Si la suma de los números de grados sexagesimales y centesimales de un ángulo, es igual a 19 veces su número de grados sexagesimales dividido entre su número de minutos centesimales. Señale la medida centesimal del ángulo. a) 3m d) 18m
a) 30g d) 60g
c) 9m TRILCE
n = 1+ 1 S C
(
) (1 + C 1+ 1 ) (1 + C 1+ 2 ) ...
1444444 2444444 3
"n" términos
siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
np rad a) 180 np d) 360
np b) 1800 np e) 720
np c) 3600
41
Sistemas de medición angular III 24.Si la diferencia de los números de minutos centesimales y minutos sexagesimales que contiene un ángulo es igual a 460, ¿cuál es la medida circular del ángulo? p rad a) 18 p d) 30
42
p b) 10 p e) 36
p c) 20
25.Si la suma de los números de minutos sexagesimales y segundos centesimales de un ángulo es igual a 402160, ¿cuál es la medida circular del ángulo? a) 4p rad d) p9
b) 5p e) 6p
p c) 10
Cuarto Año de Secundaria
Cálculo de la longitud de un arco
6
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Cálcul Cálculo o de la long longitu itud d de un arco
- Recon Reconocer ocer que que los los arcos arcos tienen tienen dos dos tipos tipos de medi medición ción:: angular y lineal. - Dibuja Dibujarr correct correctame amente nte un un sector sector circul circular ar y reconoc reconocer er sus elementos. - Calcular Calcular correctam correctamente ente la longitud longitud de un arco arco y aplicar aplicar la fórmula de manera eficiente a la resolución de ejercicios de interpretación y aquellos que contienen gráficos.
Conceptos previos - Circ Circun unfe fere ren ncia cia
Conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A la distancia común del centro a los puntos del plano que verifican lo anterior se le denomina radio de la circunferencia. circunferencia. P r C
(C; P) =
O R
P
q rad L R
Q
L = qR Note que el ángulo central debe estar expresado en radianes; y que en la gran mayoría de ejercicios se toma como referencia al sector circular que limita el ángulo central y el arco correspondiente; por ello en los ejercicios sólo se dibujará el sector y no toda la circunferencia. Por ejemplo, calculemos la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 30° en una circunferencia de 18 cm de radio.
r: radio d
R
- Trazamos OP y OQ , cuya longitud es igual a “R ” ”. ˆ Q = q rad ... (en radianes) - Sea m PO - Lueg Luegoo la la lon longi gitu tudd de PQ es “L” y y se calcula así:
(Elementos de geometría)
C: centro
Si consideramos una circunferencia de radio “R ” ” y y un arco de ella PQ, procederemos a calcular la longitud de PQ de la siguiente manera:
Resolución:
r " P Î 18 cm A
A la porción de circunferencia limitada por dos puntos de ella tales como “P” y “Q” se le denomina arco ( PQ: arco PQ). Mientras que a la región limitada por ˆ Q , se le denomina sector PQ y el ángulo central PO circular POQ. P sector circular O Q
O
30º
18 cm
ˆ B = 30° = q - m AO prad p - q = 30°. ® q = rad 180° 6
- L = qR = L = 3p cm
p
6
.18
L B
Cálculo de longitud de un arco
Tes estt de apr apr endi zaje pr evio 1. Dibuje un sector circular circular indicando indicando su ángulo ángulo central central de medida 60° y su radio de medida 12 cm.
6. Calcul Calcular ar la longitu longitudd del arco arco AB . A c m 2 5
O
40g 2 5 5c c m m
B
2. En el sector circula circularr mostrado, mostrado, calcular calcular la longitud longitud del arco AB . A
7.
H
a l la r
“
qrad” , si:
12
A 4m
O
B
12
O
8m
qrad 4m
3. En el sector circula circularr mostrado, mostrado, calcular calcular la longitud longitud del arco PQ .
8. Calc Calcul ular ar L AB , si:
P
A
6
2p rad 3 O
O
2rad
Q
6
4. En el sector circula circularr mostrado, mostrado, calcular calcular la longitud longitud del arco CD .
B
9. Calc Calcuular lar “q” en en el sistema sexagesimal. A 3
C 8 O
B
O
3
45º 8
p
q B
D
10.Calcular “q” en en el sistema centesimal. A
5. En un sector circular circular el el arco mide 2p cm y el radio 18. 18.cm ¿Cuál es la medida sexagesimal del ángulo central?
