UNIVERSIDAD TECNICA DE ORURO FACULTAD DE CIENCIAS AGRICOLAS PECUARIAS Y VETERINARIAS DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
ROLY CELIER COTA L.
¿CUÁL NÚMERO LE GUSTA? Dígale que escriba un número cualquiera. Que sume las cifras entre sí y que reste este último resultado al número escrito por él. Pídale, enseguida, que tache la cifra que más le guste del resultado, y solicítele el número que quedó después de esta operación. Usted debe sumar mentalmente entre sí las cifras de ese número. Lleve este resultado a un solo dígito (sume), y este dígito réstelo a la "cifra clave" 9. El residuo será la cifra que tachó el jugador. ¿CUÁNTO TIENE, CUÁNTO VALE? Dígale que escriba la cantidad de dinero que posee en el bolsillo, que multiplique esta cifra por 10 y que al resultado sume 25; que le sume el número de hermanas que tenga y esta cifra la multiplique por 10; que al resultado le sume el número de hermanos, y pídale el resultado. A este número reste 250, y el resultado será: la última cifra, el número de hermanos del jugador; la penúltima, el número de hermanas y las primeras, la cantidad de dinero que tiene en el bolsillo. EL NÚMERO SECRETO Diga a un amigo que escriba un número de dos cifras en secreto, que lo multiplique por 10 y del resultado reste un múltiplo de 9 inferior o igual a 81. Pídale el resultado. Si es de tres cifras, tome las dos primeras y sume la última; si son dos, súmelas entre sí, el resultado que de es el número secreto. AÑO DE NACIMIENTO Ahora que escriba el año en que nació. Dígale que lo multiplique por 2 y que al resultado le sume 1. Que esta cifra la multiplique por 5, que al resultado le sume 5, que multiplique lo que tenga por 10. En este punto pídale el resultado, y a éste usted mentalmente le resta 100. Luego dividido en 100 y el resultado será el año. DINERO Y HERMANOS Dígale a su amigo que escriba la cantidad de dinero que posee, que multiplique esta cifra por 10 y que al resultado le sume 25, que le sume el número de hermanos, multiplique por 10 y le sume el número de hermanas. Pida el resultado y a éste reste 250, el resultado será: la última cifra, el número de hermanas de su amigo; la penúltima, el número de hermanos y las siguientes la cantidad de dinero. 34
Prologo El presente “Formulas Calculo I”, responde a las necesidades del estudiante, la cual es un apoyo que contiene la información necesaria; que permitirá facilitar la resolución de problemas en la materia de Calculo I. El motivo de la presente obra es incentivar e interiorizar en el aprendizaje de la materia BAS – 101. Auxiliar de Cátedra: Roly Celier Cota L.
EQUIVALENCIAS MÁS UTILIZADOS Longitud 1 pulg = 2,54cm 1 pie = 12 pul = 30,48 cm 1 km = 1000 m 1 milla terrestre = 1609 m 1 yarda = 3 pies Masa 1 kg 1 onz 1 arroba 1 ton 1 quintal 1quilate
= = = = = =
1000g = 2,2 lb 28,35 g 25 libras 1000 kg 4 arrobas = 46 kg 2 104 kg
Volumen 1 pie3 = 1 m3 = 1 barril =
28,32 litros 1000 litros 42 litros
Área 1 ha
10000 m2
32
=
Contenido Temas Exponentes……………………………….. Radicación …………………………….. Factorización……………………………... Logaritmos ……………………………... Determinantes……………………….…… Trigonometría……………………………. Geometría Analítica……………………… Límites…………………………………… Derivadas………………………………… Integrales………………………………… Figuras geométricas……………………... Equivalencias mas utilizados……………. Juegos Matemáticos………………………
