Ecuaciones Simultaneas De Primer Grado Con Dos Incognitas
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De hecho, su abuelo paterno había pertenecido a la Asamblea de Oliver Asamblea Oliver Cromwell. Cromwell. Taylor contó con una esmerada educación impartida por tutores privados hasta que se matriculó en el St. John's College de Cambridge. Con 24 años se licenció en Derecho, y a los 29 se doctoró en esta materia. Pero es dudoso que alguna vez llegara a ejercer como abogado. Lo que realmente le gustaban era las matemáticas, que estudió con John Machin y John Keill. Su primer trabajo matemático importante fue en 1708 la solución al problema del "centro de oscilación" que, sin embargo, no se publicaría hasta seis años en la revista Transacciones Filosóficas de la Royal Society, lo que provocó una disputa sobre su autoría con Johann Bernoulli.
Brook Taylor fue un matemático Inglés, que añade una nueva rama de las matemáticas que ahora se llama el "cálculo de diferencias finitas, inventó la integración por partes, y descubrió la famosa fórmula conocida como la expansión de Taylor. Realizó importantes contribuciones al Cálculo, como la teoría de diferencias finita, el desarrollo la serie de Taylor y el teorema que lleva su nombre. El matemático británico, uno de los más entusiastas admiradores de Newton, nació en Edmonton, Middlesex el 18 de agosto de 1685, en el seno de una familia noble.
En 1712 fue elegido miembro de esa prestigiosa sociedad, y formó parte de la comisión que debía juzgar si la autoría del cálculo diferencial correspondía a Newton o a Leibniz. Fueron habituales los artículos en la revista de la Sociedad, en los que, entre otras cosas, analizó el movimiento de los proyectiles, las formas adoptadas por los líquidos, los fenómenos de capilaridad, interesantes experimentos sobre el magnetismo o una nueva forma de cálculo para aproximar las raíces de una ecuación dando lugar a un método nuevo para logaritmos computacionales. [Escriba el nombre de la compañía] | Confidencial
ECUACIONES SIMULTÁNEAS Dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para iguales valores de las incógnitas. Así las ecuacio ecuaciones nes
x+y=5 x – y = 1 Son simultaneas porque x = 3, y = 2 satisfacen ambas ecuaciones.
Cuando las ecuaciones independientes tienen una sola solución común son simultáneas. Así, las las ecuaciones ecuaciones x + y = 5 y x – y = 1 son independientes porque no se obtienen una de la otra y simultaneas porque el único par de valores que satisface ambas ecuaciones es x = 3, y = 2. Ecuaciones incompatibles son ecuaciones independientes que no tienen solución común. Así, las las ecuaciones ecuaciones
x + 2y = 10
ECUACIONES EQUIVALENTES Son las que se obtienen una de la otra. Así,
x+y=4 2x + 2y = 8 Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que no se obtienen una de la otra.
2x + 4y = 5 Son incompatibles porque no hay ningún par de valores de x e y que verifique ambas ecuaciones.
SISTEMA DE ECUACIONES Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o mas incógnitas. Así,
2x + 3y = 13 4x – y = 5 Es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas. [Escriba el nombre de la compañía] | Confidencial
Solución de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incógnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solución del sistema anterior es x = 2, y = 3. Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solución y es imposible o incompatible cuando no tiene solución. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solución e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.
SISTEMA DE DOS ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN Para resolver un sistema de esta clase es necesario obtener de las dos ecuaciones dadas una sola ecuación con una incógnita. Esta operación se llama Eliminación.
MÉTODOS DE ELIMINACIÓN MÁS USUALES Son tres: Método de igualación, de comparación y de resolución, también llamado este ultimo de suma o resta.