4 O
2p
q 4
44
B
Cuarto Año de Secundaria Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Pr act iq ique uemos mos 1. Calcular Calcular la longitud longitud de un arco arco correspon correspondiente diente a un ángulo central de 45° en una circunferencia de 24 cm de radio. a) p cm cm d) 4p
b) 2p e) 6p
8. De acuerdo acuerdo al gráfico gráfico,, calcular calcular “ L PQ ” . 20 cm
P
c) 3p
O
2. Calcular Calcular la longitud longitud de un arco arco correspon correspondiente diente a un ángulo central de 60° en una circunferencia de 18 cm de radio. a) 2p cm cm d) 5p
b) 3p e) 6p
c) 4p
3. Calcular Calcular la longitud longitud de un arco arco correspon correspondiente diente a un ángulo central de 70g en una circunferencia de 200 cm de radio. a) 50p cm cm d) 140p
b) 35p e) 280p
c) 70p
4. Calcular Calcular la longitud longitud de un arco arco correspon correspondiente diente a un g ángulo central de 40 en una circunferencia de 25 cm de radio. a) p cm cm d) 4p
b) 2p e) 5p
c) 3p
5. En un sector circula circularr, el ángulo central central mide mide 20° y el radio mide 45 cm. cm. ¿Cuál es el perímetro del sector? a) 5(18 (18 + p) d) 6(15 (15 + p)
b) 6(18 + p) e) 4(25 + p)
c) 5(16 + p)
6. En un sector circular circular,, el ángulo central central mide 10g y el radio mide 40 cm. ¿Cuál es el perímetro perím etro del sector? a) 2(p + 20) d) 4(p + 40)
b) 2(p + 40) e) 2(p + 30)
c) 4(p + 20)
A
20º
O
B
P
a) p cm cm d) 4p
b) 8p e) 2p
Organización Educativa
c) 16p
TRILCE
b) 2p e) 6p
c) 3p
9. Un triángulo triángulo ABC está inscrito en una circunferencia circunferencia de ˆ 9 cm de radio. Si se sabe que m A m A = 102° y m Bˆ = 20g, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo Cˆ ? a) p cm cm d) 4p
b) 2p e) 6p
c) 3p
10.U 10.Unn triángulo ABC está inscrito i nscrito en una circunferencia circunferencia de 18 cm de radio. Si se sabe que m A m Aˆ = 80g y m Bˆ = 28°, ¿cuánto mide el arco que subtiende al ángulo Cˆ ? a) p cm cm d) 16p
b) 2p e) 32p
c) 3p
11.E 11.Enn un sector circular el arco mide 100 cm. Si el ángulo central se reduce a su cuarta parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) 10 100 cm d) 125
b) 50 50 e) 25
c) 15 150
12.E 12.Enn un sector circular el arco mide 24 cm. Si el ángulo central se triplica y el radio se reduce a su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: b) 24 e) 30
c) 48
13.En un sector circular el arco mide “L” . Si el ángulo central central se reduce en su tercera parte y el radio se incrementa i ncrementa en el triple, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
36 cm
a) p cm cm d) 4p
S
Q
a) 36 cm d) 72
7. De acuerdo acuerdo al gráfic gráfico, o, calcular calcular “ L AB ” .
20g
a)
1 L 6
b)
2 L 3
d)
8 L 3
e)
8 L 9
c)
4 L 3
45
Cálculo de longitud de un arco 14.En un sector circular el arco mide “L” . Si el ángulo central se incrementa en su mitad y el radio se reduce en su mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a)
3 L 2
3 L 4
b)
3 d) L 5
c)
2 L 3
17. De acuerdo al gráfico, calcular: K=
L1 + L 2 L3
si: L1, L2 y L3 son arcos con centro en “O” . A
5 e) L 6
C E L1
O
15.De acuerdo al gráfico, calcular:
L2
L3
F D
L +L K= 1 2 L3
B
a) 1 1 d) 2
C L2
L1 D
E
b) 2 2 e) 3
c) 3
18.De acuerdo al gráfico, calcular:
M L3 A
K=
60º
45º
O
L1 - L 3 L2
B
26 3
a) 7
b)
d) 4
25 e) 3
c)
17 3
si L1, L2 y L3 son arcos con centro en “O” . E
3
L3
O 3
F
16.De acuerdo al gráfico, calcular: K=
L1 + L 3 L2
a) 0,2 d) 0,8
L1
A
2 A
2 C
L2 2 D
b) 0,4 e) 1
L1
2
B
c) 0,6
19.Del gráfico, calcular “q” , si: L AD = L BC . D
A
B 1 D
M L2
30º
N O
a) d)
46
5 3
4 3
b) e)
7 3
7 4
15º
B
3 C
O
L3
c)
3 2
a) d)
p
6 p
7
q rad
b) e)
3p 14
C
c)
p
14
p
21
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 20.Del gráfico, calcular “q” , si: L AD = 2 L BC
a)
B
d)
D
q rad
A
O
2
p
b)
4 p
e)
7
p
c)
5
p
6
p
8
C
3
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. En Aritmética es común llamar media geométrica de los números a1, a2, a3, ... an a la cantidad:
4. Calcule la longitud del arco correspondiente a un ángulo central de:
mg = n a1 .a2 .a3 .a 4 .....an
ì x°(3x)' ü° í ý î (7x)' þ
Si en un sector circular la media geométrica del radio, arco y ángulo central (su número de rad.) es igual a 4, ¿cuál es la longitud del arco del sector?