Pág. 7 9 10 12 12 13 16 23 24 26 30 32 33
FIGURAS GEOMETRICAS Figuras
Perímetro
EXPONENTES Área
EXPONENTE NATURAL: se define:
Am A A A ...... A mN m
P 4a
A a2
Donde:
Cuadrado
P 2(b h)
A bh
EXPONENTE NEGATIVO: A m
Rectángulo
P abcd
A
ac h 2
x y
m
1 A0 Am
x y ó x y m
m
Trapecio
P 2r
A r 2
x0
1 x y
m
y0
MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES:
A m A n A m n
Circulo
DIVISIÓN DE BASES IGUALES:
Pa bc
A
Am A mn A 0 An
ab 2 EXPONENTE CERO:
triángulo 30
A0 1 A 0 7
26) 27)
28) 29)
30) 31)
1
a2 x2
1
x2 a2
dx Arcsen
x x c Arc cos c a a
dx Ln x x 2 a 2 c
RADICACION DE UN PRODUCTO DE INDICES IGUALES:
x a 2 x 2 a 2 Ln x a 2 x 2
a 2 x 2 dx
1 2 1 x a x dx a x 2 a 2 ArcSen c 2 2 a 2
RADICACION
2
m
c
2
x x 2 a 2 a 2 Ln x x 2 a 2
a2 x2 a a2 x2 dx a 2 x 2 aLn c x x
a x a a x dx a 2 x 2 aLn c x x
2
2
RADICACIÓN DE UNA DIVISIÓN: m
x a dx 2
AB m A m B
c
A B
m
A
m
B
POTENCIA DE UNA RAÍZ:
A
n
m
32)
2
2
2
x2 a2 dx x 34) 1 x a 2 x 2 dx 33)
35)
x
38)
x
39)
x 2 a 2 ArcCos
B0
2
a c x
1 x Ln c a a a2 x2
m An
Observe bien que:
A mn
m
nqr
A mn
n qr
A m
qr
A n mt A nt
1 1 x dx Ln c a a2 x2 a a2 x2 36) 1 1 x 1 a x x 2 a 2 dx a Arcsec a a Arc cos x x 37) 2 2 x 2 a 2 dx x a c
28
23bx 2a a bx c 15b 2 3
a bx dx
a bx a bx a dx 2 a bx a Ln c x a bx a 9
INTEGRALES
CASO VII Suma o diferencia de cubos perfectos
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) En la tabla donde: a es una constante, m es un numero natural. Integrales algebraicas y exponenciales: 1)
x
m
x m 1 m 1
dx
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 ) CASO VIII Trinomio de la forma: ax 2 bx c 2x 2 11x 5 (2x) 2 2(11x) 10 Ordenando: (2x) 2 11(2x) 10
(2x 10)(2x 1) Dividiendo entre 2 y 1 para no alterar el trinomio Facturando por el caso V
2) e x dx e x
(2x 10) (2x 1) 2 1 ( x 5)(2x 1)
3)
a
x
a dx Lna x
4) 1
x dx Ln x
5)
b
af dx F x
x
b a
Fb Fa
a
CASO IX Sumo o diferencia de dos potencias iguales: I. a n b n es divisible por a b siendo “n” par o impar II. a n b n es divisible por a b siendo “n” par III. a n b n es divisible por a b siendo “n” impar IV. a n b n nunca es divisible por a b
m 5 n 5 (m n )(m 4 m 3 n m 2 n 2 mn 3 n 4 )
6) udv uv vdu
m 5 n 5 (m n )(m 4 m 3 n m 2 n 2 mn 3 n 4 ) Método de Por Partes
Integrales trigonométricas: 7) Senx dx Cosx 8)
Cosx dx Senx
9)
Tanx dx Ln Cosx Ln Secx
26
11
DERIVADAS
TRIGONOMETRIA
En esta tabla las letras c, n, a, son constantes y las letras u, v y w son funciones de “x”. Donde “x” es la variable independiente. Definición de Derivada
f (x ) Lím
La Derivada de una constante es cero
c 0
Teorema de Pitágoras c2 a 2 b2
f ( x h ) f ( x )
h 0
h
Funciones trigonométricas de un ángulo en un triangulo rectángulo: La Derivado de Suma es la Suma de las Derivadas
a c b 2) Cosx c a 3) Tanx b
1) Senx
(u v w ) u v w
Derivada de una constante por función
(cv) cv
Derivada de un producto de funciones:
(uv) u v uv
Derivada de un cociente de funciones:
u u v uv v2 v
Derivada de una función elevada a otra función:
u v
v u v 1 u ln u u v v
v
a
2
A
1) Sen 2 x Cos 2 x 1
Lnv v (Si v 0) v
24
b
c
B
Identidades Pitagóricas:
v
2
c2 a 2 b2 2ab CosC
a va Lna
v
C
b a c 2ac CosB
Log a e v
e ve
Teorema de senos: a b c SenA SenB SenC
2
Lg a v v
Funciones trigonométricas de un ángulo en un triangulo oblicuángulo:
Teorema de Cosenos a 2 b 2 c 2 2bc CosA