I.- ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN Resolver el sistema
7x + 4y = 13
(1)
5x – 2y = 19
(2)
Despejemos una cualquiera de las incógnitas: por ejemplo x, en ambas ecuaciones. Despejando x en (1): 7x = 13 – 4y
Donde
13 – 4y x = ---------------7
Donde
19 + 2y x = -----------------5
Despejando x en (2): 5x = 19 + 2y
Ahora de de igualan igualan entre si los dos dos valores valores de x que hemos obtenido.
13 – 4y 19 + 2y ----------- = ------------7 5 Y ya tenemos una sola ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
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EJERCICIOS
Resolviendo la ecuación:
5 (13 – 4y) = 7 (19 + 2y)
I.-
x + 6y = 27 7x – 3y = 9
65 – 20y = 133 + 14y
Resultado x=3 y=4
- 20y - 14y = 133 – 65 - 34y = 68 y=-2
II.-
3x – 2y = - 2 5x + 8y = - 60
Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) (generalmente se sustituye en la más sencilla), se obtiene:
Resultado x=-4 y=-5
7x + 4 (-2) = 13 7x – 8 = 13 7x = 21 X=3 Resultado
III.-
3x + 5y = 7 2x – y = - 4 Resultado x=-1 y=2
x=3 y = -2 Verificación Sustituyendo x = 3, y = - 2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad. [Escriba el nombre de la compañía] | Confidencial
II.- ELIMINACIÓN POR SUSTITUCIÓN Resolver el sistema
2x + 5y = - 24
(1)
8x – 3y = 19
(2)
Sustituyendo y = - 5 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1) se tiene:
2x + 5 (- 5) = - 24 2x – 25 = - 24 2x = 1
Despejemos una cualquiera de las incógnitas, por ejemplo x, en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tendremos: 2x = - 24 – 5y
Donde
- 24 – 5y x = -------------------2
1 x=-----2 Resultado 1 x=-----2
Este es el valor de x se sustituye en la ecuación (2)
- 24 - 5y 8 (---------------------) – 3y = 19 2
y=-5
Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la x.
Verificación
Resolvamos esta ecuación. Simplificando 8 y 2, queda:
Haciendo x = ½, y = - 5 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en identidad
4 (- 24 – 5y) – 3y = 19 - 96 – 20y – 3y = 19 - 20y – 3y = 19 + 96 y=-5 [Escriba el nombre de la compañía] | Confidencial
EJERCICIOS I.-
x + 3y = 6 5x – 2y = 13 Resultado x=3 y=1 II.-
5x + 7y = - 1 - 3x + 4y = - 24 Resultado x=4 y=-3 III.-
III.- MÉTODO DE REDUCCIÓN Resolver el sistema
5x + 6y = 20
(1)
4x – 3y = - 23
(2)
En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas. Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo más sencillo. El m. c. m. de los coeficientes de y, 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2 porque 2 x 3 = 6, y tendremos:
4y + 3x = 8 8x – 9y = - 77 Resultado x=-4 y=5
5x + 6y = 20 8x – 6y = - 46
Como los coeficientes de y que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones porque con ello se elimina la y: 5x + 6y = 20 8x – 6y = - 46 ---------------------13x = - 26
26 x = - ------- = - 2 13
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Sustituyendo x = - 2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), se tiene:
5 (- 2) + 6y = 20
EJERCICIOS Resolver por suma o resta: I.-
- 10 + 6y = 20 6y = 30
Resultado x=1 y=3
y=5 Resultado
6x - 5y = - 9 4x + 3y = 13
II.-
7x - 15y = 1 - x + 6y = 8
x=-2 y=5 El método expuesto, que es el más expedito, se llama también de suma o resta porque según se ha visto en los ejemplos anteriores, si los coeficientes que se igualan tienen signos distintos se suman las dos ecuaciones y si tienen signos iguales, se restan. Es indiferente igualar los coeficientes de x o de y. generalmente se igualan aquellos en que la operación sea mas sencilla.
Resultado x=-2 y=-1 III.-
3x – 4y = 41 11x + 6y = -47 Resultado x=7 y=-5
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