en una circunferencia donde un cuadrado inscrito tiene sus lados de longitud 2 2 cm.
a) 2 d) 8
a)
b) 4 e) 16
c) 6
2. Cuando se define el sector circular como una porción de círculo, su ángulo central no debe exceder a 360°; es decir, el ángulo central de un sector circular debe estar comprendido entre <0°; 360°> ó en radianes entre <0; 2p rad>. Si en un sector circular el radio mide 8cm y el número de radianes del ángulo central es el máximo entero posible, ¿cuánto mide el arco? a) 24 d) 2880
b) 48 e) 3600
c) 36
p
10 3p d) 10
cm
b) e)
p
c)
5 p
9
5. En el gráfico el triángulo comienza a girar en el sentido indicado alrededor de cada vértice hasta tener nuevamente a AC como base y manteniéndose en todo instante en el mismo plano vertical. Si el triángulo ABC es equilátero, determine la longitud de la trayectoria descrita por el punto “P” . B
B
3 P
3. De acuerdo al gráfico, calcular:
P
2
(L1 + L 4 )2 - (L1 - L 4 )2 K= (L 2 + L 3 )2 - (L 2 - L 3 )2
...
Recuerda para ello el triángulo notable de 30° y 60°. C
A
1
L1
aº
E
q
g
L3 D
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
Organización Educativa
60º
2
C
O
2p 5
L2
TRILCE
30º
B 3
F L4 B
c) 3
A
2p (5 + 19 ) 3 2p c) (3 + 19 ) 3 2p e) (1 + 19 ) 3
a)
p
(5 + 19 ) 3 2p d) (4 + 19 ) 3 b)
47
Cálculo de longitud de un arco
Tar ea domicili ar ia 1. Calcular la longitud de un arco, correspondiente a un ángulo central de 60º en una circunferencia de 24 m de radio. a) 6p m d) 5p
b) 7p e) 10p
c) 8p
2. Calcular la longitud de un arco, correspondiente a un ángulo central de 72º en una circunferencia de 25m de radio. a) 10pm d) 13p
b) 11p e) 16p
c) 12p
3. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo inscrito de 24º en una circunferencia de 36dm de radio. a) 8,6pdm d) 4,8p
b) 9,6p e) 8,8p
c) 10,6p
4. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo inscrito de 15º en una circunferencia de 24dm de radio. a) 4pdm d) 3p
b) 5p e) 8p
c) 6p
5. Calcular la longitud de un arco correspondiente a un ángulo central de 40g en una circunferencia de radio 10 cm. a) p cm d) 5 p
b) 2 p e) 7 p
c) 3 p
6. En un sector circular, el arco mide 5 p m y el ángulo central 30°. ¿Cuánto mide el radio? a) 30 m d) 42
b) 33 e) 48
c) 38
7. En un sector circular el radio mide 2 cm y el ángulo p central mide 45°. Calcular el arco correspondiente. a) 0,1 cm d) 0,4
b) 0,2 e) 0,5
c) 0,3
8. En un sector circular el arco mide 16 p m y el ángulo central mide 144°. Calcular el radio. a) 14 m d) 20
48
b) 16 e) 23
c) 18
9. En un sector circular la medida del radio y el arco están representados por dos números enteros consecutivos. Si el perímetro del sector es 19 cm, ¿cuál es la medida del radio? a) 3 cm d) 6
b) 4 e) 8
c) 5
10.En un sector circular el arco y el radio están representados por dos números enteros consecutivos. Si el semiperímetro del sector mide 7 m, calcular el ángulo central de dicho sector. a) 0,2 rad d) 0,7
b) 0,4 e) 0,8
c) 0,6
11.En un sector circular la medida del arco y el radio están representados por dos números enteros pares y consecutivos. Si el perímetro del sector es 20cm, ¿cuál es la medida del ángulo central? a) 4 rad 3 d) 32
b) 43 e) 12
c) 23
12.En un sector circular, el ángulo central mide 40° y su arco es L1. Si se reduce el ángulo en 8° y el radio se duplica, se genera otro sector circular cuyo arco mide L2. Calcular “L1 /L2” . a) 54 d) 58
b) 53 5 e) 16
c) 56
13.En un sector circular, el arco mide “L” . Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica se genera otro sector circular cuyo arco mide “L2” . Calcular “L2” . a) 2L d) 6L
b) 3L e) 12L
c) 4L
14.En un sector circular, el arco mide “L” . Si el radio se incrementa en su triple y el ángulo central se reduce a la mitad, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide: a) L d) 4L
b) 2L e) 6L
c) 3L
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 15.En un sector circular el ángulo central mide 25° y el radio es “r” . Si el ángulo central se reduce en 15° y el radio se incrementa en “x” generando un nuevo sector circular cuyo arco mide igual que el arco original, ¿cuál es el valor de “x” ? a) 2r
b) 3r
d) 2r 3
e) 3r 4
A
O
)
b) 42 e) 50
L2
F
E= a) 3 d) 10
L3
C
B
b) 5 e) 11
c) 26p
18.En la figura se muestra un camino que consta de arcos, con sus datos claramente indicados. Determine la longitud de dicho camino.