(u m ) mu m1 (x 2 ) 2x 21 2x
v
b a c 5) Secx b c 6) Cscx a 4) Cotx
2) 1 Tan 2 x Sec 2 x
3) 1 Cot 2 x Csc2 x
a va v
v
ln a
Identidades Reciprocas 1 1 1) Senx 2) Cosx Cscx Secx
3) Tanx
1 Cotx
13
Eje focal paralelo al Eje Y
( y k) 2 (x h) 2 1 a2 b2
xy xy 5) Cosx Cosy 2Sen Sen 2 2
6) Tanx Tany
Sen ( x y) CosxCosy
Valores de funciones trigonométricas
Asíntotas:
a ( y k) (x h) b
Circulo Trigonométrico
22
15
Ecuación de de la Elipse con Centro C(h, k) Focos: F(h, k c); F(h, k c) Eje Mayor Vertical
(x h) 2 ( y k) 2 1 b2 a2
Si el Ángulo de inclinación de dos Rectas: L1 y L2, comprenden entre si un Ángulo de 90º, entonces las Rectas son Perpendiculares; cuya condición se cumple: m1 m 2 1
Distancia de Punto a Recta La Distancia entre el Punto: P1(x1,y1) a la Recta: Ax By C 0 , se calcula por:
d
Ax1 By1 C A 2 B2
Distancia entre Punto
Ecuación de de la Elipse con Centro C(0, 0) Focos: F(0,c); F(c,0) Eje Mayor Vertical x 2 y2 1 b2 a 2
d (x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2
Punto P(x, y) de división de un segmento
x
Ecuación General de la Elipse: Ax 2 By 2 Dx Ey F 0
x1 r x 2 y r y2 ; y 1 1 r 1 r
La Circunferencia
Ecuaciones de la Circunferencia Ecuación de Circunferencia con Centro C(h, k) 20
x h 2 y k 2 r 2
Ecuación de Circunferencia con Centro en el Origen C(0, 0) x 2 y 2 r 2 Ecuación General de la Circunferencia x 2 y 2 Dx Ey F 0 , donde D 2h; E 2k; F h 2 k 2 r 2
17
LA LOTERÍA Pídale ahora el número que le gusta jugar a la lotería, que reste 1 y el resultado lo multiplique por 2. Sume de nuevo el número de lotería. Solicite el resultado final para adivinar el número de lotería. Al resultado final súmele 2 y divídalo por 3. Será el número de lotería.
Bibliografía © Estae material esta completamente permitido la difusión total o parcial , ya sea por medios electrónicos, mecánicos u otros.
VALIENTE B. santiago “Diccionario de Matemáticas Cuarta Edición Impreso en México 1998 CHUNGARA C. Víctor “Apuntes de Calculo I” BALDOR A. “Algebra” Décimo segunda edición Cultural Impreso en México 1997 LEHMANN 1993
Contactos: Dirección Electrónica: E-mail:
Celular:
“Geometría Analítica”
Editorial Publicaciones
Editorial Limusa
Impreso en México
[email protected] [email protected] 71182575
© Composición, diagramación y montaje R.C.C.L. Programas utilizados: Auto Cad 2009 Derive 6 – evaluation Editor de ecuaciones 2003 Diseño gráfico CorelDRAW 11 y Adobe Photo Shop CS 35
JUEGOS MATEMATICOS
¿CUÁNTO CALZA, QUÉ EDAD TIENE Y EL PORTAL? Dígale a un amigo que escriba el número de los zapatos, que lo multiplique por 100, que le reste el año en que nació (con las cuatro cifras y si lo está haciendo con la calculadora no olvide de oprimir el =) si ya cumplió años este año sume 4 si no 3, que lo vuelva a multiplicar por 100, y a ese resultado le sume el número del portal de la casa. Pídale el resultado (o la calculadora) y sume 200.300; quedará un número de seis cifras, las dos primeras el número que calza su amigo, las dos siguientes la edad y las ultimas el portal de la casa.
EL TELÉFONO Ahora escriba el número del teléfono, que lo multiplique por 10, y sume 1998 (si lo hace con la calculadora siempre el =), que lo divida por 2, y le reste el año en el que estamos viviendo (2001); Pídale el resultado y sume 1.002, y por último dividido entre 5. Y ese será el número telefónico.
