Sistemas con más incógnitas que ecuaciones. Comenzamos analizando un sistema homogéneo con n incógnitas y m ecuaciones, tal que m < n, es decir un sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones: a11x 1 a m1 x 1
+
⋯
+
a1m x m
+
⋯
+
a1n x n
=
0
+
⋯
+
a mn x n
=
0
⋮ +
⋯
+
a mm x m
Veremos que todo sistema de este tipo tiene infinitas soluciones, para lo cual basta mostrar una solución no trivial de un tal sistema, porque cualquiera de los infinitos múltiplos de ésta también es solución del sistema en cuestión. La matriz asociada de este sistema: a11 A= ⋮ a m1
⋯
a1m
⋱
⋮
⋯
a mm
⋯
a1n
⋱ ⋮ ⋯ a mn
es “oblonga” (más larga que ancha) y su forma escalonada reducida es la matriz Rmxn. Si R tiene una columna nula, digamos la k – ésima, entonces el vector columna nx1: 0 ⋮ 1 ⋮ 0
Con un uno en su coordenada k y ceros en el resto, es una solución no trivial del sistema que estudiamos.
Si R no tiene columnas nulas, entonces es de la forma: 1 ⋮ 0 R= 0 ⋮ 0
⋯
0 b11 ⋯ b1k
⋱
⋮
⋯
1 b s1 ⋯
⋯
0
0
⋯
⋱
⋮
⋮
⋱
⋯
0
0
⋯
⋮
⋱
⋮ b sk 0 ⋮ 0
En este caso el vector columna nx1 − b1k ⋮ − b sk 0 ⋮ 1
es una solución no trivial al sistema homogéneo. Una vez establecido que todo sistema homogéneo con más incógnitas que ecuaciones tiene infinitas soluciones, sólo resta estudiar los sistemas no homogéneos con más incógnitas que ecuaciones. Considere el sistema no homogéneo: (1) Ax = b con más incógnitas que ecuaciones, es decir; A tiene más columnas: n, que filas: m y sea (2) Ax = 0 su sistema homogéneo asociado. Como vimos, el sistema (2) tiene infinitas soluciones. Ahora bien, el sistema (1) podría ser inconsistente, sin soluciones, pero si es consistente, entonces su solución general se expresa como la suma de una solución particular del mismo más la solución general del sistema homogéneo, de donde tiene infinitas soluciones.
En la siguiente tabla resumimos las posibles situaciones para sistemas con más incógnitas que ecuaciones:
Tabla para sistemas con más incógnitas que ecuaciones Tipo de sistema Conjunto de soluciones Homogéneo Infinitas soluciones consistente Infinitas soluciones No homogéneo inconsistente Vacío Ejemplo de sistema homogéneo:
El proceso de eliminación de Gauss-Jordan en la matriz de coeficientes de este sistema es como sigue
y su solución general es:
es decir infinitas soluciones, una para cada y, w en IR.
Para los sistemas no homogéneos la solución general viene dada por la suma de una solución particular más la solución general del sistema homogéneo asociado. Si se trata de un sistema no homogéneo con más incógnitas que ecuaciones, sus sistema homogéneo asociado tiene infinitas soluciones, así que el sistema no homogéneo tiene infinoitas soluciones, si hay al menos una solución particular, o son inconsistentes, casos que mostraremos en los dos siguientes ejemplos. Ejemplo de sistema no homogéneo: i) Un sistema no homogéneo con 4 incógnitas y tres ecuaciones. Caso ínfinitas soluciones.
Eliminación de gauss Jordan en su matriz aumentada:
De donde la solución general de este sistema es:
Esta solución era predecible. Puesto que el vector columna de las constantes es igual a la primera y a la segunda columna de la matriz de los coeficientes, pudimos haber notado que
son soluciones particulares de este sistema. Como además conocíamos la solución general del sistema homogéneo asociado, que fue calculado en la página anterior, se pudo haber dicho sin cálculos previos que
son dos expresiones para la solución general del sistema. ii) Un sistema de 4 incógnitas y tres ecuaciones sin solución (inconsistente)
La eliminación de Gauss-Jordan en su matriz aumentada conduce a
Que muestra una inconsistencia en la tercera fila de la última mátriz.