L
O
9
L2
C
B
b) 2p e) 5p
c) 3p
22.En el gráfico, calcular "L". A D L
60°
C
B
L1
F
a) p d) 4p
A
D
E
O
9
c) 8
L1 + L2 + L = 12 p
c) 44
b) 25p e) 20p
L 3 + L 2 + L1 L1
21.En el gráfico, calcular "L" si:
17. Un tramo de una carretera está formada por dos arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 9km y un ángulo de 20º, el segundo tiene un radio de 72km y un ángulo central de 60º. Hallar la longitud total de este tramo.
40°
L1
Calcular:
(
a) 24p km d) 30p
D
E
c) 3r 2
16.Un tramo de una carretera está formada por dos arcos de circunferencia, el primero tiene un radio de 18.km y un ángulo central de 40º, el segundo tiene un radio de 36.km y un ángulo central de 50º. p = 22 7 Hallar la longitud total de este tramo. a) 35 km d) 40
20.Si en el gráfico: OE = OD = OA 2 5 9
C
10 p
1 2
B
12 A
a) 2p d) 5p
12
30°
b) 3p e) 6p
c) 4p
a) 2p d) 8p
b) 11p e) 26p
A D
E O
L1
c) 13p
L2
L
F C B
a) 4p d) 16p
Organización Educativa
c) 6p
23.En el gráfico, calcular “L” , si: L1 + L2 = 16p
19.Un tramo de una vía férrea consta de 3 arcos que subtienden ángulos centrales de 45°, 30° y 75° con radios iguales a 16 km, 24 km y 36 km. Hallar dicho tramo. a) 30p km d) 23p
b) 4p e) 10p
TRILCE
b) 8p e) 6p
c) 12p
49
Cálculo de longitud de un arco 25.
24.En el gráfico, calcular "a".
C a
l c u
l a r
"
q" del gráfico mostrado, si:
A
L2
D O
g
70
7p
14 p D B
a) 12 d) 20
50
b) 15 e) 23
c) 17
A
q
C
O
3p rad a) 11
3p b) 10
d) 103p
p e) 21
L1 3 . = L2 4
C
L1 B
c) 113p
Cuarto Año de Secundaria
Cálculo de la superficie de un sector circular
7
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Objetivos:
- Luego:
- Reconocer un sector circular, sus elementos y calcular su superficie de manera correcta. - Interpretar correctamente los ejercicios tipo enunciado y aplicar eficientemente las fórmulas a la resolución de ejercicios con gráficos.
Cálculo de la superficie de un sector circular
p
(2 3 )2 qR S= = 6 2 2 \ S = p cm2 2
También se puede adaptar el uso de la fórmula al cálculo de áreas de regiones que no tienen una fórmula determinada. Para ello, debemos recordar el área de una región triangular, de un cuadrado y un rectángulo: B
Como manifestábamos en el capítulo anterior, el sector circular limitado por el ángulo central y su arco correspondiente generan una región cuya área será nuestro objetivo y se calculará de la siguiente manera: A
A
H
S
R O
S
S=
q rad
L
R
C
base ´ altura AC ´ BH = 2 2 A
B cateto
qR 2 S= 2
LR S= 2
L2 S= 2q
S
B
Donde: q : número de radianes del ángulo central R: radio del sector L: longitud del arco correspondiente
S=
Además el uso de una u otra fórmula dependerá de los datos que presenten los ejercicios.
B
C
cateto
AB.BC 2
lado = L
Por ejemplo, calculemos la superficie de un sector circular cuyo ángulo central mide 30° y su radio mide 2 3 cm.
C L
Resolución:
A
D
S = L2 2 3 O
B
30º
2 3
- Note que:
A
B
C
altura
q = 30° ® rad q = 30°.