LA EDAD Y EL MES Solicite que escriba el número del mes del nacimiento y que lo multiplique por 2. Que al resultado, le sume 5 y que a este último lo multiplique por 50 y que le sume la edad. Solicite el resultado y a este réstele 250. El resultado final dará: las dos últimas cifras, la edad y la primera o primeras, el número del mes de nacimiento. 33
Figuras
Paralelogramo Figuras
Perímetro
Área
P 2 (a b)
Aah
Área
Volumen
A 6a 2
V a3
A 4 r 2
4 V r3 3
cubo
Esfera
A Lateral 2 r h
ATotal 2 r h 2 r
V r2 h 2
Cilindro
31
POTENCIACIÓN DE UNA MULTIPLICACIÓN Y UNA DIVISIÓN:
A Bm
A m Bm
m
Am A m B 0 B B
a bx a Ln c a a bx a 2bx 2a xdx 41) a bx 3b 2 a bx c 42) x 2 a 2 x 2 dx 1 x (a 2 x 2 )3 1 a 2 x a 2 x 2 1 a 4 Ln u a 2 x 2 c 4 8 8 1 1 2 1 4 x 43) 2 2 2 2 2 3 2 2 40)
x
POTENCIACIÓN DE OTRA POTENCIA:
A
m n
8
44)
A
mn
x
x
2
dx
a bx
1
a x dx x (a x ) a x a x a Arcsen c 4 8 8 a 1 1 1 x 2 a 2 dx x (a 2 x 2 ) 3 a 2 x x 2 a 2 a 4 Ln x x 2 a 2 c 4 8 8
29
10)
FACTORIZACION CASO I a) Factor Común Monomio a 2 2a a (a 2) b)
12)
x(a b) m(a b) (a b)(x m)
(a b)(x y)
2
a 2 2ab b 2 (a b)(a b) (a b) 2 CASO IV Diferencia de cuadrados Perfectos: a 2 b 2 (a b)(a b) CASO V Trinomio de la forma: x 2 bx c
1) x 7x 12 (x 4)(x 3) 2) y 2 2y 15 ( y 5)( y 3) 3) m 2 5m 14 (m 7)(m 2) 2
4) a 2 8a 15 (a 5)(a 3) CASO VI Cubo Perfecto de Binomios: a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 3
2
16)
CASO III Trinomio Cuadrado Perfecto:
a 2ab b (a b)(a b) (a b)
Sen
x dx
Csc x dx Cotx 17) Secx Tanx dx Secx
CASO II Factor Común por Agrupación de Términos: ax bx ay by x(a b) y(a b)
2
Cscx dx Ln Cscx Cotx
x Senx Cosx 2 14) Cos 2 x dx x Senx Cosx 2 15) Sec 2 x dx Tanx
13)
Factor Común Polinomio
2
Cotx dx Ln Senx
11) Secx dx Ln Secx Tanx
2
18) Cscx Cotx dx Cscx 19) Sen m x dx Sen
m 1
xCosx m 1 Sen m2 x dx m m
Cos m1xSenx m 1 Cos m2 x dx m m m 1 21) Tan m x dx Tan x Tan m 2 x dx ; m 1 m 1 20)
Cos
m
x dx
Integrales de formas cuadráticas: 1 1 x 22) dx Arc tan c
a
x2 a a 1 1 ax 23) a 2 x 2 dx 2a Ln a x c 1 1 x a 24) x 2 a 2 dx 2a Ln x a c 1 25) 2 2 a 2 x 2 dx Ln x a x c 2
a 3 3a 2 b 3ab 2 b 3 (a b) 3
10
27
Senv vCosv Cosv vSenv Tanv vSec 2 v Cotv vCsc 2 v Secv vSecvTanv Cscv vCscvCotv
LOGARITMOS Logaritmo de un producto
LogA B LogA LogB
Logaritmo de un cociente
Log
A LogA LogB B
Logaritmo de una potencia
LogA n nLogA
Logaritmo de una raíz
Log m A
LogA m
Arcsenv Arc cos v
Log b b 1
Logaritmo de una misma base
v 1 v2 v
1 v2 Arc tan v v 2 1 v
Log b 1 0
Logaritmo de uno
Arc cot v
b Logb A A
Arc sec v
PROGRESIONES
Arc csc v
PROGRESIÓN ARITMÉTICA a = Primer termino u = Ultimo termino n = Numero de términos r = Razón o diferencia S = Suma de términos a u n 1 r u a n 1 r n u a r r
ua n 1
S
Log(u ) Log(a ) 1 Log(r )
S
r
v 1 v2 v
v v 2 1 v v v 2 1
a u n 2