p rad p = rad 180° 6
A
base
S = base × altura
D
Cálculo de la superficie de un sector circular Por ejemplo, calcularemos el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado. 2
B
2
C
2
Resolución: En este caso, el área de la región sombreada (S) es igual a la diferencia del área del cuadrado y el área del sector circular ADC, esto es: S = S ABCD - S ADC ... (1) Luego: S ABCD = 2 2 = 4 p
.(2)2 qR S ADC = = 2 = p 2 2 2
A
2
D
En (1):
S = S ABCD - S ADC ® S = 4 - p
Test de apr endi zaje pr evio 1. Complete la fórmula para un sector circular de ángulo central “qrad” ; radio “R ” y arco “L” . El área del sector es: S = q . 2
5. Del gráfico, calcular: K = A 6 O
30º 40º 4
S1 B
S2
2. Con la misma consideración del ejercicio anterior, complete: "El área del sector es: S = L. 2
S1 S2
B
6. Calcular “S” , si: 3. En el sector mostrado, calcular su área.
A 6m
A O
10 cm O
prad
S
5
S
60º 6m
B
10 cm B
7. Calcular “S” , si: A
4. En el sector circular mostrado, calcular su área. 4m
4p cm
A
S
6 cm
O
50
g
S
4m O
52
6 cm
B
B
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 8. Calcular “S” , si:
10.Calcular “S” , si: D 2 m
S
8
S
4m
O
A
A
3S
6m O
C
B
8
2 m B
9. Calcular “S” , si: A
2rad
O
S
6m
B
Pr act iquemos 1. En un sector circular cuyo ángulo central mide 45° y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie? a) p cm2 d) 8p
b) 2p e) 16p
c) 4p
2. En un sector circular cuyo ángulo central mide 36° y su radio 2 10 cm, ¿cuál es su superficie? a) p cm2 d) 5p
b) 2p e) 10p
c) 4p
3. En un sector circular el arco mide 2p cm y el radio 8 cm, ¿cuál es su superficie? a) 2p cm2 d) 8p
b) 4p e) 16p
c) 6p
a)
d) 2p
d)
2
e)
a) d)
p
2
e)
2p 3
c)
3p 4
p
c)
3
p
6
2p 3
e)
7. Del gráfico, B A S2 30º
M
S1 calcular: K = S 2
S1
45º
6
a) 1 d) 4
TRILCE
3p 8
b)
12
O
Organización Educativa
cm2
p
p
5. En un sector circular el arco mide p /4 cm y el ángulo central de 30°, ¿cuál es su superficie?
b)
6. En un sector circular el arco mide p /3 cm y el ángulo central mide 60°, ¿cuál es su superficie?
4. En un sector circular el arco mide p /2 cm y el radio 6 cm, ¿cuál es su superficie? 3p 3p a) 3p cm2 b) c) 2 4 p
3p 2 cm 16
C
b) 2 e) 6
c) 3
53
Cálculo de la superficie de un sector circular 3. Se tiene un sector circular de superficie 36 cm2. Si el ángulo central se reduce a la mitad y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
S1 8. Del gráfico, calcular: K = S 2 A S1 60º
a) 36 cm2 d) 18
B
1 D S2
3
O
1 8
b)
1 4
d)
9 2
e)
9 8
c)
3 8
a) 32 cm2 d) 64
9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. 6 cm O
C
a) p d) 4p
A
15º D
2 3 cm
b) 2p e) 6p
B
c) 3p
10.Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. 7 cm
O
A C
60º 13 cm
D
b) 2p e) 6p
c) 3p
11.Se tiene un sector circular de área “S” . Si el ángulo central se duplica y el radio se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 9S d) 16S
b) 12S e) 15S
c) 18S
12.Se tiene un sector circular de área “S” . Si el ángulo central se triplica y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 4S d) 12S
54
b) 6S e) 18S
b) 24 e) 18
c) 16
5. Se tiene un sector circular cuya superficie es 24 cm2. Si el ángulo central se incrementa en su doble y el radio se reduce en su tercera parte, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 48 cm2 d) 36
b) 18 e) 32
c) 24
6. Se tiene un sector circular cuya superficie es 40 cm2. Si el ángulo central se reduce en su quinta parte y el radio se incrementa en su doble, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es: a) 80 cm2 d) 288
b) 576 e) 144
c) 72
7. Se tiene un sector circular de radio “R ” y ángulo central de 36°. Si se reduce el ángulo central en 11° y el radio se incrementa en “x” , de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x” ? a)
R 2
b)
R 4
d)
R 6
e)
R 9
B
a) p cm2 d) 4p
c) 144
4. Se tiene un sector circular de superficie 48 cm2. Si el ángulo central se reduce a su tercera parte y el radio se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya superficie es:
C
a)
b) 72 e) 96
c)
R 5
8. Se tiene un sector circular de radio “R ” y ángulo central de 49°. Si se reduce el ángulo central en 13° y el radio se incrementa en “x” , de modo que el área del nuevo sector generado es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x” ? a)
R 2
b)
R 3
d)
R 5
e)
R 6
c)
R 4
c) 9S
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 9. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada, si DAB es un sector circular con centro en “ A” .
10.Del gráfico, calcular el área de la región sombreada. E
B
C D
F
C
2 2 2 A
A
a) 4 - p d)
p
2
45º
b) 3 -
- 1
e) 2 -
a) 10 - p d) 10 - 2p
B
2 2
p
D
5
b) 5 - p e) 10 - 3p
c) 2p - 5
c) p - 3
2 p
2
Acept a el r et o TRILCE ...! 1. En un sector circular cuyo radio mide 4 cm, ¿cuál es el mínimo valor entero que puede tomar la superficie de dicho sector circular? a) 24 cm2 d) 18
b) 25 e) 28
4. Del gráfico, calcular: E = m + n B
c) 12
A
n
O
A m
S
D
p
B
S1 S 3 3. Del gráfico, calcular: K = S S 2 4
mS 3q q
æ m + n ö S = çç ÷÷ p (ABCD: trapecio circular) è 2 ø p
nS 2q
2. Demostrar que el área de la región sombreada es:
C
E
C
F
S
D
a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
5. Se sabe que una sucesión de números están en progresión aritmética cuando uno cualquiera de ellos es igual al anterior incrementado en una cantidad constante llamada razón de la progresión. Si en el gráfico “a” , “b” y “c” están en progresión aritmética y el área de la región sombreada es igual a 81 cm2, calcular “a + c” .
A
C
b
A
C S1 O
F
d) 4
e)
c b
S3 D
b) 2
D
E
S4
a) 1
a
O
S2
B
c)
a) 9 cm d) 12
b) 6 e) 36
B
c) 18
1 2
2
Organización Educativa
TRILCE
55
Cálculo de la superficie de un sector circular
Tar ea domiciliar ia 1. Calcular el área de un sector circular de radio 6 m y un ángulo central 60°. a) 3p m2 d) 8p
b) 4p e) 12p
9. Hallar el área del sector AOB mostrado. A 4m
c) 6p O
4m
2. Calcular el área de un sector circular cuyo arco mide 8 m y su ángulo central correspondiente 3 rad. m2
a) 6 d) 12
b) 4 e) 16
4m B
a) 4 m2 d) 10
c) 32 3
b) 6 e) 12
c) 8
10.Si: OA = AB = 8 m, hallar el área del sector AOB. A
3. Calcular el área de un sector circular de ángulo central 20g y de radio 10 m. a) p m2 d) 10p
b) 2p e) 15p
O
c) 5p
4. Determine el área de un sector circular cuyo radio y arco son números enteros consecutivos y de perímetro 16 m. a) 11 m2 d) 16
b) 13 e) 17
c) 15
5. En un sector circular el ángulo central mide 45º y el radio 8m. ¿Cuál es su área? a) p m2 d) 6p
b) 4p e) 2p
b) 2,5p e) 5,5p
40g y
b) 12p e) 14p
b) 45p e) 20p
3q 2q q 12m
c) 3,5p
c) 13p
a) 2p m2 d) 6p
b) 3p e) 12p
c) 4p
12.Del gráfico mostrado, calcular el área de la región sombreada. O m m 3 7
D
c) 48p
p rad
4
C
A B
a) 6p m2 d) 8p
56
c) 33 4 p
12 m
8. En un sector circular el ángulo central mide 40g y el arco 4p cm. ¿Cuál es su área? a) 40p cm2 d) 42p
b) 32 3 p e) 33 8 p
11.Hallar el área de la región sombreada.
el
7. En un sector circular el arco mide 2p cm y su radio 13.cm. ¿Cuál es su área? a) 11p cm2 d) 10p
2 a) 31 2 p m d) 37 5 p
c) 8p
6. En un sector circular el ángulo central mide radio 5 cm. ¿Cuál es su área? a) 1,5p cm2 d) 4,5p
B
b) 5p e) 16p
c) 7p
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 13.Del gráfico, calcular: S1
18.Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 25° y su radio es “R ”. Si se incrementa el ángulo central en 11° y se reduce el radio en “x” , se genera un nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Hallar “x” .
S2
A D
S1 C 6
a) R 6 d) R 3
30º O
a) 0,36 d) 0,64
B
5
b) 0,72 e) 0,86
c) 0,28
A
O S1
15º
a) 19 d) 23
4m 3m
C
B
30º
6
b) 13 e) 16
D
c) 29
a) 1 m2 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
20.Del gráfico calcular el área de la región sombreada. O
C
3 6 º
b) 3S e) 12S
c) 4S
b) 4S e) 8S
c) 6S
17.Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 49° y el radio es “r” . Si se reduce el ángulo central en 13° y se incrementa el radio en “x” , se genera un nuevo sector circular cuya área es igual a la del sector original. Calcular “x” . a) 2r 7 d) 6r
b) 7r e) 9r
Organización Educativa
A
2 p c m
16.Se tiene un sector circular de área “S” . Si el radio se triplica y el arco se duplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 3S d) 9S
C
B
D
15.Se tiene un sector circular de área “S” . Si duplicamos el radio y el ángulo central se triplica, se genera un nuevo sector circular cuya área es: a) 2S d) 6S
D
3m A
O
c) 2R 5
19.Calcular el área de la región sombreada.