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA a
12
u r n 1
u a r n 1
r n 1
u a
n
ur a r 1
25
Identidades por Cociente:
1) Senx
Cosx Cotx
LÍMITES
2) Cosx
Senx Tanx
3) Tanx
Senx Cosx
Suma y diferencia de dos ángulos: 1) Sen ( x y) Senx Cosy Cosx Seny 2) Cos( x y) Cosx Cosy Senx Seny Tanx Tany 3) Tan( x y) 1 Tanx Tany Funciones trigonométricas de Angulo Doble (2x) 1) Sen 2x 2Senx Cosx
2) Cos2x Cos 2 x Sen 2 x
2Tanx 1 Tan 2 x Funciones Trigonométricas del Angulo Mitad (x/2): x 1 Cosx x 1 Cosx 2) Cos 1) Sen 2 2 2 2 3) Tan 2x
Limites de funciones trigonométricas
x 1 Cosx 3) Tan 2 1 Cosx
1) Lím Senx 1 x 0
Funciones Trigonométricas de Angulo Triple (3x): 1) Sen 3x 3Senx 4Sen 3 x
2) Cos3x 4Cos3 x 3Cosx
3Tanx Tan x 3) Tan3x 1 3Tan 2 x
x
2) Lím Tanx 1 x 0 x
3) Lím 1 Cosx 0 x 0 x
Limites de funciones exponenciales y logarítmicas
3
1) Lim 1 x 1x e x 0
Otras funciones: 1) Sen 2 x 3) Tan 2 x
14
1 Cos2x 2 1 Cos 2x 1 Cos 2x
2) Cos 2 x
1 Cos 2x 2
x y x y 4) Senx Seny 2Sen Cos 2 2
4)
1 Lim1 x x
x
e
2)
x
1 Lim1 e x x
x 5) Lim a 1 Lna x 0 x
3) Lim 1 x 1x e x 0
6)
Lim x a
ef ( x ) 1 f ( x ) 0 1 f (x) x a
23
Hipérbola
GEOMETRIA ANALITICA
Partes de una Hipérbola
La Recta
Características
ER 2a
Ecuaciones de la Recta Ecuación General de la Recta
Ax By C 0
Ecuación Punto Pendiente
y y1 m(x x 1 )
Ecuación Pendiente – Ordenada
Ecuación Cartesiana o de 2 Puntos
Ecuación Reducida o Abcisa – Ordenada
y mx b y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1 x y 1 a b
Pendiente de una Recta Partiendo de la Ecuación General de la Recta Ax By C 0 , la pendiente A buscada es: m Tan B Angulo entre Rectas El Ángulo , entre Rectas, se calcula por:
Arc tan
m1 m 2 1 m1 m 2
m1 m 2
Paralelismo y Perpendicularidad Dos Rectas: L1 y L2 son Paralelas entre si, cuando sus pendientes son iguales m1 m2 16
LR
2b 2 a
c 1 a c2 a 2 b2
e
Ecuaciones de la Hipérbola Eje focal paralelo al Eje X
(x h) 2 ( y k) 2 1 a2 b2 Asíntotas:
b ( y k) (x h) a 21
La Parábola
La Elipse
Partes de una Parábola
Partes de una Elipse
Ecuaciones de la Parábola Ecuación de de la Parábola con Vértice: V(0, 0) es: y 2 4ax Ecuación de la Parábola con vértice: V(h, k), cuyo Eje es paralelo a las Abcisas (Eje horizontal): Foco: F(h+a,k), Directriz. x h a 0 La ecuación es: ( y k) 2 4a (x h)
De acuerdo a al signo y eje de la Parábola presenta otras formas, como ser:
Características de la Elipse: Directriz:
x
Excentricidad.
e
Lados Rectum:
Relación de la Elipse:
a2 c
c 1 a 2b 2 LR a a 2 b2 c2
Ecuaciones de la Elipse
y 2 4ax
18
y 2 4ax
x 2 4ay
x 2 4ay
Ecuación de de la Elipse con Centro C(h, k) Focos: F(h c, k); F(h c, k) Eje Mayor Horizontal
(x h) 2 ( y k) 2 1 a2 b2
Las Ecuaciones Generales de la Parábola, de Ejes Paralelos a los Ejes X, Y respectivamente son: y 2 Dx Ey F 0 x 2 Dx Ey F 0
19