14.Del gráfico, calcular: S1 S2 4
b) R 5 e) R 4
c) 3r
TRILCE
5 p c m
B
p cm2 a) 104 3 p d) 103 3
p b) 105 2 e) 752p
p c) 107 2
21.Calcular " S2 " S1
S2
a) 1 d) 12
b) 2 e) 13
S1
c) 3
57
Cálculo de la superficie de un sector circular 22.Si: OA = 2AB, hallar: S2 S1
24.Del gráfico, determinar: 2 2 2m n + P= S
B A
n O
S2
S1 2S
D C
a) 53 d) 43
b) 25 e) 12
m
S
c) 45 a) 2p d) 5p
23.Calcular el área sombreada del gráfico:
b) 3p e) 6p
c) 4p
25.Si: S1 = S2; Áreas. Hallar “q” B
A C
S2
S1
12
qrad
A O
a) 6p d) 8p
58
b) 12p e) 18p
B
c) 16p
a) p3 d) p2
O
b) 4p e) p8
D
E
c) 6p
Cuarto Año de Secundaria
8
Repaso I
COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO
Pr act iquemos I. Aspecto conceptual 1. Relacione correctamente el ángulo dibujado con el giro en el que se genera.
3. Relacione mediante flechas las parejas equivalentes: (elementos de “ A” con elementos de “B” )
a
A
B
60º
p rad
p rad
30º
6
5
20º
p rad
q
p rad
9
3
70g
b
40g 63º
30g
27º
4. Asocie el elemento faltante en cada sector con su valor correspondiente mediante flechas:
f
O
w
p /5 rad
L
10 cm
- Sentido horario: ............. R
- Sentido antihorario: .............
O
2. Relacione mediante flechas la relación que cumplen los ángulos trigonométricos mostrados en cada caso.
R
O
a
a + q = 180º a - q = 180º
a q
a + q = -180º a + q = -90º a - q = 90º q - a = 180º
q
A
18
p 9p cm
2p 27
B A
q rad
4 cm
q
B
p /3 rad
4 cm
a
A
10 cm
2 8 cm
B
5. Complete correctamente en los espacios en blanco: - Un ángulo generado en sentido horario tiene medida ......... , mientras que otro generado en sentido antihorario tiene medida ......... - En el sistema sexagesimal, 1° equivale a ......... , mientras que 1' equivale a ......... - En el sistema centesimal, 1g equivale a ......... , mientras que 1m equivale a ......... - En un sector circular, para calcular la longitud de un arco, el ángulo central debe estar expresado en ......... - En un sector circular, el ángulo central como máximo puede medir .........
Repaso I II. Aspecto operativo
4. Siendo “S” y “C” lo conocido para un ángulo no nulo, reducir:
1. Del gráfico, calcular “x” .
E=
C
C+S 4S + C-S C-S
B
Resolución:
-40g (7x - 2)º O
A
Resolución:
5. Sabiendo que “S” representa la medida sexagesimal de un ángulo, verificándose:
2. Del gráfico, calcular “x” . B
S 3
2 = 8 ¿cuál es la medida circular del ángulo?
g
(40x)
(4x)º
C
Resolución:
p /9 rad A
Resolución:
3. Un ángulo que mide p /13 rad, al ser convertido al sistema sexagesimal se expresa como 1a°b0' 4 c ' ' . Calcular: “a + b + c” . Resolución:
6. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 2S - C + 20R = 11,1416 siendo: p = 3,1416; y además “S” , “C” y “R ” lo conocido para dicho ángulo. Resolución:
60
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA 7. En un sector circular el ángulo central mide 50g y el radio 16 cm. ¿Cuánto mide el arco? Resolución:
10.En un sector circular el ángulo central mide 36° y el radio es “R ”. Si el ángulo central se incrementa en 13° y el radio se reduce en “x” , se genera un nuevo sector circular cuya superficie es igual a la del sector original. ¿Cuál es el valor de “x” ? Resolución:
8. Se tiene un sector circular cuyo arco mide 100 cm. Si el radio se reduce a su quinta parte y el ángulo central se duplica, se genera un nuevo sector circular. ¿Cuánto mide el arco del nuevo sector? Resolución:
III. Situaciones problemáticas 1. Si un ángulo mide x° y también (x + 2)g, ¿cuál es la medida circular de su complemento? Resolución:
2. Del gráfico, calcular “x” . (-10x)g
9. En un sector circular el ángulo central mide 36° y el radio mide 4 5 cm. Calcular el área del sector..
(6x)º
Resolución: Resolución:
Organización Educativa
TRILCE
61
Repaso I 3. Señale la medida circular de un ángulo sabiendo que el triple del número de grados centesimales que contiene un ángulo excede al doble de su número de grados sexagesimales en 36.
y calcule “q” para cuando: a = 2p; b = 3p y c = 4; en el sistema sexagesimal. Resolución:
Resolución:
6. De acuerdo a lo mostrado en el gráfico, calcular el valor de “q” . B
C
4. Señale la medida circular de un ángulo que cumple: 3 = 5 27 3C siendo “S” y “C” lo conocido para dicho ángulo.
S
S
Resolución:
O
E
A
7. Se sabe que para todo x Î IR, x2 ³ 0 (es decir el mínimo valor de x2 es 0). Luego, si tuviera un sector circular cuyo perímetro (suma de radios y arcos) es 8 cm2 y su superficie es máxima. ¿Cuál sería la medida del ángulo central del sector circular?
q rad
Resolución: c
C
A
a D
62
q rad
60º
Resolución:
5. Del gráfico, demuestre que: b-a q = c
O
D
S
b c
B
Cuarto Año de Secundaria
TRIGONOMETRÍA
Tar ea domiciliar ia 1. En el gráfico mostrado, se cumple que AB = AC. Calcular el valor de: L=
a +b q B a
q
a) 2 d) 4
b
A
C
b) - 2 e) -1
c) -4
2. Señale el valor de:
p rad
d) 13
b) 12 e) 23
3. Simplificar: a) 60 d) 64
c) 14
p b) 60 p e) 10
p c) 30
p rad = a° ' '' 9. Si: 32 3b c0
a) 4 d) 8
P = 2º2' 2'
b) 61 e) 63
c) 62
b) 7445’’ e) 7448’’
c) 7446’’
5. ¿A cuánto equivale 15 del ángulo de 1 vuelta en cada sistema? a) 30º; 50g; 5p rad c) 72º; 80g; 25p rad e) 36º; 40g; 25p rad
b) 60º; 70g; 35p rad d) 64º; 70g; 5p rad
6. ¿A cuánto equivale 19 del ángulo de 1 vuelta en el sistema sexagesimal? a) 10º d) 40º
¿Cuál es la medida circular del menor?
calcular “a + b - c” .
4. ¿Cuántos segundos hay en: b = 2º4’ 5” ? a) 7444’’ d) 7404’’
8. En un triángulo, los ángulos interiores miden: px rad ; 10xg y xº 9
a) 6p rad d) p3
P= 2 180º
a) 1
7. ¿A cuánto equivale un ángulo recto en cada sistema? a) 45º; 100g; 2p rad b) 50º; 100g; 2p rad c) 90º; 100g; 2p rad d) 90º; 200g; prad e) 45º; 50g; 4p rad
b) 18º e) 36º
Organización Educativa
c) 20º TRILCE
b) 6 e) 9
c) 7
10.Sabiendo que la suma de los números de grados centesimales y sexagesimales de un ángulo, es igual a 19 veces el cuadrado de su número de radianes, ¿cuál es la medida circular del ángulo? p rad a) 20 d) 10 p
b) 20 p e) 5p
p c) 10
11.Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple: 2S - C = 16; siendo "S" y "C" lo conocido. a) 10g d) 25g
b) 15g e) 30g
c) 20g
12.Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, ¿cuál es la medida radial del ángulo? a) 6p rad p d) 10
b) 4p e) p8
p c) 20
63
Repaso I 13.Señale la medida circular de un ángulo que verifica: S + C + R = 95 + p 4 siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo. a) p3 rad
b) 4p
d) 5p
e) 6p
b) 2
d) 32
e) 12
6
O
4p
q
6p
D B
6
c) 23
a) p3 rad d) 23p
b) 6p e) 5p
c) p9
19.Del gráfico; calcular "q" A 4
b) 4,7 e) 6,2
q
O
15.Un arco con radio 15m mide 8m. ¿Qué diferencia en metros existen entre la longitud de este arco y la de otro del mismo valor angular de 6m de radio? a) 4,5m d) 5,2
A
C
c) p2
14.Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple: C = n + 17 y S = n + 7 10 18 p p siendo "S" y "C" lo convencional. a) 1 rad
18.Del gráfico, calcular “q”
L B
20º
C L
5 D
c) 4,8 a) 9º d) 15º
16.De la figura, hallar: “ ba ”
c) 25º
20.Desde un helicóptero se divisa el tramo de una carretera, tal como aparece en el gráfico adjunto. ¿Cuál es la longitud total del tramo?
A C
O3 3x
x
O
b) 18º e) 36º
O2
a D b B
b) 12 e) 13
a) 1 d) 2
3km
A
c) 14
B O1 18km
17. Del gráfico, calcular “L1” .
C 27km C
2
A
a) 2p km d) 10p
5 2p
O
L1
5 D
a) 145p d) 52p 64
b) 25p e) 72p
2
B
c) 125p
b) 6p e) 12p
D
c) 8p
21.En un sector circular el arco es el doble del radio. ¿Cuánto mide el ángulo central? a) 1 rad d) 12
b) 2 e) 13
c) 3
Cuarto Año de Secundaria
